华师版第23章一元二次方程学案[1].doc新
九年级数学上册 第23章、一元二次方程全章教学设计 华东师大版
22.1 一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
重点难点：1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程： 一 做一做：1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 分 析：设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程 x(x ＋10)＝900整理可得 x 2＋10x －900=0. （1） 2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x ，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即5（1＋x ）(1＋x)＝5(1＋x)25（1＋x ）2=7.2,整理可得 5x 2＋10x －2.2=0. （2） 3．思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。
其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
华师大版-数学-九年级上册-一元二次方程 教案
一元二次方程教学内容本章主要内容包括：一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法、配方法、公式法）、应用一元二次方程解决简单的实际问题等．在一元二次方程的解法中，综合应用了因式分解和整式的乘法公式等知识，是整式乘法知识的应用和提升，同时也为今后学习二次函数打下基础，一元二次方程是解决实际问题的一个重要工具．本章学习中体现了应用方程解决实际问题的重要思想．知识结构：三维目标1．知识与技能．（1）了解一元二次方程的概念，会写出一元二次方程的一般形式．（2）理解配方法，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、•配方法解一元二次方程．（3）会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程解决简单实际问题．（4）能根据具体问题的实际意义，检验解方程的结果是否合理．2．过程与方法．（1）通过认识一元二次方程，体会方程概念的发展．（2）经历探索一元二次方程的解法过程．•体验从不同角度寻求解决问题策略的多样性，培养学生的实践能力和创新精神．（3）经历探索列一元二次方程解应用题的过程，•体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型和重要方法．3．情感、态度与价值观．（1）激发学生积极参与数学探索的热情，•并有独立克服困难和运用知识求解一元二次方程的体验．（2）在独立思考的基础上，形成积极参与对数学问题的讨论，•敢于发表自己的见解的学习习惯，并能从交流中获益．（3）从列一元二次方程解应用题的过程中，•体验和认识到数学是解决实际问题与进行交流的重要工具．体会数学的应用价值．教学重点一元二次方程的解法及其应用．教学难点1．配方法的理解．2．列一元二次方程解应用题．教学关键1．理解解一元二次方程中的降次思想．2．熟悉解一元二次方程的各种方法的具体过程和步骤．3．熟悉列一元二次方程解应用题的过程与方法．课时划分一元二次方程 1课时一元二次方程的解法 6课时实践与探索 3课时复习与小结 1课时一元二次方程教学内容本节主要了解一元二次方程的概念及其一般形式．教学目标1．知识与技能．（1）了解一元二次方程的概念．（2）会将一元二次方程化成一般形式，•并能根据一元二次方程的一般形式写出二次项系数、一次项系数、常数项．（3）能根据简单具体问题的数量关系列出一元二次方程．2．过程与方法．（1）经历从实际问题中抽象出一元二次方程概念的过程．（2）参与将一元二次方程化为一般形式的过程，•体会一元二次方程一般形式的结构与特征．（3）发现二次项系数、一次项系数、常数项与一元二次方程一般形式的关系．3．情感、态度与价值观．（1）了解数学知识源于实际，又反过来服务于实际的道理．（2）树立学好数学的自信心．（3）体验探索活动中获得成功的感受．重难点、关键1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式．2．难点：从实际问题中抽象出一元二次方程概念．3．关键：认识二次项系数、一次项系数、•常数项与一元二次方程一般形式的关系．教学准备1．教师准备：三角板、小黑板．（本节课的总结图表）2．学生准备：预习提纲．教学过程一、创设情境，导入新知试一试．根据题意，列出方程．（不必求解）1．已知正方形的边长为2cm，求它的对角线长．2．绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？3．学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，•求这两年的年平均增长率．二、合作交流，探索新知1．从实际问题抽象出一元二次方程的概念点拨：（1）设正方形的对角线为xcm，由勾股定理可得：22+22=x2，整理得：x2=8．（2）设长方形绿地的宽为x米，依题意可得：x（x+10）=900，整理得：x2+10x-900=0．（3）设这两年的年平均增长率为x，去年年底有图书5万册，则今年年底可达5（•1+x）万册；明年年底可达5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册．依题意可得：5（1+x）2=7.2，整理得：5x2+10x-2.2=0．2．思考：（1）上述得到的方程叫做什么方程，它们有什么共同的特征？（2）上述整理后所得方程具有怎样的结构形式？（3）看书P19内容，讨论并理解下列问题：①什么叫做一元二次方程？（强调二次项系数不为0的限制条件）②什么叫做一元二次方程的一般形式？③什么叫做一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项；它们与一元二次方程的一般形式有什么联系？三、范例学习，加深理解例：将下列一元二次方程化为一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项．1．2x-5x2=1 2．6-2x=x23．（x-8）x=36 4．（x+3）（x-7）=48解：1．一般形式为：-5x2+2x-1=0二次项系数是-5，一次项系数是2，常数项是-1．2．一般形式为：-x2-2x+6=0二次项系数是-1，一次项系数是-2，常数项是6．3．一般形式为：x2-8x-36=0二次项系数是1，一次项系数是-8，常数项是-36．4．一般形式为：x2-4x-48=0二次项系数是1，一次项系数是-4，常数项是-48．点拨：本例中的一般形式可以有不同的表达形式，而二次项系数，•一次项系数和常数项应该随一般形式的确定而确定．四、随堂练习，巩固深化1．基础训练．课本P19练习题第（1）、（2）、（3）、（4）题2．探研时空．你能猜出上述P19练习题第（1）、（2）两题的解吗？五、归纳总结，提高认识1．综述本节课的主要内容．2．谈谈本节课的收获与体会．3．展示本节课的总结图形．六、布置作业，专题突破1．课本P19习题23．1第1、2、3题．2．选用课时作业设计七、课后反思（略）课时作业设计1．下列方程中，哪些是一元二次方程？（1）x+32=6-x （2）5-2x 2=1（3）21x +2=6 （4）（x-6）（x+3）=300 2．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出它们的二次项系数、•一次项系数和常数项．（1）8x-5=x 2 （2）2-7x 2=x（3）（x-3）（x+12）=100 （4）4x=3x 23．根据题意，列出方程．（不必求解）（1）在一块长为12cm ，宽为8cm 的长方形的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果长方体的底面积为50cm 2，•求剪去的小正方形的边长．（2）某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长的百分率．（3）某公司成立3周年以来，•积极向国家上交利税，•由第一年的200•万元增长到800万元，求平均每年增长的百分率．答案:1．方程（2）、（4）是一元二次方程2．（1）x 2-8x+5=0，二次项系数为1，•一次项系数为-8，常数项为5（2）-7x 2-x+2=0，二次项系数为-7，一次项系数为-1，常数项为2 •（3）x 2+9x-136=0，二次项系数为1，一次项系数为9，常数项为-136（4）3x 2-4x=0，•二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为03．（1）•设剪去的小正方形的边长为x，•则（12-2x）·（8-2x）=50 （2）设平均每年增长的百分率为x，则1000（1+x）2=1210 （3）•设平均每年增长的百分率为x，则200（1+x）2=800．。
【华师大版】-九年级数学小复习：第23单元 一元二次方程复习课件
第23章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点五 一元二次方程的实际应用 例5 如图23－1所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计 划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪BC边的长．
数学·新课标（HS）
第23章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 设该矩形草坪 BC 边的长为 x 米，那么 CD＝322－x米， 再由矩形面积公式得方程，解之后需检验所求 x 的值是否满足题 意．
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程根的定义 例1 已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一
个根，则m的值是__0_或__4___．
数学·新课标（HS）
第23章复习 ┃ 考点攻略 [解析] 利用方程根的定义，将2代入方程(m－2)x2＋4x－
m2＝0，得4(m－2)＋4×2－m2＝0，整理，得m(m－4)＝0，所 以m＝0或4.
数学·新课标（HS）
第23章复习 ┃ 知识归类
(3)公式法：一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当 b2－4ac≥0
时，它的根是
x＝
－b± b2－4ac 2a
，这个式子叫
做一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法．
(4)因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
第23章复习 ┃ 知识归类
(3)当 b2－4ac＜0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没
有实数根．
4．一元二次方程根与系数的关系
设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为 x1、x2，则
x1＋x2＝－ba
，x1x2＝
配方法解一元二次方程教案
配方法解一元二次方程授课人：薛晓波一、教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
二、目标分析1．知识与技能：理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；2．过程与方法：通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法；3．情感态度价值观：学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
教学重点：运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点：发现并理解配方的方法。
三、教学过程设计环节一：创设情境，引出新知在知识引入阶段，创设了一个实际问题的情境，将学生放置在实际问题的背景下，既让学生感受到生活中处处有数学，又有利于激发学生的主动性和求知欲。
环节二：对比研究，探索新知本节课力求在学生已有知识和经验的基础之上，让学生通过观察、比较、转化、探究，自主发现解决问题的方法和规律，理解并掌握配方法。
因此，我以问题为引导，由浅入深，层层递进地设置了4个问题：问题1：我们会解什么样的一元二次方程？举例说明用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的方程的特点是：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即)0nm+nx，运用直接开平方法可以解。
这是(=)(2≥后面配方转化的目标，也是对比研究的基础。
问题2：你会用直接开平方法解下列方程吗？设置四道方程：032324124)1(2222=-+⇒=+⇒=++⇒=+x x x x x x x ，启发学生逆向思考问题的思维方式，将方程0322=-+x x 转化成4)1(2=+x 的形式，从而求得方程的解。
通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将02=++q px x 形式转化为)0()(2≥=+n n m x 的形式，而怎样转化就成为探索的方向，如何进行合理的转化则是下一步探究活动的核心。
华师大版数学九年级上册22.2 一元二次方程的解法 教案1
【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b〔a≠0,ab≥0〕的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进展教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教〞与“学〞的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：〔x+1〕2-256=0，方程左边分解因式，得〔x+1+16〕〔x+1-16〕=0即〔x+17〕〔x-15〕=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解以下方程〔1〕〔3x+1〕2=7;〔2〕y2+2y+1=24;〔3〕9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解以下方程：〔1〕5x2-4x=0〔2〕3x〔2x+1〕=4x+2〔3〕〔x+5〕2=3x+15【教学说明】解这里的〔2〕〔3〕题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解〔1〕3〔x-1〕2-6=0〔2〕x2-4x+4=5〔3〕〔x+5〕2=25〔4〕x2+2x+1=42.用因式分解法解以下方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.那么可列方程2πx2=π〔x+5〕2.解得x1=5+52,x2=5-52〔舍去〕.答：小圆形场地的半径为〔5+52〕m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a〔x-k〕2=b〔a≠0,b≥0〕的方程，只要把〔x-k〕看作一个整体，就可转化为x2=n〔n≥0〕的形式用直接开平方法解.3.当方程出现一样因式〔单项式或多项式〕时，切不可约去一样因式，而应用因式分解法解.五、教学反思本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握根本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.2. 配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.“转化〞的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，那么长为〔x+6〕m，根据矩形面积为16m2,得到方程x〔x+6〕=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即〔x+m〕2=n〔n≥0〕，运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解以下方程吗？〔1〕〔x+3〕2=25〔2〕x2+6x+9=25〔3〕x 2+6x=16〔4〕x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为〔x+3〕2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16， 两边都加上9即〔26〕2,使左边配成x 2+bx+〔b2〕2的形式，得： x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：〔x+3〕2=25,开平方,得：x+3=±5,〔降次〕即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：〔1〕x 2+8x+16=〔x+4〕2 〔2〕x 2-x+41=〔x-21〕2 〔3〕4x 2+4x+1=〔2x+1〕2例2 列方程：〔1〕x 2+6x+5=0 〔2〕2x 2+6x+2=0 〔3〕〔1+x 〕2+2〔1+x 〕-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：〔1〕把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0；〔2〕把常数项移到方程的右边；〔3〕方程两边同时除以二次项系数a ；〔4〕方程两边同时加上一次项系数一半的平方；〔5〕此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解以下方程：〔1〕2x 2-4x-8=0〔2〕x 2-4x+2=0〔3〕x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0，求〔xy 〕z 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的考前须知.五、教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.3. 公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：〔1〕x2+3x+2=0 〔2〕2x2-3x+5=0解：〔1〕x1=-1,x2=-2 〔2〕无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 ax2+bx+c=0〔a≠0〕，试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根由方程的系数a,b,c而定，因此:〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.〔2〕aac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕的求根公式. 〔3〕利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解以下方程：①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x2 ③〔x-2〕〔3x-5〕=0 ④4x 2-3x+1=0解：①x 1=1+26,x 2=1-26 ②x 1=2,x 2=-31 ③x 1=2,x 2=35 ④无解【教学说明】〔1〕对②、③要先化成一般形式；〔2〕强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；〔3〕先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解以下方程：〔1〕x 2+x-12=0〔2〕x 2-2x-41=0 〔3〕x 2+4x+8=2x+11〔4〕x 〔x-4〕=2-8x〔5〕x 2+2x=0〔6〕x 2+25x+10=0 解：〔1〕x 1=3,x 2=-4;〔2〕x 1=232+,x 2=232-； 〔3〕x 1=1,x 2=-3;〔4〕x 1=-2+6，x 2=-2-6；〔5〕x1=0,x2=-2;〔6〕无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.五、教学反思在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比拟观察，交流与表述，体验知识的获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.4. 一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进展有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解以下一元二次方程〔1〕x2+5x+6=0〔2〕9x2-6x+1=0〔3〕x2-2x+3=0解：〔1〕x1=-2,x2=-31〔2〕x1=x2=3〔3〕无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回忆已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示，即Δ=b2-4ac.我们回忆一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】〔1〕当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;〔2〕当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-ab2; 〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定以下方程的根的情况：解：〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕无实数根；〔4〕有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时，方程〔m+1〕x2-〔2m-3〕x+m+1=0, 〔1〕有两个不相等的实数根？〔2〕有两个相等的实数根？〔3〕没有实数根？解：〔1〕m＜41且m≠-1;〔2〕m=41;〔3〕m＞41.【教学说明】注意〔1〕中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解2-4x+4=0的根的情况是〔〕2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4〔1-m〕＜0,∴2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结〔1〕Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；〔2〕Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.〔3〕Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.五、教学反思本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和开展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的根底上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入，初步认识问题你发现了什么规律？①用语言表达你发现的规律：〔两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项〕②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.〔x1+x2=-p,x1·x2=q〕问题 上面发现的结论在这里成立吗？〔不成立〕请完善规律：①用语言表达发现的规律：〔两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比〕②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2，用式子表示你发现的规律.〔x 1+x 2=-a b ,x 1·x 2=ac 〕 二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明. ax 2+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=ac . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积：〔1〕x 2-6x-15=0;〔2〕3x 2+7x-9=0;〔3〕5x-1=4x 2.解：〔1〕x1+x2=6,x1·x2=-15; 〔2〕x1+x2=-37,x1·x2=-3； 〔3〕x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.例2 方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k=3.【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求以下代数式的值.三、运用新知，深化理解1.不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积:〔1〕x 2-3x=15〔2〕5x 2-1=4x 2〔3〕x 2-3x+2=10〔4〕4x 2-144=0〔5〕3x 〔x-1〕=2〔x-1〕〔6〕〔2x-1〕2=〔3-x 〕22.两根均为负数的一元二次方程是〔 〕2-12x+5=02-13x-5=02+21x+5=02+15x-8=0 【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1.〔1〕x 1+x 2=3,x 1x 2=-15〔2〕x 1+x 2=0,x 1x 2=-1〔3〕x 1+x 2=3,x 1x 2=-8〔4〕x 1+x 2=0,x 1x 2=-36〔5〕x 1+x 2=35,x 1x 2=32 〔6〕x 1+x 2=-32,x 1x 2=-38【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.五、教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜测一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.。
第二十三章 一元二次方程导学案华师
第二十三章一元二次方程23.1 一元二次方程（1课时）学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
学习过程：自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为米，可列方程x（）= ，去括号得①.提出问题1.你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？2.一元二次方程的定义是什么？一般形式是什么？自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【我学会了】1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。
【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x【巩固练习】教材第19页练习归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？达标测评（A ）1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-xx ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4.3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2；（2）0822=-+x x ±2， ±4（B ）1、把方程p q nx mx nx mx -=++-22 ()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
华师版九年级数学(上)教案(全册)
第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号错误!，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、错误!表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么？二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时，错误!表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数;2、当a是零时，错误!表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为:错误!（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，错误!（a≥0）是一个非负数，即错误!≥0（a≥0）。
问题2 (a）2（a≥0)等于什么？说说你的理由并举例验证.让学生小组讨论或自主探索得出结论：（ a )2=a（a≥0),如（错误!）2=4,（错误!）2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是（错误!)2=a（a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把（错误!）2＝a(a≥0)写成a=（错误!)2（a≥0）的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(错误!)2，0。
3= （错误!)2提问：(1)0=（错误!)2对不对?（2）－5=（－5 ）2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如错误!(a≥0)的式子叫做二次根式、说明：二次根式必须具备以下特点；（1)有二次根号；（2)被开方数不能小于0.让学生举出二次根式的几个例子，并判断错误!，错误!(a<0）、错误!、错误!(a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子错误!有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子错误!改为错误!，则字母x的取值必须满足什么条件？五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了(错误!）2(a≥0)等于a，现在研究错误!等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略？2、在错误!中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
一元二次方程教学设计(精选6篇)
一元二次方程教学设计（精选6篇）一元二次方程教学设计1一、教学内容分析华师版九年级（上）23章《一元二次方程的根的判别式》一节，教材中作为阅读材料。
从推导到应用都比较简单。
但是它在整个中学数学中占有重要的地位。
从知识的发展来看，学生通过对一元二次方程的根的判别式的学习，可以巩固已学过实数、整式、二次根式、一元一次不等式、一元二次方程的相关概念、一元二次方程的解法等知识，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究二次函数的图像与x轴交点情况，二次三项式以及二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。
通过这一节的学习，使学生会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，感受数学的简洁美。
教学重点：根的判别式的正确理解和运用教学难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用。
二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究作用，它是前面知识的深化与总结。
九年级学生的认识水平渐渐由具体直觉占优势过渡到抽象思维占优势。
教师的指导方法应适应他们的认知特点和相应规律。
从数学思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标知识和技能目标：1、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；2、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；过程和方法目标：1、经历一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、向学生渗透分类的数学思想；3、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观目标：1、体验数学的简洁美；2、培养学生的探索、创新精神和协作精神。
四、教法、学法：教法：1、探索发现：本着“以学生发展为本”的教育理念，教师启发、诱导，学生探索发现新知识；2、观察演示：通过典型例题的分析、研究，引发学生的思考、质疑、解疑；3、归纳总结：通过课堂小结，完善认知结构，提高认识能力；4、讲练结合：通过变式训练、拓展训练，让学生学会分类、类比、转化等数学思想，培养学生分析问题和解决问题的能力。
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23.1一元二次方程的概念教学目标：1、知道一元二次方程的定义，熟练地把一元二次方程整理成一般形式。
2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。
重点难点：一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教学过程： 一、温故知新：问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？二、新知自学：上述两个整式方程中都只含有______未知数，并且未知数的最高次数是____，这样的方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式：_________________ (a 、b 、c 是已知数，且a ≠0)。
其中2ax 叫做________，a 叫做_______________；bx 叫做_______，b 叫做__________，c 叫做_________。
三、探究合作：例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y y =26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2)2()43)(3(+=-+x x x说明：一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：一：方程的右边为0； 二：二次项系数不能为0。
例3、方程（2a —4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？例4 、已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。
练习一、 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.x x 3222-= 2x(x-1)=3(x-5)-4 ()()()()2311222-+=+--y y y y练习二 、关于x 的方程0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？四、巩固训练：一、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是的，在括号内划“×”）1、5x 2+1=0（ ）2、3x 2+x 1+1=0 （ ） 3、05112=-+x x （ ）4、4 x 2+y 2=0（ ） 5、5132+x =2x （ ） 6、22)(x x + =2 （ ）二、填空题1、将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.2、方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是_________， 一次项是__________，常数项是__________.3、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m ______时，是一元一次方程. 三、选择题1、方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和是（ ） A.2 B.－2 C.32- D.3221-+2、若关于x 的方程（ax +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为（ ）A.mB.－bdC.bd －mD.－(bd －m )3、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ） A.2 B.－2 C.0 D.不等于24、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =0 5、关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解23.2一元二次方程的解法（1）直接开平方法、因式分解法教学目标：1、会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,ab ≥0）的方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。
一、温故知新：1、怎样解方程x 2=4的？2、因式分解：x x +23 ()()252-+-x x x ()()5452+-+x x442+-x x 962++y y 92-x1452--x x 782++x x二、新知自学：例1、解下列方程：（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2－9＝0.例二、解下列方程：（1）49122=+-x x （2）(x －1)2－18＝0三、探究合作：解下列方程（1）()057257=-+-x x x （2）0)1(922=--t t （3）0872=--x x四、小结：1、直接开平方法：如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =mx n +=2、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。
因式分解法的根据是：如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =。
3、用直接开平方法或者因式分解法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次．．，转化为两个一元一次方程来解。
五、巩固训练：1、方程23x =的根是（ ） A. 123x x ==B. 12x x ==C. 12x x ==12x ==2、用直接开平方法解方程（x ＋h ）2=k ，方程必须满足的条件是（ ）A ．k≥o B．h≥o C．hk ＞o D ．k ＜o3、已知一元二次方程)0(02≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ） A 、n=0 B 、n=0或m ，n 异号 C 、n 是m 的整数倍 D 、n=0或m ，n 同号4、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0B.(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D.x (x +2)=0 ∴x +2=0 5、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ）A.化为x+1=1B.化为（x+1）（x+1-1）=0C.化为x 2+3x+2=0D.化为x+1=06、用因式分解法解方程5（x+3）-2x （x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。
7、如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x-1）（x ）=0。
8、解下列方程：(1）(x －1)2－18＝0 (2) (2x ＋3)2－25＝0. (3) 2114y y -+=(4) x （x-3）+x-3=0 (5) x 2-6x-16=0； (6) 4x 2-3x=09、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值（列出方程）．A931-2(x-2)223.2一元二次方程的解法（2）配方法学习目标:1、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
教学过程：一、温故知新：填上适当的数，使下列等式成立：(1)x 2+6x+ =(x+ )2； (2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2； (4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)2x －45x ＋_____＝（x －____）2 (6)x 2+px+ =(x+ )2； 由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是： 二、新知自学： 解下列方程：（1） x 2＋2x ＝5； (2)x 2－4x思考：能否经过适当变形，将它们转化为a 的形式，应用直接开方法求解？解：（1）原方程化为x 2＋2x ＋1＝5＋1，_____________________, _____________________, _____________________.（2）原方程化为x 2－4x ＋4＝－3＋4_____________________, _____________________, _____________________.我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的____________式，右边是一个_______。
这样，就能应用直接开平方的方法求解。
这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
三、探究合作：1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=572、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、用配方法解下列方程：（1）2x ＋3x ＋1＝0. （2）05422=+-x x四、归纳总结：1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了降次．．，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。
3、方程的二次项系数不是1时，方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。
4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是： ①、移项，把常数项移到方程右边；②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方； ③、利用直接开平方法解之。
五、巩固训练：1、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ） A.9 B.7 C.2 D.-22、用配方法解方程x 2-32x+1=0，正确的解法是（ ）. A.(x- 31)2= 98,x= 31±322 B.(x- 31)2=-98,方程无解C.(x- 32)2= 95,x= 352±D.(x- 32)2=1, x 1=35;x 2=-313、下列配方有错误的是（ ）A 、()5201422=-=--x x x 化为 B 、()1308622=+=++x x x 化为C 、()171601822=-=--x x x 化为D 、()3201422-=-=--x x x 化为4、用配方法解下列方程：(1)x 2+5x －1=0 (2)2x 2－4x －1=0 (3) 41x 2－6x +3=023.2一元二次方程解法（3）公式法教学目标：1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。