韶关市2012届高三第一次调研考试(数学文)
(文数)韶关市2010届高三第一次调研考试
韶关市2010届高三第一次调研考试数学（文科）本卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时间120分钟． 注意事项：1．考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上． 2．选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上．答在试题卷上不得分． 3．考试结束，考生只需将答题卷交回． 4．参考公式： 锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．第一部分（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．复数ii -1在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．函数)19lg()(2-=x x f 的定义域是A ．),31()31,(+∞⋃--∞ B.),31(+∞ C.)31,31(-D.)1,31( 3．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若βαγα⊥⊥,，则γ∥βB ．若m ∥n ，βα⊂⊂n m ,，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若βα⊥⊥n n ,，则α∥β 4．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落 在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为 A ．53 B.512 C.56 D.5185．已知函数2012009ln )23()(2-++-=x x x x x f ，则方程f(x ）=0在下面哪个范围内必有实根A. (0,1)B. (1,2) 12. (2,3) D. (2,4)6．在四边形ABCD 中， “DC AB 2=”是“四边形ABCD 是梯形”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．下列命题正确的是①y=-tanx 在区间)2,0(π上为增函数； ②)32cos(x y -=π是奇函数： ③y=sin2x-cos2x 的最小正周期是π； ④)42sin(π-=x y 的图象可由y=sin2x 的图象向右平移4π个单位得到．A.①②B.②③C.③④D.④①8．若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则x y 1-=ω的取值范围是A.[-1,0] B ．（-∞，0] C ．[-1,1) D.[-1,+∞）9．执行如图所示的程序，如果输出x=256，那么可以在判断框内填入 （注：框图中的赋值语句“=”也可以写成“←”、“：=”） A ．i ≥3 B ．i ≥4 C ，i ≤3 D ．i ≤410.我国家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措， 某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出了四种运输方案，据 预测，这四种运输方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任 务Q0，四种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是第二部分（非选择题共100分）二、填空题（每小题5分，共20分）11.已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 9+a 10=36，则该数列前10项和S 10=_____． 12.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成正三角形，则该椭圆的离心率等于____． 13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生, 得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右 面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均 每人的课外阅读时间为____h ．14、 15题是选做题．只能做其中一个，两题全答只计前一题得分． 14．在极坐标系中，圆)cos (sin 4θθρ+=与直线)(2R ∈=ρπθ相交所得的弦长等于____．15.如图所示，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ，弦AB ⊥OP 于点D ，PC=1，PA=3，则AB=______.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）已知O 是坐标原点，A(3，0)，B(0，3)，C(cos α，sin α)． (I)若2πα=，求AB 与AC 的夹角的余弦值；(Ⅱ)若52=⋅BC AC ，求)4sin(πα+的值．17．（本题满分12分）一个四棱锥的直观图和三视图如图所示（正视图和侧视图是直角三角形，俯视图是直角梯形）：(I)求证：AD ⊥PD ；(Ⅱ)若M 为PB 的中点，证明:直线CM//平面PDA; (Ⅲ)求三棱锥A-PDC 的体积．18.（本题满分14分）学生甲有一只放有x 个红色小球，y 个白色小球，z 个黄色小球的箱子（x ≥0，y ≥0，z ≥0，且x+y+z=6），学生乙有一只放有3个红色小球，2个白色小球，1个黄色小球的箱子． 两人做游戏，各自从自己的箱子中任取—球，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜． (I)当x=1，y=2，z=3时，分别求甲和乙获胜的概率；(Ⅱ)甲要如何调整箱子中小球的颜色，才能使自己获胜的概率最大？ 19．（本题满分14分）设数列}{n a 满足a 1=a,c ca a n n -=-+11*)(N n ∈，其中a ，c 为实数，且c ≠0． (I)求数列{a n }的通项公式；(II)设a=0，)1(n n a n b -=*)(N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和S n ． 20．（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=ax 2（其中a>0）上任意一点与点)41,0(aP 的距离等于它到直线y=-1的距离．(I)求抛物线的方程；(Ⅱ)若点M 的坐标为(0，2)，N 为抛物线上任意一点，是否存在垂直于y 轴的直线l ， 使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数？若存在，求出直线l 的方程； 若不存在，请说明理由． 21．（本题满分14分）已知函数f(x)=alnx-bx 2图象上一点P(2，f(2))处的切线方程为y=-3x+2ln2+2. (I)求a ，b 的值；(Ⅱ)若方程f(x)+m=0在],1[e e 内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底数，e=2.71828...)；(Ⅲ)令g （x ）=f （x ）-nx ，如果g （x ）图象与x 轴交于)0,(1x A ,)0,(2x B )(21x x <, AB 中点为)0,(0x C ，求证：g(x ）在x0处的导数0)('0=/x g参考答案一、选择题答案 B A D B B C B C B B二、填空题 11.100 12.21 13.0.9 14.4 15.524三、解答题 16．（本题满分12分）解：(1))3,3(-=AB )1,3(-=AC , ........................ 2分),cos(AC AB ∴=+-⨯+-⨯+--=2222)1()3(3)3(13)3)(3(552……………6分(2) ∵A(3,0), B(0,3), C(cos α,sin α))sin ,3(cos αα-=∴AC ,)3sin ,(cos -=ααBC ……7分则BC AC ⋅=+-ααcos 3cos 2ααsin 3sin 2-52=ααcos sin +∴5.1=……9分2αsin 22(⋅)cos 22α+51= …………11分 )4sin(πα+∴102=………………12分17.（本题满分12分）解：(I)由三视图可知：PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BC=CD=1， AB=2 …………2分∵PB ⊥底面ABCD,PB ⊥DA ………3分梯形ABCD 中．PB=BC=CD=1,AB=22=∴BD ……………4分又可得2=DA ，AB=2，BD DA ⊥∴,…5分∴DA ⊥平面PDB,∴AD ⊥PD ……………6分(Ⅱ)取PA 中点N ，连结MN ，DN ，则MN//AB ， 又由(I)可知，CD//AB ，所以,MN ∥CD ∴CM ∥DN ……………8分⊂/CM 平面PDA,⊂DN 平面PDA∴CM ∥平面PDA ……………9分(Ⅲ)∵PB ⊥底面ABCD ，CDAP PCD A V V --=∴2131⨯=61111=⨯⨯⨯ ……12分18．（本题满分14分）解：(I)甲获胜分为三类基本事件：①A 1：“甲、乙均取红球”，有3种情况；②A 2：“甲、乙均取白球，有4种情况”； ③A 3：“甲’、乙均取黄球，有3种情况”；……………………3分 又基本事件总数为36 …………4分363)(,364)(,363)(321===∴A P A P A P…………7分设P （甲）,P （乙）分别表示甲、乙获胜的概率 ∴P(甲)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)36343++=185=………………8分因为甲获胜与乙获胜是对立事件 ∴P （乙）=18131851=- ……………10分(Ⅱ)当学生甲有一只放有x 个红色小球，y 个白色小球，z 个黄色小球时)(1A P 363x =,)(2A P 362y =,36)(3z A P =P （甲胜）=3623zy x ++ …………12分∵x+y+z=6，x ≥0，y ≥0, z ≥0 于是P （甲）3623zx ++=γ213612≤-+=zx∴x=6，y=z=0，即A 在箱中只放6个红球时，甲获胜概率最大，其值为21.答：当x=6，y=z=0时，甲获胜的概率最大．……………14分19．（本题满分14分） 解：(I)c ca a nn -+=+11 ,)1(11-=-+n n a c a , ∴当a 1=a ≠1时，{a n -1}是首项为a-1，公比为c 的等比数列………2分 ∴a n -1=（a-1）c n-1，即a n =（a-1）c n-1+1………………………3分 当a=1时，a n =1仍满足上式……………………5分∴数列{a n }的通项公式为a n =（a-1）c n-1+1（n ∈N *）…………6分 （注：未考虑a-1=0的情况，扣2分）(Ⅱ)由(1)得，当a=0时，1)1(-=-=n nn nc a n b ……………7分 当c=1时，b n =n ，21b b S n +=∴++++=+321nb 2)1(++n n n …………9分当c ≠1时 ++=∴21b b S n 1=+n b 32+⨯+c 12-⨯++⨯n c n c ……① 由c ·①得 ++=22c c cS n n nc c ++ 33 …②…11分 由①②两式作差得 +++=-21)1(c c S c n nn ncc -+-1nnnc cc ---=11 ……13分 2)1(1c cS nn --=∴cnc n--1 ……14分20．（本题满分14分） (I)由抛物线的定义知)41,0(a P 是其焦点，且141=a…………3分∴41=a ，抛物线方程为y=241x …4分(Ⅱ)设N （2x ，x 2）则MN 的中点H 的坐标为)21,(2xx H + ……6分设直线l 的方程为y=c ，则 点H 到直线l 的距离为|22|2c xd -+=,=2||MN 222)2(4-+x x 44+=x …………8分设所求弦长为L ，则22||MN L =4442+=-x d 22)22(4c x -+-)1(42-=c x 248c c -+ ………11分若弦长L 恒为常数，即L 的值与x 的值无关，所以c=1,L=2 ………………13分所以存在垂直于y 轴的直线l,使直线l 被以MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数， 此直线l 的方程为y=1………………………………14分 21．（本题满分14分） 解：(I)bx xa x f 2)('-=,b a f 42)2('-=,ba f 42ln )2(-=. ∴342-=-b a ,且 aln2-4b=-6+2ln2+2. ........................ 2分解得a=2,b=1．………… 3分(II)f(x ）=2lnx-x 2，令h （x ）=f(x)+m=2lnx-x 2+m ， 则x x x h 22)('-=xx )1(22-=，令h'(x)=0，得x=1(x=-1舍去)．在],1[e e内，当)1,1[ex ∈时，h'(x ）≥0， ∴h(x ）是增函数；当x ∈[1，e]时，h'(x ）<0， ∴h(x ）是减函数…………………5分 则方程h(x ）=0在],1[e e 内有两个不等实根的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>≤.0)(,0)1(,0)1(e h h e h ……7分即2121em +≤< …………8分（III) n x xx g nx x x x g --=--=22)(',ln 2)(2.假设结论不成立，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=--=--.0202,2,0ln 2,0ln 2002122221211n x x x x x nx x x nx x x ①②③④ ……………9分①-②，得-21ln 2x x0)()(212221=---x x n x x . 2=∴n 021212lnx x x x x -- ……………10分由④得0022x x n -=,021211lnx x x x x =-∴． 即2121212lnx x x x x x +=- 即12lnx x =122211+-x x xx ⑤ ………11分令)10(122ln )(,21<<+--==t t t x t u x xt ……………12分 则0)1()1()('22>+-=t t t t u .∴u(t)在0<t<1上是增函数，∴u(t)<u(1)=0,……………13分∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴g'(x0)≠0. ……………………14分。
广东省韶关市2012届高三第二次模拟考试(数学理)
韶关市2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{|2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设2525..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.A. 1B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b=B.2a b ⋅=C. a ∥bD. a b - 与b垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤B. 1516P >C.715816P ≤<D.3748P <≤7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b +；②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则图1有b a c >>；③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,nnn n ii i i x y x y x y x x y y nn ====∑∑ 若记，则回归直线y =b x a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记A OB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则A D A C= ;15．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分)有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形A B C D 中，已知2A B =，AD =M N 分别为A D 和B C 的中点，对角线B D 与M N 交于O 点，沿M N 把矩形A B N M 折起，使平面A B N M 与平面MN C D 所成角为60，如图5(2).（1） 求证：B O D O ⊥；（2） 求A O 与平面B O D 所成角的正弦值.OABDC MNABDC MNO图6B A19．(本小题满分12分)在A B C ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A b Ba==(1)求证：A B C ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求P A C ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点.（1）求动点P 的轨迹1C 的方程；（2）设曲线1C上的三点1122(,),(1,(,)2A x yBC x y 与点F 的距离成等差数列，若线段A C 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线B T 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离P Q 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()nn f x f xf x λλλ+++L . 2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB 二填空题：9. 35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11.1312. 15-13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 43 15.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111nnn a q qS qq--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯， 即321113411qqqq--+⨯=⨯--，解得13q =……………………………………………5分所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++ 1(1)(1)(12)12nn b q n n S n q-+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213nn n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分）（２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ==… （7分）分布列… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730…（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面A B N M 与平面M N C D 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=,所以，BD=BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分 解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, O E C D ⊥ 又BO=OD，所以O E ⊥BD, O E ⊥面ABCD, O E ⊂面B O D , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
2012年高考文科数学真题答案全国卷1
2012 年高考文科数学真题及答案全国卷1注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 .用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。
第1 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合 A={ x|x2－ x－ 2<0} ， B={ x|－ 1<x<1} ，则（A）A B（B）BA（C）A=B（D）A∩B=【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题.【解析】 A= （－ 1,2），故 B A ，故选 B.（ 2）复数 z＝3i的共轭复数是2 i（ A ）2 i（ B ）2 i（C）1 i（ D）1 i【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题.【解析】∵ z =3 ii ，∴ z 的共轭复数为 1 i ，故选D.= 12i（3）在一组样本数据（ x1， y1），（ x2， y2），⋯，（ x n， y n）（n≥ 2， x1,x2, ⋯ ,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1,2, ⋯, n) 都在直线y 1x 1 y=1x+1上，则这组样本22数据的样本相关系数为（A）－ 1（B）0（C）1（D）1 2【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选 D.12x2y2=1（a＞ b ＞0）的左、右焦点，P 为直线 x3a（4）设F,F是椭圆E：a2b2上一2点，△ F2PF1是底角为300的等腰三角形，则 E 的离心率为A .1B .2C .3D .4 2345【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△F2 PF1是底角为300的等腰三角形，∴ PF 2A600， | PF 2 | | F 1F 2 | 2c ，∴ | AF 2 | = c ，∴2c3a ，∴e =3，故选 C.24（ 5）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ，B(1,3) ，顶点 C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ ABC内部，则 zxy 的取值范围是（A ）(1－ 3，2)（ B ） (0， 2)（ C ）( 3－ 1，2)（ D ） (0， 1+ 3)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.【解析】有题设知C(1+ 3 ,2)，作出直线l 0：xy 0 ，平移直线l 0，有图像知，直线 l : zx y 过B点时， z max=2，过 C 时，z min =1 3 ，∴ z x y 取值范围为(1－3，2)，故选 A.（ 6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N ( N ≥2)和实数a 1，a 2，⋯，a N ，输出A ，B ，则A . A + B 为a 1，a 2，⋯，a N 的和ABB .为a 1，a 2，⋯，a N 的算术平均数C .A 和B 分别为a 1，a 2，⋯，a N 中的最大数和最小数D . A 和 B 分别为a 1，a 2，⋯，a N 中的最小数和最大数【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是 简单题 .【解析】由框图知其表示的算法是找大值和最小值，A 和B分别为 a 1， a 2，⋯， a N 中 的最大数和最小数，故选C.（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A .6B .9C .12D .18【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题 .【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为 6，这边上高为 3，棱锥的高为 3，故其体积为116 33 =9，32故选 B.(8) 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为（ A ） 6π（ B ） 4 3π（C ） 4 6π（ D ） 6 3π【命题意图】【解析】N 个数中的最（ 9）已知>0，0，直线x =和x =5是函数f ( x) sin( x ) 图像的两条44相邻的对称轴，则=（ A ）ππ π 3π4（B ）3 （C ）2 （D ）4【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.【解析】由题设知，5，∴ =1，∴= k（ k Z ），=4442∴= k （ kZ ），∵0，∴ =，故选 A.44（ 10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 216x 的准线交于 A 、B 两点，| AB |=4 3，则C 的实轴长为A .2B .2 2C .4D .8.【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为： x 4 ，设等轴双曲线方程为：x 2 y 2 a 2，将x 4代入等轴双曲线方程解得y =16 a 2 ，∵| AB|=43，∴2 16a 2 = 4 3 ，解得 a =2，∴ C 的实轴长为4，故选 C.(11)当 0< x ≤1时，4xlog a x ，则a 的取值范围是222（A ）(0，2 ) （B ）( 2 ， 1) （C ） (1， 2) （D ） ( 2，2)【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想， 是中档题 .0 a12 【解析】由指数函数与对数函数的图像知11，解得a2 ，故选 A.loga242（ 12）数列 { a n } 满足a n 1( 1)n a n2n 1 ，则{ a n }的前60项和为（ A ）3690 （B ） 3660（ C ） 1845 （ D ） 1830 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题 . 【解析】【法 1】有题设知a 2 a 1=1，① a 3a 2=3②a 4 a 3=5③a 5 a 4=7， a 6 a 5=9， a 7 a 6=11， a 8a 7=13， a 9 a 8=15， a 10 a 9=17， a 11a 10=19， a 12a1121 ，⋯⋯∴②－①得 a 1a 3=2，③+②得 a 4 a 2=8，同理可得 a 5 a 7=2， a 6 a 8=24， a 9a 11=2，a10a 12=40，⋯，∴ a 1 a 3，a 5 a 7，a 9 a 11，⋯，是各项均为 2 的常数列，a 2a 4，a 6a 8，a 10a 12，⋯是首项为8，公差为 16 的等差数列，∴ { a n } 的前 60 项和为 15 215 8116 15 14 =1830.2【法 2】可证明：bn 1a4 n 1a4n 2a4 n 3a4 n 4a4 n 3a4n 2a4 n 2a 4n 16b n16b 1a 1a 2 a 3 a 4 1 01 5 1 4 S 1510 1516 18302第Ⅱ卷二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
韶关二模(文科)
韶关市2012届高三模拟考试数学试题数学试题（文科）参考公式：（１）锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． （２）样本数据12,,,n x x x 的方差，2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．） 1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A.1B.1-C.0D.0或1-2．已知R 是实数集，{}2|20M x x x =->，N是函数y =的定义域，则R C N M =I （ ）A. (1,2)B. [0,2]C. ∅D. [1,2]3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ． a b c >>D ．b a c >>4．设0x 是方程3log 3x x =-的根，且0(,1)x k k ∈+，则k =（ ）A ．（0，1）B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞） 5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）A. 22(1)1x y -+=B. 22(1)1x y ++=C. 22(1)1x y +-=D. 22(1)1x y ++=6. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l ．其中正确的命题有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+（R x ∈）是（ ） A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数C. 周期为π2的奇函数D. 周期为π2的偶函数 8．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A. 15-B. 16-C. 17-D. 18-9.执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A ．715816P <≤ B ．1516P > C ．715816P ≤< D ．3748P <≤ 10．定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+ 2()f x ⋅，[0,1]x ∈，若1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 则()f x 的最大值等于（ ）A. 2B. 1C. 34D. 12二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．11．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=,若点A 的纵坐标为35．则sin α=__________; tan 2α=___________. 12. 已知向量(1,1)a =，)2,1(=b ，且()()ka b b a -⊥+，则实数k 的值为13．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）③10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；④绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率． 其中正确的序号是_______________（14、15题是选做题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分） 14．（几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则DEAC= ; 15．（坐标系与参数方程）已知直线l 的方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩，,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的最短距离等于 .图三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足11n n a a +=+， 32a =. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若1()3n an b n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．17．(本题满分12分)某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x ，价格满意度为y ）.（1）求高二年级共抽取学生人数；（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；（3）为提高食堂服务质量，现从3<x 且42<≤y 的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.18．(本题满分14分)如图(1)在等腰ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 边的中点， 现将ACD ∆沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图(2)) (1)求证：//AB 平面DEF ； (2)求证：BD AC ⊥；(3)设三棱锥A BCD -的体积为1V 、多面体ABFED 的体积为2V ，求12:V V 的值.19． (本题满分14分)在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =， 且cos cos 1A bB a ==(1)求证：ΔABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，PAB θ∠=，用θ的三角函数表示三角形PAC ∆的面积，并求PAC ∆面积最大值.20．(本题满分14分) 已知函数()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()()(1)g x f x k x =--，其中k R ∈，求函数()g x 在区间[1,e]上的最大值.２１．(本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）设曲线1C 上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.2012届高考模拟测试数学试题(文科)参考答案和评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：CBCCA BAAAB 二．填空题：11. 35（2分） 247-（3分）12. 85 13.②④ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分14分)解：（1）由已知得11n n a a +-= 数列{}n a 是等差数列，且公差1d = ……………２分 又32a =，得10a =，所以 1n a n =-……………………………………………………………４分 （2）由（１）得，11()3n n b n -=+， 所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++211111(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+…………………………………………………………………………………………………6分111()(1)33(1)3.122213nn n n n n n S --+-+=+=+-……………………………12分 17．(本题满分12分)解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为23701400460=⨯（人）…………3分 （2）“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为3788465++++=，……………4分 所以方差()()()()4.4564682676322222=-+-+-+-=s………………6分（3）符合条件的所有学生共7人，其中“服务满意度为2”的4人记为d c b a ,,, “服务满意度为1”的3人记为z y x ,,. ……………………8分在这7人中抽取2人有如下情况：()()()()()()z a y a x a d a c a b a ,,,,,,,,,,,()()()()()z b y b x b d b c b ,,,,,,,,,()()()()z c y c x c d c ,,,,,,,()()()z d y d x d ,,,,, ()()()z y z x y x ,,,,,共21种情况. ……………………9分其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种. ……………………11分 所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为752115==p ……………………12分18(本题满分14分)（1）证明：如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．………………4分 （2）∵平面ACD ⊥平面BCD 于CDAD ⊥CD ， 且AD ⊂平面ACD∴AD ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，∴AD BD ⊥……………………7分 又∵CD BD ⊥，且AD CD D =∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥．………………………………………………………………9分 （3）由（2）可知AD ⊥平面BCD ，所以AD 是三棱锥A BCD -的高∴113BCD V AD S =⋅⋅……………………………………11分 又∵E 、F 分别是AC 、BC 边的中点，∴三棱锥E CDF -的高是三棱锥A BCD -高的一半三棱锥E CDF -的底面积是三棱锥A BCD -底面积的一半∴三棱锥E CDF -的体积114E CDF V V -=…………………………………12分∴211111344E CDF V V V V V V -=-=-=…………………………………13分∴12:4:3.V V =…………………………………14分 19．(本题满分14分) (1)证明：由正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，整理为sin cos sin cos A A B B =，即sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B 或A ＋B ＝π2∵b a =，∴A ＝B 舍去. 由A ＋B ＝π2可知c ＝π2，∴ΔABC 是直角三角形…………………6分(2)由(1)及2c =，得a =1b =…………………………………………………………７分 在Rt ΔPAB 中，cos 2cos PA AB θθ=⋅= 所以，11sin()2cos sin()sin()26266PAC S PA AC πππθθθθθ∆=⋅⋅-=⋅⋅-=⋅-………………………………………………………………………………………………………9分1(sin cos )2θθθ=-⋅2cos 2)θθ=-)6πθ=-62ππθ<<………………………………………………12分 因为62ππθ<<，所以，52666ππθπ<-<当262ππθ-=，即 3πθ=时，PAC S ∆………………………………12分 20．(本题满分14分)（1）()ln 1(0)f x x x '=+>. …………………………………………………………１分令()0f x '≥，得1ln 1ln x e -≥-=，11ln x e e-≥=； 令()0f x '≤，得10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.…………………………………………………………３分()f x ∴的单调递增区间是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎤⎥⎝⎦，min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ()f x 无极大值………………………………………………………………………５分 （２）()g x =ln (1)x x k x --，则()ln 1g x x k '=+-，由()0g x '=，得1ek x -=，所以，在区间1(0,e)k -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)k -+∞上，()g x 为递增函当1e1k -≤，即1k ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以，()g x 最大值为()g e e ke k =-+. …………………10分当11<e<e k -，即12k <<时，()g x 的最大值是(1)g 或()g e(1)g ＝()g e ，得1e k e =- 当11ek e <<-时，()0(1)g e e ek k g =-+>=，()g x 最大值为()g e e ke k =-+当21ek e ≤<-时，()0(1)g e e ek k g =-+<=，()g x 最大值为(1)0g = ………………………………………………………………………………１２分 当1ee k -≥，即2k ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =.综上，当1e k e <-时，()g x 最大值为e ke k -+； 当1ek e ≥-时，()g x 的最大值是0 ……………………………………………………………………………1４分21．(本题满分14分)解：（12=，………………………………………2分.将两边平方，并化简得2212x y +=，……………………………………………………4分.故轨迹1C 的方程是2212x y +=，它是长轴、短轴分别为2的椭圆………………4分.（2）由已知可得1)AF x =-，1)BF =-，2)CF x =-，因为2BF AF CF =+1)x -2)x -21)=-， 即得122x x +=， ① ……………………………………………………5分. 故线段AC 的中点为12(1,)2y y +，其垂直平分线方程为121212(1)2y y x x y x y y +--=---， ② ……………………………………………………………………………………………6分.因为,A C 在椭圆上，故有221112x y +=，222212x y +=，两式相减， 得：2222121202x x y y -+-= ③ 将①代入③，化简得1212122()x x y y y y y y x x -+-==+-+， ④ ………………………7分.将④代入②，并令0y =得，12x =，即T 的坐标为1(,0)2。
广东省韶关市2012届高三数学第二次调研考试题目-文
广东省韶关市2012届高三下学期第二次调研考试数学试题（文科）本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。
答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式：（１）锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． （２）样本数据12,,,n x x x 的方差，2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A.1B.1-C.0D.0或1-2．已知R 是实数集，{}2|20M x x x =->，N是函数y =R C N M =I （ ） A. (1,2)B. [0,2]C. ∅D. [1,2]3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ． a b c >>D ．b a c >>4．设0x 是方程3log 3x x =-的根，且0(,1)x k k ∈+，则k =（ ）A ．（0，1）B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞） 5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A. 22(1)1x y -+= B. 22(1)1x y ++=C. 22(1)1x y +-=D. 22(1)1x y ++=6. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l ．其中正确的命题有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+（R x ∈）是（ ） A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数C. 周期为π2的奇函数D. 周期为π2的偶函数8．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A. 15-B. 16-C. 17-D. 18-9.执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A ．715816P <≤ B ．1516P > C ．715816P ≤< D ．3748P <≤10．定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，若1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 则()f x 的最大值等于（）A. 2B. 1C. 34D. 12[来二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．11．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则s i n α=_____________; tan 2α=_______________.12. 已知向量(1,1)a =，)2,1(=b ，且()()ka b b a -⊥+，则实数k 的值为13．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）图1③10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；④绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率． 其中正确的序号是_______________（注意：14、15题是选做题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则DEAC= ; 15．（坐标系与参数方程选择题）已知直线l 的方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩，,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的最短距离等于 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足11n n a a +=+， 32a =.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）若1()3n an b n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．17．(本题满分12分)某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x ，价格满意度为y ）.（1）求高二年级共抽取学生人数；（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；（3）为提高食堂服务质量，现从3<x 且42<≤y 的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.18．(本题满分14分)如图(1)在等腰ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 边的中点，现将ACD ∆沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图(2)) (1)求证：//AB 平面DEF ； (2)求证：BD AC ⊥；(3)设三棱锥A BCD -的体积为1V 、多面体ABFED 的体积为2V ，求12:V V 的值.19． (本题满分14分)在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =， 且cos cos 1A bB a == (1)求证：ΔABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，PAB θ∠=，用θ的三角函数表示三角形PAC ∆的面积，并求PAC ∆面积最大值.20．(本题满分14分)已知函数()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()()(1)g x f x k x =--，其中k R ∈，求函数()g x 在区间[1,e]上的最大值.２１．(本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点.（1）求动点P 的轨迹1C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）设曲线1C 上的三点1122(,),(,)2A x yBC x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.2012届高考模拟测试数学试题(文科)参考答案和评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：CBCCA BAAAB 二．填空题：11. 35（2分） 247-（3分）12. 85 13.②④ 14. 431三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分14分)解：（1）由已知得11n n a a +-= 数列{}n a 是等差数列，且公差1d = ……………２分 又32a =，得10a =，所以 1n a n =-……………………………………………………………４分（2）由（１）得，11()3n n b n -=+， 所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++211111(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+…………………………………………………………………………………………………6分111()(1)33(1)3.122213nn n n n n n S --+-+=+=+-……………………………12分 17．(本题满分12分)解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为23701400460=⨯（人）…………3分 （2）“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为3788465++++=，……………4分所以方差()()()()4.4564682676322222=-+-+-+-=s………………6分（3）符合条件的所有学生共7人，其中“服务满意度为2”的4人记为d c b a ,,, “服务满意度为1”的3人记为z y x ,,. ……………………8分 在这7人中抽取2人有如下情况：()()()()()()z a y a x a d a c a b a ,,,,,,,,,,,()()()()()z b y b x b d b c b ,,,,,,,,,()()()()z c y c x c d c ,,,,,,,()()()z d y d x d ,,,,,()()()z y z x y x ,,,,,共21种情况. ……………………9分其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种. ……………………11分 所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为752115==p ……………………12分18(本题满分14分)（1）证明：如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．………………4分 （2）∵平面ACD ⊥平面BCD 于CDAD ⊥CD ， 且AD ⊂平面ACD∴AD ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，∴AD BD ⊥……………………7分 又∵CD BD ⊥，且AD CD D =∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥．………………………………………………………………9分 （3）由（2）可知AD ⊥平面BCD ，所以AD 是三棱锥A BCD -的高∴113BCD V AD S =⋅⋅……………………………………11分 又∵E 、F 分别是AC 、BC 边的中点，∴三棱锥E CDF -的高是三棱锥A BCD -高的一半三棱锥E CDF -的底面积是三棱锥A BCD -底面积的一半∴三棱锥E CDF -的体积114E CDF V V -=…………………………………12分∴211111344E CDF V V V V V V -=-=-=…………………………………13分∴12:4:3.V V =…………………………………14分 19．(本题满分14分) (1)证明：由正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，整理为sin cos sin cos A A B B =，即sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B 或A ＋B ＝π2∵b a =A ＝B 舍去. 由A ＋B ＝π2可知c ＝π2，∴ΔABC 是直角三角形…………………6分(2)由(1)及2c =，得a =1b =…………………………………………………………７分在Rt ΔPAB 中，cos 2cos PA AB θθ=⋅= 所以，11sin()2cos sin()sin()26266PAC S PA AC πππθθθθθ∆=⋅⋅-=⋅⋅-=⋅-………………………………………………………………………………………………………9分1(sin cos )2θθθ=⋅2cos 2)θθ=-+)26πθ=-4-，62ππθ<<………………………………………………12分 因为62ππθ<<，所以，52666ππθπ<-<当262ππθ-=，即 3πθ=时，PAC S ∆最大值等于4.………………………………12分 20．(本题满分14分)（1）()ln 1(0)f x x x '=+>. …………………………………………………………１分 令()0f x '≥，得1ln 1ln x e -≥-=，11ln x ee-≥=； 令()0f x '≤，得10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.…………………………………………………………３分()f x ∴的单调递增区间是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.()f x 无极大值………………………………………………………………………５分（２）()g x =ln (1)x x k x --，则()ln 1g x x k '=+-，由()0g x '=，得1ek x -=，所以，在区间1(0,e)k -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)k -+∞上，()g x 为递增函数.……………………………………………………………………………………８分 当1e1k -≤，即1k ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以，()g x 最大值为()g e e ke k =-+. …………………10分 当11<e<e k -，即12k <<时，()g x 的最大值是(1)g 或()g e(1)g ＝()g e ，得1e k e =- 当11ek e <<-时，()0(1)g e e ek k g =-+>=，()g x 最大值为()g e e ke k =-+当21ek e ≤<-时，()0(1)g e e ek k g =-+<=，()g x 最大值为(1)0g = ………………………………………………………………………………１２分 当1ee k -≥，即2k ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =.综上，当1e k e <-时，()g x 最大值为e ke k -+； 当1e k e ≥-时，()g x 的最大值是0 ……………………………………………………………………………1４分21．(本题满分14分)解：（1=2分.将两边平方，并化简得2212x y +=，……………………………………………………4分.故轨迹1C 的方程是2212x y +=，它是长轴、短轴分别为2的椭圆………………4分.（2）由已知可得1)2AF x =-，(21)2BF =-，2(2)2CF x =-，因为2BF AF CF =+1)x -2)x -21)=-， 即得122x x +=， ① ……………………………………………………5分. 故线段AC 的中点为12(1,)2y y +，其垂直平分线方程为121212(1)2y y x x y x y y +--=---， ② ……………………………………………………………………………………………6分.因为,A C 在椭圆上，故有221112x y +=，222212x y +=，两式相减，得：2222121202x x y y -+-= ③ 将①代入③，化简得12121212122()x x y y y y y y x x -+-==+-+， ④ ………………………7分.将④代入②，并令0y =得，12x =，即T 的坐标为1(,0)2。
2012届广东省各地市一模试题打包3文数
肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第一次模拟试题数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数11z i =-，23z i =+，则复数12z z z =⋅在复平面内对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2．已知集合2{|10},{|560}M x x N x x x =-<=-+>，则M N = A. {|1}x x < B.{|12}x x << C.{|3}x x > D. ∅ 3. 命题“(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<”的否定是( )A. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<B. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++≥C. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥D. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++>4．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图1的条形图表示。
根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为Ａ．0.67（小时） Ｂ．0.97（小时） Ｃ．1.07（小时） Ｄ．1.57（小时） 5．已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()lg(1)lg(1)g x x x =--+，则 A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数 6.已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为 A ．1 B ．5 C.5 D ．557．已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且4VA =，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是A. 12B.24C.27D.368．已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是A.6-B.1-C.4D.69.已知函数()y f x =，将()f x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是1sin 2y x =的图象，那么函数()y f x =的解析式是 A.1()sin 222x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. 1()sin 222f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. 1()sin 222x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 1()sin 222f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．观察下图2，可推断出“x ”应该填的数字是A ．171B ．183C ．205D ．268二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．高三某班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 7159根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是 ▲ ; 根据上表可得回归方程的斜率为3.53，截距为13.5,若某同学每周用于数学学习的时间为18 小时，则可预测该生数学成绩 是 ▲ 分（结果保留整数）.12.已知椭圆的方程是125222=+y ax (5a >),它的两个焦点分别为12,F F ,且12||8F F =,弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点1F ,则2ABF ∆的周长为 ▲ 13．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=,那么xy的最大值是 ▲（ ） ▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线(sin cos )2ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为▲15.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,2AC =，则BD 等于 ▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-.（I ）求{}n a 的通项n a 和前n 项和n S ；（II ）设52n n a c -=，2n cn b =,证明数列{}n b 是等比数列. 17. （本题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 6B π=，4cos ,35A b ==. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin(2)A B -的值；18.（本小题满分13分）2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。
广东省韶关市2012届高三第二次调研考试(理数)
韶关市2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0,2}D. {0,1,2} 3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >> 4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a =，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅=C. a ∥bD. a b - 与b垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 图7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a的取值范围是（ ）A. 1(0,]4 B. 11(,)42 C. 11(,]42 D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则s i nα=_____________; tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ; 15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．图6B A有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60，如图5(2). （1）求证：BO DO ⊥；（2）求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos A b B a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.OABDCMNAB DCMNO在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)2A x yBC x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 431三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分 由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分 2111()(1)333.12213nn n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）分布列… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，………………………………………………………………………２分由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，BD=，由题可知BO=OD=BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分 解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD ⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE ⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD 过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，……………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成OA BDC MNABDC M NO角。
2012届广东省各地市一模试题1
ABCD 图1江门市2012年高考模拟考试数 学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：1．锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．2．用最小二乘法求线性回归方程系数公式2121 xn x yx n y xb ni i ni i i--=∑∑==，x b y a-=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知复数i z -=1（i 是虚数单位），若R a ∈使得Rz z a ∈+，则=aA ．21 B ．21-C ．2D ．2- ⒉已知函数||lg )(x x f =，Rx ∈且0≠x ，则)(x f 是A ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递增B ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增C ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递减D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减 ⒊从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于 A ．21 B ．31C ．41 D ．51⒋如图1，ABC ∆中，3=AC ，4=BC ，o 90=∠C ，D 是BC 的中点，则=⋅ AD BAA ．0B ．135C ．17D ．17-⒌有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：平均气温（℃） 2- 3- 5- 6- 销售额（万元） 20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程a x by ˆˆ+=的系数4.2ˆ-=b ．则预测平均气温为8-℃时该商品销售额为 A ．6.34万元 B ．6.35万元 C ．6.36万元 D ．6.37万元绝密★启用前 试卷类型：B43正视图侧视图俯视图图232 , 1==s i开始21>s1+=s s s1+=i i是输出i结束否图3⒍下列命题中，真命题的个数．．是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ①不等式1|3|>-x 的解集是) , 4(∞+．②命题“任意素数都是奇数”的否定是“任意素数都不是奇数”． ③平行于同一平面的两平面互相平行． ④抛物线22x y =的焦点坐标是)21, 0(．⒎如图2，某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别 为4和3的菱形，俯视图是对角线长为3的正方形，则 该几何体的体积为 A ．36 B ．18 C ．12 D ．6 ⒏定义bc ad dc b a -= ，其中a ，b，c ，{}4 , 3 , 2 , 1 , 1-∈d ，且互不相等．则dc b a 的所有可能且互不相等的值之和等于A ．2012B ．2012-C ．0D ．以上都不对二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐已知数列{}n a 的前n 项和为n S n n )1(-=，则=n a ．⒑在平面直角坐标系xOy 中，以点)1 , 1(-M 为圆心，且与直线022=+-y x 相切的圆的方程是 ．⒒以初速度s m /40垂直向上抛一物体，t 时刻(单位：s ) 的速度为t v 1040-=(单位：s m /)，则物体能达到的 最大高度是 （提示：不要漏写单位）． ⒓已知x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤0242y x y x ，则y x -2的最大值是 ．⒔执行如图3所示的程序框图，输出的=i ．∙O ABCDE图4(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕（几何证明选讲选做题）如图4，AD 是ABC ∆的高，AE是ABC ∆外接圆的直径。
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韶关市2012届高三调研考试数学试题(文科)本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。
答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则(U C B )A ．φB ．{}5C ．{}3D ．{}3,52．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） A ．tan y x = B ．3xy = C ．13y x = D ．lg y x =3．如图所示的流程图中，输出的结果是A ．5B ．20C ．60D ．1204．三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 A．12+ B．6+ C．8+ D ．45.设数列{}n a 是等差数列, 12324a a a ++=-, 1926a =, 则此数列{}n a 前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2206. 函数xy xe =的最小值是主视图 左视图俯视图（第３题图）A ．1-B ．e -C ．1e- D ．不存在7. 平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)=a ，1=b ，则+=a b （ ） ABC ．3D ．8. 椭圆221259x y +=的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 若线段1PF 的中点M 在y 轴上, 则1PF =A ．415B ．95C ．6D ．79.已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为A ．19B ．29C ．13D ．4910. 对于∆ABC ,有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ,则∆ABC 为等腰三角形, ②若sin cos B A =,则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +>,则∆是钝角三角形其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分． 11．321i i+-的值等于_______________________. 12．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒（第15小题）之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，…， 第五组[]17,18．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百 米测试中成绩良好的人数等于__________人.13.对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂，则函数15()14,(,)544f x x x x =-+∈-∞-的＂下确界＂等于_________. （注意：14、15题是选做题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数和截圆22cos 30ρρθ+-=的弦长等于_______________.４ 15．（几何证明选讲选做题）已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ， 圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 ____________.三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-. （1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）说明()f x 的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.17．(本题满分12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出28.333K ≈，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？下面的临界值表供参考：18．(本题满分14分)如图所示，圆柱的高为2,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC .（1）求证：//BC EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ⊥； （3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE -的体积.19． (本题满分14分) 已知函数()f x x =，且数列{})(n a f 是首项为2，公差为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2) 设)(n n n a f a b ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值..20． (本题满分14分)设抛物线C 的方程为24x y =，()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m .21．(本题满分14分)已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '. （1）当13a =时，若不等式1()3f x '>-对任意x R ∈恒成立，求b 的取值范围； （2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.2012届高三调研考试数学试题(文科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题 DCDAB CBABA二．填空题：11. 1, 12. 27, 13.2-, 14.4 15.三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-. （1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）说明()f x 的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到.解：（1）()cos 22f x x x =+ ……………………2分=12cos 2)2sin(2)26x x x π+=+, ……………………5分 ()f x 最小正周期为π ………………6分由)(226222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ，可得)(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，所以,函数()f x 的单调递增区间为).(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ…………9分 (2)将sin y x =的图象纵坐标不变, 横坐标综短为原来12倍, 将所得图象向左平稳12π个单位, 再将所得的图象横坐标不变, 纵坐标为原来的2倍得()f x 的图象.…………12分17．(本题满分12分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（１）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （２）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率.（３）为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关，计算出28.333K ≈，你有多大的把握认为是否喜欢打蓝球与性别有关？解：（１）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为305= ∴男生应该抽取12045⨯=人………………………………….４分 （２）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。
女生2人记,A B ；男生4人为,,,c d e f ，则从6名学生任取2名的所有情况为:(,)A B 、(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f 、(,)c d 、(,)c e 、(,)c f 、(,)d e 、(,)d f 、(,)e f 共15种情况，其中恰有1名女生情况有：(,)A c 、(,)A d 、(,)A e 、(,)A f 、(,)B c 、(,)B d 、(,)B e 、(,)B f ，共8种情况， 故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为8P 15=. ………………….８分 （３）∵28.333K ≈，且2(7.879)0.0050.5%P k ≥==，那么，我们有99.5%的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的……….１２分18．(本题满分14分)如图所示，圆柱的高为2，、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC . （1）求证：//BC EF ；（2）若四边形ABCD 是正方形，求证BC BE ⊥； （3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE -的体积. （1）证明：在圆柱中： 上底面//下底面，且上底面∩截面ABCD ＝AD ，下底面∩截面ABCD ＝BC∴BC //AD ……………………………………………………………………….２分 又 AE 、DF 是圆柱的两条母线，∴//AE DF∴ADFE 是平行四边形，所以//AD EF ，又BC //AD∴//BC EF …………………………………………………………………….５分（2） AE 是圆柱的母线，∴AE ⊥下底面，又BC ⊂下底面，∴AE BC ⊥…………………………….７分 又 截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ，又AB AE A =∴BC ⊥面ABE ，又BE ⊂面ABE ，∴BC BE ⊥……………………………9分（3）因为母线AE 垂直于底面，所以AE 是三棱锥A BCE -的高……………………１０分，EO 就是四棱锥E ABCD -的高……………………10分设正方形ABCD 的边长为x,则AB=EF=x ，BE ==又 //BC EF ，且BC BE ⊥，∴EF ⊥BE, ∴BF 为直径，即BF ＝在Rt BEF 中，222BF BE EF =+即22244x x x =+-⇒=∴4416ABCD S =⨯=，……………………………………………………………１２分AE BE EO AB ⋅===∴1116333E ABCD ABCD V OE S -=⋅⋅==………………………１４分 19．(本题满分14分) 已知函数，且数列是首项为2的等差数列.(1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2) 设)(n n n a f a b ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S (1) 证：由题意n n a f n 22)1(2)(=⨯-+=，即2n a n =， ……２分2nnn a ∴==11222n n n n a a ++∴==.∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. ……６分 (2) 解：由(1)知，12)(+⋅=⋅=n n n n n a f a b . …………8分∴14322232221+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n S ， ①254322322212+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n S ② ……10分②－①，得2143222222++⋅+-----=n n n n S22221)21(2+⋅+---=n n n∴. 42)1(2+-=+n n n S (2)因为{}n s 是递增数列，所以n s 的最小值等于14s =……１４分20．设抛物线C 的方程为24x y =，()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ；解：(1)当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1),(2,1)A B -， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．易知此圆与直线:1l y =-相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证法一：设切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y =，整理得()211440x kx kx y -+-=()211(4)440k kx y ∆=-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k =．．．．．．．．．．．．．．．．6分 从而过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =-又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =-．．．．8分 同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② ．．．．10分 即20022x y x y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分证法二：设过()00,M x y 的抛物线的切线方程为00()y y k x x -=-(0)k ≠，代入24x y =，消去y ，得()200440x kx y kx ---=()200(4)440k y kx ∆=+⨯-=即：2000k x k y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．6分从而1k =2k =112x k =，222x k = 所以切点,A B 的坐标分别为21121(,)A k k ，22221(,)B k k ．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为012121242ABx y y x x k x x -+===-，1212120122222x x k k k k x k k +++===， 22220012121212212112()2222()2x y y y k k k k k k k k +-++-===，所以AB 的中点坐标为20002(,)2x y x -.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故直线AB 的方程为200002()22x y x y x x --=-，即()002x x y y =+.．．．．．．．．．．12分 又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分证法三：由已知得24x y =，求导得2xy =，切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ，故过点()11,A x y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2x y y x x -=-即21124x x y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =-．．．．．．．．８分 同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② 即20022xy x y =-．．．．．．．．10分 即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 21．(本题满分14分)已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '. （1）当13a =时，若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围； （2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解：（1）当13a =时，21()23f x x bx b '=++-，………１分 依题意 21()23f x x bx b '=++-13>- 即220x bx b ++>恒成立2440b b ∴∆=-<，解得 01b <<所以b 的取值范围是(0,1)…………………………………４分（2）因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-.又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.…………………………………………………6分()f x ∴在,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是单调递增函数，在⎡⎢⎣⎦上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，法一:如图所示，作()y f x =与4ty =-①当1t -<≤时，1()04f t t ≥-≥， 即34tt t -≥-，解得23t -≤≤-； ②当03t -<<时，1()04f t t >-≥， 解得0t <<； ③当0t =时，不成立；④当03t <≤时，1()04f t t ≤-<，即34tt t -≤-，解得03t <≤；⑤当13t ≥>时，1()04f t t <-<，t <<⑥当1t >时，14t f t -=⇒=⎝⎭4ty =-综上t 的取值范围是0t ≤<或0t <<t =…………………１４分 法二：由1()4f x x x =-=解之得 0x = 作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为x =，0x = 当[x ∈ ⋃⎪⎪⎩⎭时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。