ch2 逻辑代数
逻辑代数 逻辑推理 数学运算
逻辑代数逻辑推理数学运算逻辑代数、逻辑推理与数学运算逻辑代数是一门研究逻辑关系和运算规则的数学分支。
它对于逻辑推理和数学运算有着重要的应用。
本文将从逻辑代数、逻辑推理和数学运算三个方面展开讨论，探究它们之间的关系和应用。
一、逻辑代数逻辑代数是一种通过数学方法来研究逻辑关系的工具。
它使用符号和运算规则来描述和分析逻辑关系。
逻辑代数的基本概念包括逻辑变量、逻辑运算和逻辑表达式。
逻辑变量表示逻辑关系中的不同元素或命题。
它可以取两个值，分别是真和假。
逻辑运算是对逻辑变量进行操作的方式，常见的逻辑运算有与、或、非等。
逻辑表达式是由逻辑变量和逻辑运算符组成的表达式，它可以表示逻辑关系的复杂性。
逻辑代数的运算规则包括交换律、结合律、分配律等。
这些规则可以帮助我们简化和分析逻辑表达式，从而更好地理解和应用逻辑关系。
二、逻辑推理逻辑推理是基于逻辑关系和逻辑代数运算规则进行的推理过程。
通过逻辑推理，我们可以从已知的条件中得出结论，或者验证一个命题的真假。
逻辑推理的基本方法包括直接推理、间接推理和假设推理。
直接推理是通过已知的条件直接得出结论，间接推理是通过已知的条件和一系列推理步骤得出结论，假设推理是通过假设一个条件，然后推导出结论。
逻辑推理可以帮助我们解决问题、验证论证的正确性，并且在数学、哲学、计算机科学等领域有广泛的应用。
三、数学运算数学运算是一种通过符号和规则对数学对象进行操作的方式。
常见的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在逻辑代数中，数学运算可以用来描述和分析逻辑关系。
例如，逻辑与运算可以用数学乘法来表示，逻辑或运算可以用数学加法来表示。
数学运算有一些基本性质，例如交换律、结合律、分配律等。
这些性质可以帮助我们简化和分析数学表达式，从而更好地解决数学问题。
四、逻辑代数、逻辑推理与数学运算的关系逻辑代数、逻辑推理和数学运算之间有着密切的关系。
逻辑代数提供了描述和分析逻辑关系的工具，逻辑推理则是基于逻辑关系和逻辑代数运算规则进行的推理过程，而数学运算则是一种对数学对象进行操作的方式。
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数的基本运算法则
逻辑代数是描述、分析和简化逻辑线路的有效的数学工具，它又称为开关代数或布尔代数。
逻辑代数的变量（简称逻辑变量）的取值范围只有“0”或“1”。
“0”与“1”不表示数量的多少，而是表示具体问题的两种可能。
例如，用“0”与“1”代表开关线路中开关的断开和接通，电压的低和高，晶体管的截止和导通，信号的无和有两种物理状态。
一个复杂的开关线路总是由若干个开关元件组成。
这种相互联系的关系反映到数学上就是几种逻辑运算。
逻辑加、逻辑乘和逻辑非。
这三种逻辑运算反映了实际中开关元件之间最基本的联系。
(1)逻辑加（“或”运算），或门对应的逻辑运算是“逻辑加”C=A+B。
(2)逻辑乘（“与”运算），与门对应的逻辑运算是“逻辑乘”C=A×B。
(3)逻辑非（“非”运算），“逻辑非”运算和非门相对应，记为B=。
逻辑代数的
逻辑代数的逻辑代数的基本知识1、定义逻辑代数(布尔代数)：数学方法描述自然界和社会的各种因果关系(逻辑关系)的方法称为逻辑代数。
逻辑代数的特点：①变量取值只有0和1两个；②只有三种且基本运算：逻辑乘(与运算)、逻辑加(或运算)、逻辑否定(非运算或称求反)。
数字电路也称逻辑电路或开关电路。
(1)逻辑电平：数字电路中输入、输出信号大小均以逻辑值表示，电路某点电位高于某值(如2.4v)称为高电平“1”，低于某值(如0.4v)称为低电乎“0”。
(2)逻辑约定：两种逻辑约定。
正逻辑：约定高电平为“1”，低电平为“0”。
负逻辑：约定低电平为“1”，高电乎为“0”。
大多数系统中均采用正逻辑。
(3)正险冲与负脉冲：根据所用逻辑电路元件不同，数字电路中工作信号有正脉冲和负脉冲，这两种脉冲都可采用正逻辑或负逻辑约定。
2、基本逻辑运算及其实现——分立元件门电路(1)逻辑“与”(逻辑乘)：决定某事件(f)成立与否的诸条件(a，b，…)必须同时成立，该事件才能成立，这种逻辑关系称为逻辑“与”。
可写成：f<<="" p="" style="margin: 0 px; padding: 0px; font-family: "microsoft yahei"; font-style: normal; color: rgb(5 1, 51, 51); text-decoration: none;"><="" p="" style="margin: 0px; padding: 0px; font-family: "microsoft yahei"; font-style: normal; color: rgb(51, 51, 51); text-decoration: none;">实现“与”运算的最简电路称为与门。
逻辑代数专题知识讲座
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3）非逻辑
非逻辑真值表
A
F
0
1
1
0
当决定某一事件旳条件满足时，事件不发 生；反之事件发生，
“-”非逻辑运算
逻辑体现式 符 逻辑符号
F= A
A
1
F
2、复合逻辑运算
与非逻辑运算
或非逻辑运算
与或非逻辑运算
F1=AB
F2=A+B
F3=AB+CD
3、其他常见运算
1）异或运算
运算规则：相同为0, 相异为1
例： F m1 m3 m5 m7
F m1 m3 m5 m7
= m1• m3 • m5 • m7 = M1 • M3 • M5 • M7
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2.5 逻辑函数旳化简
函数旳简化根据
A• （A + B）=A
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消因律
A+ A B =A+B
某乘积项旳部分因子恰好是另一乘积项 旳补，则该部分因子多出
例：
AB+ ABC =AB+C
包括律
AB+ A C +BC= AB+ A C AB+ A C +BCD= AB+ A C
若两个乘积项旳部分因子恰好互补，而 第三个乘积项具有前两项剩余因子 之积，则第三个乘积项多出
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2、 反演定理
对• 反例于：任演F意规(A一则、种：B逻、辑C函)数A式BF， (做A如下C处) B理：A • B • C • 若把其式反中函旳数运为算符F“ .(”A换成B“) •+A”•, C“+”B •换(A成“ B.”; C)
逻辑代数的公式与基本定理
序号
公式
序号
公式
规律
1
A·0=0
10
A+1=1
0-1律
2
A·1=A
11
A+0=A
0-1律
3
0 1； 1 0
12
4
A·A= A
13
A A
A+A=A
还原律 重叠律
5
A A 0
14
A A1
互补律
6
A·B=B·A
15
A+B=B+A
交换律
7
A·(B·C) = (A·B)·C
16 A+(B+C)=(A+B)+C 结合律
AB CD ABD(E F) AB CD
被吸收
2.反变量的吸收：
证明： A AB A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
例如： A ABC DC A BC DC 被吸收
3.混合变量的吸收：
证明： AB AC BC
1
AB AC ( A A)BC
2
A AB A B
3
AB AB A
4
A(A+B)= A
AB AC BC AB AC
5
AB AC BCD AB AC
6
AAB AB ； AAB A
规律 吸收律 吸收律
吸收律
1.原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+A=BA(1+B=)A•1=A
长中含短，留下短。
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
8
A·(B+C)=A·B + A·C 17 A+B·C =(A+B) ·(A+C) 分配律
《逻辑代数》课件
随着计算机科学的不断发展，逻 辑代数在计算机硬件设计和软件 工程等领域的应用越来越广泛。
逻辑代数的基本概念
命题
命题是逻辑代数的基本元素之一，表示一个陈述 或判断。在逻辑代数中，命题通常用字母表示， 例如A、B、C等。
公式
公式是由命题和运算符组成的表达式，表示一种 逻辑关系或推理规则。公式可以是永真的、永假 的或可变的，取决于其内部元素的逻辑值如何组 合。
逻辑异或运算规则
逻辑异或
记作 A^B，表示两个逻辑量A和B不同时为真时结果才为 真，否则为假。
真值表
与前述运算类似，列出所有A和B的真值组合以及相应的运 算结果。
运算特点
逻辑异或满足交换律和结合律，即A^B=B^A和 (A^B)^C=A^(B^C)。同时，逻辑异或还满足一些其他性 质，如自反律、反对称律等。
03
逻辑表达式的化简
逻辑表达式的化简方法
吸收法
利用A+A=A的性质，将多余的项合并到前 面的项中。
代换法
利用等价的逻辑表达式进行替换，简化表达 式。
消去法
利用A+A=A和A+A=1的性质，消去多余的 项。
分配法
利用A+B+C=A+B+C+ABC的性质，将表 达式中的某些项分配给其他项。
逻辑表达式的化简实例
寄存器
寄存器是用于存储多位二 进制数的元件，常Leabharlann 的寄 存器包括移位寄存器和计 数器等。
逻辑电路的设计方法
真值表法
通过列出输入和输出之间的所有可能组合，确定 逻辑函数表达式的方法。
卡诺图法
通过图形化方法表示输入和输出之间的逻辑关系 ，简化逻辑函数表达式的方法。
课件-02.1逻辑代数的基本概念
7
第二章
逻辑代数基础
信息学院
“或”逻辑用“或”运算描述。其运算符号为“+”，有 逻辑用“ 运算描述。其运算符号为“ ， 时也用“ 表示。两变量“ 时也用“∨”表示。两变量“或”运算的关系可表示为 F = A + B 或者 F = A ∨ B 读作“ 等于A 读作“F等于A或B”。 。 “或”运算的运算法则： 或 运算的运算法则： 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。 实现“ 运算关系的逻辑电路称为“
15
第二章
逻辑代数基础
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二、真值表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相 应函数值的表格称为真值表。 应函数值的表格称为真值表。 三、卡诺图 卡诺图是由表示逻辑变量所有取值组合的小方格所构 成的平面图。 成的平面图
16
第二章
逻辑代数基础
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第 二 章 逻 辑 代 数 基 础
逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重 要数学工具！ 要数学工具！
1
第二章
逻辑代数基础
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本章知识要点： 本章知识要点：
★ ★ ★ ★ 基本概念 ； 基本公理、定理和规则 ； 基本公理、 逻辑函数的表示形式 ； 逻辑函数的化简 。
2
9
第二章
逻辑代数基础
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3．“非” 运算 在逻辑问题中，如果某一事件的发生取决于条件的否定， 在逻辑问题中，如果某一事件的发生取决于条件的否定， 即事件与事件发生的条件之间构成矛盾， 即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称 逻辑。 为“非”逻辑。 “非”逻辑用“非”运算描述。其运算符号为“¯ ”，有 逻辑用“ 运算描述。其运算符号为“ ， 时也用“ 表示。 时也用“￢”表示。“非”运算的逻辑关系可 F= 表示为 或者 F = ￢A 读作“F等于A非”。 即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为0。 ： 为 ， 为 ； 为 ， 为 “非”运算的运算法则： 运算的运算法则： ； 数字系统中实现“ 运算功能的逻辑电路称为“ 数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门， 有时又称为“反相器” 有时又称为“反相器”。
第3章-逻辑代数基础
量F中。 (e) n个变量构成旳最大项有n个相邻最大项。相邻最大项是指
除一种变量互为相反外，其他变量均相同旳最大项。
35
最小项与最大项旳关系
下标i相同旳最小项与最大项互补，即: mi Mi
措施二：
Y AB(C D E)
12
AB AC AB AC 合理( A地利B用)反( A演定C理) 能将某些问题简化
证明：
AA AC AB BC AC AB BC
AC AB
13
３．对偶规则 对于任何一种逻辑体现式F，假如将式中全
部旳“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0” 换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变， 原体现式中旳运算优先顺序不变。那么就能够得 到一种新旳体现式，这个新旳体现式称为F旳对 偶式F*。这个规则叫做对偶规则。
A BD CD BC 25
例3-13 化简 F (B D)(B D A G)(C E)(C G)(A E G)
解：(1) 先求出F旳对偶函数,并对其进行化简 F* BD BDAG CE CG AEG
BD CE CG
(2) 求 F* 旳对偶函数，得F旳最简或与体现式:
F A BC ( A BC)( A BC D)
( A BC) ( A BC)( A BC D)
( A BC)
20
(4)F ABCD ABC F D ABC
(5)F A ACD ABC F A CD ABC A CD BC
(6)F AC AD CD F AC ( A C)D AC ACD AC D
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结合律： + B + C = (A + ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )
数字电子技术 主讲: 蒋冬初 2011-2012第二学期
1.基本公式
反演律（摩根定理）：A + B + C +… = A · B · C ·… A · B · C · … = A + B + C +… 吸收律
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
最小项的表示： 通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为最小项号。
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2.2.2 逻辑函数的最小项表达式
逻辑函数的最小项表达式：
L( ABC ) = ABC + ABC + ABC + ABC
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例2.2.1 将 L( A, B, C ) = (AB + AB + C ) AB 化成最小项表达式
L (A, B, C ) = (AB + AB + C ) + AB
= ( AB ⋅ AB ⋅ C ) + AB
（去掉非号）
=A + B )(A + B)C + AB (
A + A ⋅ B＝A
A ⋅ ( A + B )＝A A + A ⋅ B＝A + B ( A + B ) ⋅ ( A + C )＝A + BC
其它常用恒等式 AB＋AC＋BC＝AB + AC AB＋AC＋BCD＝AB + AC
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2. 基本公式的证明 (真值表证明法)
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2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 1.基本公式
0、1律： + 0 = A A A+1=1 A+A=A A+A=1 A·0=0 A·1=A A·A=A A·A=0 A·B=B·A A · B · C = (A · B) · C A =A
交换律： + B = B + A A
例2.1.8 已知逻辑函数表达式为
L = ABD + A B D + ABD + A B C D + A B CD
求:（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图； （2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 解： L = AB( D + D ) + A B D + A B D( C + C )
ABC
C
ABC
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
= ABC + ABC + AB
= ABC + ABC + AB (C + C )
（去括号）
= ABC + ABC + ABC + ABC
= m3 + m5 + m7 + m6 = ∑ m(3,5,6,7)
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2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数
1. 卡诺图的引出 将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻 的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样所得到的图 形叫n变量的卡诺图。 逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反 变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC 与 m7 =ABC 在逻辑上相邻 m6 m7
L = AC + C D
= AC + C D
= AC ⋅C D
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2、逻辑函数的化简方法 化简的主要方法： １）公式法（代数法） ２）图解法（卡诺图法） 代数法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。
1 并项法: A + A =
= AB (C + C ) AB = L = AB C + ABC
对偶式的性质： 1）当某个恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。 2）函数表达式的对偶式再进行对偶运算，所得到的表达式为 原函数表达式。
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2.1.3 逻辑函数的代数法化简
1、逻辑函数的最简与-或表达式 在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的 与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与或表达式。 “与-或” 表达式 L = AC + C D
A ABC A B C 、 B C 、 BC 、 BC、 B C 、 B C、ABC 、 A A A A
A B 、 A BCA 、A(B+C)等则不是最小项。
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2、最小项的性质
A B
三个变量的所有最小项的真值表
A B C A BC A BC AB C AB C ABC
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2.2.1 最小项的定义及其性质
1. 最小项的意义 n个变量X1, X2, …, Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量 都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现 一次。一般n个变量的最小项应有2n个。 例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（23＝）8个，即
0 0 0 1 0 0 0 0
m4
0 0 0 0 1 0 0 0
m5
0 0 0 0 0 1 0 0
m6
0 0 0 0 0 0 1 0
m7
ABC
C
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
ABC 1
A B C A BC 0 0
A BC AB C
AB C ABC
L = A B C + AB C = A B C + AB C
= A+ B +C + A+ B +C
= A+ B +C + A+ B +C
A
≥1 ≥1
A+ B+C
B
≥1 ≥1
≥ 1
A+ B+C
≥1
L
C
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2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.2.1 最小项的定义及性质 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数
逻辑代数
又称布尔代数，英国数学家George·Boole（1815-）提出， 1854年问世，它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数 学工具。 逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式 进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。 逻辑关系是指事件产生的条件和结果之间的因果关系。
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2. 反演规则
对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（• ）换成 或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量 换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数 的反函数 L。 两个原则： 1）保持原有运算的优先级 2）对于反 变量以外的非号应保留不变 例2.1.1 试求 L = A B + CD + 0 的非函数 解：按反演规则 L = (A + B) ⋅ (C + D ) ⋅ 1 = ( A + B )(C + D ) 用反演律？
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代数法化简在使用中遇到的困难： 1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所 有公式熟练掌握； 2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验 和灵活性； 3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。
A+AB=A+B
配项法： A + A = 1
L = AB + A C + BC = AB + A C + ( A + A ) BC
=AB + A C + ABC + A BC
= ( AB + ABC ) + ( A C + A C B )
=AB + A C
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• 为“与或”逻辑表达式； • 在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。 例： 将 L( A, B, C ) AB + AC 化成最小项表达式 =
L( A, B, C ) AB (C + C ) + A( B + B )C =
= ABC + ABC + ABC + ABC
= m7＋m6＋m3＋m1