全等三角形 尺规作图
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
八年级数学上册全等三角形. 尺规作图 经过一已知点作已知直线的垂线
13．4 尺规作图
第3课时 经过(jīngguò)一已知点作已知直线的垂线
第一页，共九页。
第二页，共九页。
知识点❶ 经过已知直线上一点作已知直线的垂线(chuí xiàn) 1．(例题1变式)如图，求作已知锐角∠α的余角．
解：作法：(1)作∠AOB＝∠α；(2)延长BO至点C，作平角∠BOC的平分线OD，使OD，OA在 直线BC的同侧，则∠AOD就是所要求作的角
Image
12/13/2021
第九页，共九页。
解：如图，AH即为所求
第七页，共九页。
5．(青岛中考)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段(xiànduàn)c，直线l及l外一点A. 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.
解：如图，△ABC即为所求
第八页，共九页。
内容 总结 (nèiróng)
第四页，共九页。
3．(练习题1变式)如图，已知点P和直线l，求作点P关于(guānyú)直线l的对称点P′. 解：作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则 点P′就是所要求作的点
第五页，共九页。
第六页，共九页。
4．(练习题2变式)如图，在△ABC中，作出BC边上(biān shànɡ)的高AH.(不写作法，保留作 图痕迹)
No 第13章 全等三角形。(2)延长BO至点C，作平角∠BOC的平分线OD，使OD，OA在直线
(zhíxiàn)BC的同侧，则∠AOD就是所要求作的角。2．(习题4变式)如图，已知线段a和b(a＜b)，求作 一个直角三角形，使它的一条直角边长等于线段a，斜边长等于线段b.。(3)以点B为圆心，线段b为 半径作弧，交AD于点C，连结BC，则△ABC就是所要求作的直角三角形
八年级上册数学 13全等三角形 尺规作图 第一课时 尺规作图(1)线段、角2
弧，两弧相交于x点。
思考题
▪ 、已知：角∠α，线段m。 ▪ 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
《课课练》P51-P52 第1课时尺规作图 全做
1、作一条线段等于已知线段
已知：线段MN。求作线段AC ，使AC＝MN。
作法： 1、画射线AB； 2、用圆规量出线段MN的长，在射线AB上截取AC＝ MN。
线段AC就是所要画的线段。
2、作一个角等于已知角
▪ 已知： ∠AOB
▪ 求作： ∠A`O`B`,使 ∠A`O`B`=∠AOB
B
O
A
B D
B` D`
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
▪ 在几何里,把限定用直尺和圆规来画
图,称为尺规作图.最基本,最常用的 尺规作图,通常称基本作图.
▪ 其中,直尺是没有刻度的;
▪ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
▪ 下面再介绍几种基本作图:
A
B
C
D
3、已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠ α
a c
α
作法:1)作一条线段BC=a 2)以B为顶点,BC为一边,作,∠DBC=∠ α
3)在射线BD上截取线段BA=c 4)连接AC, ΔABC就是所求作的三角形
练习： 1、分别画出满足下列条件的三角形ABC （1）已知两边及夹角 （2）已知两角及夹边
a
·· ·b ·
a
·a ·
a
β
（3）已知三边
第15讲 全等三角形与尺规作图
第15讲 全等三角形与尺规作图
总纲目录
泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习
总纲目录
栏目索引
泰安考情分析
泰安考情分析 栏目索引
基础知识过关 栏目索引
基础知识过关
知识点一 全等三角形的性质与判定 知识点二 角平分线的性质 知识点三 线段垂直平分线的性质 知识点四 三角形中位线定理 知识点五 尺规作图
图 知角
于点P、Q;2.作射线O'A;3.以O'为圆心,OP长为半径作
弧,交O'A于点M;4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,两
弧交于点N;5.过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求作的
角
作已知角的平分 线
作线段的垂直平 分线
1.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于
1
点N、M;2.分别以点M、N为圆心,大于2 MN长为半径
泰安考点聚焦 栏目索引
例3 如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心, 以大于 1BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交AB
2
于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为 105° .
泰安考点聚焦 栏目索引
解析 ∵MN为BC的垂直平分线, ∴△BCD为等腰三角形,∵∠B=25°, ∴∠BCD=25°,∴∠CDA=∠B+∠BCD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠ CDA=50°, ∴在△ACD中,∠ACD=80°, ∴∠ACB=105°.
基础知识过关 栏目索引
拓 已知一直角边长m 1.画两条互相垂直的直线,垂足为C,在其中一边上截
展 和斜边
取CA=m;
类 长n作直角三角形 2.以点A为圆心,n为半径画弧,与另一边交于点B;
专题三 与全等三角形相关的尺规作图
1
2
3
4
3.
过程性学习 (2024重庆北碚区期末)如图，矩形 ABCD 中， AC 为其对角
线，过点 B 作 BE ⊥ AC 于点 E .
(1)用直尺和圆规，作∠ CDF ，使∠ CDF ＝∠ ABE ， DF 交 AC 于点 F ，交 BC 于点 G； (2)小明思考此时的 DF 是否会垂直 AC ，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三 角形全等来推导 DF ⊥ AC . 根据小明的思路，完成以下填空：
第十二章 全等三角形
专题三 与全等三角形相关的尺规作图
建议用时：20分钟 1. 用尺规作图. 已知：如图，线段 a 及锐角∠α. 求作：△ ABC ，使∠ B ＝∠α， AB ＝ BC ＝ a .
`
1
2
3
4
2. 如图，利用尺规，在△ ABC 的边 AC 上方作∠ CAE ＝∠ ACB ，在射线 AE 上截取
1
2
3
4
AB ∥ CD
∠ AEB ＝∠ CFD ∠ AEB ＝90°
1
2
3
4
4. 在学习了全等三角形的判定方法“SAS”后，小明想：“SSA(即两边及其中一边 的对角对应相等)能否判定两个三角形全等呢？”带着这个问题，请同学们作如下 探索： (1)如图1，2，已知线段 a ， b 及∠α，画△ ABC ，使∠ B ＝∠α， BC ＝ a ， AC ＝ b ；(尺规作图，保留作图痕迹)
1
2
34Biblioteka (2)观察(1)中你所画的图形，你认为“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角 形全等(SSA)”是真命题还是假命题？ 解：(2)假命题.
全等三角形尺规作图
全等三角形尺规作图xx年xx月xx日CATALOGUE目录•全等三角形基本概念•全等三角形尺规作图基本法则•尺规作图的技巧和方法•尺规作图的实例分析•尺规作图的应用和意义01全等三角形基本概念两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边相等。
全等三角形的记号是“≌”，读作“全等形ABCD”或“三角形ABC全等于三角形DEF”。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角平分线相等。
SSS（Side-Side-Side）：如果三角形的三条边相等，则它们全等。
AAS（Angle-Angle-Side）：如果三角形的两个角相等且这两个角的夹边相等，则它们全等。
ASA（Angle-Side-Angle）：如果三角形的两个角相等且其中一个角的对边相等，则它们全等。
SAS（Side-Angle-Side）：如果三角形的两条边相等且这两条边的夹角相等，则它们全等。
全等三角形的判定方法02全等三角形尺规作图基本法则无刻度直尺只限制长度测量，无法进行面积、角度等测量。
圆规可以用来画圆和圆弧，也可以用来复制图形。
尺规作图的基本概念直接法通过圆规和无刻度直尺，直接画出全等三角形。
间接法通过画出一个三角形，再使用圆规和无刻度直尺，间接画出全等三角形。
全等三角形的尺规作图方法画出三角形使用圆规，以点A为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点C；再以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点D；连接CD得到三角形ABC。
确定两个已知点确定两个已知点A和B，并连接两点得到线段AB。
判断全等通过比较AC和BC的长度，可以判断三角形ABC和三角形DEF是否全等。
作图步骤03尺规作图的技巧和方法1作图技巧23明确要画的图形，了解所需条件和限制条件。
确定作图目标根据已知条件逐步推导，按照顺序将图形画出来。
画图步骤检查画出的图形是否符合题目要求，确保准确性。
检验作图结果根据等边三角形的性质，通过平分已知角度或边长即可得到三个等边三角形。
7全等三角形的尺规作图
第7讲三角形的尺规作图一、教学目标理解尺规作图的含义，掌握尺规作图的步骤。
二、知识点梳理1、尺规作图定义：只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图。
注意：尺规作图中的直尺没有刻度。
2、已知三边作三角形已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，c求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b作法与示范：（1）作线段AB=c（2）以点A为圆心，b为半径画弧（3）以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C（4）连接AC，BC，△ABC即为所求3、已知两边及其夹角作三角形已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，∠α求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b作法与示范：（1）作∠MBN=∠α（2）在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b（3）连接AC，则△ABC为所求作的三角形4、已知两角及其夹边作三角形已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：∠α，∠β，线段a求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a作法与示范：（1）作线段AB=a（2）在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形三、典型例题例1 下列作图属于尺规作图的是（）A、用量角器画出∠AOB的平分线B、用圆规和直尺作∠AOB等于已知的∠αC、用刻度尺画线段AB=3 cmD、用三角板作直线AB的平分线例2 如图13-4-1，已知：线段a、b。
求作：△ABC，使AB=2a，AC=b，BC=a。
例3 如图13-4-3，已知：线段m，n，∠α。
求作：△ABC，使AB=2m，AC=2n，∠A=∠α。
例4 如图13-4-5，已知：线段a和∠α。
尺规作图等腰三角形全等三角形及直角坐标
尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、 掌握尺规作图的方法，学会用几何语言描述作图过程2、 巩固全等三角形和等腰（等边）三角形的判定证明，加强用几何语言描述的能力3、 掌握平面直角坐标系及相关概念，类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想． 教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、 选择题(1)一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）,（-2，-1）,（2，1）,则第四个顶点的坐标为（ ）A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3）(2)右图中是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可以表示为( )A.(0，3)B.(2，3)C.(3，2)D.(3，0)(3)已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限(4) 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( )A.经过原点B.平行于y 轴C.平行于x 轴D.以上说法都不对(5)在平面直角坐标系中，以点P(-1,2)为圆心，1为半径的圆与x 轴有（ ）个公共点A ．0B ．1C ．2D ．3(6) 如图，把图①中△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A 'B 'C '，如果图①的△ABC 上点P 的坐标是),(b a ，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标是A ．)3,2(--b aB ．)3,2(--b aC ．)2,3(++b aD ．)3,2(++b a2、填空题(1) 在平面直角坐标系中，点P)1,1(2+-m 一定在第 象限． (2)一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1）、（-1，2）、（3，-1），则第四个顶点的坐标为 ． (3)点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ．(4)将点P(-3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x,-1)，则xy=_________．A B C3、在所给的图中按所给的语句画图:①连结线段BD; A②过A、C画直线AC；③延长线段AB；④反向延长线段AD． C DE4、如图，使用圆规和直尺分别画出∠AOB和∠BOC的角平分线OM和ON，并说明作图过程．如果∠MON=68º，那么∠AOC应为多少度？5、如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．6、如图，在△ABC中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全等三角形的判定（SSS）1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，•则下面的结论中不正确的是( )A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.全等三角形的判定方法SAS 专题练习1.如图，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD2.能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是（ ） A ．AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，∠C=∠C ′ B. AB=A ′B ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C ′ C. AC=A ′C ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C D. AC=A ′C ′， ∠C=∠C ′，BC=B ′C3.如图，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD= ， 根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．4.如图，已知BD=CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ， 则还需添加的条件是 。
5.如图，AD=BC ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△BAC ， 则还需添加的条件是6.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ， 请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． 解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵∴△ABD ≌△ACD （ ）7.如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ， 求证:△AOB ≌△COD 证明：在△AOB 和△COD 中 ∵∴△AOB ≌△COD( )38.已知：如图，AB=CB ，∠1=∠2 △ABD 和△CBD 全等吗？9.已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1 =∠2 。
试说明：△ABD ≌△ACE 。
10.已知：如图，△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AD=BD ， DC=DE ， ∠C=50°。
求∠ EBD 的度数。
三角形全等的条件（ASA ）一、选择题1．已知AB=A ′B ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′的根据是（ ） A ．SAS B ．SSA C ．ASA D ．AAS2．△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ） A ．AC=DF B ．BC=EF C ．∠A=∠D D ．∠C=∠F 3．如图1，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5EDCBAOD CBAEDCB A12(1) (2) (3)二、填空题4．如图2，已知AB ∥CD ，欲证明△AOB ≌△COD ，••可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）5．如图3，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，∠1=∠2，欲得到BE=CE ，•可先利用_______，证明△ABC ≌△DCB ，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到BE=CE ．6．如图4，AC 平分∠DAB 和∠DCB ，欲证明∠AEB=∠AED ，•可先利用___________，证明△ABC ≌△ADC ，得到______=_______，再根据________•证明______≌________，即可得到∠AEB=∠AED ．ED CBA21E DBA(4) (5) 三、解题题7．如图5，AC=AE ，∠C=∠E ，∠1=∠2，求证△ABC ≌△ADE ．8．已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′分别是BC 和B ′C ′边上的高，AD •和A ′D ′相等吗？为什么？9．如图，已知BD=CE ，∠1=∠2，那么AB=AC ，你知道这是为什么吗？21E DCA510．已知如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ， （1）图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）（2）小明说：欲证BE=CD ，可先证明△AOE ≌△AOD 得到AE=AD ，再证明△ADB •≌△AEC 得到AB=AC ，然后利用等式的性质即可得到BE=CD ，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．（3）要得到BE=CD ，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．OEDASSS 答案1.C ；2.C. 3、AC=A 1C 1 4、CE ，△ABF ≌△CDE. 5、证明△ABE ≌△ACE.6、连接BC ，证明△ABC ≌△DCB.7、⑴证明△ADE ≌△CBF ；⑵证明∠AEF=∠CFE.8、⑴可添加AE=CF 或添加AF=CE ，证明△DEC ≌△BFA ；⑵由⑴得∠BFA=∠DEC ，∴DE ∥BF. SAS1. A2. D3. ∠COB SAS CB4. ∠CDA=∠BDA5. ∠DAB=∠CBA 6 ∠BAD=∠CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS 7.OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD SAS 8.AB=CB ∠1=∠2 BD=BD∴ △ABD ≌△CBD (SAS)9 ∵ ∠1=∠2 ∴∠BAD=∠CAE ∴ AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴ △ABD ≌△ACE (SAS) 10. ∵ AD=BD ∠ADC=∠BDE DC=DE ∴△ADC ≌△EBD (SAS)∴ ∠CAD=∠EBD又 ∠C=50° ∴ ∠EBD=40° ASA 答案:1．C 2．A 3．B 4．AB=CD 或OA=0C 或OB=OD 5．AAS ；AB DC ；AAS ；△ABE ；△DCE 6．ASA ；AB ；AD ；SAS ；△ABE ；△ADE7．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE ，又∵AC=AE ，∠C=∠E ，∴△ABC ≌△ADE 8．相等，证△ABD ≌△A ′B ′D ′9．由∠1=∠2得∠ADB=∠AEC ，再用AAS 证△ABD ≌△ACE10．①△AOE ≌△AOD ，△BOE ≌△COD ，△AOB ≌△AOC ，△ABD ≌△ACE ；②正确；③比如：可先证明△AOE ≌△AOD 得到OE=OD ，再证明△BOE ≌△COD 得到BE=CD尺规作图知识要点一．尺规作图、基本作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．最基本、最常用的尺现作图，通常称基本作图．二．作一个角等于已知角：已知：∠AOB（图3-42）．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB.图3-42作法：1．作射线O'A'.2．以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．3．以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O'A'于C'．4．以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．5．经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．证明:连结CD、C'D'．由作法可知△C'O'D'≌△COD(SSS)，∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等)，即∠A'O'B'=∠AOB．Ⅲ．经过一点作已知直线的垂线．三．平分已知角：已知：∠AOB（图3-43）．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：1．在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．2．分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．3．作射线OC．OC就是所求的射线．证明：连结CD、CE，由作法可知△ODC≌△OEC（SSS），∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应角相等），即∠AOC＝∠BOC．四．经过一点作已知直线的垂线：（1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C（图3－44）．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线．图3-44 图3-45 证明：由作法可知，∠ACF=∠BCF= ．∵∠ACB=180°（平角的定义）∴∠ACF=90°，即 CF是AB的垂线．（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C（图3-45）．求作：AB的垂线，使它经过点C．7作法：1．任意取一点K，使K和C在AB的两旁．2．以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．3．分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．4．作直线CF．直线CF就是所求的垂线．五．作线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．已知：线段AB（图3-46）．求作：线段AB的垂直平分线．图3-46作法：1．分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．。