微积分(理工类)(II)期中测验试卷答案

微积分（理工类）II 中期测验答案
一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分）
1.
()()dy x y dx φψ=；2. y u x =；3. 12,x x y e y xe ==；4.*(cos sin )x y xe a x b x -=+； 5. 32；6. 2(1)(,)1x y f x y y
-=+；7.2{(,):20}x y y x -=；8. 1233dz dx dy =+；9.21p ；
10. π.
二、选择题（本题共10小题，每小题2分，满分20分）
1. C ；
2. D ；
3. A ；
4. C ；
5. C ；
6. D ；
7. A ；8．A ；9. D ；10. A 。

三、解答题（本题满分10分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 解：所给微分方程是可分离变量的，分离变量后可得
dx e e y dy x x 1
2--= 两端积分，得
21
x x dy e dx y e -=-⎰⎰ …………………5分
即
C e y x +--=)1ln(ln 2
故
C y e x '=-2)1(………………………10分
四、解答题（本题满分10分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
解： 2
2
31
1
2
[(1)]dx dx x x y e
c x e dx --
-++⎰⎰=⋅++⎰ …………………3分
2
2
3
ln(1)ln(1)2
[(1)]x x e
c x e
dx +-+=⋅++⋅⎰
12
2(1)[(1)]x c x dx -=+⋅++⎰
12
2
(1)[2(1)]x c x =+⋅++ …………………10分
五、解答题（本题满分10分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 解：设y p '=，将之代入方程，得
2(1)2dp
x xp dx
+⋅
= …………………3分 分离变量有
221dp x dx p x
=+ 两边积分，得
21ln ln(1)ln p x c =++ …………………6分 21(1)p y c x '==+
由条件03x y ='=，得13c =。

从而2
3(1)y x '=+，再积分，得
323y x x c =++
又由条件01x y ==，得21c =.故方程的解为
3
31y x x =++ …………………10分
六、解答题（本题满分10分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （1）解：两曲线的交点
⎪⎩⎪⎨⎧=-=2
3
6x
y x
x y ).9,3(),4,2(),0,0(-⇒ 选x 为积分变量]3,2[-∈x
],0,2[)1(-∈x dx x x x dA )6(2
31--=
],3,0[)2(∈x dx x x x dA )6(322+-= 于是所求面积21A A A +=
dx x x x A )6(2
2
3--=⎰- dx x x x )6(323
+-+⎰ .12
253
=
（2） 解：6,21sin ,2cos sin 22
πθθθ
θ
==⎪⎩⎪⎨
⎧==r r
(
)
831242sin 2sin 221
606
2
1-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==⎰π
θθθθπ
π
d S 8
3
412sin 4
1
2cos 214
6
462-=
==⎰ππ
π
πθ
θθd S 故23
16
)(221-+
=
+=π
S S S （3）解：7
1
062π
ππ
=
==⎰⎰
dx x dx y V b
a
x
πππππππ5
2
53111
03
2
22=-=-=-⋅⋅=⎰⎰dx y dy x V d
c y
七、计算题（本题满分10分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 解：记22330,10F x u y v G y u x v =-==+-=，则
222,2,,x y u v F xu F yv F x F y ''''==-==-
2233
3,3,,x y u v G x v G y u G y G x ''''====
所以
22
5533
(,)(,)u v u v F F x y F G x y G G u v y x
''-∂===+''∂ 2422
232(,)23(,)3x v x
v F F xu y F G x u x y v G G x v x v x ''-∂===+''∂
243
32
2(,)32(,)3u x u x
F F x xu F
G x v xy u G G u x y x v ''∂===-''∂ 234
232(,)23(,)3y v y v
F F yv y F
G x yv y u G G y v y u x ''--∂===-+''∂ 22243
22(,)32(,)3u y u y
F F x yv F
G x y u y v G G u y y y u
''-∂===+''∂
于是
x y =x
x y 63-=
42255(,)23(,)(,)(,)F G u x u x y v x v F G x x y u v ∂∂+∂=-=-∂∂+∂，4355(,)32(,)(,)(,)F G v x v xy u u x F G x x y u v ∂∂-∂=-=-∂∂+∂
3455(,)23(,)(,)(,)F G u x yv y u y v F G y x y u v ∂∂-+∂=-=-∂∂+∂，22455(,)32(,)(,)(,)
F G v x y u y v u y F G y x y u v ∂∂+∂=-=-∂∂+∂
八、计算题（本题满分10分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
解：（1）求驻点
22(,)e (2)2e 0x y x y x f x y x y x --'=-+=
22(,)e (2)4e 0x y x y y f x y x y y --'=---=
得两个驻点 )0,0(，)2,4(--， （2）求),(y x f 的二阶偏导数
22(,)e (242)x y xx
f x y x y x -''=-++ 22(,)e (224)x y xy
f x y y x x y -''=--- 22(,)e (284)x y yy
f x y x y y -''=-+- （3）讨论驻点是否为极值点
在)0,0(处，有2=A ，0=B ，4-=C ，082>=-AC B ，由极值的充分条件知 )0,0(不是极值点，0)0,0(=f 不是函数的极值； 在)2,4(--处，有2
e 6--=A ，2
e
8-=B ，2e 12--=C ，0e
84
2<-=--AC B ，而0<A ，
由极值的充分条件知 )2,4(--为极大值点，2e 8)2,4(-=--f 是函数的极大值.
附加题目：已知22
(,)z f xy x y =，求222
22,,z z z
x y x y
∂∂∂∂∂∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）。

解：记22,u xy v x y ==，则22(,)z f xy x y =由(,)z f u v =与22,u xy v x y ==复合
而成。

22u v z
f y f xy x
∂''=⋅+⋅∂ ()
22
2
2u v z z f y f xy x x x x ∂∂∂∂⎛⎫''==⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()2222222uu
uv vu vv v f y f xy y f y f xy xy f y '''''''''=⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅。