客兴林高等量子力学习题EX36
高等量子力学习题
高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、 已知在3ˆs表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
喀兴林高等量子力学E
#
练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n维空间中的一个完全矢量集｛ ｝，（ 归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n）,若从其中去掉一个矢量，例如去掉 ，就不再是完全集。（做题者：杨涛 审题人：吴汉成）
证明：假设在n维空间中的一个完全集 去掉一个矢量 后仍是完全集 新的矢量集 是线性无关的，即
(2)
证明：（1） 为厄米算符，则
所以
即
则 是幺正算符
(2)因为 是 的函数，则 与 可以同时对角化。在 表象中， 表现为对角矩阵，对角矩阵元 为 的本征值，则
而 的本征值
即
则
#
练习4.5（吴汉成完成，董延旭核对）
在三维空间中，有矩阵A和B：
，
（1）证明A和B均为厄米矩阵，而且[A，B]=0；
（2）分别求A和B的本征值与本征矢量；
#
练习4 .1在任何表象中，与厄米算符H对应的矩阵（ ）称为厄米矩阵，与幺正算符对应的矩阵（ ）称为幺正矩阵。证明它们分别满足下列关系：
（做题：陈捷狮，审查人：刘强。）
解：（1）
（2）利用完全性关系可得：
证毕!
练习4.2在某表象中，算符 的矩阵形式为
（1）求 的本征值及相应的本征矢量；
（2）用 的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失。
——————[3]
（5）由于U是幺正矩阵，所以 ，并联系[3]式得
所以对角化：
，其对角元为A的本征值，与（2）小题的结果完全一致.
，其对角元为B的本征值，与（2）小题的结果完全一致。
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练习4.6在一个9维空间中有二矩阵 和 ；
式中空格及圆点均代表零。
喀兴林高等量子力学习题EX12-18
练习 12.1. 一维谐振子受微扰21X H ε=的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。
（解答人：李泽超 核对人：熊凯） 解：由题意得：受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：()1......................................................................10H H H += ()()2.......21212212220⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++AA A A AA X m P m H ωωω ()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=+=+++A A m i P A A m X iP X m m A iP X m m A 222121 ωωωωωω()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+==+++++ωεττωεεm AA AA A A A A A A m X H 23.........2221谐振子从0=t 时刻起其状态满足薛定谔方程：()()()4.......................................:,10H H H t H t ti +==∂∂其中ψψ0H 的含时本征矢量的展开为：()()()5...........................................21exp ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=jj t a t j i j t ωψ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t m i t mt a m ωψ21exp微扰1H 的矩阵元为j H i ，具体的形式为：j AA AA A A A A i j H i +++=++++ τ利用算符A A 和+对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：()()()()()()6..................2121,2,,2j i j i j i i i i i i j H +-+++++-=δδδτ 采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式： ()()()()7......................................exp 1t a j H t E E i t a t i j S jj i i ∑⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：()()()()()()()()()8..21121exp ,2,,2t a i i i i i t E E i t a t i j jj i j i j i j i i ∑+-+++++-⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂δδδτ经化简得：()()()()()()()()()()()()9...212exp 122exp 122t a i i t i t a i t a t i i i i t a dtdi i i i +-++-++--=⇒ωωτ将()t a i 的已知的低级的近似()()t a n i 代入方程的右边，即可以解出高一级的近似()()t a n i 1+。
高等量子力学练习题及答案解析
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
客兴林高等量子力学习题EX34-36
34.134.2 按照正文中的对哈特利—福克方程（34.22）式中第二项的理解，这一项是处于k 态的电子同其余电子之间的库仑相互作用。
既然这样，()ρ即（34.20）式对j 的取和中，就不应含有j=k 的项，但是现在（34.22）式中并未将j=k 这一项去掉，这是为什么？（邱鸿广） 解：文中哈特利-福克方程（31.14）式在位置表象中的形式为()()()()()2''2''*'''2''*'22''=-⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-∑∑⎰∑∑⎰σϕλσϕσσϕσϕσσϕσϕσσr r r r d d V m k k k j j j j k j j k在式子中当k j =时，式子中的第二项和第三项相减就消去了。
所以（34.22）式中并未将k j =这一项去掉。
#练习34.3 在本小节位置表象的范围内，证明满足哈特利-福克方程的不同单粒子态)(σϕj 和)(ϕr k 是互相正交的。
（做题人：田军龙 审题人：丘鸿广）证明： τσϕσϕd k j )()(⎰*τd b b k j ⎰=k j b b =i b 是一套正交归一基矢量且k j ≠ ∴0==jk k j b b δ 当k j ≠∴ 0)()(=⎰*τσϕσϕd k j∴ )(σϕr j 和)(σϕr k 是互相正交的。
35.1 态函数的正交归一化条件是什么？（侯书进做。
韩丽芳审核） 解：归一化条件是()()() ll n n n n n n n n i l l n n n n n n n n n n ''''∑-=''''δδδδδψψ332211321321#35.2 （1）利用 ()() 1321321,-++ψ=ψ=l l l l l l l l n n n n n n n n n a a a N ε以及 ()()13213211+ψ+=ψl l l l l n n n n n n n n n a ε()()l l l l n n n n n n n n n N 321321ψ=ψ证明：(2)上式是否说明() l n n n n 321ψ是占有数算符l N ˆ的本征函数？如果是，说明理由：如果不是，那么lN ˆ的本征函数是什么？（侯书进做。
高等量子力学习题1
个人收集整理-ZQ1 / 1 k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：两个态矢量＞和－＞形成完全集.在它们所构成地空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2 =+ 并求出两个态矢量 ＞和－＞之间地翻转变换算符及算符 地表达式二能级系统地哈密顿算符一般可表达为：＝>< >< >< ><其中>和>分别表示二能级地状态，形成正交归一集.问：地厄密性对系数有何限制?求该系统地能量本征值及相应地本征态矢量(表示为>和>地线性叠加).文档收集自网络，仅用于个人学习已知一线性谐振子在其哈密顿表象中地本征态矢量为其中，基态>满足>,并且和与其坐标和动量算符地关系为试求态矢量>转换到坐标表象表达式<>.设某系统地哈密顿算符为: ()()() () －其中() , , 为任意时间地函数， , , －为()群地生成元，其满足下述对易关系: [ , －]－ , [ , ±]±±文档收集自网络，仅用于个人学习试证明该系统地时间演化算符可表示为:()[()][()][()－] , 并导出确定()地方程..文档收集自网络，仅用于个人学习 已知算符和地对易关系为[ , ],在 对角表象地本征态矢量为且基态满足>, 引入算符地本征态>> 试求归一化态矢量>在 对角表象地表示式,由基矢量组>构成地表象称作为相干态表象，试求态矢量>在相干态表象地波函数文档收集自网络，仅用于个人学习题地已知条件与题相同，并可利用题地结果，试证明：（）相干态表象地基矢量不具有正交性，并说明其原因.() 相干态表象地基矢组是完备地，完备性条件由下式给出式中，积分元由 给出，证明过程中可以利用地公式有:()不存在算符地本征右矢量. ）（||||21+><-+-><+= S ）（||||23-><--+><+= S ）（||||22-><+-+><-= i S ； >>=+0|)(!1|n b n n )(2b b x +=+μω)(2b b i p -=+μω⎰=><1||2z z zd π。
量子力学教程课后习题答案（doc）
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThc λ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h v ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。