4.2投影
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《土木工程识图》 第四章
1．棱锥体的特征 底面为多边形，各侧表面均为有公共顶点的三角形。
2．棱锥体的投影特征
底面投影为反映实形的多边形，内有若干侧棱交于 顶点的三角形，另两个投影为等高的三角形。
例4-2 绘制正五棱锥的三面投影图，如图4-3所示。
正五棱锥的底 面为正五边形，侧 表面为五个相同的 等腰三角形，通过 顶点向底面作垂线， 垂足在底面正五边 形的中心，此垂线 长度为正五棱锥的 高。将正五棱锥放 入三面投影体系中， 底面平行于H面， 且底边AB平行于V 面。侧表面SAB为 侧垂面，其余四个 侧表面为一般位置 平面，如图4-3a所 示。
如图4-13所示，过点A做纬圆。因纬圆是平行于H面的水平投影，所以其 在V面上的投影应为一条平行于OX轴的直线，过a′作一条水平线1′2′，1′2′即 过点A的水平纬圆的V面投影。
以1′2′为直径，在H面上画出纬圆的水平投影。
过a′在纬圆的水平投影上得出a，再由a′和a求得a″。
4.2.3 球的投影
球体是圆以自身的任意一条直径为轴旋转一周而形成。
1．球的特征 所有的素线均为大圆。 2．球投影的特征 三个投影均为圆，直径相等并等于球直径的圆。
例4-8 绘制球的三面投影图，如图4-10所示。
将球放在三面投影体系中，为 了更好地理解球的三面投影的特点， 我们在球上标注A、B、C三个点， 如图4-10a所示。
上的投影k，再画出
K在W面上的投影k″；
M点在水平面
D1A1B1C1上，因此 先画出M在V面上的
投影m′，再画出M在
（b）已知点在四棱柱上的位置 图4-5 四棱柱体表面上的点
W面上的投影m″；L 在侧棱BB1上，画出 L在H、W面上的投
影l、l″。
例4-5 已知三棱柱表面上直线AB、BC在V面上的投影 a′b′、b′c′，求AB、BC在另外两个面上的投影，如图a所示。
2．棱锥体的投影特征
底面投影为反映实形的多边形，内有若干侧棱交于 顶点的三角形，另两个投影为等高的三角形。
例4-2 绘制正五棱锥的三面投影图，如图4-3所示。
正五棱锥的底 面为正五边形，侧 表面为五个相同的 等腰三角形，通过 顶点向底面作垂线， 垂足在底面正五边 形的中心，此垂线 长度为正五棱锥的 高。将正五棱锥放 入三面投影体系中， 底面平行于H面， 且底边AB平行于V 面。侧表面SAB为 侧垂面，其余四个 侧表面为一般位置 平面，如图4-3a所 示。
如图4-13所示，过点A做纬圆。因纬圆是平行于H面的水平投影，所以其 在V面上的投影应为一条平行于OX轴的直线，过a′作一条水平线1′2′，1′2′即 过点A的水平纬圆的V面投影。
以1′2′为直径，在H面上画出纬圆的水平投影。
过a′在纬圆的水平投影上得出a，再由a′和a求得a″。
4.2.3 球的投影
球体是圆以自身的任意一条直径为轴旋转一周而形成。
1．球的特征 所有的素线均为大圆。 2．球投影的特征 三个投影均为圆，直径相等并等于球直径的圆。
例4-8 绘制球的三面投影图，如图4-10所示。
将球放在三面投影体系中，为 了更好地理解球的三面投影的特点， 我们在球上标注A、B、C三个点， 如图4-10a所示。
上的投影k，再画出
K在W面上的投影k″；
M点在水平面
D1A1B1C1上，因此 先画出M在V面上的
投影m′，再画出M在
（b）已知点在四棱柱上的位置 图4-5 四棱柱体表面上的点
W面上的投影m″；L 在侧棱BB1上，画出 L在H、W面上的投
影l、l″。
例4-5 已知三棱柱表面上直线AB、BC在V面上的投影 a′b′、b′c′，求AB、BC在另外两个面上的投影，如图a所示。
第章几类常见的地图投影
§4.1 圆锥投影
1、单标准纬线等距离圆锥投影
设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1。则
A C r0 N 0 co s 0
AS 0 N 0 cot0
s0
0 Md
0
Q
n0
0
r0
1
r0 0
N0 cos0 N0 cot0
sin0
Q 0 c s0
c
0
s0
r0
s0
§4.1 圆锥投影
§4.1 圆锥投影
2、由投影性质决定的变形特点 （1）等角圆锥投影：经线长度比与纬线长度比相等（m=n ），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2） 。 （2）等面积圆锥投影：经线长度比与纬线长度比互为倒数 （mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。 （3）等距离圆锥投影： 变形介于等角投影与等 面积投影之间，经线长 度比保持为1（m=1）， 纬线长度比与面积比相 等（n=P）。
2
Q nN nm 2
K
1 rN U
N
1 rm U
m
2
K
2
rm
rS U
m
U
S
( rmU
m
rS U
S
)
K
2
rm
rN U
m
U
N
( rmU
m
rN U
N
)
§4.1 圆锥投影
n N n m n S n m ( 1 )( 1 ) 1 2
对于纬差4°为一带的圆锥投影来说。υ2之值为9×10-8， 它对投影计算和实用精度，都没有什么影响，故可略去。
2、双标准纬线等距离圆锥投影
设圆锥面割于地球 1、 2 的两条纬线上，即n1=n2=1。
道路工程识图与绘图 模块4点、直线、平面的投影
图4-2 阳光照射下桥梁在地面上 产生的影子
4.1.1 投影的概念、投影法的分类及正投影的特性
人们经过长期的实践，将这些现象加以抽象、 分析研究和科学总结，从中找出影子和形体之间的 关系，用以指导工程实践。这种用光线照射形体， 在预先设置的平面上投影产生影像的方法称为投影 法。光源称为投影中心，从光源射出的光线称为投 影线，预设的平面称为投影面，形体在预设的平面 上的投影称为形体在投影面上的投影。
道路工程识图与绘图
模块4 点、直线、平面的投影
4.1 投影的基础知识 4.2 点的投影知识 4.3 直线的投影知识 4.4 平面的投影知识
模块4 点、直线、平面的投影
知识目标
（1）了解点、直线、平面的基本投影规律和点的坐标。 （2）理解点的坐标与三面投影的关系及直线和平面的空间位置。 （3）掌握平面的投影及平面上的点和直线的投影。
【例4-1】
4.1.2 三面投影
图4-18 绘制三面投影图的方 法、步骤 (a)已知形体(b)绘制三面投影 体系(c)量取长、高，画正视图 (d)按“长对正”绘制俯视图(e) 按“高平齐”“宽相等”绘制 左视图(f)检查加深，完成作图
4.1.2 三面投影
【分析】正面投影方向为直观图中正视所指方向［见图 4-18（a）］，形体的前后两面平行于V投影面，较能代表 其与众不同的特征形状，因而画好投影轴、大致将三个图样 位置划分好后，可以着手作图。
（2）由前向后 投影，在V面上得到了 形体的V面投影图。
（3）由左向右投影， 在W面上得到了形体的W面 投影图。
4.1.2 三面投影
三投影面体系是在三维立体空 间建立的，为了使三面投影图能画 在一张图纸上，还必须把三个投影 面展开，使之平铺在同一平面上。 三面投影的规定为：V面不动，H面 绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴 向右旋转90°，使它们转至与V面同 在一个平面上，如图4-13所示，这 样就能够得到画在同一平面上的三 面投影图。
机械工程制图立体的投影(机械)
上 上
左 下 后 左
右
后 下
前
右
前
4.2 基本几何体的投影
常见的基本几何体
组成面均为平面 称平面立体 组成面含有曲面 称曲面立体
一 平面立体的投影
• 平面立体由若干个多边形所围成, 平面立体由若干个多边形所围成, 若干个多边形所围成 因此,绘制平面立体的投影， 因此,绘制平面立体的投影，可归 结为绘制它的所有多边形表面的投 结为绘制它的所有多边形表面的投 也就是绘制这些多边形的边和 影，也就是绘制这些多边形的边和 顶点的投影. 顶点的投影. • 当轮廓线的投影可见时,画粗实线. 轮廓线的投影可见时 粗实线. 不可见时, 虚线; 不可见时,画虚线;当粗实线与虚线 重合时 重合时,画粗实线
三 回转体
2 圆柱体 ⑵ 圆柱体的三面投影 画图步骤: 画图步骤 •画轴线,对称中心 画轴线, 画轴线 线 •底面的投影 底面的投影 •画转向轮廓线 画转向轮廓线
三 回转体
2 圆柱体
a′
b′(d ′)
c′ d ′′
a′′(c′′)
b′′
′ a1
b1′(d1′) (d
′ c1
d1′′
′ ′ a1′(c1′)
三.回转体
1) 画出回转轴线和 圆的对称中心线
平面的投影
回转体的投影图 2) 画有圆的投影 3) 作出其余两投影 回转面的投影
转向轮廓线和轴线是 转向轮廓线 和轴线是 在投影图上描述回转 在投影图上描述 回转 面的特征线， 面的特征线 ， 也是描 回转体的特征线， 述 回转体的特征线 ， 必须在其投影图中作 正确的表达。 正确的表达。
b1′′
d (d1 )
a (a1 )
c(c1 )
b(b1 )
左 下 后 左
右
后 下
前
右
前
4.2 基本几何体的投影
常见的基本几何体
组成面均为平面 称平面立体 组成面含有曲面 称曲面立体
一 平面立体的投影
• 平面立体由若干个多边形所围成, 平面立体由若干个多边形所围成, 若干个多边形所围成 因此,绘制平面立体的投影， 因此,绘制平面立体的投影，可归 结为绘制它的所有多边形表面的投 结为绘制它的所有多边形表面的投 也就是绘制这些多边形的边和 影，也就是绘制这些多边形的边和 顶点的投影. 顶点的投影. • 当轮廓线的投影可见时,画粗实线. 轮廓线的投影可见时 粗实线. 不可见时, 虚线; 不可见时,画虚线;当粗实线与虚线 重合时 重合时,画粗实线
三 回转体
2 圆柱体 ⑵ 圆柱体的三面投影 画图步骤: 画图步骤 •画轴线,对称中心 画轴线, 画轴线 线 •底面的投影 底面的投影 •画转向轮廓线 画转向轮廓线
三 回转体
2 圆柱体
a′
b′(d ′)
c′ d ′′
a′′(c′′)
b′′
′ a1
b1′(d1′) (d
′ c1
d1′′
′ ′ a1′(c1′)
三.回转体
1) 画出回转轴线和 圆的对称中心线
平面的投影
回转体的投影图 2) 画有圆的投影 3) 作出其余两投影 回转面的投影
转向轮廓线和轴线是 转向轮廓线 和轴线是 在投影图上描述回转 在投影图上描述 回转 面的特征线， 面的特征线 ， 也是描 回转体的特征线， 述 回转体的特征线 ， 必须在其投影图中作 正确的表达。 正确的表达。
b1′′
d (d1 )
a (a1 )
c(c1 )
b(b1 )
直线的投影
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与W面的夹角g
X
直角三角形
实长
X
Rt△(γ)：ab X ab X
AB
g
AB g
Rt△(γ)
例9 已知三角形ABC 的投影，试求其实形。
实形
BC实长
Y AB实长
Y
AC实长
例10 已知线段AB 的投影，试定出属于AB 的点S 的投 影，使AS 的实长等于已知长度L。
2.投影面 垂直线
垂直于 面 （铅垂线）
直线的位置
直 观 图
投 影 图
特 性
积聚成一点
⊥
YH YW
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （正垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （侧垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
归纳投影面垂直线投影特性：
① 在所垂直的投影面上的投影，为有积 聚性的点。 ② 在另外两个投影面上的投影，垂直于 相应的投影轴,且反映线段实长。
⒉ 平面法
② 第三面投影法 平面法
DE与FG平行
DE与FG平行
⒉ 两直线相交
V c a C A X a
k
K
b d D O d B
交点是两直 线的共有点
b c a
k
d
c
k
b
H
a
c k
d b
空间相交
投影特性
投影相交 投影特征 投影交点的连线垂直于投影轴
例4：过C点作水平线CD与AB相交。
四、直角三角形方法求倾斜线段的实长及α β γ
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与H面的倾角
Z Z
第4章 体的投影分析
第4章体的投影本章学习目标1．掌握基本形体的正投影规律及作图方法。
2．掌握组合体的正投影规律及作图和识图方法。
3．熟悉形体的尺寸标注。
在进行体的投影时，我们把只反映自身形状和大小，而不考虑材质、重量等物理性质的空间物体称为形体。
经分析，复杂的建筑物都是由一些基本形体构成。
基本形体又称为几何体，几何体按其表面的几何性质可分为平面体和曲面体两类。
图4-1 建筑形体分析图4-1 建筑形体分析——立体图4.1 平面体的投影平面体由若干平面围成。
构成平面体的各个平面称为表面，各表面间的交线称为棱线。
平面体根据其表面形状不同分为棱柱体和棱锥体等。
作平面体的投影，实际上是求其表面或棱线的投影，同时注意重影和遮挡。
一﹑棱柱体的投影如图4-2所示，求作三棱柱体的正投影，此三棱柱的底面和一侧面分别平行于H面和W面。
图4-2 三棱柱的正投影图4-2 三棱柱的正投影——作图步骤1图4-2 三棱柱的正投影——作图步骤2图4-2 三棱柱的正投影——作图步骤3图4-2 三棱柱的正投影——立体图二﹑棱锥体的投影如图4-3所示，求作四棱锥的三面投影。
图4-3四棱锥的正投影——作图步骤1图4-3 四棱锥的正投影——作图步骤2图4-3 四棱锥的正投影——作图步骤3图4-3 四棱锥的正投影——立体图三、平面体表面上点和线的投影平面体表面上点和直线的投影具有平面上点和直线投影的所有特点，只是由于立体的遮挡，一些点和直线不可见。
(一)棱柱表面上点和直线的投影[例4-1]如图4-4所示，已知四棱柱表面上点K的V 面投影k′，求点K的其余两个投影。
图4-4 四棱柱表面点的投影图4-4 四棱柱表面点的投影——立体图图4-4 四棱柱表面点的投影——作图步骤1图4-4 四棱柱表面点的投影——作图步骤2[例4-2] 如图4-5，已知三棱柱侧表面上直线MN的V面投影m′n′，求作另外两个投影mn和m" n" 。
图4-5三棱柱表面直线的投影图4-5 三棱柱表面直线的投影——立体图图4-5三棱柱表面直线的投影——作图步骤1图4-5三棱柱表面直线的投影——作图步骤2(二)棱椎表面上点和直线的投影[例4-3]如图4-6所示，已知三棱锥表面点K 的V 面投影k′，求作其余投影。
制图-立体的投影-三视图
现在，又开发了一种可更换式主轴 系统， 具有一 机两用 的功效 ，用户 根据不 同的加 工对象 选择使 用，即 电主轴 和镗杆 可相互 更换使 用。这 种结构 兼顾了 两种结 构的不 足，还 大大降 低了成 本。是 当今卧 式镗铣 床的一 大创举 。电主 轴的优 点在于 高速切 削和快 速进给 ，大大 提高了 机床的 精度和 效率。
⑵ 棱锥的三视图
A
C
B
s
s
⑶ 在棱锥面上取点
棱锥处于图示位置时，
其底面ABC是水平面，在俯
视图上反映实形。侧棱面 a SAC为侧垂面，另两个侧棱 a 面为一般位置平面。
k n
b s kn
k (n)
c a(c) b c
b
➢4.2.2 曲面立体的投影
工程中常见的曲面立体,是回转体。 回转曲面是由母线(直线或曲线)绕 定轴线作回转运动生成的。
高速铣削给落地式铣镗床带来了结构 上的变 化，主 轴箱居 中的结 构较为 普遍， 其刚性 高，适 合高速 运行。 滑枕驱 动结构 采用线 性导轨 ，直线 电机驱 动，这 种结构 是高速 切削所 必需的 ，国外 厂家在 落地式 铣镗床 上都已 采用， 国内同 类产品 还不
多见，仅在中小规格机床上采用线性 导轨。 高速加 工还对 环境、 安全提 出了更 高的要 求，这 又产生 了宜人 化生产 的概念 ，各厂 家都非 常重视 机床高 速运行 状态下 ，对人 的安全 保护与 可操作 性，将 操作台 、立柱 实行全 封闭式 结构， 既安全 又美观 。
传统的铣削是通过镗杆进行加工， 而现代 铣削加 工，多 由各种 功能附 件通过 滑枕完 成，已 有替代 传统加 工的趋 势，其 优点不 仅是铣 削的速 度、效 率高， 更主要 是可进 行多面 体和曲 面的加 工，这 是传统 加工方 法无法 完成的 。因此 ，现在 ，很多 厂家都 竞相开 发生产 滑枕式 (无镗 轴)高速 加工中 心，在 于它的 经济性 ，技术 优势很 明显， 还能大 大提高 机床的 工艺水 平和工 艺范围 。同时 ，又提 高了加 工精度 和加工 效率。 当然， 需要各 种不同 型式的 高精密 铣头附 件作技 术保障 ，对其 要求也 很高。
土木工程识图 项目4 基本体的投影
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4.1 平面立体的投影
作图步骤如下：分别过点s′连接点m′延长交 a′b′于1′点，过点s连接点n延长交bc于2点，先在 相应的投影图上找到1′的水平投影点和2的正面投 影点，然后和顶点S在相应的投影面上的投影相连， 点m和点n′必在相应连线上，根据三等关系即可求 出另一个面的投影。作图结果如图4-6（b）所示。
4.2 曲面立体的投影
图4-7 曲面的形成
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4.2 曲面立体的投影
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曲面立体指的是由曲面或曲面和平面组成的 立体。曲面可以看作母线运动后的轨迹，也可以 看作曲面上所有素线的集合。曲面立体的投影实 质上是曲面立体表面上曲面轮廓素线或曲面轮廓 素线和平面的投影。常见的曲面立体有圆柱、圆 锥、球体等，如图4-8所示。
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4.1 平面立体的投影
2.物体位置
放置物体时要考虑两个因素：一要使物体 处于稳定状态，二要考虑物体的工作状况。 为了作图方便，将正三棱柱放置成上下底面 与H面平行，并保证其中一个侧面平行于V面。
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4.2 曲面立体的投影
4.2.2 圆锥 的投影
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3.投影分析 (1）俯视图。俯视图为一个圆，此圆反映底面圆的实 形，也反映圆锥面的水平投影。圆锥顶点的水平投影落在 圆心上，圆锥面水平投影可见，底面不可见。 (2）主视图。主视图为一个全等的等腰三角形线框， 其中s′a′和s′c′是圆锥面上最左、最右两条正向轮廓素线SA 和SC的投影。这些素线对于其他投影方向不是轮廓素线， 所以不必画出。
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4.1 平面立体的投影
作图步骤如下：分别过点s′连接点m′延长交 a′b′于1′点，过点s连接点n延长交bc于2点，先在 相应的投影图上找到1′的水平投影点和2的正面投 影点，然后和顶点S在相应的投影面上的投影相连， 点m和点n′必在相应连线上，根据三等关系即可求 出另一个面的投影。作图结果如图4-6（b）所示。
4.2 曲面立体的投影
图4-7 曲面的形成
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4.2 曲面立体的投影
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曲面立体指的是由曲面或曲面和平面组成的 立体。曲面可以看作母线运动后的轨迹，也可以 看作曲面上所有素线的集合。曲面立体的投影实 质上是曲面立体表面上曲面轮廓素线或曲面轮廓 素线和平面的投影。常见的曲面立体有圆柱、圆 锥、球体等，如图4-8所示。
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4.1 平面立体的投影
2.物体位置
放置物体时要考虑两个因素：一要使物体 处于稳定状态，二要考虑物体的工作状况。 为了作图方便，将正三棱柱放置成上下底面 与H面平行，并保证其中一个侧面平行于V面。
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4.2 曲面立体的投影
4.2.2 圆锥 的投影
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3.投影分析 (1）俯视图。俯视图为一个圆，此圆反映底面圆的实 形，也反映圆锥面的水平投影。圆锥顶点的水平投影落在 圆心上，圆锥面水平投影可见，底面不可见。 (2）主视图。主视图为一个全等的等腰三角形线框， 其中s′a′和s′c′是圆锥面上最左、最右两条正向轮廓素线SA 和SC的投影。这些素线对于其他投影方向不是轮廓素线， 所以不必画出。