19.1,1 多边形的内角和(修改)

三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
探究
……
三角 四边形 五边形 六边形
从形同一顶点引出的对角线的条数：
0 1 23
分割出的三角形的个数：
n边形
n－3
1 2 3 4 n－2
总结2
n边形从一个顶点出发的对角线条
数为：(n－3) 条(n≥3)
n边形共有对角线条(n≥3) n(n 3) 2
练习： 1.连接多边形_____的两个顶点的线段，叫做多边
180°
×4
180°
×5
…
n-2
(n-2) ×180
想一想：从表中你能发现什么？
定理：
n边形的内角和等于（n-2）×180°（n为 不小于3的整数）.
设计意图：
推理过程由学生操作，以生 为本，培养学生的推理归纳 能力。
练一练：
1.八边形的内角和是 1080o ;
2.已知多边形的每一内角为150°，求这个多边 形的边数．
由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组 成的平面图形，称为n边形．（n≥3）
像以上四个多边形是凸多边形——一个多边形，如果 把它的任何一边双向延长，其它的各边都在延长线所得 直线的同一旁。如图（1）就是凸多边形。 而如图(2)所示的多边形就不是凸多边形，是凹多边形。
注：凹多边形不在现在研究的范围中．今后如果不说明，我 们讲的多边形都是凸多边形
答答::都都是是336600°°..因因为为多多边边形形的的外外角角与与它它相相邻邻 的的内内角角是是邻邻补补角角，，所所以以nn边边形形的的外外角角和和加加内内角角 和和等等于于nn··118800°°，，内内角角和和为为((nn－－22))··118800°°,因,因此此 ，，外外角角和和为为：：nn··118800°°－－((nn－－22))··118800°°== 360°. 360°.
19.1.1 多边形的内角和
教学目标 （一）、知识与能力 1、了解多边形、正多边形，多边形的边，顶点，内角，外角、对角线等 概念。 2、掌握多边形的内角和定理。 （二）过程与方法
经历探索多边形内角和定理的过程，掌握类比归纳转化的学习方法，培养 学生思考，提高解决问题的能力。 （三）情感态度与价值观
想一想：
1、了解了多边形的的有关概念后，你能说出在生活中你所见 到的多边形的形象吗？
2、多边形在我们的生活中随处可见，那么你想知道多边形的 一些性质吗？ 那你又想了解多边形的哪方面的性质？
设计意图：
通过对多边形相关的概念理 解后，自然过渡到多边形的 性质，为下面多边形内角和 做铺垫。
问题4：
1、三角形的内角和是多少？
鼓励学生运用不同的方法解决问题，锻炼发散思维和创新意识，让学生体 验成功的喜悦，养成主动探究合作交流的学习习惯。 教学重点 掌握多边形的内角和定理。 教学难点 多边形的内角和的定理的探索过程中体现出的转化化归的思想。
第一课时
由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
3、 已知多边形的一个内角的外角与其它各内角的度数 总和为600°，求边数．
4 、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多 30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．
多边形的对角线
连结多边形不相邻的两个顶点的线段， 叫做多边形的对角线。
请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数 ：
……..
=n•180°-180°-n•180°+360° = 180° 内角和增加180°
应用新知
如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°， ∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的 度数．
内角和+整体思想
练一练: 已知在四边形ABCD中, ∠A= 90° ∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF 平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
问题2：
你能猜出下面所指的部分叫什么吗？又是怎么猜到的？
顶点
边
内角
设计意图：
通过类比三角形的 名称知识来认识多 边形。
多边形的边、顶点、内角：
边：组成多边形的的线段叫做多边形的边。 顶点：相邻两条边的公共的端点叫做多边形的顶点。 内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
各边、各角都相等的多边形叫正多边形。
Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
如图， ∠Ａ＝４５°， ∠Ｂ＝２５ °
∠Ｃ＝３０ ° ，则 ∠Ｄ＝ 100 ° 。
探究活动： Ａ
ＧＥ Ｆ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
G
如图， ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝
。 180 °
探究活动：
５ Ｅ
４ＢΒιβλιοθήκη Ａ１Ｆ ２Ｄ ３Ｃ
如图， ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｅ＋∠Ｆ＝
。 180 °
解：设这个多边形的边数为n， （n－2）×180=150 n 解，得n= 12
答：这个多边形的边数为12．
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增多少度？ 边数增加2或3呢？
解： 设多边形的边数为n， ∵它的内角和等于 (n-2)•180°， 当边数增加1时，内角和为(n+1-2)•180°， (n+1-2)•180°- (n-2)•180°
形的_______.
2.n边形，过一个顶点有___条对角线，将多边形 分成____个三角形，共有____条对角线，_____ 边形没有对角线。
3.n边形有___个顶点，___条边，__个内角，__个 外角。
4.从十六边形的一个顶点能引出____条对角线， 一共可以引出___条对角线。
5.如果经过多边形的一个顶点有36条对角线，则 这个多边形有____条边。
你还有其他方法 吗？
2、那么四边形的内角和又是多少呢？那多边形呢？
D A
B
C
运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到三角 形内角和求解.
四边形的内角和等于360°
D A
B
C
在四边形ABCD中，
∠A+∠B+∠C+∠D=360o
问题5：你能仿照上述某一种方法求得五边形、六边形、七边
形及n边形的内角和吗？
结论:多边形的外角和都等于360°.
例：一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍，它是几边形？
解：设它是n边形，则 (n-2).180=3×360 解得：n=8 答：它是8边形
练习
1、 若多边形的外角和与内角和之比为2∶9，求这个 多边形的边数及内角和。
2 、一个多边形中的各内角相等，且每个内角与外角之 差的绝对值为60°，求此多边形的边数。
3.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则 这个多边形的1边2 数是_____
一个正多边形的一个内角为150°你知道它 是几边形吗？
解：设 这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12
答：这个多边形是12边形。
另解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
6.n边形有20条对角线，则n=___。
7.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对 角线，k边形共有k条对角线，则（m-k）n=____.
随堂练习
1.正五边形 的每一个外角等于___.7每2°一个内角等于
____1_,44 2°.如果一个正多边形的一个内角等于120°, 则这个多边 形的边6 数是_____
A
D E F
B
C
第二课时
问题6：
探索
（1）什么是三角形的外角？外角有什么性 质？
（2）类似地，在多边形中找出
外角
D
E
多边形的一边与另一边的
延长线的夹角，叫做多边
A
形的外角。
C BF
（2）四边形的外角和等于多少度？
C
3
4
D
B
2
1
A
（3）五边形的外角和怎么求？n边形呢 ？
猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
问题3： 画出连结下面四点的所有线段。 A
B
D
C
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多 边形的对角线．
试一试：请说出下列多边形的名称和顶点、边、内角、外角、
对角线的个数。
E
A
A
B
D
C 记作：四A边形ABCD
D
B C
记作：五边形ABCDE
B
F
C
D
E
记作：六边形ABCDEF
设计意图：
由边数依次递增来分别数 出多边形的对角线，也可 以接着推理出多边形对角 线的规律。
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
生活中的平面图形
由这图形你抽象出什么几何图形？
设计意图：
通过直观地感受图形认识多边 形，从而总结归纳出关于多边 形的概念。
问题1：
1、你能说一说什么叫三角形吗？
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
拓展提升
一个多边形的内角和为900°，截去一个角后，求得到的多边形 的内角和.？
内角和+分类思想
拓展、有一六边形，截去一三角形，内角和 会发生怎样变化？请画图说明。
内角和减少180O 内角和不变 内角和增加180O
探究活动： Ａ
在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成 的图形是三角形。
2、你又能说出什么叫四边形、五边形吗？
在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接而 成的图形是四边形。