2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课件5：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
情境引入
卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便 于分析，如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个 方向的速度呢？
知识梳理 1．向量的直角坐标 向量垂直：如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量 _互__相__垂__直___． 正交分解：如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个 基底为_正__交__基__底__，在正交基底下分解向量，叫做_正__交__分__解_．
向量的直角坐标：在直角坐标系xOy内(如图所示)，分别取与x
轴和y轴方向相同的两个单位向量e1、e2，这时，就在坐标平面 内建立了一个正交基底{e1，e2}，任作一向量a，由平面向量基 本 定 理 可 知 ， 存 在 惟 一 的 有 序 实 数 对 (a1 ， a2) 使 得 a ＝ __a_1e_1_＋__a_2e_2__，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的__坐__标__， 即a＝(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a 在y轴上的坐标分量．
【答案】A
2．若向量 a＝(1,1)、b＝(1，－1)、c＝(－1,2)，则向量 c 等于( )
A．－12a＋32b
B．32a－12b
C．12a－32b
D．－32a＋12b
【解析】12a－32b＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)，故选 C.
【答案】C
3．已知M→A＝(－2,4)Leabharlann M→B＝(2,6)，则12A→B等于(
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝(1,2)． ∴xy11＋ －12＝ ＝12 ，和－ 2－1－ y2＝x2＝ 2 1 ， ∴xy11＝ ＝04 ，和xy22＝ ＝－ 0 2 . ∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此C→D＝(－2，－4)．
第二章 2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课 时
则(10，－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)
栏 ＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．
目
开 关
∴1－0＝ 5＝3λ2－λ＋2μ2μ
λ＝1 ，解得μ＝－72
，∴a＝b－72c.
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2.2.2
例 3 已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，
小结 待定系数法是最基本的数学方法之一，它的实质是先
将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用
其他两个向量表示，这是常用方法．
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2.2.2
跟踪训练 2 已知 a＝(10，－5)，b＝(3,2)，c＝(－2,2)，试用 b，
c 表示 a.
本 解 设 a＝λb＋μc (λ，μ∈R)．
目
开
关
2.2.2
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2.2.2
[典型例题]
例1 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求：
(1)A→B－A→C；(2)A→B＋2B→C；(3)B→C－12A→C.
解 ∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．
本 课
∴A→B＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，
2.2.2
例 2 已知 a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用 a，b 表
示 c.
解 设 c＝xa＋yb，
本 则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
课 时
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
栏 目 开
∴1－0＝ 4＝－32x＋x＋y，3y，
关
解得 x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
课件2：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
那么 e1 = (1 , 0) e2= (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
B
a
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O
x
e1
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点的坐标减去始点的坐标．
三、平面向量的坐标运算
1.已知a (a1, a2 ) ，b (b1,b2 ) ，求a + b，a - b．
解：a+b= (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 )
y
C
(a1 b1)e1 (a2 b2 )e2
a
即
a + b (a1 b1, a2 b2 )
e2
b
同理
a - b (a1 b1, a2 b2 )
即 a = a1 e1 + a2 e2
2.平面向量的坐标表示
向量坐标与表示向量的 有向线段的起点、终点 的坐标之间的关系
3.平面向量的坐 标运算
向量加法与减法 实数与向量的积
本节内容结束
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二 、平面向量的坐标表示
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向
量 e1 、e2 作为基底,则任一向量 a ，
用这组基底可表示为
有且只有一对实数 a1 , a2 ，使
y
A(
a1
,a
)
2
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示：a =( a1, a2)
课件9：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
()
A.12a－32b
B.－12a＋32b
C.32a－12b
D.－32a＋12b
(2)已知点 P，A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)是一个平行四边形的四
个顶点，则点 P 的坐标为________．
【解析】 (1)设 c＝xa＋yb，x，y∈R， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)，∴xx＋－yy＝＝－2，1， 解得 x＝12，y＝－32，∴c＝12a－32b，故选 A.
自我尝试 题型一 平面向量的坐标表示 例 1 在直角坐标系 xOy 中，a，b 如图所示，分别求出 a，b 的坐标．
【分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们分解成横、 纵坐标的形式．
【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 则 a1＝|a|cos45°＝4× 22＝2 2，a2＝|a|sin45°＝4× 22＝2 2.
b 向量相对于 x 轴正方向的转角为 120°. ∴b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32， b2＝|b|sin120°＝3× 23＝323.∴a＝(2 2，2 2)，b＝－32，323.
【知识点拨】 (1)向量的坐标就是向量在 x 轴和 y 轴上的分量，而与向量的位 置无关，如图所示，A→B的坐标为(B2－A2，B1－A1)．
即 xy＋ －21＝ ＝1212
(x－1) (y－4)
， ，
解得xy＝＝－－52，， 即 C(－5，－2)．又 E 在 DC 延长线上， ∴C→E＝14D→E，设 E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝14(a－4，b＋3)， 解之得 a＝－8，b＝－53.
∴E－8，－53. 答案：－8，－53
5．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，B→C＝b， C→A＝c 且 a＝mb＋nc，求 m－n 的值． 解：A→B＝(5，－5)，B→C＝(－6，－3)，C→A＝(1,8)， 由 a＝mb＋nc， 得(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)， ∴－－63mm＋＋n8＝n＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.， ∴m－n＝－1＋1＝0.
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
3.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足 设 ， ，
AP = AB + λ AC
(1) λ为何值时 点P在直线 为何值时,点 在直线 在直线y=x上? 为何值时 上 (2)设点 在第三象限, 求λ的范围 设点P在第三象限 的范围. 设点 在第三象限 的范围 解: (1) 设P(x, y)，则 ， (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 , － － 所以x=5λ+5，y=7λ+4. ， 所以
1 解得λ 解得 = 2
所以λ<－ 所以 －1.
2.设点 在平面上做匀速直线运动 速度向量 设点P在平面上做匀速直线运动 设点 在平面上做匀速直线运动,速度向量 设起始P(－ 秒钟后点P 设起始 秒钟后点 v = (4, −3) ,设起始 －10,10), 则5秒钟后点 的坐标为( 的坐标为( ).
秒种后， 点坐标为 解：5秒种后，P点坐标为 秒种后 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5). －
| OC |= 1 + 36 = 37
tan α = 6 α=arctan 6
例5.已知□ABCD的三个顶点 －2, 1)、B(－1, 已知 的三个顶点A(－ 、 － 的三个顶点 3)、C(3, 4)，求顶点 的坐标。 、 的坐标。 ，求顶点D的坐标 解：OD = OA + AD = OA + BC
说明： 说明： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量的 相应坐标的和与差； 相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应 坐标的积。 坐标的积。
已知A(x 的坐标. 例2.已知 1,y1）,B(x2,y2),求向量 AB 的坐标 已知 求向量 解： AB = OB − OA =(x2,y2)－(x1,y1) － =(x2－x1，y2－y1)。 。 说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐 说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐 向量终点 始点的坐标 标减去始点的坐标。 标减去始点的坐标。
§2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
§2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算复习平面向量基本定理：学习目标：1.理解平面向量的坐标的概念2.掌握平面向量的坐标运算3.会根据向量的坐标判断向量是否共线.新知识：1.如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。
2.如果基底的两个 互相垂直，则称着两个基底为正交基底.3.在 下分解向量，叫正交分解.4.在坐标平面内建立了一个正交基底→1e ，→2e ，即为 →1e 和→2e 分别为与x 轴和y 轴的 .这个基底叫做直角坐标系xoy 的基底.5. 直角坐标系xoy 的基底⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→21,e e 任作一向量→a ,存在唯一的有序实数对()21,a a ,使得→a = ，()21,a a 就是 即 1a 叫做 ,2a 叫做6. 向量),(21a a a =，a 的方向相对与x 轴正向的转角为θ，则1a = ，2a = .7. 直角坐标系xoy 中，A(x,y),则OA = →1e + →2e = .即A 的位置向量OA 的坐标 .也就是 ；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的8.符合(x,y)在直角坐标系中的双重意义：⑴ ，⑵ .9.两个向量的和与差的的坐标等于 .数乘向量的积的坐标等于 .例题分析例1、 在直角坐标系xoy 中，向量→→→c b a ,,的方向与长度如图，分别求它们的坐标。
例2、直角坐标系xoy 中，已知点()11,y x A ,点()22,y x B ，求向量AB 的坐标。
例3、直角坐标系xoy 中，已知点()11,y x A ,点()22,y x B 。
求线段AB 中的的坐标。
例4、直角坐标系xoy 中，已知点A(3,2),点B(- 2,4)，求向量OA +OB 的方向和长度。
知识点：1.一个向量的坐标等于2．中点坐标公式：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则P 点的坐标是_____________________．3．三角形重心的坐标：设△ABC 三顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，G (x ，y )是△ABC 的重心，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=______________31321y x x x x 例5、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A （－2,1），B （－1,3），C （3,4）,求顶点D 的坐标。
学案2：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、向量a=AB的坐标如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.我们把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x，y).(*)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a相等的向量的坐标也为(x，y).特别地，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).例1 在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标.各个击破类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA =60°，求向量OA 的坐标.变式提升 1 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量证明P A =EF .二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则a +b =(a 1+b 1，a 2+b 2)，即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则a -b =(a 1-b 1，a 2-b 2)，即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB =(x 2-x 1，y 2-y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1，a 2)，λ∈R ，则λa =(λa 1，λa 2)，即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.例2 已知点A (-1，2)，B (2，8)及AC =31AB ，DA =-31BA ，求点C 、D 和CD 的坐标.类题演练2(1)设向量a、b的坐标分别是(-1，2)、(3，-5)，求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标.(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，-3)、(-2，4)、(0，5)，求3a-b+c的坐标.变式提升2用坐标法证明AB+BC+CA=0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A、B、C是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形中的法则是代数运算的几何含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充.因此，向量的坐标运算是数与形的有机结合，为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.例3 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），以AB，AC为一组基底表示AD +BD+CD.温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练3已知向量a=(x+3，x-3y-4)与AB相等，若A（1，2），B（3，2），求x、y的值.温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.变式提升3如图，在ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c，AN=d，试用c、d表示AB和AD.参考答案课堂导学例1 解：设a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，c =(c 1，c 2)，则a 1=|a |cos45°=2×22=2，a 2=|a |sin45°=2×22=2， b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-， b 2=|b |sin120°=3×23323=， c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=， c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2， 因此a =(2，2)，b =(233,23-)，c =(32，-2). 各个击破类题演练 1解：设点A 的坐标为（x ，y )，则x =|OA |·cos60°=34×3221=， y =|OA |sin60°=34×23=6，即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1 思路分析：用向量的坐标法证明，只要写出P A 与EF 的坐标，利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系，考虑到四边形ABCD ，故可以D 点为坐标原点，以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴，建立坐标系.证明：建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为a ，|DP |=λ(λ>0)，则A (0，a )，P (22λ，22λ)，E (a ，22λ)，F (22λ，0)， ∴PA =(22-λ，a -22λ)，EF =(22λ-a ，22-λ).∵|PA |2=λ2-2aλ+a 2，|EF |2=λ2-2aλ+a 2，∴|PA |2=|EF |2，故P A =EF .例2 解：设C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意可得AC =(x 1+1，y 1-2)，AB =(3，6)， DA =(-1-x 2，2-y 2)，BA =(-3，-6)， ∵AC =31AB ，DA =-31BA ， ∴(x 1+1，y 1-2)=31(3，6)，(-1-x 2，2-y 2)=-31(-3，-6)，也就是(x 1+1，y 1-2)=(1，2)，(-1-x 2，2-y 2)=(1，2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C 、D 的坐标分别为(0，4)、(-2，0). 因此CD =(-2，-4).类题演练 2解：(1)a +b =(-1，2)+(3，-5)=(-1+3，2-5)=(2，-3)，a -b =(-1，2)-(3，-5)=(-1-3，2+5)=(-4，7)，3a =3(-1，2)=(-3，6)，2a +3b =2(-1，2)+3(3，-5)=(-2，4)+(9，-15)=(-2+9，4-15)=(7，-11).(2)3a -b +c =3(1，-3)-(-2，4)+(0，5)=(3，-9)-(-2，4)+(0，5)=(5，-8).变式提升 2证明：设A （a 1，a 2)、B （b 1，b 2)、C (c 1，c 2)，则AB =(b 1-a 1，b 2-a 2)，BC =(c 1-b 1，c 2-b 2)，CA =(a 1-c 1，a 2-c 2)， ∴AB +BC +CA =(b 1-a 1，b 2-a 2)+(c 1-b 1，c 2-b 2)+(a 1-c 1，a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1，b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0，0). ∴AB +BC +CA =0.例3 解：AB =（1，3），AC =（2，4），AD =（-3，5），BD =（-4，2），CD =（-5，1）. 设AD +BD +CD =m AB +n AC ，∴(-12，8)=m (1，3)+n (2，4)，即(-12，8)=(m +2n ，3m +4n ).∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得AD +BD +CD =32AB -22AC . 类题演练 3 解：AB =OB -OA =（3，2）-（1，2）=（2，0）. ∵a =AB ，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x 故x =-1，y =35-. 变式提升 3 解：设AB =a ，AD =b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得BN =21b ，DM =21a . AD +DM =AM ，即b +21a =c .① AB +BN =AN ，即a +21b =d .② 由①②可得a =32(2d -c )，b =32(2c -d )， 即AB =32(2d -c )，AD =32(2c -d ).。
21-22版：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算（步步高）
反思
感悟 向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法 则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行 向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练2 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b； 解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b； 解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a－13b. 解 12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
第二章 §2.2 向量的分解与向量的坐标运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理 论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代 数化. 2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个 向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起 点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则A→B＝ (xB－xA，yB－yA). 3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实 数与原来向量坐标的积.
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的一组基底.
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的 → a 任意向量 ，均可以分解为不共线的两个向量 λ→ → → → → λ a λ a2 . + a 和λ ，使得 a = 1 1 2 2 2
a
1
1
平面向量的直角坐标
思考：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点 都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角 坐标平面内的每一个向量，如何表示？
解：设点M ( x , y )是线段AB的中点，则 1 OM (OA OB). 2 上式换用向量的坐标， 得 1 x1 , y1 ) ( x 2 , y 2 ),即 （x , y） （ 2 x1 x 2 y1 y 2 x ,y. 线段中点的 2 2 坐标公式
例4.在直角坐标系xoy中，已知点 A （ （- 2,4 3,2 ），点 B ），
例5.已知
ABCD的三个顶点A（-2，1）、B（-1，3）、
C（3，4），试求顶点D的坐标。
BD BA BC (2 (1),1 3) (3 (1), 4 3)A (3, 1)
而 OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2) 所以顶点D的坐标为（2，2）
x
OA xi +y j
平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量
作为基底,在坐标平面xoy内，任一向量 有且只有一对实数 a1 , a 2 ，使
a，
e1、e2
y A( , ) a1 a2
a a1 e1 a2 e2
a2）叫做向量a的坐标 （a1 ，
象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于
创新的精神．
平面向量的基本定理:
如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对 于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2
向量的基底:
不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量
1 1 .已知 MA ( 2 , 4 ), MB ( 2 , 6 ), 则 AB 等于（ D ） 2 A .( 0 , 5 ) B .( 0 ,1) C .( 2 , 5 ) D .( 2 ,1 ) 3 ), 则与向量 AB 同向的 2 . 已知两点 A ( 4 ,1 ), B ( 7 ， 单位向量是（ A ） 3 4 3 4 4 3 4 3 ) B .( ， ) C .( ， ) D .( ， ) A .( ， 5 5 5 5 5 5 5 5
2 ), N ( 5 ， 1 ) ，且 MP 3 . 已知 M ( 3 ， 则点 P 的坐标为（ C ） A .( 8 ,1 ) 3 B .( 1， ) 2 C .( 1， 3 2 )
1 2
MN ,
1) D .( 8 ，
4 . 设 a ( 4 , 3 ), b ( x , 5 ), c ( 1 , y ), a b c , 则 (-5,2) . （ x , y ) __________
(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A 的坐标（x,y)也就是向量 OA的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一 个平面向量都可以用一对实数唯一 表示.
置由 a 唯一确定.
a j O i x
x
平面向量的直角坐标运算
设 a (a1 , a2 )，b (b1 , b2 ) ，则
a+b= (a1e1 a2e2 )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘
原来的向量的相应坐标．
例 1. 在直角坐标系 xoy 中，向量 a , b , c 的方向和 长度如图所示，分别求 它们的坐标 .
解：设a (a1 , a 2 ), b (b1 , b2 ), c (c1 , c 2 ), 则 2 a1 a cos 45 2 2, 2 2 0 a 2 a sin 45 2 2; 2 1 3 0 b1 b cos 120 3 ( ) , 2 2
1.向量正交分解
即
a
=
a1 e + a2 e
1
2
2.平面向量的坐标表示
向量坐标与表示向量的有 向线段的起点、终点的坐 标之间的关系 向量加法与减法
3.平面向量的坐标 运算
实数与向量的积
过去的事已经一去不复返。聪明的人是 考虑现在和未来，根本无暇去想过去的 事。 ——[英国哲学家培根]
0
例2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求向量 AB的坐标.
解： AB OB OA （x 2 , y 2 ) ( x1 , y1 ) ( x 2 x1 , y 2 y1 ).
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点的坐标减去起点的坐标.
例 3.在直角坐标系 xoy 中，已知点 A( x1 , y1 ), 点B( x2 , y2 ), 求线段 AB中点的坐标.
(b1e1 b2e2 )
(a1 b1 )e1 (a2 b 2 )e2
a + b (a1 b1 , a2 b2 ) a - b (a1 b1 , a2 b2 ) 两个向量和与差的坐标 分别等于这两向量相应 坐标的和与差
a (a1 , a2 ) ( a1 , a2 )
求向量 OA OB 的方向和长度 .
解：由已知可得 OA ( 3,2), OB ( 2,4). 设OC OA OB, 则 OC OA OB ( 3,2) ( 2,4) (1,6). 由两点的距离公式，得 OC 1 2 6 2 37 .
设OC的相对x轴正向的转角为 ，则 6 tan 6, 得 1 arctan 6. 因此，向量 OA OB的方向偏离x轴正方向为 arctan 6, 长度等于 37 .
探索1: 以O为起点， P为终点的向量能否用坐标表示？
如何表示？
y
a
P x
o
4
3
（3， 2） P
2
1
j
-2
O
-1 -2
2
4
6
i
OP 3i 2 j (3,2)
-3
4
向量的坐标表示
3
OP xi y j ( x, y)
（x，y） P
2
1
0
y b
30 0
a
45 0
30 0
c
x
3 3 3 b2 b sin 120 3 ; 2 2 3 0 c1 c cos(30 ) 4 2 3, 2 1 0 c 2 c sin( 30 ) 4 ( ) 2. 2 3 3 3 因此a ( 2 , 2 ）， b ( , ）， c ( 2 3 ,2). 2 2
平面向量的坐标表示：
e2
a
O e 1
①
x
a =( a1 , a2 )
其中，a 叫做 a在x轴上的坐标，a 叫做 a 在y轴上的坐标， 2 1 ①式叫做向量的坐标表示。 如图，在直角坐标平面内，以原
y
y A（x,y）
点O为起点作OA = a ，则点A的位
设 OA=xi+yj ，则向量 OA的坐标
解：由平行四边形法则可得
y B D O
C
x
),B(1,3 ),求线段 AB 中点 M 和三等分点 例 6. 已知 A ( -2,1 P, Q 的坐标.
解：因为AB OB OA (1,3) ( 2,1) ( 3,2), 1 1 1 所以OM (OA OB) ( 2,1) (1,3) ( ,2); 2 2 2 1 1 5 0 P OA AB ( 2,1) ( 3,2) ( 1， ); 3 3 3 2 2 7 OQ OA AB ( 2,1) ( 3,2) (0， ). 3 3 3 1 5 7 因此M ( ,2), P ( 1, ), Q(0, ). 2 3 3
j
-2 2 4 6
O i
-1 -2 -3
向量 OP
一一对应 P（x ，y）
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如 何用坐标来表示?
y
a o
解决方案:
可通过向量的平移，将向量
A
a x
的起点移到坐标的原点O处.
y
y
j
A
a
O
a xi +y j
x i
2.2.2
向量的正交分解与向量的 直角坐标运算
1.知识目标：
⑴掌握平面向量正交分解及其坐标表示 ； ⑵会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算 .
2.能力目标：
经历概念的形成过程，解题的思维过程，体验数形结 合思想的作用. 3.情感目标： 通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序 实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对 应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形