易哈佛MBA数学-基础阶段讲义

第一章实数的概念性质和运算内容要点一、充分条件定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。

即A⇒B，这时我们就说A是B 的充分条件。

例如：A为x>0, B为x2 >0.由x>0⇒x2>0 A是B的充分条件.MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）在这类题目中有五个选项，规定为（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分；（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分；（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分；（D）条件（1）充分，条件（2）也充分；（E）条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分.二、实数1、数的概念和性质（1）自然数N、整数Z、分数mn（百分数%）（2）数的整除：设∀a,b∈Z 且b≠0若∃P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或a能被b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。

定理（带余除法），设a,b∈Z,且b>0,则∃P，r∈Z使得a=bP+r，0≤r<b成立，而且P、r都是惟一的，P叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得到的余数.(3)质数与合数质数：如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或素数）.例如：2、3、5、7、、、.合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：4、6、9、、、.(4)有理数与无理数有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数.无理数；无限不循环小数叫做无理数.（5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示.2、实数的基本性质：（1）实数与数轴上的点一一对应.（2）∀a，b∈R，则在a<b，a=b,a>b中只有一个关系成立.（3）∀a∈R,则a2≥0.3、实数的运算.实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。

下面讨论实数的乘方和开方运算（1）乘方运算2013年MBA/MPA/MPACC备考交流QQ群：208950014考试信息交流-各种讲义资料-历年真题当a ∈R ，a ≠0时，a 0=1，a -n=1na ,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂为正数。

（2） 开方运算在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。

在运算有意义时，n m n ma a =三、 绝对值１、定义 实数a 的绝对值，用︱a ︱表示几何意义：数轴上表示数a 的点Ａ到原点Ｏ的距离。

２、性质（１）︱a ︱≥０ （２）︱–a ︱=︱a ︱ （３）–︱a ︱≤a ≤︱a ︱（４）()x 0a a a x a <>⇔-<<︱︱x a x a x a >⇔<->或（５）a b a b ⋅=⋅︱︱︱︱︱︱（６）b ba a=（a ≠0） （７）︱a+b ︱≤︱a ︱+︱b ︱,当且仅当a,b 同号时，等式成立．（８）︱a-b ︱≥︱a ︱-︱b ︱,当且仅当a,b 同号时，等式成立.（９）a ∈R 时，︱a ︱2=a 2四、平均值１、算术平均值：n 个数12,,...,n x x x 的算术平均值为121...1nn i i x x x x x n n =+++==∑ ２、几何平均值：n 个正数12, ,..n x x x ⋯,的几何平均值为123...n n G x x x x =⋅⋅⋅⋅=五、比和比例2013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料-历年真题、１、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做:a b 、即:a a b b＝a 叫做比的前项，b 叫做比的后项，若ab的商为k 则称k 为a:b 的值。

2、 比的性质（1） a:b=k ⇔a=kb （2） a:b=ma:mb(m ≠0)3、 百分比把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:2=50% a:b=r%常表述为a 是b 的r%,即a=b ⋅r%. 4、 比例的定义如果两个比a:b 和c:d 的比值相等，就称a 、b 、c 、d 成比例，记作a:b= c:d 或a b =cda 和d 叫做比例的外项，b 和c 叫做比例的内项。

当a:b= b:d 时，称b 为a 和d 的比例中项即 b 2=ad （甲） 典型例题一、 充分条件判断，举例 1、 方程x 2-5x+6=0(1)x=2 (2)x=1解:将(1)x=2 代入方程,22-5⨯2+6=0 满足方程. 条件(1)充分.将(2)x =1代入方程 12-5⨯1+6=2≠0条件(2)不充分.答案应选A 注 :若比题题干不变所给出的条件有如下变化时:2560.x x -+=(一) (1)x =1, (2)x =3 答案应选B (二) (1)x =2 (2)x =3 答案应选D (三) (1)x =0 (2)x =1 答案应选E2、等式x=y 成立(x,y 实数)(1)x 2= y 2 (2)x 和y 同号解:由x 2 =y 2⇒x=y 或x=-y 条件(1)不充分.x 和y 同号时,可能x ≠-y ,条件(2)不充分.但条件(1)与(2)联合起来, x 2= y 2且x 与y 同号⇒x=y 故答案选C3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高 (1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成; (2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成;解:设甲单独录入需x 小时录完,乙单独录入y 小时录完. 由条件(1)丙每小时录入量为13-1x,再由条件(2)得1y +(13-1x )=14⇒1x =1y +112⇒1x >1y2013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料-历年真题即:甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量. 即:甲的效率比乙高,此题应选C二、 实数5、 从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ） （A ）58个（B ）57个（C ）56个（D ）49个（E ）47个解：能被3整除的数可表示为3k ，k=1，2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k, k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数.3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k ， k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的个数为35+21－7=49个 答案是D5、（充分性判断）（2009年10月考题） m 是一个整数。

（1）若m=p q，其中p 与q 为非零整数，且m 2是一个整数。

（2） 若m=p q ，其中p 与q 为非零整数，且243m +是一个整数。

解：由条件（1），若m=p q，知m 是有理数，又m 2是一个整数，即有理数的平方是整数，则该有理数m 必是一个整数，条件（1）充分由条件（2），若m=p q ，知m 是有理数，又243m + =z 是一个整数,即2m+4=3z ⇔ m=343z -故m 不一定是一个整数,条件(2)不充分,故选A. 6、 （2008年10月考试）一个大于1的自然数的算术平方根为a ，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（ ）+1 (B) 1a -，1a + ，（D ，（E ）21a -,21a +解：设n 是大于1a =则2n a = 1n -,1n +分别为21a -，21a +，从而1n -，1n +故选D2013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014 考试信息交流-各种讲义资料-历年真题713a ，它的小数部分记作b 则4a b-等于（ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）-2 （D ）2 （E ）-3解：因为9<13<16 所以3<13<4 ,故13的整数部分是 3 ,即b=a-3. 所以244343134313333133133a a a ab a a ---=-====-----,答案选E三、绝对值8、已知︱6x y --︱+(4x y -)2=0,则log y x =_______ 解：由260,(4)0x y x y |--|≥-≥608402x y x x y y --==⎧⎧⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩log 28=3 答案：3 9、求适合下列条件的所有x 的值（1）6x -︱︱=10 （2）6x -≤︱︱9 （3）61x -≥︱︱ 解：（1）610164x x x -=±==-得或 （2）969315x x -≤-≤⇒-≤≤ （3）616157x x x x -≤--≥⇒≤≥或或 10、已知3113,22x xx --︱︱=求的取值范围. 解:已知等式可能简化表示为≤︱a ︱=-a,应有a 0 由311023x x -≤⇒≤ 所以x 取值范围是1(,]3x ∈-∞ 11、（2001年考题） 已知︱a ︱=5,︱b ︱=7,ab<0则︱a-b ︱=( )（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）-12 （E ）62013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014 考试信息交流-各种讲义资料-历年真题解：由0ab <则可知0,00,0a b a b <>><或 当00a b <>时时由︱a ︱=5 ︱b ︱=7得a=-5 b=7从而︱a-b ︱=︱-5-7︱=12 当a>0,b<0时 得a=5,b=-7从而︱a-b ︱=︱5-(-7)︱=12 所以答案选C 12、（充分性判断）方程f(x)=2有且只有一个实根（1）()3f x x =-︱︱+2 (2)()f x =︱x-3︱解：由（1）得+2=23x -得30x -=，x ＝3，条件（1）充分由（2）32x -=，此方程有两个实根：11x = 25x =所以条件（2）不充分，此题应选A 13、（充分性判断）（2003年考题）不等式2x x -︱︱+︱4-︱<s 无解 （1）2s ≤ (2)2s >解：224x x x x -≥-+-︱︱+︱4-︱︱︱=2 即2x x -︱︱+︱4-︱的最小值为2，显然当2s ≤，不等式无解，即条件（1）充分 当2s >时，不等式有解，即条件（2）不充分，所以选A三 平均值14、将一长为a 的线段截成为x 和a-x ，使x 恰是a 与a-x 的几何平均值，我们称对任意一个量a 的这种分割为黄金分割，试求x解：由已知，得x 两边平方整理得2013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014 考试信息交流-各种讲义资料-历年真题220x ax a +-= 152x a -=舍去负值，即150.618x a -+=≈ 15、（问题求解） 车间共有40人，某次技术操作考核的平均值成绩为80分，某中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工（ ）（A ）16人 （B ）18人 （C ）20人 （D ）22人 （E ）24人 解：设该车间有女工x 人，则有男工（40-x ）人 由已知女工的平均成绩为78分，女工所得总分为804083(40)83120x x ⨯--=-故 831207824x xx -== 故此题应选E 16、（2006年考题）如果123,,x x x 三个数的算术平均值为5，则1232,3,6x x x +-+与8的算术平均值为（ ）（A ）134（B ）162 （C ）7 （D ）172 （E ）195 解：由已知12353x x x ++= 即 12315x x x ++= 因此123123(2)(3)(6)813287444x x x x x x ++-++++++===所以选C17、（充分性判断）a 与b 的算术平均值为8（1）a,b 为不等的自然数，且1a ，1b 的算术平均值为16 （2） a,b 为自然数，且1a ，1b 的算术平均值为16解： 由条件（1）知1111()3()26ab a b a b +=⇒=+2013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014 考试信息交流-各种讲义资料-历年真题又因a,b 是自然数，故a,b 中至少有一个是3的倍数 不妨设a 为3的倍数，即a =3k (k 为自然数) 则31kb k =- 由于k 与k-1互质，所以k -1必为3的约数. 又因a >3所以k -1>0 因此k -1=1或k-1=3 即k =2或k =4当k =2时 a =6 , b =6 ,此时a,b 的算术平均值为6不是8 当k =4时a =12 , b =4 此时82a ba b +≠=故所以条件（1）充分，条件（2）不充分，故选A18、试判断x 与x x x -︱︱与︱︱x 的大小关系x -︱x ︱0x ≤ x x ︱︱=- 于是算术平均值 ()()3x x x x x x x x xm -+--+--===︱︱+︱︱0m ≥ 0x ≤所以m x ≥ ( 当且仅当0x =时等号成立)四 比和比例 19、设111::3:4:5,x y z=求使141x y z ++=成立的z 值 解：由已知条件，设1113,4,5t t t x y z=== 所以111,,345x y z t t t===代入141x y z ++=得 111141345t t t++=⇒1180t =所以11803655z t ===20、一公司向银行借款31万元，欲按111::235的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行技术改造，求甲车间应得的款数.2013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014 考试信息交流-各种讲义资料-历年真题解： 设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为2t 万元，3t 万元，5t万元，于是有2t +3t +5t=31 30t =故甲车间应得2t=15（万元） 21、（问题求解）（2009年考题）某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12，由于先增加若干女运动员，于是男女运动员比例变为20:13，后又增加了若干男运动员，于是男女运动员的比例最终变为30:19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多3人，则最后运动员的总人数为（ ）（A ） 686 （B ）637 （C ）700 （D ）661 （E ）600解：设原男女运动人数分别a 与b ，后增加女运动员x 人，增加男运动员为y 人则有1912207,10,380,2401330193a b a x y a b b x a y b x y x ⎧=⎪⎪⎪=⎪====+⎨⎪+=⎪+⎪⎪=+⎩解得从而最后运动员总人数为380+240+7+10=637（人） 所以选B 22、（问题求解）（2005年考题）甲，乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10:7，要使这两个仓库的库存煤量相等，甲仓库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的（ ）（A ）10% （B ）15% （C ）20% （D ）25% （E ）30%解：设甲仓库存煤矿量为a 吨，则乙仓库存煤量为710a 吨，现从甲仓库运走x 吨，依题意7321010a x a x x a -=+⇒=所以15100x a ==15% 故选B 23、（充分性判断） （2003年考题）某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元，24万元和8万元（1）甲、乙、丙三个工厂按111::239的比例分配贷款. （2）甲、乙、丙三个工厂按9 : 6 : 2的比例分配贷款. 解：设甲、乙、丙三个工厂分别得到贷款为x 、y 、z （万元） 由条件（1）知111,,239x t y t z t=== 2013年MBA/MPA/MPACC 备考交流QQ 群：208950014考试信息交流-各种讲义资料-历年真题1116872239t t t t ++=⇒= 于是1362x t == ，1243y t ==，18()9z t ==万元条件（1）充分由条件（2）设一份贷款为a （万元）， 则9,6,2x a y a z a ===962684a a a a ++=⇒=于是 9436,6424,248()x y z =⨯==⨯==⨯=万元 条件（2）也充分，所以选D 24、（充分性判断）一轮船沿河航行于相距48公里的两码头间，则往返一共需10小时（不计到达码头后停船的时间）（1） 轮船在静水中的速度是每小时10公里 （2） 水流的速成度是每小时2公里 解： 条件（1）和条件（2）单独都不充分联合条件（1）和条件（2），则轮船顺水流行驶需484(102=+小时)，而往返共需4+6=10（小时） ， 所以选C25（问题求解） （2007年考题）完成某项任务，甲单独做需要4天，乙单独做需要6天，丙单独做需要8天，现甲、乙、丙三人依次一日一轮地工作，则完成该项任务共需的天数为（ ）（A ）263 （B ）153 （C ）6 （D ）243（E ）4 解： 甲、乙、丙三人的工作效率分别为111,,468即 643,,242424故甲做2天，乙做2天，丙做1天，还剩124，剩下的由丙完成，需要1112483÷=，一共11221533+++= 所以选B练习1一、问题求解1、已知2221110,x x y-=-︱︱+(y-2)那么的值是 （ ） （A ）4 （B ）3 （C ）34 （D ）14 （E ）34- 2、使得13x -︱︱-3的值不存在的x 是 （ ）（A ）0或1 （B ）6或1 （C ）6或0（D ）1 （E ）23、若4x x -︱︱+︱3-︱=1，则x 的取值范围是 （ ） （A ）3x < （B ）4x < （C ）34x << D ）34x ≤≤ （E ）4x > 4、已知,,a b c 是三个正数，且a b c >>若,,a b c 的算求平均值为143，几何平均值4且,b c 之积恰为a 则,,a b c 的值依次为 （ ）（A ）6 ， 5 ，3 （B ）12 ， 6 ，2 （C ） 4 ，2 ，8 （D ）8 ， 2 ，4 （E ）8 ， 4 ，25、某商品单价上调15%后，再降为原价，则降价率为 （ ） （A ）15% （B ）14% （C ）13% （D ）12% （E ）11%6、今年王先生的年龄是他父亲年龄的一半，他父亲的年龄又是王先生儿子的15倍，两年后他们三人的年龄之和恰好是100岁，那么王先生今年的岁数 （ ）（A ）45 （B ）40 （C ）38 （D ）32 （E ）307、原价a 元可购5件衬衫，现价a 元可购8件衬衫，则该衬衫降价的百分比是（ ） （A ）25% （B ）30% （C ）37.5% （D ）38.5 % （E ）40%8、公司有职工50人，法律知识考试平均成绩为81分，按成绩将公职工分为优秀与非优秀两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩是75分，则优秀职工的人数为 （ ）（A ）30 （B ）25 （C ）22 （D ）20 （E ）189、若5x x -︱︱=5-，则x 的取值范围是 （ ） （A ）0x >（B ）5x =（C ）5x <（D ）5x ≤（E ）0x ≤10、不等式5x -≤︱2︱3的解集是 （ ） （A ）25x ≤≤（B ）34x ≤≤（C ）02x ≤≤（D ）14x ≤≤（E ）12x -≤≤11、若12︱a ︱=︱b ︱=1，则︱a+b ︱等于 （ ） （A ）102或（B ）01或（C ）112或（D ）1322或（E ）312或12、甲与乙的比是3:2，丙与乙的比是2:3,则甲与丙的比是 （ ）（A ）1:1（B ）2:3（C ）3:2（D ）9:4（E ）8:513、车间共有60人，某次技术考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为82分，女工平均成绩为77分，该车间有女工人数为 （ ）（A ）36 （B ）34 （C ）30 （D ）24 （E ）2214、某校今年的毕业生中，本科生和硕士生人数之比为5:2椐5月份统计，本科生有70%，硕士生有90%已经落实了工作单位，此时，尚未落实工作单位的本科生和硕士生人数比是（ ）（A ）35:18 （B ）15:2（C ）10:3（D ）8:3 （E ）7:415、一个分数的分子减少25%，而分母增加25%，则新分数比原来分数减少的百分率是（ ）（A ）40% （B ）45% （C ）50% （D ）55% （E ）60%16、已知A 股票上涨的0.16元相当于该股票原价的16%，B 股票上涨的1.68元也相当于其原价的16%，则这两种股原价相差 （ ）（A ）8元（B ）9元（C ）9.5元（D ）10元（E ）10.5元17、一商店把某商品按标价的9折出售，仍可获利20%，该商品进价为每件21元，则该商品的每件的标价的16%，则这两种股票原价相差 （ ）（A ）24元 （B ）26元 （C ）28元 （D ）30元 （E ）32元18、某工厂生产某种定型产品，一月份每件产品销售的利润是出厂价的25%（假设利润等于出厂价减去成本），若二月份每件产品的出厂价降低10%，成本不变，销售件数比一月份增加80%，那么，二月份的销售总利润比一月份销售总利润增（ ）（A ）6% （B ）8% （C ）15.5% （D ）21.5 （E ）25.519、已知2,x y xx y y+=-︱︱则等于 （ ） （A ）12 （B ）2 （C ）133或 （D ）1123或 （E ）132或 20、某商品在第一次降价10%的基础上，第二次又降价5%，若第二次降价后恢复到原来的价格，则价格上涨的百分率为 （ ）（A ）13% （B ）14% （C ）15% （D ）16% （E ）17%21、n 为任意正整数，则3n n -必有约数（因数） （ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）8 22、每一个合数都可以写成k 个质数的乘积，在小于130的合数中，k 的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）8 23、（2008年10月考题）以下命题中正确的一个是（ ）（A ） 两个数的和为正数，则这两个数都是正数。