二项式定理(理)(基础)
二项式定理高中
二项式定理高中
二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它是代数学中的一个基本公式，也是组合数学中的一个重要定理。
该定理表明，对于任意实数a和b以及正整数n，有如下公式：
(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数，其计算公式为：
C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!)
二项式定理的应用非常广泛，它可以用于求解各种代数式的展开式，也可以用于计算组合问题中的方案数。
在高中数学中，二项式定理通常是在数学归纳法的证明中使用，也是学习排列组合的基础。
需要注意的是，二项式定理只适用于整数幂，对于非整数幂的情况，需要使用泰勒公式进行展开。
此外，在计算组合数时，需要注意排列和组合的区别，以及重复元素的情况。
总之，二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它不仅具有理论意义，还有广泛的应用价值。
在学习过程中，需要认真理解其定义和应用方法，掌握相关的计算技巧，才能更好地应用于实际问题中。
数学高考知识点二项式
数学高考知识点二项式数学是一门令人又爱又恨的科目，对于许多人来说，高考数学可能是他们最头疼的问题之一。
而在高考数学中，二项式是个非常重要的知识点。
它不仅出现频率高，考点多，而且与概率、函数等其他知识点密切相关。
接下来，我将从不同角度论述二项式的相关知识。
一、基础概念二项式由两个整数指数的代数和组成，通常形式为a^m + b^n，其中m和n是非负整数，a和b是实数或复数，且a不等于0或1。
二项式函数是二项式的一般形式，表示为f(x) = a(x-b)^m，其中m是非负整数，a和b是实数。
在高考中，我们经常需要对二项式进行简化、展开、求系数、判断整除性等基础操作。
二、二项式定理二项式定理是高考中的一个重要公式，它被广泛应用于高中数学和概率论等领域。
二项式定理的公式为(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,n-1)·a^1·b^(n-1) +C(n,n)·a^0·b^n。
其中C(n, r)表示从n个元素中选择r个元素的组合数，也可以表示为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!))。
三、二项式在概率论中的应用二项式在概率论中有着广泛的应用。
以掷硬币为例，当我们将一枚硬币掷n次时，出现正面朝上次数的概率可以使用二项式计算。
当硬币掷出正面的概率为p时，掷n次硬币出现k次正面的概率可以表示为P(X=k) = C(n, k)·p^k·(1-p)^(n-k)。
这个公式也被称为二项分布。
在高考中，我们经常通过二项分布来计算概率问题，如抽样调查、某种产品合格率等。
四、二项式与函数的性质二项式的展开形式可以表示为多项式形式的函数。
在高考数学中，我们可以根据二项式定理来展开任意多项式，从而求解函数的特定值。
此外，二项式还可以用来证明一些函数的性质，如多项式函数的对称性、奇偶性等。
2020高考数学20.2 二项式定理
项数r+1,代回通项即可.
解析 (1)通项为
Tr+1= Crn
nr
x 3
1 2
r
r
x 3
= Crn
1 2
r
n2r
x 3
.
因为第6项为常数项,
所以r=5时, n 2 5 =0,即n=10.
3
(2)令 10 2r =2,得r=2,
3
故含x2的项的系数是 C120
它们分别为 C120
1 2
2
x2, C150
1 2
5
, C180
1 2
8
x-2.
考向二 二项展开式的系数 例2 在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解题导引 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*) 各项系数和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和 为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和 为a0+a2+a4+…+a10.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
1 2
二项式定理-高考数学复习
＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（
A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5
－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用二项式定理是数学中非常基础的一个定理，它的重要性不亚于勾股定理和皮克定理。
在高中数学学习中，学生一定会接触到它，它被广泛应用于高中数学乃至进一步的数学学习中。
下面我们就来介绍一下什么是二项式定理以及它的应用。
一、二项式定理的定义二项式定理又称为二项式展开定理，是可以展开(a+b)^n的定理。
其中a、b为任意数，n为正整数。
它的一般形式为：(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n其中C(n,k)表示组合数。
二、组合数的定义组合数是数学中一个非常重要的概念，它的作用非常广泛，不仅仅在二项式定理中使用，还在概率论、统计学、组合数学等多个领域中都有应用。
组合数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!),其中0≤k≤n，n!表示n的阶乘。
三、二项式定理的应用1.幂的展开(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n中，幂的展开就是应用二项式定理的一个实际应用。
例如：(2x+3)^3 = C(3,0)·2^3·3^0 + C(3,1)·2^2·3^1 + C(3,2)·2^1·3^2 + C(3,3)·2^0·3^3 = 8x^3+36x^2+54x+272.排列组合排列组合问题是组合数学中的一个重要分支，可以通过二项式定理来解决。
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
知识讲解二项式定理(理)(基础)
二项式定理【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。
式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅L L (*N n ∈) ②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++L L要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。
要点诠释：（1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。
二项式定理常用推论
二项式定理常用推论二项式定理是高中数学中的重要定理之一，它描述了一个二次多项式的展开形式。
在二项式定理的基础上，还有一些常用的推论，这些推论在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍几个常用的二项式定理推论。
一、二项式定理的推论一：二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k) * b^k的形式，其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
根据组合数的性质，我们可以得到二项式系数的一些重要性质：1. C(n, k) = C(n, n-k)：这是组合数的对称性质，表示从n个元素中选择k个元素和选择n-k个元素的组合数是相等的。
2. C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)：这是组合数的递推关系，表示从n个元素中选择k个元素的组合数等于从n-1个元素中选择k个元素的组合数加上从n-1个元素中选择k-1个元素的组合数。
这些性质在概率论、组合数学等领域中具有广泛的应用，可以简化计算过程，提高效率。
二、二项式定理的推论二：二项式系数的和根据二项式定理，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k)* b^k的形式。
如果我们将这些项的系数相加，可以得到以下结果：1. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n2. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n + C(n, 1) * a^(n-1) * b + ... + C(n, n) * b^n这个结果表明，如果将两个数a和b相加后再求幂，然后将展开式的系数相加，结果就等于将a和b分别求幂后再相加。
这个推论在代数运算中经常被使用，可以简化计算过程。
三、二项式定理的推论三：二项式系数的对称性在二项式定理的展开式中，每一项的系数都是由组合数C(n, k)给出的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
……
……
……
上表叫做 二项式系数的表 , 也称杨辉三角 ( 在欧洲 , 这个表叫做帕斯卡三角 行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。
), 反映了二项式系数的性质。
表中每
用组合的思想方法理解
(a+b)n 的展开式中
an
r br
的系数
C
r n
的意义：为了得到
(a+b)n 展开式中 a n r b r 的系数，
【解析】
解一：
(1 1 )4
1 C14( 1 )
C14 (1 ) 2
C
3 4
(
1
)3
(1)4
1
4
x
x
x
xx
x
6 x2
4 x3
1 x4 ．
解二： (1 1 )4
( 1)4( x 1)4
( 1) 4 x4
C
1 4
x3
C
1 4
x2
C43 x 1
xx
x
46 4 1
1
2
3
4．
xx x x
【总结升华】 记准、 记熟二项式 (a+b)n 的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，
∴ 9 2r 3 ， r 3，
C
r 9
x9
r
(
1 )r
x
(
1)r
C
r 9
x
9
2r
，
∴
3
x 的系数
(
33
1) C9
3
84 ， x 的二项式系数
3
C9
84 ．
【总结升华】 1. 利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项 2. 注意系数与二项式系数的区别； 3. 在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。
f (1) f (-1) 2
f (1)- f (-1) 2
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
如：求证： 3 2n 2 8n 9 能被 64 整除（ n N * ）
4.证明有关的不等式问题： 有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去
(缩小 )，或把
某些负项删去 (放大 )，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。①
可以考虑在 (a b)( a b) (a b) 这 n 个括号中取 r 个 b，则这种取法种数为 Cnr ，即为 a n r b r 的系数．
n
2. (a b)n 的展开式中各项的二项式系数
C
0 n
、
C
1 n
、
Cn2
…
C
n n
具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
105 x5 ， 32
8
T9
C180 x0
1 2
45 。 256
10
∴二项式 x2
1
的展开式中的常数项是第
2x
项： 105 x10 ，第 7 项： 105 x5 ，第 9 项： 45 ．
8
32
256
类型二、 二项式之积及三项式展开问题
例 4．求 (1 x)2 (1 x) 5的展开式中 x 3 的系数 .
C
r n
C
n n
r；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值
. 其中，当 n
n
n1
为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数
Cn2 最大；当 n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数
Cn2 ，
n1
Cn 2 相等，且最大 .
③各二项式系数之和为
2 n ，即
(a b c) n [( a b) c]n
C
r n
(a
b) n r cr
C
r n
C
q n
ran
r
q bqc r
如： (a
b
c)10 展开式中含
a 3b 2 c 5 的系数为
C
130C
2 7
C
5 5
10! 3! 2! 5!
要点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 要点四：二项式定理的应用
,n ）
公式特点： ①它表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是 ②字母 b 的次数和组合数的上标相同； ③ a 与 b 的次数之和为 n。 要点诠释：
C
r n
；
（ 1）二项式 (a+b)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnr an r br 和 (b+a)n 的二项展开式的第 r+1 项 Cnr bn r ar 是有区别的，
5
3 2x2
32x5 120 x2
180 x
135 x4
405 8x7
243 32 x10
解法二：
5
3 2x 2x2
(4 x3 3)5 32 x10
1 32 x10
[
C50
(4
x
3
)
5
C51(4 x 3) 4( 3)
C52 (4 x 3) 3( 3)2
C53 (4 x 3 )2 ( 3)3
1 32 x10
【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数
n，然后再求展开式中含
指定项问题，故选用通项公式．
x 的项．因为题中条件和求解部分都涉及
【解析】（ 1） (1 2x)7 的展开式的第四项是 T3 1 C73(2 x)3 280 x3 ，
∴ (1 2x) 7 的展开式的第四项的系数是 280 ．
（ 2）∵ (x 1 )9 的展开式的通项是 Tr 1 x
(a b) n 展开式中的二项式系数 , 当 n 依次取 1,2,3, …时 , 如下表所示 :
(a b)1 ……………………………………… 1 1 (a b) 2 …………………………………… 1 2 1
3
(a b) ………………………………… 1 3 3 1 (a b) 4 ……………………………… 1 4 6 4 1 (a b) 5 …………………………… 1 5 10 10 5 1 (a b) 6 ………………………… 1 6 15 20 15 6 1
30 5r
( 1) r C1r5 x 6
∵ Tr 1 为有理项，∴ 30 5r Z ,
6 即 r 是 6 的倍数 , 又因为 0 r 15 , 所以 r =0,6,12
故展开式中的有理项为 T1
0
0
5
( 1) C15 x
5
x , T7 5005 , T13
5
420x .
【总结升华】
使二项展开式的某一项为常数项，就是使这一项不含“变元”
根据二项式定理的通项公式求。
【解析】（1）
Tr
＋1 ＝
r
C6
(2
x2 )6-r
(
1) r x
＝(－1)
r
·26-
r
r
·C6
12
x
3r
依题意 12 －3r ＝0 ，解得 r ＝4
x 的指数为正整数的项，可以
故(
1)
4
·22
C
2 6
＝60
为所求的常数项．
（ 2）通项 Tr 1
( 1) r C1r5 ( 3 x) 15 r ( 1 ) r x
设 f ( x) (ax b)n a0 a1x a2 x2
an xn
(1) 令 x=0，则 a0 f (0) bn
(2) 令 x=1，则 a0 a1 a2
an f (1) (a b) n
(3) 令 x=－ 1，则 a0 a1 a2 a3
( 1) n an f ( 1) ( a b) n
(4) a0 a2 a4 (5) a1 a3 a5
1.41 二项式定理
【学习目标】 1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【要点梳理】 要点一：二项式定理
1. 定义 一般地 , 对于任意正整数 n , 都有：
(a b) n C n0a n C n1a n 1b
C
r n
a
n
r br
举一反三：
, 所求的是第几项 , 相应的 r 是多少；
【变式 1】求 ( 2a b) 5 的展开式的第 3 项的二项式系数和系数；
【答案】 10， 80 ；
C
2 5
10
T3
C
2 5
(2 a)3
b2
80a 3b 2
【变式
2】求 (x3－
2 x2
)5 的展开式中
x5 的系数；
【答案】（
1） T r＋1＝
∴ T9
8
C180
1 2
45 。 256
5
5
令 20 r Z ，即 r=0 ， 2， 4， 6， 8 时， 20 r Z 。
2
2
∴ T1
0
C100
x 20
1 2
x20 ，
r
1
，
2
2
T3 C120 x15 1
45 x15 ，
24
4
T5
C140 x10
1 2
105 x10 ， 8
6
T7
C其中的 a 和 b 是不能随便交换位置的．
（ 2）通项是针对在 (a+b)n 这个标准形式下而言的，如 (a－ b)n 的二项展开式的通项是 Tr 1 ( 1)r Cnr an r br （只