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高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理1：设向量a ≠0，则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ，使 b ＝λa1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b b =；则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ，方向：c b a,,符合右手规则1）0 =⨯a a2）b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cza y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z bya x =+22226） 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x8） 双曲柱面：12222=-b ya x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：（1）定义：设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集，称映射f ：D →R 为定义在D 上的n 元函数。

当n ≥2时，称为多元函数。

记为U=f （x 1，x 2，…，x n ），（x 1，x 2，…，x n ）∈D 。

3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面。

如z=ax+by+c 的图形为一张平面，而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线。

4、 极限：（1）定义：设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p （x,y ）∈D ∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf(p)-A Ⅰ=Ⅰf(x,y)-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数f(x,y)当(x,y)→(x 0,y 0)时的极限，记作A y x f y x y x =→),(lim),(),(00多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：（1）在有界闭区域D 上的多元连续函数，必定在D 上有界，且能取得它的最大值和最小值；（2）在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

6、 偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(x 0,y 0)是其定义域D 内一点。

把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x ，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y 的偏增量)如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y 的偏导数记作xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(00000007、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数f xy (x,y)和f yx (x,y)在D 内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。

8、 方向导数： βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。

9、 全微分：如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量△z=f(x △x ，y △y)-f(x,y)可以表示为△z=A △x+B △y+o(ρ)，其中A 、B 不依赖于△x, △y ，仅与x,y 有关， 当Ρ→0，此时称函数z=f(x, y)在点（x ，y ）处可微分，A △x+ B △y 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂（二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：微分法1） 定义： u x 2） 复合函数求导：链式法则z充分条件若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===，则 v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值， 若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值； ② 若02<-B AC ，函数没有极值； ③ 若02=-B AC ，不定。

2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。