总体均值的区间估计
吴喜之-统计学基本概念和方法-总体参数的区间估计
x
s
n
15
2
53.87
样本标准差 误差边际
( x x)
n 1
s 6.82 x t 2 2.145* 3.78 n 15
651.73 6.82 14
95%的置信区间为
53.87 ±3.78
即（50.09，57.65）天。
确定样本容量
确定样本容量 误差边际 Z x 2 n
根据选择的在 x1 、x2 、x3
位置的样本均值建立的区间
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度 的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估 计量与总体参数之间的最大误差范围。 总结： 已知时的大样本下的区间估计
•
•
q=1-p
n表示样本容量（试验重复次数）
总体比率的区间估计
• 以比率的抽样分布为理论依据，按一定的概
率要求估计总体比率的所在范围就叫做总体比率
的区间估计。
正态近似法
• 当样本容量n比较大，np和nq中较小的那个数
等于或大于5时，二项分布已经接近于正态分布，
此时可以按照正态分布来估计总体比率0.95和
正态总体均值的区间估计
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
THANKS
感谢观看
理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。
区间估计的原理
区间估计的原理
区间估计是统计学中常用的一种方法，它可以用来估计总体参数的范围。
区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。
区间估计的原理可以通过以下步骤来说明：
1. 确定总体参数
首先，需要确定要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例等。
2. 采样
从总体中随机抽取一定数量的样本，样本的数量应该足够大，以保证估计的准确性。
3. 计算样本统计量
根据样本数据，计算出相应的样本统计量，例如样本均值、样本比例等。
4. 确定置信水平
置信水平是指在多次重复采样的情况下，估计结果落在区间内的概率。
通常情况下，置信水平取95%或99%。
5. 计算标准误差
标准误差是指样本统计量与总体参数之间的差异，它可以用来衡量估
计的准确性。
6. 计算置信区间
根据样本统计量、标准误差和置信水平，可以计算出置信区间。
置信
区间是一个范围，它包含了总体参数的真实值的可能范围。
7. 解释结果
最后，需要解释计算出的置信区间。
例如，如果计算出的置信区间为[10,20]，则可以说在95%的置信水平下，总体参数的真实值有可能在10到20之间。
总之，区间估计是一种常用的统计方法，它可以用来估计总体参数的
范围。
区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出
一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。
在实际应用中，需要注意样本的大小、置信水平的选择以及标准误差的计算等问题，以保证估计的准确性。
总体参数的区间估计
三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。
区间估计法估测总体平均值
区间估计法估测总体平均值
区间估计是一种统计方法，可以用来估计总体参数的值，其中之一是总体平均值。
区间估计法估测总体平均值的过程如下：
首先，我们需要收集一个来自总体的简单随机样本，并计算样本平均值$\bar{x}$ 和样本标准差$s$。
然后，我们可以使用以下公式来计算总体平均值$\mu$ 的区间估计：
$$ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
其中，$n$ 是样本容量，$t_{\alpha/2}$ 是自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中$\alpha/2$ 处的t 值。
$\alpha$ 是置信水平，通常取0.95 或0.99。
上述公式表示，我们可以通过样本平均值$\bar{x}$ 加减一个误差范围来估计总体平均值$\mu$。
误差范围的计算方法是：$t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$。
其中，$t_{\alpha/2}$ 表示在给定置信水平下，自由度为$n-1$ 的$t$ 分布表中的t 值，$s$ 是样本标准差，$\sqrt{n}$ 是样本容量的平方根。
最后，我们可以得到置信水平为$\alpha$ 的总体平均值的区间估计为：
$$ (\bar{x} - t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + t_{\alpha/2}
\frac{s}{\sqrt{n}}) $$
这个区间包含了总体平均值$\mu$ 的真实值的可能性为$1-\alpha$，其中$\alpha$ 是在计算过程中预先指定的置信水平。
总体均值的区间估计公式
2.总体均值的区间估计
总体均值的区间估计公式: S X ± Z (1-α) √n 其中X为样本平均数,S为样本标准差, Z(1-α) 为置 信度是1－α所对应的 Z 值. n为样本规模.
计算练习:
调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作 为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准 差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均 工资的置信区间是多少.
42 1.96× √900
Z 检验表
P≤ 0.10 0.05 0.02 0.01 │Z│≥ 一端 1.29 1.65 2.06 2.33 二端 1.65 1.96 2.33 2.58
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为: P（1—p） P±Z（1－α）
n
这里，P为样本的百分比 。 例题： 从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结 果表明女工的比例为 20%现在要求在90%的置 信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。
1.假设检验的依据
假设检验所依据的是概率论中的“小概率
原 理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的 原 理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小 概率事件出现了,应该如何判断呢? 一种意见认为该事件的概率仍然很小 ,只不 过偶然被遇上了, 另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很 小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而
3.假设检验的步骤:
①建立虚无假设和研究假设通常将原假 设作为虚无假设. ②根据需要选择适当的显著性水α(即 小概率的大小).通常α=0.05或α=0.01等. ③根据样本数据计算出统计值,并根据显 著性水平查出对应的临界值. ④将临界值与统计值进行比较,以判定是 接受虚无假设还是接受研究假设.
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
2.2正态总体均值的区间估计
一、复习
（一）点估计量的常用评价准则： 无偏性：
估计量的数学期望与总体待估参数的 真值相等： E(ˆ)
有效性:
在两个无偏估计量中方差较小的估计量 较为有效。
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
（二）、正态总体均值u的区间估计 p(z)
(1) 2 02已知
①选 的点估计为X
②取 Z X ~N(0, 1)
Z
1
n
2
Z
1
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数θ的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 机变量 Z，要求其分布为已知.
3. 若置信水平是 1 ,
求出使P(a Z b) 1成立的a，b；
4. 把P(a Z b) 1变形为P(1 2) 1
n
Z1 , X 2
n
Z1 ] 2
(2)u的置信度为1 - 的置信区间为[ X
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其
概率密度为
ex , x 0,
f (x) 0 , x 0,
其中 0 为未知，又设 X1, X 2 ,, X n 为 X 的 样本，求 的矩估计量．
解
由于1
E(X )
1
,
令
，1 A1
即
1 1 n
各阶原点矩 E( X l ) (l 1,2,, k)存在, 则E (X l )是
1, 2 ,, k 的函数，记作μl=μl( 1, 2 ,,)k 即
l (1 , 2 ,, k ) E( X ，l ) l=1,2,…，k．
对于总体 X 的样本（ X1, X2, …,Xn ），样本的 l 阶原点矩为
第七章 参数估计
第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未
知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本
（X 1, X 2, …, X n ），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题．
点估计的问题就是要构造一个适当的统计量 ˆ ˆ ( X1, X2, …,Xn )，用样 本的一组观察值（ x1, x2, …,xn ），得到ˆ 的观察值 ˆ ˆ（ x1, x2, …,xn ), 以此
如果样本观察值为（ x1, x2, …,xn ），则
得未知参数 1, 2 ,, k 的矩估计值为
ˆ1 ˆ1 (x1, x2 ,, xn ), ˆ2 ˆ2 (x1, x2 ,, xn ),
ˆk ˆk (x1, x2 ,, xn ).
上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法．
ˆ A1 X ,
ˆ 2
A2
A12
1 n
n i1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X
)2.
注 此例说明，无论总体 X 服从什么分
布，样本均值 X 都是总体均值 的矩估计量， 样本二阶中心矩就是总体方差 2 的矩估计
量．
例5 某厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽 取12只，测得头部直径（单位：mm）如下：
13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.48 13.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50
设铆钉头部直径这一总体 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，试求 与 2 的矩估计
值．
解 由例4可得
ˆ x 1 ( 13.30 13.38 13.50 ) 13.41, 12
b a
12( A2 A12 ) .
于是得到 a、b 的矩估计量为 aˆ A1 3( A2 A12 ) X
bˆ A1 3( A2 A12 ) X
3
n
n i 1
(Xi
X )2
,
3
n
n i 1
(Xi
X)2 .
例4 设总体 X 的均值为 ，方差为 2， 且 0，但 与 均未知，又设总体 X 的一 个样本为（X1, X2 , , Xn），求 与 2的矩估
例1 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1, X2, …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量．
解 X ~ (), E(X ) , 即1 E(X ) ,
令 1 A1 ，即
1 n
n i 1
Xi
X,
得 的矩估计量为 ˆ X ．
来估计未知参数θ ．称统计量 ˆ （ˆ X 1, X 2, …, X n ）为θ的估计量，称 ˆ ˆ（ x1, x2, …,xn ）为θ的估计值．
二、矩估计法
设总体 X 的分布函数为F (x,1, 2 ,, k ) , 其中1, 2 ,, k 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的
n i1 X i X ,
因此得到 的矩估计量为 ˆ 1 ．
X
例3 设总体 X 在区间 [a, b] 上服从均匀分
布，a 与 b 为未知，X1 ，X2 ，，Xn是来自总体
X 的样本，求 a 与 b 的矩估计量．
解 令 即
整理得
1 2
E(X ) a b , 2
1 n
n i 1
X
k i
从上述方程组中解出1, 2 ,, k ，分别记作
ˆ1 ˆ1 ( X1, X 2 ,, X n ), ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 ,, X n ),
ˆk ˆk ( X1, X 2 ,, X n ).
以此作为未知参数 1, 2 ,, k 的估计量，称为矩估计量．
E( X 2 ) D( X ) E( X )2
(b a)2 12
(a b)2 4
1 A1, 2 A2 ,
a
b 2
A1
1 n
n i 1
Xi
X,
(b
a)
2
12
(a b)2 4
A2
1 n
n i 1
X
2 i
,
a b 2A1,
Al
1 nຫໍສະໝຸດ n i 1X，il l = 1, 2, …，k．
令
μl = Al , l=1,2,…，k，
即
1 (1, 2 ,, k )
1 n
n i 1
Xi,
2
(
1
,
2
,,
k
)
1 n
n i 1
X
2 i
,
k (1, 2 ,, k )
计量．
解 1 E( X ) ,
2 E( X 2 ) D( X ) E( X )2 2 2
令
12
A1, A 2,
即
A1
2
2
1 n
n i 1
A2
X
i
1 n
X,
n
X
i 1
2 i
.
解此方程组得到 与 2 的矩估计量为
ˆ
2
1 12
12 i1
( xi
x
)2
1 [(13.3113.41)2 12
(13.38 13.41)2