第五章 电容元件与电感元件

du duc 1 2 1 2 1 2 wC = ∫−∞ Cu dt = Cu ( t ) = Cu ( t ) − Cu ( −∞) c c c c 2 2 dt 2 −∞
t 若uc ( −∞ )=0 t
=
1 2 1 2 Cu ( t ) = q ( t ) ≥ 0 c 2 2C
2. 储能元件
wC 1 2 = Cu c 2
5.7 电容与电感的对偶性 状态变量
电容元件与电感元件的比较： 电容元件与电感元件的比较：
电容 C 变量 电压 u 电荷 q 关系式
q = Cu du i =C dt 1 2 1 2 wC = Cu = q 2 2C
电感 L 电流 i 磁链 ψ
ψ = Li
di u=L dt 1 2 1 2 wL = Li = ψ 2 2L
二、线性时不变电容元件
线性定常电容元件：任何时刻， 线性定常电容元件：任何时刻，电容元件 极板上的电荷q与电压 成正比。 极板上的电荷 与电压 u 成正比。 线性电容的q~u 特性是一条通过原点的直线， 特性是一条通过原点的直线 是一条通过原点的直线， 线性电容的 且不随时间变化。 且不随时间变化。
0
二、电容电压的连续性质
若电容电流 i( t ) 在闭区间 [ ta 、 tb ] 内为 有界的， 在开区间（ 有界的，则电容电压 uC(t) 在开区间（ ta 、 tb ）内为连续的。 内为连续的。 特别是对任何时间 t , ta< t < tb ，有 uC ( t- ) = uC ( t+ )
w L ( t 2 ) < w L ( t 1 )元件放电，释放能量 元件放电，
五、电感电流不能跃变（连续性） 电感电流不能跃变（连续性）
1 2 电感 L 储存的磁场能量 wL = LiL ( t ) 2
wL
不能突变
i L 不能突变
电感电流不能跃变
iL( 0 + ) = iL( 0 − )
例1: 有一电感元件，L=0.2H,电流 i 如图所示，求电 有一电感元件， 电流 如图所示， 感元件中产生的自感电动势e 和两端电压u的波形 的波形。 感元件中产生的自感电动势 L和两端电压 的波形。 解：当 0 ≤ t ≤ 4ms 时
隔直作用（ 有隔直作用（电压变化律为0）；
(4) 电容元件是一种连续元件。 uC (0+ ) = uC (0−) 电容元件是一种连续元件。
5. 5-5.6 电感元件 (inductor)及其 及其VCR 及其
一、元件特性
+ 描述线圈通有电流时产生磁场、 描述线圈通有电流时产生磁场、 储存磁场能量的性质。 储存磁场能量的性质。 电流通过一匝线圈产生 电流通过一匝线圈产生 一匝 电流通过N匝线圈产生 电流通过 匝 电感: 电感
1 2 1 −3 2 所以 W = Li = × 0.2 × (4 × 10 ) J 2 2 = 16 × 10−7 J
小结
(1) u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关； 成正比， 的大小无关； 的大小与 (微分形式 微分形式) 微分形式 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt； ， 为关联方向时， u，i 为非关联方向时，u= – L di / dt 。 ， 关联方向时， (2) 电感元件是一种记忆元件； (积分形式 电感元件是一种记忆元件； 积分形式 积分形式) (3)电感在直流电路中 电感在直流电路中di/dt =0 → u=0，相当于短路， 短路， 电感在直流电路中 ， 电流变化律＝ 具有通直作用（电流变化律＝0 ）； (4) 电感元件是一种连续元件。iL(0+) = iL(0−) 电感元件是一种连续元件。
(1) u>0，du/dt>0，则i>0，q ↑，正向充电 电流流 正向充电(电流流 ， ， ， 向正极板)； 向正极板 ； (2) u>0，du/dt<0，则i<0，q ↓，正向放电 (电流由 ， ， ， 电流由 正极板流出)； 正极板流出 ；
四、电容的储能
1.瞬时功率 瞬时功率
duc p = uc i = uc ⋅ C dt
u
i
Φ
-
磁通) 磁通 Φ(磁通 磁链) 磁链 ψ = NΦ(磁链
ψ NΦ ( H、mH) 、 L= = i i
i + L u –
电路符号
二、线性时不变电感元件
线性定常电感元件：任何时刻， 线性定常电感元件：任何时刻，电感元件的磁链
ψ 与电流 i 成正比。 成正比。
韦安（ 韦安（ψ ~i ）特性
ψ α
i + u – + C –
与电容有关两个变量: 与电容有关两个变量 C, q 对于线性电容， 对于线性电容，有： q =Cu
q C = u
C 称为电容器的电容
的单位： 法 电容 C 的单位：F (法) (Farad，法拉 ，法拉) F= C/V = A•s/V = s/ Ω 常用µ ， ， 等表示 等表示。 常用µF，nF，pF等表示。
i/m A
4 2
i = t mA 则： di eL = − L = −0.2V dt dt 所以 u = −eL = 0.2V
当 4ms ≤ t ≤ 6ms 时
O
0.4
2 4 6
t/m s
eL/V
-0.2
O
2 4 6
t/m s
i = (−2t + 12)mA 0.2 di eL = − L = −0.2 × ( −2)V = 0.4V O dt -0.4 所以 u = −eL = −0.4V
1 2 w L = Li 2
i ( t2 ) i ( t1 )
若i ( −∞ ) = 0
1 2 1 2 Li ( t ) = = ψ (t ) ≥ 0 2 2L
1 2 1 2 = Li ( t 2 ) − Li ( t 1 )= w L ( t 2 ) − w L ( t 1 ) 2 2
w L ( t 2 ) > w L ( t 1 )元件充电，吸收能量 元件充电，
结论
(1) 元件方程是同一类型； 元件方程是同一类型； (2) 若把 u-i，q-ψ ，C-L互换 可由电容元件 互换,可由电容元件 ， 互换 的方程得到电感元件的方程； 的方程得到电感元件的方程； (3) C 和 L称为对偶元件 Ψ 、q等称为对偶 称为对偶元件, 称为对偶元件 等称为对偶 元素。 元素。
动态电路
动态元件：伏安关系涉及对电流、 动态元件：伏安关系涉及对电流、 电压的微分或积分 微分或积分的元件称为动态元 电压的微分或积分的元件称为动态元 件。 动态电路： 动态电路：至少包含一个动态元件 的电路称为动态电路。 的电路称为动态电路。
5.1-5.4 电容元件 (capacitor)
一、元件特性
0
L= ψ /i
i
特性是过原点的直线 线性电感的ψ ~i 特性是过原点的直线
三、电感的VCR 电感的
1.自感电动势： e L 1.自感电动势： 自感电动势
i
dψ di = − = −L dt dt
+
u
L eL
-
+
自感电动势方向的判定 (1) 自感电动势的参考方向
电感元件的符号
规定:自感电动势的参考方向与电流参考方向相同 规定:自感电动势的参考方向与电流参考方向相同, 与电流参考方向相同, 或与磁通的参考方向符合右手螺旋定则。 方向符合右手螺旋定则 或与磁通的参考方向符合右手螺旋定则。
u/V
2 4 6
t/m s
i/m A
由图可见： 由图可见： (1)电流正值增大时，eL为负， 电流正值增大时， 为负， 电流正值增大时 电流正值减小时，eL为正； 电流正值减小时， 为正； (2)电流的变化率di/dt大，则eL 电流的变化率d 大 电流的变化率 大；反映电感阻碍电流变化的 性质。 性质。 (3)电感两端电压 和通过它的 电感两端电压u和通过它的 电感两端电压 电流i的波形是不一样的。 电流 的波形是不一样的。 的波形是不一样的
0 0
u,i o
i u
(3) u<0，du/dt<0, ， 则i<0，q↑，反向 ， ↑ ω t 充电 (电流流向负 电流流向负 极板)； 极板 ； u
+
i u + +
i u -
i
u
+
i
充电 放电 充电 放电
(4) u<0，du/dt>0， ， ， 则i>0，q ↓，反向放 ， 电 (电流由负极板流 电流由负极板流 出)； ；
(2) 自感电动势瞬时极性的判别
i
+ u eL
i
+
eL实 实
+ u eL
eL实 实
- +
-
- +
+
di i >0 dt di eL = − L < 0 dt
eL与参考方向相反
di i <0 dt di eL = − L > 0 dt
eL与参考方向相同
eL具有阻碍电流变化的性质
2.电感的 电感的VCR 电感的
u, iL 取关联参考方向
iL + – u eL – + L
dψ diL u= =L dt dt
或
1 t udt = 1 t udt + 1 tudt i (t)= ∫−∞ L L L ∫−∞ L ∫t 1 tudt =i (t )+ ∫t L L
0 0 0 0
四、电感的储能 di p = ui = i L dt t di w L = ∫− ∞Li dt dt 储能元件
第二篇
动态电路的时域分析
第五章 电容元件与电感元件