现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第10、11讲
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现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 设计方法见书。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案一、教学目标1. 了解自动控制系统的概念，理解自动控制的基本原理和特点。
2. 掌握线性系统的状态空间表示，熟悉状态空间方程的求解方法。
3. 学习控制器的分析和设计方法，包括PID控制、状态反馈控制和观测器设计。
4. 学会运用现代控制理论解决实际工程问题，提高系统的稳定性和性能。
二、教学内容1. 自动控制系统的基本概念和原理自动控制系统的定义、分类和性能指标开环控制系统和闭环控制系统的区别与联系2. 状态空间表示及其应用状态空间方程的定义和求解方法状态转移矩阵和初始状态对系统行为的影响状态空间图的绘制和分析3. 控制器的分析和设计PID控制原理及其参数调整方法状态反馈控制和观测器的设计方法控制器设计实例和仿真分析4. 系统的稳定性和性能分析线性时不变系统的稳定判据系统的瞬时响应、稳态响应和频率响应分析系统性能指标的优化方法三、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、原理和方法，阐述重点难点。
2. 案例分析法：分析实际工程案例，让学生学会运用现代控制理论解决问题。
3. 实验法：安排实验课程，让学生动手实践，加深对理论知识的理解。
4. 讨论法：组织课堂讨论，培养学生独立思考和团队协作的能力。
四、教学资源1. 教材：《现代控制理论》，作者：吴启迪、何观强。
2. 课件：PowerPoint 或其他演示软件制作的课件。
3. 实验设备：控制系统实验平台。
4. 仿真软件：MATLAB/Simulink。
五、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业完成情况和实验报告。
2. 考试成绩：期末考试，包括选择题、填空题、计算题和论述题。
3. 实践能力：实验报告和实际工程问题的解决方案。
六、教学安排1. 课时：共计32课时，其中包括16次课堂讲授，8次实验操作，8次课堂讨论。
2. 授课方式：课堂讲授结合实验操作和课堂讨论。
3. 进度安排：第1-8课时：讲授自动控制系统的基本概念和原理。
第9-16课时：讲解状态空间表示及其应用。
现代控制理论---状态反馈和状态观测器
第五章 系统的状态反馈及观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
2) 算
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
现代控制理论-6-状态反馈和状态观测器-第10、11讲
四、状态反馈极点配置条件和算法
极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的
闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 0 ( A, B,C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意 配置的充要条件是：0 ( A, B,C ) 状态完全能控。
,
B 0 ,
C 1
0
0
1 5 6
1
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。
[解]： （1）先判断该系统的能控性
2020/8/8
13
0 rank[Qc ] rank[ B AB A2B ] rank0
1
0 1
1
6 3
6 31
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
0
0 0
1
0 0
f () | I A BK | 0
0
0
0
1
0
[k1
k2
k3 ]
0
0
1 5 6 1
1 0
0 1
3 (6 k3) 2 (5 k2 ) 1 k1
1 k1 5 k2 6 k3
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈
• 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。
• 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题.
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
现代控制理论6.1 状态反馈与输出反馈
� 由状态能控性模态判据(定理3-3),被控系统∑(A,B,C)采用状态 反馈后的闭环系统∑K(A-BK,B,C)的能控性可由条件 rank[λI-A+BK B]=n ∀λ 来判定,而
⎧ ⎡I ⎪ r[λ I -A + BK B ] = r ⎨[λ I -A B ] ⎢ ⎪ ⎣K ⎩ 0⎤ ⎫ ⎪ ⎬ = r[λ I -A B ] ⎥ I ⎦⎪ ⎭
⎧ x ′ = ( A − BHC ) x + Bv ⎨ ⎩ y = Cx
输出反馈的描述式(3/3)
� 输出反馈闭环系统可简记为∑H(A-BHC,B,C),其传递函数阵 为: GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B � 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输 出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 � 因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种 特例。 � 反之,则不然。 � 由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控 制品质,更佳的性能。 Understand?
v
+ -
u B
+ +
x'
x
y C
∫
A H
开环系统
图6-2 输出反馈系统的结构图
输出反馈的描述式(2/3)
� 输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: � 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
⎧ x ′ = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx u = − Hy + v
u=-Hy+v y=Cx
其中H为r×m维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 � 将输出反馈律代入开环系统方程, 则可得如下输出反馈闭 环控制系统的状态空间模型:
上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。 � 由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例,故输出反馈 亦不改变系统的状态能控性。
⎧ ⎡I ⎪ r[λ I -A + BK B ] = r ⎨[λ I -A B ] ⎢ ⎪ ⎣K ⎩ 0⎤ ⎫ ⎪ ⎬ = r[λ I -A B ] ⎥ I ⎦⎪ ⎭
⎧ x ′ = ( A − BHC ) x + Bv ⎨ ⎩ y = Cx
输出反馈的描述式(3/3)
� 输出反馈闭环系统可简记为∑H(A-BHC,B,C),其传递函数阵 为: GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B � 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输 出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 � 因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种 特例。 � 反之,则不然。 � 由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控 制品质,更佳的性能。 Understand?
v
+ -
u B
+ +
x'
x
y C
∫
A H
开环系统
图6-2 输出反馈系统的结构图
输出反馈的描述式(2/3)
� 输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: � 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
⎧ x ′ = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx u = − Hy + v
u=-Hy+v y=Cx
其中H为r×m维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 � 将输出反馈律代入开环系统方程, 则可得如下输出反馈闭 环控制系统的状态空间模型:
上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。 � 由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例,故输出反馈 亦不改变系统的状态能控性。
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1 G ( s ) C [ sI ( A BK )] B 状态反馈闭环传递函数矩阵为： k
状态反馈系统的特征方程为： I ( A BK ) 0
2015-7-8 7
二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈） 将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为 受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
f ( ) | I A BK | 0 0 0
0
0 0 0 0 1
1 0 5
0 0 0 [ k k 1 2 1 6 1
k3 ]
0 1 k1
1
0 1
3 (6 k3 ) 2 (5 k2 ) 1 k1
5 k 2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f * ( ) ( 2 4 j )( 2 4 j )( 10) 3 142 60 200
2015-7-8 11
四、状态反馈极点配置条件和算法 极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的 闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 0 ( A, B, C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意
配置的充要条件是：0 ( A, B, C ) 状态完全能控。 注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。 1、极点配置算法 1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
2015-7-8 12
(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f ( ) de t[I ( A BK )] (3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n n 1 1 0
由 f ( ) f * ( )，可以确定能控标准型下的反馈矩阵为：
K [ 0 0 a1 a1 n 1 n1 ]
2015-7-8
19
能控标准型法，求反馈增益矩阵K的步骤： (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。 (2)确定将原系统化为能控标准型 ( A, B , C ) 的变换阵 Pc 2 若给定状态方程已是能控标准型，那么 Pc 2 I ，无需转换
1
k1
从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态
0 ( 1)( 2 k2 ) 2 k2
反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控
部分状态，不能任意配置其极点。
2）能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3）
求 f ( ) | I ( A BK ) | 将相当繁琐，所以引入能控标准型法。
(4)由 f ( ) f * ( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
[例1] 考虑线性定常系统 x Ax Bu , y Cx
0 其中： A 0 1 1 0 5 0 0 0 , C 1 0 0 1 , B 6 1
第6章 状态反馈和状态观测器
1. 状态反馈及极点配置 2. 系统的镇定问题
3. 状态观测器 4. 带有观测器的状态反馈系统
2015-7-8
4
第一节 状态反馈及极点配置
1. 状态反馈与输出反馈 2. 状态反馈极点配置条件和算法 3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性
2015-7-8
5
反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种） 一、状态反馈 将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入 端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
2015-7-8
1
第6章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
第6章 状态反馈和状态观测器
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈 • • 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。 [解]： （1）先判断该系统的能控性
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0 rank[Qc ] rank[ B AB A2 B ] rank 0 1
0 1 6
1 6 3 31
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 （2）计算闭环系统的特征多项式
8
y Cx
h11 h 21 输出反馈增益矩阵： H hr 1
h12 h22 hr 2
h1m h2 m hrm
闭环传递函数矩阵为： GH ( s) C[ sI ( A BHC)]1 B 结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。 即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈， 即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。 结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。 结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可 观测性。
D
v
u
B
x
A
K r n
x
C
ym1
Ax Bu x 原受控系统 0 ( A, B, C )： y Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
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( A BK ) x Bv x 状态反馈闭环系统： y (C DK ) x Dv
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n 1
0 0 1
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式（ 1 ）
( A BK ) x Bv 能控标准型： x
x Pc 2 x, 其中：
1 A Pc 2 AP c2 , 1 B Pc 2 B
x Pc 2 x Pc 2 ( A BK ) x Bv
1 1 1 1 Pc 2 ( P AP P BK ) P x P c 2 c 2 c 2 c 2 c 2 Bv 1 ( A BKPc 2 ) x Bv
18
能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：
f ( ) I ( A BK ) n ( n1 kn ) n1 (1 k2 ) ( 0 k1 )
根据期望闭环极点，写出期望特征多项式：
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n n 1 1 0
1、首先将原系统 ( A, B, C ) 化为能控标准型 ( A, B , C )
2、求出在能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K
1 3、求出在原系统的状态 x 下的状态反馈矩阵 K KPc 2
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1 证明： K KPc 2
( A BK ) x Bv 原系统： x
只需要求系统不变量 i , 然后确定 Pc 2即可
系统不变量： f ( ) I A n n1 n1 1 0
0 1 1 n 1 Pc 2 [ An1b, An 2b, , b] 2 1 2
1 0 0 x x u 0 2 1
[解]： （1）先判断该系统的能控性
由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。 (2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
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f ( ) det[I ( A BK )]
1 式（1）和式（2）比较，得：K KPc 2
式（2）
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[能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及 K ] 能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。
0 0 1 A Pc 2 APc 2 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 , 0 1 n 1 0 0 1 B Pc 2 B 0 1
三、输出到状态微分的反馈 将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。 这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。
u
B
x
A
H nm
x
C
ym1
Ax Bu x 原受控系统 0 ( A, B, C )： y Cx
( A HC) x Bu x 输出反馈系统14
（4）确定K阵 由 f * ( ) f ( ) 得 6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200
求得： k1 199, k2 55, k3 8 所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8]
[例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响
v
u
状态反馈系统的特征方程为： I ( A BK ) 0
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二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈） 将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为 受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）
设状态反馈增益矩阵为：K [k1 k2 k3 ]
f ( ) | I A BK | 0 0 0
0
0 0 0 0 1
1 0 5
0 0 0 [ k k 1 2 1 6 1
k3 ]
0 1 k1
1
0 1
3 (6 k3 ) 2 (5 k2 ) 1 k1
5 k 2 6 k3
（3）计算期望的特征多项式
f * ( ) ( 2 4 j )( 2 4 j )( 10) 3 142 60 200
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四、状态反馈极点配置条件和算法 极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的 闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。
定理：(极点配置定理) 对线性定常系统 0 ( A, B, C ) 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意
配置的充要条件是：0 ( A, B, C ) 状态完全能控。 注意：矩阵 A BK 的特征值就是所期望的闭环极点。对 不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。 1、极点配置算法 1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤ 3） (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。
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(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式： f ( ) de t[I ( A BK )] (3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n n 1 1 0
由 f ( ) f * ( )，可以确定能控标准型下的反馈矩阵为：
K [ 0 0 a1 a1 n 1 n1 ]
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能控标准型法，求反馈增益矩阵K的步骤： (1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。 (2)确定将原系统化为能控标准型 ( A, B , C ) 的变换阵 Pc 2 若给定状态方程已是能控标准型，那么 Pc 2 I ，无需转换
1
k1
从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态
0 ( 1)( 2 k2 ) 2 k2
反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控
部分状态，不能任意配置其极点。
2）能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3）
求 f ( ) | I ( A BK ) | 将相当繁琐，所以引入能控标准型法。
(4)由 f ( ) f * ( ) 确定反馈矩阵K： K [ k1 k2 kn ]
[例1] 考虑线性定常系统 x Ax Bu , y Cx
0 其中： A 0 1 1 0 5 0 0 0 , C 1 0 0 1 , B 6 1
第6章 状态反馈和状态观测器
1. 状态反馈及极点配置 2. 系统的镇定问题
3. 状态观测器 4. 带有观测器的状态反馈系统
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4
第一节 状态反馈及极点配置
1. 状态反馈与输出反馈 2. 状态反馈极点配置条件和算法 3. 状态反馈闭环系统的能控性和能观测性
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反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种） 一、状态反馈 将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入 端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。
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1
第6章 状态反馈和状态观测器
目前为止，我们已经：
建立了系统的状态空间模型
提出了基于状态空间模型的系统的运动分析
探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性 “认识了世界” ⇒ 如何来“改变世界”？！ 设计控制系统！ 系统的控制方式----反馈？：开环控制、闭环控制
第6章 状态反馈和状态观测器
经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入； 现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征， 故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。 根据用于控制的系统信息：状态反馈、输出反馈 • • 控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征 值（即闭环极点）决定。 基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈 控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有 期望的动态特性。
试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。 [解]： （1）先判断该系统的能控性
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0 rank[Qc ] rank[ B AB A2 B ] rank 0 1
0 1 6
1 6 3 31
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。 （2）计算闭环系统的特征多项式
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y Cx
h11 h 21 输出反馈增益矩阵： H hr 1
h12 h22 hr 2
h1m h2 m hrm
闭环传递函数矩阵为： GH ( s) C[ sI ( A BHC)]1 B 结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。 即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈， 即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。 结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解 出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一 定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。 结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可 观测性。
D
v
u
B
x
A
K r n
x
C
ym1
Ax Bu x 原受控系统 0 ( A, B, C )： y Cx Du
线性反馈规律：u v Kx
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( A BK ) x Bv x 状态反馈闭环系统： y (C DK ) x Dv
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式（ 1 ）
( A BK ) x Bv 能控标准型： x
x Pc 2 x, 其中：
1 A Pc 2 AP c2 , 1 B Pc 2 B
x Pc 2 x Pc 2 ( A BK ) x Bv
1 1 1 1 Pc 2 ( P AP P BK ) P x P c 2 c 2 c 2 c 2 c 2 Bv 1 ( A BKPc 2 ) x Bv
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能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：
f ( ) I ( A BK ) n ( n1 kn ) n1 (1 k2 ) ( 0 k1 )
根据期望闭环极点，写出期望特征多项式：
n1 f * ( ) （ 1（ ) 2 ) （ n ) n n 1 1 0
1、首先将原系统 ( A, B, C ) 化为能控标准型 ( A, B , C )
2、求出在能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K
1 3、求出在原系统的状态 x 下的状态反馈矩阵 K KPc 2
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1 证明： K KPc 2
( A BK ) x Bv 原系统： x
只需要求系统不变量 i , 然后确定 Pc 2即可
系统不变量： f ( ) I A n n1 n1 1 0
0 1 1 n 1 Pc 2 [ An1b, An 2b, , b] 2 1 2
1 0 0 x x u 0 2 1
[解]： （1）先判断该系统的能控性
由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。 (2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
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f ( ) det[I ( A BK )]
1 式（1）和式（2）比较，得：K KPc 2
式（2）
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[能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及 K ] 能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。
0 0 1 A Pc 2 APc 2 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 , 0 1 n 1 0 0 1 B Pc 2 B 0 1
三、输出到状态微分的反馈 将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。 这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。
u
B
x
A
H nm
x
C
ym1
Ax Bu x 原受控系统 0 ( A, B, C )： y Cx
( A HC) x Bu x 输出反馈系统14
（4）确定K阵 由 f * ( ) f ( ) 得 6 k3 14, 5 k2 60, 1 k1 200
求得： k1 199, k2 55, k3 8 所以状态反馈矩阵K为： K [199 55 8]
[例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响
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u