学习电动力学的数学准备
电动力学
英国物理学家和化学家。
最主要贡献：1831年发现了电磁感应现象。 1834年他研究电流通过溶液时产生的化 学变化，提出了法拉第电解定律。这一定 律为发展电结构理论开辟了道路。 1845年9月13日法拉第发现，一束平面偏 振光通过磁场时发生旋转，这种现象被称 为“法拉第效应”。法拉第认为光具有电 磁性质，是光的电磁波理论的先驱 1852年他引进磁力线概念。 他的很多成就不仅非常重要、且是带根 本性的理论。
单位张量与矢量、 张量的点乘
I C C I C I AB AB I AB
I : AB A B
2 B A 1.计算 A B A B 2.证明 M b a c a b c 与矢量 c 垂直,即 M c 0
林斯顿。遵照他的遗嘱，不举行任何丧礼，不筑坟 墓，不立纪念碑，骨灰撒在永远对人保密的地方， 为的是不使任何地方成为圣地。 爱因斯坦的后半生一直从事寻找大统一理论的工作， 不过这项工作没有获得成功，现在大统一理论是理 论物理学研究的中心问题。 爱因斯坦是耶路撒冷希伯来大学的注册商标
§2 矢量代数与张量初步
难点：公式多、数学推导较繁杂；解题难度大、
相对论概念不易理解。
二、电动力学与电磁学的联系与区别
范围
既讨论静场又讨论变化场，外加相对论。
深度
从矢量场论出发，总结电磁现象普遍规律，解题更具一般性。
方法
建立模型、求解方程、注重理论。
数学
矢量分析与场论、线性代数、数理方程、特殊函数 „
三、理论物理的特点
电动力学基础知识必备
内容：1.勒维-齐维塔记号2.基本矢量运算公式3.亥姆霍兹定理的两种表述形式1.勒维-齐维塔记号定义勒维-齐维塔(Levi _Civita )记号j为:+ 1 ijk是123的偶排列-1 ijk是123的奇排列(1)0 ijk中有两个指标相同-勒维-齐维塔记号的一个重要等式:ijk mnk —im •:f jn - in 门jm2.基本矢量运算公式2.1两矢量叉乘的矩阵表示用e i> e j和e k分别表示直角坐标系x y和z轴的单位向量，则可知有如下关系成立e i ej = ' ；ijkekk因此A B 八A i e i 、B j e ji j即有八A j B j e e j ij-A i B j -'-ijk e k = ' "jk A i B j e kij k ijkh[A y B z -A z B y e x A z B x -A x B z £A x B y - A y B x e zi j kA xB = A x A y A zB x B y B z2.2三个矢量间的混合积和双重矢量积利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式:上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的性质 ⑵式。
2.3 '算符的线性运算性质对任意的数量场u 、v 以及矢量场a 、b ，根据' 算符的定义以及矢量的标量积和矢量 积的分配律，容易验证 ' 算符具有如下线性运算性质：''、C i U C 2V 二 C i' u C 2 \ v(9) 1 ■ c 1a ■ c 2b =5'、 a ■ c^ b(10) < •c 1 a ■ c 2b = c^ a - c 2'- b(11)三个矢量的混合积双重矢量积 A 汉(B ：<C )= B ( A C J-C f A ，B )上述两公式的证明如下：丄混合积公式的证明A iA A A (B XC )=A 送®ijk BjC k e i =迟 E |jk B j C k ( A €j )=送 S ijk A i B j C k =B iB jB ijk ijk ijkC i C j CA B C =BC A 二C A B由行列式可以看出混合积对 A 、B 和C 具有轮换对称性，即有: A B C = C A B 二 B C A 1双重矢量积公式的证明 即有:A 況(B XC )=送 A j ijijijj e j j J ■— "m nk B m C n A je jekmnk—"m nk B m Cn A j I.叮 jki e im nkBm C n A j I.「ijk e imnkij mnk-〔'mnk ；ijk B m C n A j e i = '''：im ' ； jn一 ' ： in ' ： jm B m C n Aj ei mnkij mnB iC j A j -B j C i A j eB i AC -C i A B e ：二B AC ：；「C A BA B C =BAC -C A B(8)式中G 、c 2为任意常数。
第0章 电动力学的数学基础
(2)两个矢量的叉乘 ) 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量, 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量,称为矢积或 外积. 外积.其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边 形的面积,方向满足右手螺旋法则. 形的面积,方向满足右手螺旋法则.
a×b
b a
3. 三个矢量的乘积: 三个矢量的乘积
(1)三个矢量的混合积 ) 三个矢量的混合积是一个标量. 三个矢量的混合积是一个标量. 设 则 , ,
(2). 散度 定义: 定义: 矢量场的散度是一个标量 直角坐标系中散度可表示为 直角坐标系中散度可表示为
Ax Ay Az div A = + + x y z
散度定理
∫
V
div A dV = ∫ A dS
S
从数学角度建立了面积分和体积分的关系. 数学角度建立了面积分和体积分的关系. 角度建立了 从物理角度建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场 物理角度建立了区域 角度建立了 之间的关系. 之间的关系.
算符以及梯度, . 算符以及梯度,散度和旋度的表示 (del operator)
直角坐标系中: 直角坐标系中: = i + j+ k x y z
表示梯度,散度和旋度: 用 表示梯度,散度和旋度:
grad = ,
算符的性质: 算符的性质:
divA = A,
rotA = × A
矢量性——矢算符 按矢量运算规则. 矢量性——矢算符,按矢量运算规则. 矢算符, 微分性——微分运算 按求导规则. 微分性——微分运算,按求导规则. 微分运算,
Laplace算符 标算符,有的书上记为: 算符, 2—Laplace算符,标算符,有的书上记为:
× (× A) = ( A) 2 A
电动力学数学准备
则
§0.2 数学准备
利用行列式的性质，可以证明以下结论：
a (b c ) b (c a ) c (a b ) a (c b ) b (a c ) c (b a )
（3）积分变换式——高斯定理
（Gauss’s Theorem）
f dS divfdV
S V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反 之亦然。
§0.2 数学准备
3. 矢量场的旋度:
（1）概念： 设闭合曲线L所围面积为
（Rotation of Vector Field）
A y ( Bx C y By Cx ) A z ( Bz Cx Bx Cz ) X方向分量：
B x ( A y C y A z C z ) C x ( A y B y A z Bz ) B x A x C x C x B x A x Bx ( A C) C x ( A B) 即 [A ( B C)]x [ B( A C ) C ( A B)]x
于有源，散度越大，源的密度越高。
旋度表征的是矢量场的矢量线是否可以是闭合曲线。如果矢量场的旋度处
处为零，则矢量场的矢量线不闭合。
§0.2 数学准备
（2）在直角坐标系中旋度的计算公式：
ex rotf x fx
（3）积分变换式—斯托克斯定理
ey y fy
ez z fz
（Stoke’s Theorem）
b b1i b2 j b3k
a b (a1 b1 )i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k
电动力学数学准备
∇ = er1
1 h1
∂ ∂x1
+ er2
1 h2
∂ ∂x2
电动力学课程特点：
比电磁学难，主要体现在思维抽象、习题难解等 。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结 构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总 复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要 在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学 间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立 地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义 和图象。
Orthogonal Curvilinear Coordinates Frame
1、度量系数(Measurement Coefficents)
设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标，长度元的平方表示为
其中
dl 2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = h12dx12 + h22dx22 + h32dx32
在生产实践和科学技术领域内，存在着大量 和电磁场有关的问题。
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器 等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下， 电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、 热辐射、光波、X射线和γ射线等都是在不同波长范围内 的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基 本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。
学习成绩评定方法：
总成绩 = 平时成绩10% + 期中考试30％ +期终考试成绩60%
电动力学(数学基础)
散的度强的弱重程要 度性 ，在 当于div，A可 用0 表，征表空示间该各点点有矢散量发场通发量散
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的
负源；当div
A
0
，表示该点为无源场。
在直角坐标系中：
divA A Ax Ay Az x y z
例：设u是空间坐 标A(xu,)y,z的u函数dA，(u证) 明
Operator
设有一标量函数 r x, y, z
d dx dy dz
x y z
x
i
y
j
z
k
dxi dyj dzk
Gx,
y,
z dl
G
n dl
p
n
dn θ
p dl
p
l
0
方向导数：
l
G n el
G
c
os
n
e
G cos
G
l max
n
引进梯度(Gradient)概念：
６ 0, A 0
证明:
( )
(
)
ex
x
(
)
ey
y
(
)
ez
z
(
)
ex (
x
x
)
ey (
y
y
)
ez (
z
z
)
(ex
x
ey
y
ez
)
z
(ex x
ey y
ez
) z
§0-5 二阶微分算符
Second-order Differentiation Operator
电动力学基本内容复习提纲
电动力学基本内容复习提纲电动力学（Electrodynamics）是物理学中研究电荷、电场、电流和磁场之间相互作用的分支学科。
下面是电动力学的基本内容复习提纲：一、电荷和电场的基本概念1.电荷的基本特性和定义2.电荷守恒定律及其应用3.质点电荷和连续分布电荷的电场计算4.电势的定义和性质5.电场和电势的关系二、电场的基本性质和电场的运动1.电场强度的定义和性质2.电场线的性质和规律3.正电荷和负电荷在电场中的运动4.点电荷在电场中受力的性质和计算三、电场的高斯定律1.高斯定律的基本概念和表述2.高斯定律的应用：计算电场和电势3.高斯定律在导体中的应用四、电势与电势能1.电势能的概念和计算2.连续分布电荷系统的电势计算3.轴对称电荷分布的电势计算五、电场中的静电力1.静电力的基本概念和性质2.电场中两个点电荷互相作用的力计算3.连续分布电荷系统的静电力计算六、电荷在电场中的运动1.电场中带电微粒的加速和速度计算2.电场中带电微粒的轨迹和运动方程3.带电粒子在均匀磁场中的运动七、导体中的静电平衡1.导体的基本性质和导体中的电荷分布2.导体中电荷的自由移动和静电平衡条件3.导体表面电荷密度和电势的分布八、电流和电阻1.电流和电流密度的概念和计算2.电阻和电导的概念和性质3. Ohm定律及其应用九、电路和电动势1.串联和并联电路的电流和电压计算2.电动势的概念和性质3. Kirchhoff定律的应用十、磁场和电磁感应1.磁场的基本概念和性质2.安培定律和洛伦兹力的计算3.静磁场和恒定磁场4.电磁感应的基本概念和现象十一、电磁感应和电磁波1.法拉第电磁感应定律的应用2.涡旋感应和电磁感应的计算3.麦克斯韦方程组的基本概念和应用4.电磁波的基本性质和特点以上提纲主要囊括了电动力学的基本内容，希望对你的复习有所帮助。
如果还有其他问题，请随时追加提问。
电动力学01-02 前言及数学准备-31页精选文档
10 2 GHz 1
10 - 2 10 - 4 10 - 6 10 - 8 10 - 10 10 - 12 10 - 14
1μm 1nm
电磁波波长范围
波的名称
长波 中波
短波 超短波
微波 毫米波
红外线
可见光
紫外线
x射 线 射 线
13
前言：课程简介
应用举例：微波炉怎样把食物加热的? 电磁炉?
14
前言：数学准备
10
前言：课程简介
电动力学理论的建立过程
1785年 库仑 Coulomb
1820年 奥斯特 Oersted 安培 Ampere 1831年 法拉第 Faraday
1864年 麦克斯韦 Maxwell
1888年 赫兹 Hertz
1905年 爱因斯坦 Einstein
11
前言：课程简介
本课程的应用意义 在生产实践和科学技术领域内存在着大量和电磁场有关的问题。
axbxaybyazbz
• 出发点是麦克斯韦方程组，尤其是微分形式。 • 狭义相对论对于运动物体电动力学是不可缺少的内容。没有狭
义相对论，电磁理论是不完整的。 • 电动力学是讨论电磁场运动的普遍规律。
9
前言：课程简介
电动力学的发展
顿牟掇芥，磁石引针-王充（公元27～约97）《论衡·乱龙篇》 1785 库仑定律 1820 电流的磁效应（毕－萨定律） 1822 安培作用力定律 1827 安培发表“电动力学理论” 1831 电磁感应（法拉第），场的概念 1856-1873 麦克斯韦方程，预言了电磁波的存在 1881-1887 迈克尔逊实验（1881），迈-莫雷实验（1887） 1888 赫兹证实电磁波存在 1905 狭义相对论（爱因斯坦“论运动物体的电动力学”） 1926 量子力学 1948-1950 量子电动力学
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学习电动力学的数学准备2012-05-31 11:57:04| 分类：默认分类|举报|字号订阅知识前提1.普通物理（主要是电磁学），初等微积分，矢量代数—应很熟悉2.矢量分析，场论基础—作为本课程的第0章3.数理方法（程），特殊函数—提到时应该能理解第0章数学准备第一节矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。
因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若则, 的点乘(也称标量积)(),的叉乘(也称矢量积)，为, 的夹角方向：既垂直于，又垂直于,与满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性2.三个矢量的混合积=几何解释:以为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。
(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。
3.三个矢量的叉乘令则同理故而二者都是：把括号外的矢量与离它较远的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取正号,把括号外的矢量与离它较近的矢量点乘，再乘以另一矢量所得的项取负号。
两者取和。
("远正近负，再取和")二、场的概念在许多科学技术问题中，常常要考虑某种物理量（如温度、密度、电势、力、速度）在空间的分布和变化规律。
这是需要引入场的概念。
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的一个场。
1.数学上，场是空间时间的函数时间坐标空间坐标，构成右手系。
标量场空间的每一个点对应一个标量矢量场空间的每一个点对应一个矢量张量场空间的每一个点对应一个张量2.物理上，描述某一物理客体，具有一定分布规律的物理量3.记号标量场矢量场张量场4.场中的物理量在各点处的对应值随时间变化的，这个场称为稳定场；否则称为不稳定场。
三、场分析及其微分特征量（矢量微分）整体上来看分析场的奇异性，敛散性局域上来看函数某点附近的性质，微分特征量。
1.梯度在标量场中，标量的分布情况，可以将借助等值面或等值线来进行了解。
但是这只能大致地了解到标量在场中总的分布情况，是一种整体性的了解。
而研究标量场的另一个重要方面，就是还要对它作局部性的了解，即还要考察标量在场中各个点的邻域内沿每个方向的变化情况。
为此，引入方向导数，梯度的概念。
(1)方向导数方向导数给出了函数在给定点处沿某个方向的变化率问题。
然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率为多少呢？带着这些问题，我们来看方向导数。
函数在点方向上的方向导数为（场的空间坐标为）方向上的单位矢量。
，，在点方向上的方向余弦。
其余三个数，，也可视为某一矢量的坐标。
(2)梯度在直角坐标系下，定义梯度(gradient)：。
这样上式可以表示为。
从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数上升最快的方向，大小为其改变率数值。
(3)梯度的性质（1）梯度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；（2）方向导数是梯度在该方向上的投影；（3）梯度的方向为指向增加最快的方向。
2.散度：(1)通量通量的定义，设有矢量场，沿某一有向曲面的某一侧面的曲面积分叫做矢量场向积分所沿一侧穿过曲面的通量。
说明：1.积分号无论几重积分都用单重记号，看变量而定几重积分;2.通量可以叠加;3.若为闭合面，，一般约定以球面的外法线方向为正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。
根据通量的正负可以得知内有产生通量的正源（源）或负源（汇、壑、闾）。
但仅此还不能了解源在内的分布情况以及源的强弱程度等问题。
为了描述上述问题，我们引入散度的概念。
(2)散度散度(divergence)的定义散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。
也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处源的强度（散发通量或吸收通量的能力）。
其符号的正负表示在该点处有散发通量之正源或有吸收通量之负源，其绝对值就相应的表示在该点处散发通量或吸收通量的强度。
对于流体来说，散度表示稳定流动的不可压缩流体在源点处的源头强度，（单位时间单位体积内所产生的流体质量）。
(3)散度的性质（1）与坐标系的选取无关，取决于场的分布。
（2）在直角坐标系下有3．旋度（1）环量的定义：设有矢量场，则沿场中某一闭合的有向曲线的曲线积分称为此矢量场按积分所取方向沿曲线的环量。
我们已知磁场中有由上式可以知道，磁场的环量，为通过磁场中以为边界的一块面积的总的电流强度。
显然，仅此还不能了解磁场中任一点处通向任一方向的电流密度（即在点处沿的方向，通过与垂直的单位面积的电流强度）。
为了研究这一类问题，我们引入环量面密度的概念。
（2）环量面密度。
设为矢量场中的一点，在点处取定一个方向，再过任作一微小曲面，以为其在点处的法矢，对此曲面，我们同时又以表其面积，其周界之正向取作与构成右手螺旋关系。
则矢量场沿之正向的环量与面积之比，当曲面在保持点于其上的条件下，沿着自身缩向点时，若的极限存在，则称其为矢量场在点处沿方向的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作，即，例如，在磁场强度所构成的磁场中的一点处，沿方向的环量面密度，(电流密度) 。
又如在流速场中的一点处，沿方向的环量面密度为即为在点处与成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为环流密度（或环流强度）。
单位时间单位面积流走的电荷电量。
从上面我们可以看出，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方向导数与方向有关一样。
然而在标量场中，梯度矢量，在给定点处，它的方向表出了最大方向导数的方向，其模即为最大方向导数的数值，而且它在任意方向的投影，就给出该方向上的方向导数。
这种情况，给我们一种启示，能否找到这样一种矢量，它与环量面密度的关系，正如梯度与方向导数之间的关系一样。
这个矢量我们称之为旋度.下面，我们给出旋度的定义，（3）旋度若在矢量场中的一点处存在这样的一个矢量，矢量场在点处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是，则称矢量为矢量场在点处的旋度(rotation, curl)，记作，即简言之，旋度矢量在数值和方向上标出了最大的环量面密度。
(4)旋度的性质（1）旋度与坐标系的选取无关，只取决于场的分布；（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即有。
例子1:在磁场中，旋度是在给定处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模即为最大电流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电流密度。
在电学上称为电流密度矢量。
例子2:在流速场中，旋度是在给定处，它的方向是最大环流密度的方向，其模即为最大环流密度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的环流密度。
（3）在直角坐标系中例题：设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为，则刚体上的每一点处都具有线速度，从而构成一个线速度场。
由运动学知道，矢径为的点的线速度为，求线速度的旋度。
解：由速度场的雅可比（Jacobi）矩阵得这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点的旋度，除去一个常数因子外：恰恰等于刚体转动的角速度（旋度因此得名）。
注，对于一个矢量，雅可比矩阵可以表示为其中对角元，，之和为，其余六个正好是旋度的公式中所需要的。
按照逆顺序排列，每两个作为一组求和，其中后面的偏导数前面加负号，并且按照的顺序排列。
四、几个重要定理1．牛顿—莱布尼兹定理（由方向导数的公式，得，从到取积分得到）2．奥斯特罗格拉得斯基公式（或称高斯（Gauss）公式，奥高公式）：闭曲面S为V的表面，等于乘以外法线方向单位矢量。
（在矢量场中任取体积，包围这个体积的闭合面为，用垂直于坐标轴的三组平行面把体积分割成许多无限小的六面体（分割足够细，可以看成六面体），由散度的定义可知，通过每个六面体表面的通量是，在所围的体积中，小六面体的表面可以分成两种：一种是内部的面，它们每个同时是相邻两个小六面体的表面，但是对于这两六面体，此面的法线方向应当是相反的，所以此面的通量对一个六面体来说是正的对另一个就是负的，因而在求和时，所有内部的面上通量都互相抵消，另一种是外部的面，它们是面的一部分，而且只是六面体的一个表面，所以求和时只剩下这部分通量的和，由此可见，上式的右边就是通过面的通量即，最后得到）3.斯托克斯（stokes）公式：闭曲线为的边界。
方向与成右手螺旋关系。
（在矢量场中，任取一个非闭合面，它的圆周界长度为，把任意分割为无数多的面积元，的边界为，绕行的方向与的绕行方向相同，根据旋度的定义式，对于每个面积元矢量的线积分为，将此结果求和，沿小面积元的边界取线积分时，内部沿每两个面积元的边线都计算了两次，而且积分的方向相反，在求和时这两部分互相抵消，结果只剩下外边与重合部分的积分值，因而得到，于是最后得到）4.标量场本质上可以由该场的梯度确定，矢量场本质上由该场的散度、旋度确定。
五、微分算符（nabla，Hamilton，代尔）1.的性质（1）算符性（约定被作用量放在算符的右侧）（2）矢量性（3）一阶微分性（4）直角坐标系下，2.二次微商（1）证明：=0逆定理：反之，在单连通区域，如果某一矢量的旋度为零()，则矢量可表示为某个标量的梯度，称为矢量场的标量势。
补：单连通区域的判定办法：对于区域内任意选取闭合回路，都能使之在区域内连续收缩，若能收缩为区域内的一点，则该区域为单连通区域（1）无孔的三维空间—单连通（2）三维空间抽出轴—非单连通（3）三维空间挖出一个球—单连通（4）三维空间挖出一个球壳—非连通，球内球外均为单连通，整体为非连通区域。
（5）（2）中去掉包含轴的半个空间—单连通（6）除去包含闭合电路为边界所张成的面后的空间—单连通（2）证明：记忆：逆定理：如果某一矢量的散度为零（），则矢量可表为另一矢量的旋度。
称为矢量场的矢量势（3）（4）证明：由故3.乘积场的微商，算子具有矢量性和微分性(I.18)(I.19)(I.20)(I.21)(I.22)(I.23)只要把看成具有矢量运算和微分运算双重性质的量，从这两种运算的特点考虑，即可得到上面这些式子。
(I.18)作为一个矢量，与标量相乘，结果应是矢量，由于又是微分算子，因而它对的乘积的作用应得。
(I.19)作为微分算子，既要作用到上，又要作用到上，再考虑到的矢量性质，必须把点乘放在正确的位置上，不能有而应得两项。
(I.20)与上式道理相同，作为微分算子既要作用到上，又要作用在上，但叉乘号必须放到正确位置上，因而得。
(I.21)根据的微分性质，应分别作用到，上，可形式上写为而且还有矢量性质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分别直接作用到和上。