状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
第二章 状态空间表达式
⎧ y1 = x = x1 ⎪ & = x2 ⎨ y2 = x ⎪ y = && ⎩ 3 x
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ y = 0 ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ k ⎝ 3 ⎠ ⎜− ⎝ m
⎞ ⎛ ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ + ⎜ 0 x 2⎠ ⎜ ⎝ ⎟ f 1 − ⎟ ⎜− m⎠ ⎝ m
外部描述：微分方程、传递函数 数学模型
{
u
R(s) ( )
G (s )
C(s) ( )
内部描述：状态空间表达式
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
y
•
动力学部件
输入引起内部状态 的变化，用一阶微 分方程组表示----状 态方程
x
输出部件
内部状态和输入引 起输出的变化，用 代数方程表示----输 出方程
统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状 态方程和输出方程。
k u(t) m f y (t )
1.选择状态变量： x1 (t ) = y (t ) 、 x 2 (t ) = y(t )
2.列写状态方程
•
x1 (t ) = x 2 (t )
1 x 2 (t ) = − m
• • ⎤ ⎡ 1 u (t ) ⎢ ky (t ) + f y (t )⎥ + ⎣ ⎦ m k f 1 =− x 1 (t ) − x 2 (t ) + u (t ) m m m
⎞ 0⎟ ⎟⎛ F ⎞ 0 ⎟⎜ ⎟ V ⎝ ⎠ ⎟ f ⎟ m⎠
控制理论(状态空间表达式)课件
为状态矢量．
x1(t)
x (t)
x
2
(
t
)
x
n
(t
)
x (t) x 1 (t) x 2 (t)
x n (t)T
三.状态空间
以状态变量 x1, x2,
空间，称为状态空间．
xn 为坐标轴所构成的n维
四. 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为
系统的状态方程．
五. 输出方程
在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间 的函数关系式,称为系统的输出方程.
式中 e 为反电动势； K a , K b 转矩常数和反电动势常数．
整理得：
di R i Kb 1 u dt L L L
d Ka i B
dt J J
把 x1i,x2 代入，有
x1 x2
RL Ka
J
Kb L
B J
xx12
1 Lu
0
若指定角速度为输出，则
y x2 0
1xx12
【例1-2】 RLC电路如下图所示. 以ei作为系统的 控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的 动态方程。
解: 该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，可以取 电容C两端电压和流过电感L的电流 作为系统的两个状 态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和 R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：
出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称
为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转
移到输出变量Y的转移关系。
和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信 号的传递关系．
将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=错误!未找到引用源。
，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点错误!未找到引用源。
系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态错误!未找到引用源。
第2章(1)-控制系统的状态空间表达式
第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。
设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()t x 称作系统的状态向(矢)量。
设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。
记：那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。
设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 = 称为系统的输出向量。
表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程: 其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种： ∙线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙ 非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。
这时，系统的状态空间表达式可以表示如下： 写成矢量形式为：其中：n n nn n n n n a a a a a a a a a A ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， r n nr n n r r b b b b b bb b b B ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n m mn m m n n c c c c c c c c c C ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， rm mr m m r r a a a a a aa a d D ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n n A ⨯----称为系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性；r n B ⨯----称为输入(或控制)矩阵，主要体现了系统输入的施加情况；n m C ⨯----称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，r m D ⨯----称为直接传递（转移）矩阵，表示了控制向量U 直接转移到输出变量Y 的转移关系。
第一章状态空间表达式第2讲
2021/2/22
2
1.状态变量及状态空间表达式
状态空间描述常用的基本概念：
1. 状态变量 足以完全表征运动状态的最小个数的一组变量。
2. 状态矢量 如果n个状态变量 x 1 (t)、 x2(t)、 ...、 xn(t)表示，并把这 些状态变量看作是矢量 x ( t )的分量，则 就称为状态矢量。
3
1.1 控制系统的状态空间表达式
状态变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方 程的阶数。 一般的，状态变量的个数等于系统储能元件的个数。
例题1-1，用图1-1所示的R-L-C网络电路，说明如何用
状态空间表达是来描述这一系统。
L
R
根据电路定律可列写如下方程：
u
i
C
uc
RiLddtiC 1idtu
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . . . a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) . . . b 1 u b 0 u 相应的传递函数为
W (s)U Y ((s s))b m y u (n ()m ) a n b m 1 y 1 u (n ( m 1 ) 1 ) .... .. a 1 b y 1 u a 0 b y 0 u 实现问题就是根据以上两个式子求出系统状态空间表达式。
y x2
x2C 1iR1C(x1x2)
其向量-矩阵形式为：
x1 x2
R1CRL 1
RC 2021/2/22
RR11C Cxx12RL0u
y 0
1
x1 x2
6
由上可见，系统的状态空间表达式不具有唯一性。 选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式， 但它们都描述了同一系统。可以推断，描述同一系统 的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换 关系。
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式在控制系统理论中，常常需要将已知的传递函数转换为状态空间表达式。
这是因为状态空间形式更加直观，便于进行控制器设计和系统分析。
首先，我们需要将传递函数化简为标准形式：$$G(s) = frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + cdots + b_{n-1} s + b_n}{s^n + a_1 s^{n-1} + cdots + a_{n-1} s + a_n}$$其中 $n$ 为传递函数的阶数，$b_i$ 和 $a_i$ 是系数。
接下来，我们可以通过状态空间的基本方程来表示传递函数： $$begin{aligned}dot{x} &= Ax + Buy &= Cx + Duend{aligned}$$其中，$x$ 是 $n$ 维状态向量，$u$ 是 $m$ 维输入向量，$y$ 是$p$ 维输出向量。
$A$、$B$、$C$、$D$ 是系数矩阵，它们的维度分别为 $n times n$、$n times m$、$p times n$ 和 $p times m$。
我们可以通过下列步骤获得$A$、$B$、$C$ 和 $D$：1. 首先，将传递函数分解为零极点形式：$$G(s) =kfrac{(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n )}$$其中，$k$ 是比例系数，$z_i$ 和 $p_i$ 是零点和极点。
2. 利用零极点分解结果，构造传递函数的控制分式表达式：$$G(s) = kfrac{(s-z_1)}{(s-p_1)} cdot frac{(s-z_2)}{(s-p_2)} cdots frac{(s-z_n)}{(s-p_n)}$$3. 对每个控制分式，构造对应的状态空间模型：$$begin{aligned}dot{x_i} &= p_i x_i + uy_i &= z_i x_iend{aligned}$$其中，$i$ 取值为 $1$ 到 $n$。
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y x1 x2
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(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
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2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
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习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
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根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
取x1、x2、v1、v2为系统四个状态变量 x1、x2、x3、x4，f1(t)、f2(t)为系统两个 控制 输入u1(t)、u2(t)，则有状态方程：
状态变量图中积分器的数目为状态变量数，每个积 分器输出表示相应某状态变量，输入表示该状态的 一阶导数，并用箭头线联起信号传递关系（如图）
。
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D‡0时系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
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分别为A (n*n):系统矩阵;B (n*r) Nhomakorabea:输入矩阵;
C (m*n): 输出矩阵;
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D (m*r): 直接传递矩阵
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单输入时（r=1时）：B=[b1 b2 ……bn]T
为列向量
单输出时（m=1时）：C= [c1……cn] 为行向量 值得注意：微分方程的阶次与输入、输出的多少无关（只与 状态有关） 常见的系统D=0(即输入不直接影响输出)；若D≠0则只需单 独考虑，再行叠加即可。如不声明，假定D=0。 关于状态变量个数及状态空间的维数的确定很重要。 其取决于微分方程的阶次，而阶次的多少取决于系统中独立 储能元件的个数。 因此，状态变量的个数为独立储能元件的个数。
注：状态方程是一阶微分方程组,输出方程是代数方程
其中
中的x1、x2称为状态(变量)。
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二、 定义：
状态：已知未来输入情况下，对确定未来行为所必要且充分的 集合。（对平面而言，需要两个独立状态；对空间而言，n维 空间需要n个独立状态）粗略讲：状态是在空间中的"位置"， 是描述系统运动的基本坐标。 （描述系统时域行为的一个最 小变量组） 状态变量：确定系统状态的最小一组变量x1(t)，……，xn(t)。 事实上：对一个用n阶微分方程描述的系统，其运动状态的描 述需要n个独立的变量。可以取这n个独立变量作为状态变量。 可见：状态变量个数与微分方程的阶次相同。 注意：状态变量具有非唯一性；
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如果取x1、x2为系统的两个输出，即：
写成矢量形式，得系统的动态方程为：
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四．状态变量图(系统方块图) 在状态空间中，对状态变量之间的信息传递关系通 常用（包含积分器、加法器、比例器）的状态变量 图表示
(2)方块图有些环节中有零点的情况 u s z K s p s
y
1 sa
s z z p 1 s p s p
u
z p s p
K s
1 sa
y
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例 控制系统的结构图如下图，试写出它的状态空间表达式
u(s) e(s)
f ( s)
u
b
x3
K a0
a0
x2
a1
x1
1
x4
c
d c
g3 (s)
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练习题:
求如图2－7（a）所示系统的动态方程。
图 2－7（a）系统方块图
二阶振荡环节
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g1 (s)
1 u1 (s) k g 2 ( s) 2 s b s a1s a0
sd g s ( s) sc
y ( s)
写出系统的状态空间表达式为：
1 a1 x x 2 a0 x 3 1 4 d c x 0 x1 0 x 0 K 0 2 0 u 0 b 1 x3 1 0 0 c x4 0 x1 x 2 y 1 0 0 0 x3 x4 1 0
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（4）二阶环节:
u
u ( s)
K s2 a1s a0
y ( s)
K a0
a0
1
a1
y
a0 ( s 2 a1s) y( s) k k k g ( s) u ( s) s 2 a1s a0 a0 s 2 a1s a0 a0 1 a0 ( s 2 a1s)
1 n 1 n
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例:
求图示电路的状态方程
R
u
C
uC
L
以u作为系统的控制输入 ，uC作为系统输出。 建立系统的动态方程。
教材P9:系统矩阵A错。
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三、 一般系统的状态空间表达式
或 对线性系统,这组方程可表示为:
如果系统是定常的,则系数矩阵为常数,方程组表示为:
1 L 1 C
R x 1 L x 2 1 C 1 1 L x1 L u x 0 2 0
u
1 L
R L
x1
x2
y
x y (t ) 0 1 1 x2
AX BU X Y CX
有几个状态变量就有几个积分器
对于多输入多输出系统多以矢量结构的形式表示
----------- 方程用矩阵的形式表示
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三、系统状态空间描述的图示形式 传递函数可用方框图表示
1. 系统结构图：直观、清晰便于分析综合 用状态方程和输出方程能够完整地描述系统的动态特性及任务，合 在一起称为系统的动态方程。下图是系统的结构图表示形式。
三种途径：从系统的运行机理出发建立状态空间表达式 由系统方块图写出状态空间表达式 由传递函数或高阶微分方程出发建立状态空间表达式 一、从系统机理出发建立状态空间表达式（机理分析法） 根据其物理规律,如基尔霍夫定律,能量守恒定律,热力学定律等, 即可建立系统的状态方程.当指定系统的输出时,也很容易写出系统 的输出方程. 步骤 １.确定系统的输入变量、输出变量和状态变量 ２.列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程（物理化学定律） ３.消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入 变量的关系式，及输出变量与X,U的关系式。 4、将方程整理成状态方程和输出方程的标准形式。
a0
a0 后一部分是前向通道为 s( s a ) 的单位负反馈系统 1
1 而前向通道又可分解为比例器 a0 、积分器和一阶惯性环节 s a 三部分 1
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(1)
K1 T1 s 1 K2 T2 s 1
K3 T3 s
u
y
K4
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0 0
现取变量x1、x2分别为
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分别代入 方程,
有:（将n次方程化为一次方程组）
用阵表示：
则
称这种矩阵形式的方程为状态方程
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现关心系统的位移y 且y=x1，写为矩阵形式 y= [1 0] x （为输出方程） 合并： 称为状态空间表达式。
说明：同一系统可用各种不同的变量图表示，可给择优选取提 供条件
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步骤： １.适当地方画出积分器，数目等于变量个数； ２.在积分器输出位置标上相应变量的编号 ３.根据状态描述方程画加法器和比例器 ４.按信号传递关系有箭头连接
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§2、 状态空间表达式的建立
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