专题二__函数解析式的求法
高考求函数解析式方法及例题
高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
，求f(x)的解，待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
二次函数解析式的求法专题
二次函数解析式的求法专题1.已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（-1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．2.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）点C（0，5），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MAB的面积．3.如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．4.二次函数的图象经过（3，1），且当x=2时有最大值为3．求此函数关系式．5.设二次函数的图象的顶点坐标为（-2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．6.已知抛物线对称轴是直线x=2，且图象经过点（2，1）和点（1，0）．（1）求抛物线解析式；（2）若抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，求△ABC的面积．7.如图，已知二次函数y=1x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，-6）两点．2（1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴；（2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式．8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．，0）三点，求这个二次9.一个二次函数的图象经过（0，-1），（-2，0），（12函数的解析式．10.已知二次函数图象的顶点为（3，-1），与y轴交于点（0，-4）（1）求二次函数解析式；（2）求函数值y＞-4时，自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+9，把（-1，5）代入得a（-1-1）2+9=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）2+9；（2）当y=0时，-（x-1）2+9=0，解得x1=4，x2=-2，所以B、C两点的坐标为（-2，0），（4，0），×9×（4+2）=27．所以△ABC的面积=12【解析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程-（x-1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），把C（0，5）代入得a•1•（-5）=5，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-x2+4x+5；（2）y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，则M（2，9）×（5+1）×9=27．所以△MAB的面积=12【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把C（0，5）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先把解析式配成顶点式，然后写出M点的坐标，再利用三角形面积公式求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．3.【答案】解；（1）设二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3；（2）当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=0，x2=-2，则D（-2，3），观察函数图象得当x＜-2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．【解析】（1）由于已知抛物线与x轴两交点，则设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C（0，3）代入求出a的值即可得到抛物线解析式；（2）通过解方程-x2-2x+3=3可得到D（-2，3），然后观察函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数与不等式．4.【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x-2）2+3，把（3，1）代入得：a+3=1，解得：a=-2，则抛物线解析式为y=-2（x-2）2+3=-2x2+8x-5．【解析】根据题意找出顶点坐标，设出顶点式，把已知点坐标代入求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，以及二次根式的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5.【答案】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，，解得a=-19（x+2）2+2．所以这个函数的关系式为y=-19【解析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．6.【答案】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x=2，而抛物线与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把（2，1）代入得a•1•（-1）=1，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3；（2）由（1）得A（1，0），B（3，0），当x=0时，y=-x2+4x-3=-3，则C（0，-3），×（3-1）×3=3．所以△ABC的面积=12【解析】（1）利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-3），然后把（2，1）代入求出a的值即可；（2）由（1）可确定A点和B点坐标，再求出C点坐标，然后根据三角形的面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7.【答案】解：（1）把A（2，0），B（0，-6）代入y=-12x2+bx+c得{c=−6−2+2b+c=0，解得{c=−6b=4，所以抛物线解析式为y=-12x2+4x-6，∵y=-12（x-4）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=4，（2）y=-12x2-6．【解析】（1）把A点和B点坐标代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解关于b、c的方程组即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式得到对称轴；（2）利用顶点为（0，-6）写出抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8.【答案】解：（1）由题意，得 {a −b +c =−4c =−2a +b +c =2，解这个方程组，得 a =1，b =3，c =-2，所以，这个二次函数的解析式是y =x 2+3x -2；（2）y =x 2+3x -2=（x +32）2-174，顶点坐标为（-32，-174），对称轴是直线x =-32．【解析】（1）把已知三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式；（2）利用顶点坐标公式及对称轴公式求出即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．9.【答案】解：设抛物线解析式为y =a （x +2）（x -12）， 把（0，-1）代入得a •2•（-12）=-1，解得a =1．所以抛物线解析式为y =（x +2）（x -12），即y =x 2+32x -1．【解析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y=a （x+2）（x-），然后把（0，-1）代入求出a 的值即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．10.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，，把（0，-4）代入得9a-1=-4，解得a=-13所以抛物线解析式为y=-1（x-3）2-1，3（x-3）2-1=-4，解得x1=0，x2=6，（2）y=-4时，-13所以当0＜x＜6时，y＞-4．【解析】（1）设顶点式y=a（x-3）2-1，然后把（0，-4）代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）计算函数值为-4所对应的自变量的值，然后利用二次函数图象求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．第11页，共11页。
函数解析式的求解策略
微专题08 函数解析式的求解策略【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有：（1）直接法：已知()f x 的解析式，求(())f g x 的解析式类型，直接将()g x 整体代入()f x 中的x ； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数(())f g x 的解析式求()f x 的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令()g x t =，反解出x ，然后代入(())f g x 中得到()f t ，进而得到()f x 的解析式；（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个f 的解析式，最后可以得到()f x 的解析式；（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含x ，y ）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．【题型归纳目录】题型一：已知函数类型求解析式 题型二：已知(())f g x 求解析式 题型三：求抽象函数的解析式 题型四：求解析式中的参数值 题型五：函数方程组法求解析式 【典型例题】题型一：已知函数类型求解析式例1．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 是一次函数，2(2)3(1)5f f -=，()()2011f f --=-，则()f x =（ ）A ．32x +B ．32x -C ．23x +D ．23x -【答案】D【解析】依题意，设(),0f x kx b k =+≠，则有2(2)3()52()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=-⎩，解得2,3k b ==-，所以()23f x x =-. 故选：D例2．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（ ）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+【答案】B【解析】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意； 当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+. 故选：B.例3．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数23m my x-=(0m ≠且3m ≠)的图象在第一象限交于点A 、B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 、D ．已知()4,1A ，4CE CD =．(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)若点M 为一次函数图象上的动点，求OM 长度的最小值． 【解析】（1）由已知点()4,1A 为函数23m my x-=上的点，所以2314m m-=，解得：4m =或1m =-， 所以反比例函数的解析式为4y x=； （2）因为()4,1A ，所以4AE =由已知CDE △与CEA 相似，4CE CD =，所以4EA DB =，所以1DB =，故点B 的横坐标为1， 又点B 在函数4y x=的图象上， 所以B 的坐标为(1,4)，因为点,A B 都在函数y kx b =+的图象上， 所以4k b +=，41k b +=， 所以1k =-，5b =，所以5OF =，5OC =，由COF 为直角三角形， 设点O 到直线CF 的距离为d ， 则5255d ⨯⨯，故522d =， 又当OM CF ⊥时，OM 的长度最小， 所以OM 52例4．（2022·全国·高一课时练习）在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-，且()03f =，③()2f x ≥恒成立，且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数()f x 的图像经过点（1，2），______.(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】（1）选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点（1，2），所以()1122f a b c c =++=-+=，得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠，则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-.由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =，所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立，所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，故()223x x x f =-+.（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-，所以()210x -≥， 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.例5．（2022·全国·高一专题练习）设()f x 是一次函数，且()43f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式. 【解析】设()()0f x ax b a =+≠，则()()()2=43f f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=+++⎡⎤⎣⎦,所以243a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的解析式为()21f x x =+或()23f x x =--.例6．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x ； （2）已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x . 【解析】（1）设()(0)f x ax b a =+≠，则2(())()()f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++ 因为(())41f f x x =-，所以241a x ab b x ++=-所以241a ab b ⎧=⎨+=-⎩解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩ 所以1()23f x x =-或 ()21f x x =-+（2）设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 由(0)1f =，得1c = 由(1)()2f x f x x +-=得22(1)(1)112a x b x ax bx x ++++---=整理，得22ax a b x ++=所以220a a b =⎧⎨+=⎩ 所以11a b =⎧⎨=-⎩ 所以2()1f x x x =-+例7．（2022·全国·高一专题练习）若二次函数()f x 满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x . 【解析】因为二次函数()f x 满足(0)1f =；所以设2()1f x ax bx =++， 则：22(1)(1)(1)112f x a x b x ax bx ax a b +=++++=+++++； 因为(1)()2f x f x x +-=，所以221212ax bx ax a b ax bx x +++++---=；∴22ax a b x ++=；∴220a a b =⎧⎨+=⎩；∴1a =，1b =-；∴2()1f x x x =-+. 故答案为：21x x -+ .例8．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知f （x ）是一次函数，且满足f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋3，求f （x ）的解析式．（2）若二次函数g （x ）满足g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，求g （x ）的解析式． 【解析】（1）设f （x ）＝kx ＋b （k ≠0），则f （x ＋1）－2f （x －1）＝kx ＋k ＋b －2kx ＋2k －2b ＝－kx ＋3k －b ， 即－kx ＋3k －b ＝2x ＋3不论x 为何值都成立，∴2,33,k k b =-⎧⎨-=⎩解得2,9,k b =-⎧⎨=-⎩∴f （x ）＝－2x －9.（2） 设g （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），∵g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，∴1,5,0,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得3,2,0,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴g （x ）＝3x 2－2x .题型二：已知(())f g x 求解析式例9．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数()221)20(1x f x x x --=≠，则（ ）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()24101()f x x x =-≠-D ．()2214()1011x f x x x x =-≠≠-⎛⎫⎪⎝⎭且 【答案】AD【解析】令()121x t t -=≠，则12t x -=，所以2221142()1(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==---⎛⎫⎪⎝⎭，则24()1(1)(1)f x x x =-≠-，故C 错误；1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；()23f =，故B 错误； 22214411(1)11x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭（0x ≠且1x ≠），故D 正确． 故选：AD ．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.【答案】()1,+∞ 【解析】令1x t x +=，则111t x=+≠，所以11t x =-， 所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】222121x x x x ⎛⎫-=- ⎝+⎪⎭，因为2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭212x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()22f x x =+，故答案为：22x + .例12．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x =+()f x 的解析式为（ ） A ．2()1f x x =- B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥【答案】C【解析】因为()2(1)211f x x x x =+=-令()11t x t =≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++ C ．()24f x x x =+D ．()286f x x x =++【答案】A【解析】方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++， ∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+， ∴2()2f x x x =+. 故选：A例14．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）A 6B 6或6-C ．6-D ．3【答案】B【解析】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=±故选；B例15．（2022·全国·高一专题练习）设()23f x x =+，()()21g x f x +=-，则()g x =（ ） A ．21x + B ．23x -C ．21x -D ．23x +【答案】B【解析】因为()23f x x =+，所以()()1=21321f x x x --+=+ 又因为()()21g x f x +=-，所以()221g x x +=+， 令2x t +=，则2x t =-，()()22123g t t t =-+=-，所以()23g x x =-. 故选：B.题型三：求抽象函数的解析式例16．（2022·全国·高一课时练习）已知()01f =，对于任意实数x y ，，等式()()()21f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式.【解析】对于任意实数x y 、，等式()()()21f x y f x y x y -=--+恒成立，不妨令0x =，则有 ()()()()201111f y f y y y y y y -=--+=+-=-+ 再令y x -=，得函数解析式为：()2 1.f x x x =++例17．（2022·全国·高一课时练习）定义在实数集上的函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线，x ∀∈R ，()()()3266f x x f x x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()f x 的最大值为1，最小值为0．(1)求()1f 与()1f -的值； (2)求()f x 的解析式．【解析】（1）令1x =，则()()()321111f f f +=+，得()()()()211111f f f -=-∴()()()()2111100f f f x +-=≥，（） ∴()11f =令1x =-，则()()()321111f f f -+=-+-，同理()11f -=；（2）由()()()2366f x x f x x x f ⎡⎤+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 得()()2610fx x f x ⎡⎤--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()3310f x x f x x f x ⎡⎤⎡⎤-+-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这说明x ∀∈R ，()f x 至少与1，3x ，3x -其中之一相等 ∵()f x 的最大值为1，最小值为0∴在区间(],1-∞和[)1,+∞上，一定有()1f x =()0f x =只能在0x =处取得，因此()00f =又∵函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线 ∴()f x 的解析式为()(][)()[)331,,11,,1,0,0,1x f x x x x x ∞∞⎧∈-⋃+⎪=-∈-⎨⎪∈⎩例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =满足：对一切实数a 、b ，均有()()()21f a b f b a a b +-=++成立，且()10f =．(1)求函数()y f x =的表达式； (2)解不等式()34f x -<．【解析】(1)由已知等式()()()21f a b f b a a b +-=++，令1a =，0b =，得()()102f f -=．又()10f =，所以()02f =-．再令0b =，可得()()()01f a f a a -=+，即()()12f a a a =+-． 因此，函数()y f x =的表达式为()()12f x x x =+-． (2)因为()()124f x x x =+-<的解集为()3,2-， 所以令332x -<-<，解得15x <<， 即原不等式的解集为(1,5)．例19．（2022·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 对一切的实数x ，y ，都满足222()()632f x y f x y x y xy x y +--=++++-，且(0)2f =-.（1）求(2)f 的值； （2）求()f x 的解析式； （3）求()f x 在[)3,1-上的值域.【解析】（1）令1,x y ==则2(2)(0)11613210,f f -=++++-=(0)2,(2)4;f f =-∴=（2）令0y =则222()()2,()2f x f x x x f x x x -=+-∴=+-； （3）()f x 对称轴为[)11,32x =-∈-， min max 9(),()44f x f x ∴=-=，9(),44f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦．例20．（2022·上海·高一专题练习）函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()21f x y f y x y x +-=++成立，且()10f =.求()f x 的解析式；【解析】令1x =，0y =，则()()()1001011f f +-=++⨯，即()002f -=，()02f ∴=-.令0y =，则()()()201f x f x x x x -=+=+，()22f x x x ∴=+-.例21．（2022·江苏·高一课时练习）已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-【答案】A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =-+，则有()21f t t t =-+=，解可得1t =-，则()21f x x =--，故(2)413f -=-=； 故选：A.例22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则()2f 的值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．10【答案】C 【解析】()f x 在R 上是单调函数，∴可令()3f x x t -=，()3f x x t ∴=+，()44f t t ∴==，解得：1t =，()31f x x ∴=+，()23217f ∴=⨯+=.故选：C.例23．（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数()y f x =，x ∈R ，且()02f =，()()0.520f f =，()()120.5f f =，…，()()()0.520.51f n f n =-，*n N ∈，则满足条件的函数()f x 的一个解析式为________. 【答案】()24x f x =⨯ 【解析】由己知得(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=，2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=， 3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅⋅⋅=， ()4(0)x f x f ∴=，又(0)2f =，()24x f x ∴=⨯ 故答案为：()24x f x =⨯例24．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x =_________． 【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ， 所以()f x =x ，故答案为：x ,答案不唯一题型四：求解析式中的参数值例25．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知函数()q f x px x =+（p ，q 为常数），且满足5(1)2f =，17(2)4f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】(1)()()512{1724f f ==，∴52{17224p q q p +=+=，解得2{12p q ==，∴函数()f x 的解析式为1()2(0)2f x x x x=+≠. (2)0x >，∴由基本不等式可得()11222222f x x x x x=+≥⋅， 当且仅当122x x =，即12x =时取等号， ∴当0x >，函数()212f x x x=+的最小值是2， 要使0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，只需()min 3f x m ≥-， 所以23m ≥-，解得m 1≥. ∴实数m 的取值范围是[1,)+∞例26．（2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习）已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则（ ） A ．3c ≤ B ．36c <≤C ．69c <≤D ．9c >【答案】C【解析】由已知得(1)(2)(1)(3)f f f f -=-⎧⎨-=-⎩,即184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩， 又0(1)63f c <-=-≤，所以69c <≤， 故选：C.例27．（2022·全国·高一）已知()()()222f x x x x ax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___. 【答案】15-【解析】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩ 则()()()22268f x x x x x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-题型五：函数方程组法求解析式例28．（2022·全国·高一专题练习）若函数f （x ）满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则f （x ）可以是___．（举出一个即可）【答案】()()10f x x =≠【解析】若()()10f x x =≠，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.若()21xf x x =+，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故答案为：()()10f x x =≠，答案不唯一.例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+，则()f x =___________. 【答案】21x -+【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①， 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②， ②2⨯-①得，()21f x x =-+． 故答案为：21x -+．例30．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 是R →R 的函数，满足对一切x ∈R ，都有()()22f x x f x +-=，则()f x 的解析式为()f x =______．【答案】2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=，得()()()222f x x f x -+-=， 将()f x 和()2f x -看成两个未知数，可解得()()211f x x x=≠-， 当1x =时，()()()212112f f -+-=，解得()11f =，综上，()2,1,11, 1.x f x xx ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为：2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩. 例31．（2022·重庆市江津中学校高一阶段练习）已知函数()f x 满足()()21f x f x x --=，则()1f =_________【答案】13-【解析】令1x t -=，则1x t =-， 所以()()121f t f t t --=-① 因为()()21f t f t t --=②由①2⨯+②得()32f t t -=-，所以()23tf t -=-，即()23x f x -=-，所以()113f =-故答案为：13-例32．（2022·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习）已知函数()f x 对0x ≠的一切实数都有()202132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2021f =______．【答案】10092-【解析】()()2021322021202132?f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，()202186?2f x x x ∴=-，()320211·44f x x x ∴=-，()100920212f ∴=-， 故答案为：10092-. 例33．（2022·全国·高一课时练习）已知12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】利用方程组法求解即可：因为12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，所以()112(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭解得()2133x f x x =-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞ 故答案为：2133x x-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞. 例34．（2022·全国·高一专题练习）若对任意实数x ，均有()2()92f x f x x --=+，求()f x . 【解析】利用方程组法求解即可； ∵()2()92f x f x x --=+（1） ∴()()()292f x f x x --=-+（2） 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+， ∴()32()f x x x R =-∈.故答案为：32x - .【过关测试】一、单选题 1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 为一次函数，且()()3751f f ==-，，则()1f =（ ） A ．15 B ．15-C ．9D ．9-【答案】A【解析】设()f x kx b =+，则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得419k b =-⎧⎨=⎩，()419f x x ∴=-+，()141915f ∴=-+=．故选：A2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()2156f x x +=-，且()9f t =，则t =（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】()()51721562122f x x x +=-=+-, ()51722f x x ∴=-. ()517922f t t ∴=-=,解得7t =．故选：A.3．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【答案】C【解析】当010x ≤≤时，设y kx =， 将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =，则此时45y x =， 当10x >时，设a y x=， 将点(10,8)代入ay x=得：10880a =⨯=， 则此时80y x=， 综上，()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，当010x ≤≤时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x ，则当4y ≥时，520x ≤≤，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟）， 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】C【解析】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+-⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.5．（2022·吉林油田高级中学高一期中）若(1)1f x x =+，则()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x =B ．2()22(0)f x x x x =-+≥C ．2()22(1)f x x x x =-+≥D ．2()1f x x =+【答案】C1x t =，1t ≥，则2(1)x t =-， 则22()(1)122f t t t t =-+=-+，1t ≥， ∴函数()f x 的解析式为2()22(1)f x x x x =-+≥. 故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 满足()12()3f x f x x +=，则()f x 等于（ ）A ．12x x--B ．12x x-+ C ．12x x +D ．12x x-【答案】D【解析】把()12()3f x f x x +=①中的x 换成1x ，得()132()f f x x x+=②由①2⨯-②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-. 故选：D7．（2022·浙江·高一阶段练习）设()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数，当()0,x ∈+∞时，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则(3)f 的为A ．2B ．3C ．32D ．43【答案】D 【解析】设1()f x t x -=,则()2f t =,1()f x t x=+ ∵()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数 ∴方程()2f t =只有一解,即t 为定值.又∵()12f t t t =+=∴1t =即()14333f t =+=故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（ ） A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3 【答案】B【解析】用3x -代替原方程中的x 得：f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴22()2(3)(3)2()69?f x f x x f x f x x x ⎧+-=⎨-+=-+⎩消去(3)f x -得：－3f (x )＝－x 2＋12x －18，21()463f x x x ∴=-+.故选：B 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()123f x x x =，则（ ）A ．()17f =B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258-D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【解析】令11t x =≥-1x t =+，则()21x t =+，得)()2125fx f t t t ==+，故()225f x x x =+，[)1,x ∞∈-+，()17f =，A 正确，B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增，()()min 13f x f =-=-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 错误，D 正确.故选：AD10．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．若y ＝f (x )是一次函数，则y ＝f (f (x ))为一次函数 B ．若y ＝f (x )是二次函数，则y ＝f (f (x ))为二次函数 C ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 有解，则f (f (x ))＝x 有解 D ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 无解，则f (f (x ))＝x 无解 【答案】AC【解析】A.因为y ＝f (x )是一次函数，设()(0)f x kx b k =+≠，则()()2(0)f kx b k kx b b k x kb b k +=++=++≠，即y ＝f (f (x ))为一次函数，故正确；B. 因为y ＝f (x )是二次函数，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，则()()()2222f ax bx c a ax bx c b ax bx c c ++=++++++，34222232222222a x ab x abcx ac a bx a cx abx b x bc c =+++++++++，()()342322222222(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a =+++++++++≠所以 y ＝f (f (x ))不是二次函数，故错误；C.因为f (x )＝x 有解，设0x ，则()00f x x =，所以()()()000f f x f x x ==，则f (f (x ))＝x 有解，故正确；D.若f (x )＝x 无解，即()210ax b x c +-+=无解，则()2140b ac ∆=--<，由()()()2222=f ax bx c a ax bx c b ax bx c c x ++=++++++,得()()34232222222210(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a ++++++-+++=≠，此方程不是一元二次方程，故根据()2140b ac ∆=--<，无法判断方程是否有解，故错误； 故选：AC11．（2022·全国·高一课时练习）一次函数()f x 满足：(())43f f x x =+，则()f x 的解析式可以是（ ） A ．()f x =21x + B ．()f x =12x - C ．()f x =23x - D ．()f x =23x --【答案】AD【解析】设()()0f x kx b k =+≠，则()2(())43f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以243k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩或23k b =-⎧⎨=-⎩，即()21f x x =+或()23f x x =--． 故选：AD ．12．（2022·江西·模拟预测）已知一次函数1()(0)3f x x b b =-+≠满足2((0))f f b =，且点()Q m n ,在()f x 的图象上，其中0m >，0n >，则下列各式正确的是（ ）A ．43b =B ．32m n +=C ．13mn ≤D ．1123m n+≥ 【答案】BCD 【解析】21((0))()3f f f b b b b ==-+=，23b ∴=， 即12()33f x x =-+，故A 不正确；由()Q m n ,在函数图象上可得23m n -+=，即32m n +=，故B 正确； 由均值不等式可得323m n mn +=≥13mn ≤，故C 正确；因为111111313(3)(2)2223232323n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝， 所以D 正确. 故选：BCD 三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）已知()2215f x x x =-++，则()2f x 的值域为______．【答案】(,16]-∞【解析】设2t x =，0t ≥，()()2221511616f t t t t =-++=--+≤，所以值域是(,16]-∞． 故答案为：(,16]-∞.14．（2022·全国·高一）已知函数()213f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是___________.【答案】259x x -+【解析】()213f x x x +=-+，令1x t ，则1x t =-，故()()()222113211335f t t t t t t t t =---+=-+-++=-+，故()235f x x x =-+，()()()222113152133559f x x x x x x x x -=---+=-+-++=-+故答案为：259x x -+15．（2022·全国·高一专题练习）若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()f x =______．【答案】12855x x- 【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，由①②得()12855x f x x-=. 故答案为：12855x x-. 四、解答题16．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知)24fx x x =+()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（4）已知()f x 的定义在R 上的函数，()01f =，且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）方法一 设2t x =，则2t ≥2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24f x x =-（2x ≥）.方法二 因为))2224fx x =-，所以()()242f x x x =-≥．（2）因为()f x 是二次函数，所以设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+．（3）因为()()22f x f x x x +-=-，① 所以()()22f x f x x x -+=+，② 2⨯-②①，得()233f x x x =+，所以()23x f x x =+．（4）方法一 令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，所以()21f x x x =++．方法二 令0x =，则()()()001f y f y y -=--+，即()21f y y y -=-+，令x y =-，则()21f x x x =++．17．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知)24fx x x =+()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；21（5）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）∵()2f x x =，∴()()222121441f x x x x +=+=++．（2）设2t x =，则2t ≥2x t -，即()22x t =-， ∴()()()222424f t t t t =-+-=-，∴()()242f x x x =-≥． （3）∵()f x 是二次函数，∴设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ， 整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩， ∴()21f x x x =-+．（4）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②2⨯-①，得()233f x x x =+，∴()23x f x x =+． （5）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++．22。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
专题02 二次函数章末重难点题型(举一反三)(解析版)
专题02 二次函数章末重难点题型【举一反三】【考点1 二次函数的概念】二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2019秋•泰兴市校级月考）下列函数关系式中，y 是x 的二次函数是( )A ．2y ax bx c =++B ．21y x x =-C ．2325y x x ++D ．2(32)(43)12y x x x =+--【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．【答案】解：A 、a ＝0时，不是二次函数，故A 错误；B 、不是二次函数，故B 错误；C 、是二次函数，故C 正确；D 、不含二次项，不是二次函数，故D 错误；故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数．【变式1-1】（2019秋•文水县期中）已知函数：①2y ax =；②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-；④21y x x =+．其中，二次函数的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【思路点拨】根据形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数为二次函数即可得到结论．【答案】解：根据定义②y ＝3（x ﹣1）2+2；③y ＝（x +3）2﹣2x 2是二次函数故选：B ．【方法总结】本题考查二次函数的定义，解题的关键正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．【变式1-2】（2019秋•苍溪县期中）已知函数||(2)1m y m x mx =-+-，其图象是抛物线， 则m 的取值是( )A ．2m =B ．2m =-C ．2m =±D ．0m ≠【思路点拨】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【答案】解：∵函数y ＝（m ﹣2）x |m |+mx ﹣1，其图象是抛物线，∴|m |＝2且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2．故选：B ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．【变式1-3】（2019秋•南康区期中）若22(2)32my m x x -=-+-是二次函数，则m 等于( ) A ．2- B ．2 C ．2±D ．不能确定 【思路点拨】根据二次函数的定义求解即可．【答案】解：由题意，得m 2﹣2＝2，且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2，故选：A ．【考点2 二次函数与一次函数图象】【例2】（2019秋•花都区期中）在同一直角坐标系中2y ax b =+与(0,0)y ax b a b =+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题由一次函数y ＝ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝ax 2+b 的图象相比较看是否一致．【答案】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＞0，b ＞0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：A ．【方法总结】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．【变式2-1】（2018秋•厦门期中）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【思路点拨】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a 、b 的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【答案】解：A 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴x ＝﹣＞0，在y 轴的右侧，符合题意，图形正确．B 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y 轴的左侧，故不合题意，图形错误，D 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．故选：A ．【方法总结】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a 、b 的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．【变式2-2】（2019秋•沂水县期中）在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2()y a x c =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题形数结合，一次函数y ＝ax +b ，可判断a 、c 的符号；根据二次函数y ＝a （x +c ）2的图象位置，可得a ，c ．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【答案】解：A 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＜0，c ＜0，故A 错误；B 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故B 正确；C 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＜0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故C 错误；D 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＜0，故D 错误．故选：B ．【方法总结】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．【变式2-3】（2016秋•工业园区期中）如图，一次函数y x =与二次函数2y ax bx c =++图象相交于A 、B两点，则函数2(1)y ax b x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数可知：方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，根据二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系即可得．【答案】解：由图象知直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数， ∴方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，∴函数y ＝ax 2+（b ﹣1）x +c 的图象与x 轴的负半轴有两个交点，故选：B ．【方法总结】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，由题目已知图象得出方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根是解题的关键．【考点3 二次函数的增减性】【例3】（2018春•利津县期末）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>【思路点拨】由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x ＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【答案】解：∵二次函数线y ＝﹣（x +1）2+k ，∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x ＝﹣1．∵A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣（x +1）2+k 上的三点，而三点横坐标离对称轴x ＝3的距离按由近到远为：（﹣2，y 1）、（1，y 2）、（2，y 3），∴y 1＞y 2＞y 3故选：A ．【方法总结】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．【变式3-1】（2019秋•宣威市校级月考）已知二次函数21572y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( )A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<【思路点拨】先根据抛物线的性质得到抛物线对称轴，则x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，于是由0＜x 1＜x 2＜x 3即可得到y 1，y 2，y 3的大小关系．【答案】解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣，而抛物线开口向下，所以当x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，所以当0＜x 1＜x 2＜x 3时，y 1＞y 2＞y 3．故选：A ． 【方法总结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．【变式3-2】（2018秋•建昌县期中）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过(3,0)A -，(1,0)B ，1(5,)C y -，2(2,)D y -四点，则1y 与2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定【思路点拨】根据A （﹣3，0）、B （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C 、D 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系．【答案】解：∵抛物线过A （﹣3，0）、B （1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x ＝＝﹣1，∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y 1＜y 2．故选：C ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．【变式3-3】（2018•南海区期中）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x ⋯0 1 2 3 ⋯ y⋯ 5 2 1 2 ⋯ 点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是()A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【思路点拨】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A 的对称点，利用增减性即可得出答案．【答案】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1）， 代入得：且，解得：a ＝1，b ＝﹣4，c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的对称轴是直线x ＝2，∵0＜x 1＜1，2＜x 2＜3，0＜x 1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2，故选：B ．【方法总结】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．【考点4 二次函数图象的平移】【例4】（2018秋•花都区期中）抛物线22y x =-经过平移得到22(1)3y x =--+，平移方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【思路点拨】由抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．故选：D ．【方法总结】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．【变式4-1】（2019•天津校级期中）已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【思路点拨】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A ，B ，M 点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【答案】解：当y ＝0，则0＝x 2﹣4x +3，（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴M 点坐标为：（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y ＝（x +1）2＝x 2+2x +1．故选：A ．【方法总结】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．【变式4-2】（2018秋•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为( )A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【思路点拨】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【答案】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），∵把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴抛物线的解析式为y ＝2（x +2）2﹣2．故选：D ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．【变式4-3】（2018秋•襄州区期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数221y x x =-+的图象，用b ，c 的值分别是( )A ．14b =，8c =-B ．2b =-，4c =C ．8b =-，14c =D ．4b =，2c =-【思路点拨】把二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y ＝x 2+bx +c 的图象．【答案】解：∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2，∴二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象的顶点坐标为（1，0），把点（1，0）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（4，﹣2）， ∴原抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2，即y ＝x 2﹣8x +14，即b ＝﹣8，c ＝14．故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【考点5 二次函数的图象与a ，b ，c 的关系】【例5】（2018秋•渝中区校级期中）已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①0abc >；②0b a c -->；③42a c b +>-；④30a c +>；⑤()(1a b m am b m +>+≠的实数），其中正确的结论有( )A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤【思路点拨】由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】解：①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a﹣c＞0，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，∴4a+c＞﹣2b，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a+c＜0，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确，故选：C．【方法总结】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．【变式5-1】（2018秋•苍溪县期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．【答案】解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵把x ＝1代入抛物线得：y ＝a +b +c ＜0，∴2a +2b +2c ＜0， ∵﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，∴y ＝a ﹣b +c 的值最大，即把x ＝m 代入得：y ＝am 2+bm +c ≤a ﹣b +c ，∴am 2+bm +b ≤a ，即m （am +b ）+b ≤a ，∴③正确；∵a +b +c ＜0，a ﹣b +c ＞0，∴（a +c +b ）（a +c ﹣b ）＜0，则（a +c ）2﹣b 2＜0，即（a +c ）2＜b 2，故④正确；故选：D ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解的方法，同时注意特殊点的运用．【变式5-2】（2018秋•江岸区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，过(1，1)(2y ，2)y ．①若10y >时，则0a b c ++>②若a b =时，则12y y <③若10y <，20y >，且0a b +<，则0a >④若21b a =-，3c a =-，且10y >，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ，此时，确定不了y 的值，∴a +b +c ＞0，正确； ②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，分两种情况，a ＝b ＞0，则y 2＞y 1，否则，故y 1＜y 2，故错误； ③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．【答案】解：①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ＞0此时，正确；②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，也确定不了y 1、y 2的大小，故y 1＜y 2，错误；③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，解得：﹣3a ﹣b ＜0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，∴a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，顶点的x 坐标＝﹣＜0，顶点的y 坐标＝＝﹣2﹣＜0，故顶点一定在第三象限，正确；故选：C ．【方法总结】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．【变式5-3】（2019•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b -=；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中错误结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c ＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；【答案】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：A ．【方法总结】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．【考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系】【例6】（2019春•天心区校级期中）函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于一元二次方程220ax bx c ++-=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【思路点拨】由图可知ax 2+bx +c ﹣2＝0的根的情况即图中图象和x 轴交点的横坐标，为两个不相等的正数．【答案】解：∵函数的顶点的纵坐标为3，∴直线y ＝3与函数图象只有一个交点，∴y ＝ax 2+bx +c ﹣2，相当于函数y ＝ax 2+bx +c 的图象向下平移2个单位，∴方程ax 2+bx +c ﹣2＝0的根为两个不相等的实数根．故选：A ．【方法总结】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线y ＝3与抛物线的交点个数．【变式6-1】（2019春•安吉县期中）如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20(x mx t t +-=为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．﹣5＜t ≤4B ．3＜t ≤4C ．﹣5＜t ＜3D ．t ＞﹣5【思路点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x ＝1或3时，y ＝3，结合函数图象，利用抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+mx 的对称轴为直线x ＝2， ∴﹣＝2，解得m ＝4，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x ＝1时，y ＝﹣x 2+4x ＝3；当x ＝3时，y ＝﹣x 2+4x ＝3，∵关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣t ＝0（t 为实数）在1＜x ＜3的范围内有解，∴抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点，∴3＜t ≤4．故选：B ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式6-2】（2018秋•福清市期中）函数21y x x =+-中x 与y 的对应关系如下表所示，方程210x x +-=两实数根中有一个正根1x ，下列对1x 的估值正确的是( ) x ⋯0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 ⋯ y ⋯ 0.25- 0.1475- 0.04- 0.0725 0.19 0.3125 ⋯A ．10.50.55x <<B ．10.550.6x <<C ．10.60.65x <<D ．10.650.7x << 【思路点拨】利用x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，从而可判断当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，从而得到方程x 2+x ﹣1＝0一个正根x 1的范围．【答案】解：∵x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，∴当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，∴方程x 2+x ﹣1＝0两实数根中有一个正根x 1，则0.6＜x 1＜0.65．故选：C ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．【变式6-3】（2019秋•萧山区期中）已知关于x 的方程2()()0x m x n +--=，存在a ，b 是方程2()()0x m x n +--=的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是( )A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m b n <<<D ．a m n b <<<【思路点拨】令抛物线解析式中y ＝0，得到方程的解为a ，b ，即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ，b ，再由抛物线开口向上得到a ＜x ＜b 时y 小于0，得到x ＝m 与n 时函数值大于0，即可确定出m ，n ，a ，b 的大小关系．【答案】解：令函数y ＝2+（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝x 2﹣（m +n ）x +mn +2，∴抛物线开口向上，令y ＝0，根据题意得到方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝﹣2的两个根为a ，b ，∵当x ＝m 或n 时，y ＝2＞0，∴实数m ，n ，a ，b 的大小关系为m ＜a ＜b ＜n ．故选：A ．【方法总结】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．【考点7 二次函数解析式】【例7】经过(4,0)A ，(2,0)B -，(0,3)C 三点的抛物线解析式是 ．【思路点拨】根据A 与B 坐标特点设出抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣4），把C 坐标代入求出a 的值，即可确定出解析式．【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4），把C （0，3）代入得：﹣8a ＝3，即a ＝﹣，则抛物线解析式为y ＝﹣（x +2）（x ﹣4）＝﹣x 2+x +3，故答案为y ＝﹣x 2+x +3．【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式7-1】若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7- 6- 5- 4-3- 2- y 27- 13- 3- 3 53 则二次函数的解析式为 ．【思路点拨】取三组对应值（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c 的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到抛物线解析式．【答案】解：把（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．故答案为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．【方法总结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式7-2】（2019秋•荣成市期中）二次函数在32x=时，有最小值14-，且函数的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式为．【思路点拨】由条件可知其顶点坐标为（，），可设顶点式，再把点（0，2）代入可求得函数的解析式．【答案】解：∵二次函数在x＝时，有最小值，∴抛物线的顶点是（，），∴设此函数的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，∵函数图象经过点（0，2），∴2＝a（0﹣）2﹣，解得a＝1，∴此函数的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x+2．故答案为y＝x2﹣3x+2．【方法总结】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．【变式7-3】（2013秋•潜山县校级月考）抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点为(1,0)-，(3,0)，其形状与抛物线22y x =相同，则抛物线解析式为 ． 【思路点拨】根据抛物线形状相同则a 的值相同，再将（﹣1，0），（3，0）代入抛物线求出b ，c 的值即可．【答案】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y ＝2x 2相同，∴或，∴解得：或，∴抛物线解析式为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．故答案为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．【方法总结】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出a 的值是解题关键．【考点8 二次函数的应用—销售问题】【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件)与销售单价x （元)之间的关系可近似的看作一次函数：20800y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案】解：（1）由题意，得：w ＝（x ﹣15）•y ＝（x ﹣15）•（﹣20x +800）＝﹣20x 2+1100x ﹣12000， 即w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）；（2）对于函数w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）的图象的对称轴是直线x ＝27.5又∵a ＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．【方法总结】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；【方法总结】本题考查一次函数和二次函数的性质；能够从情境中列出函数关系式，借助函数的性质解决实际问题；【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为21000m 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用1y （元)与2()x m 的函数关系图象如图所示，栽花所需费用2y （元)与2()x m 的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+．（1）求1y （元)与2()x m 的函数关系式；（2）设这块21000m 空地的绿化总费用为W （元)，请利用W 与x 的函数关系式，求绿化总费用W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与x （m 2）的函数关系式（2）总费用为W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解【答案】解：（1）依题意当0≤x ≤600时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得18000＝600k 1，解得k 1＝30 ∴y 1＝30x当600＜x ≤1000时，y 1＝k 2x +b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得 ，解得∴y 1＝20x +600综上，y 1（元）与x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W ＝ 整理得故绿化总费用W的最大值为32500元【方法总结】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用．根据函数解析式即可求最大值，但要注意自变量的取值范围．【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件)与时间t（天)的关系如下表：时间t（天) 1 3 5 10 36 ⋯94 90 86 76 24 ⋯日销售量m（件)未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t 为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件)与t（天)之间的表达式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0），将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．。
高考求函数解析式方法及例题
函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方f(x)的解析式。
，∴f(x)=2x+7待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x-=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
换元法()f x 211(1)(1)1f x x+=-2211(2)()f x x x x+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式22()(1)12f t t t t∴=--=-11tx+=（1）解：令11t x=-1t ≠则且2()2f x x x=-(1)x ≠即换元法2()2f x x ∴=-(2)x ≥凑配法x1x x+用替代式中的12x x+≥又考虑到211()()2f x x x x+=+-（2）解：【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。
二次函数-用待定系数法求解二次函数解析式专题讲义
待定系数法求解析式一、知识要点近年高频考点中考频率所占分值1、用待定系数法求解二次函数解析式 5~10分1、设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数解析式2、设顶点式y＝a(x－h)2＋k _用待定系数法求二次函数解析式3、设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)_用待定系数法求二次函数解析式知识点回顾：二次函数的表达形式有那些？二、知识要点详解1、知识点一：设一般式y＝ax2＋bx＋c_用待定系数法求二次函数的解析式什么叫做待定系数法？一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
根据定义待定系数法求二次函数的解析式步骤如下：（1）、找出符合方程的点；（2）、根据相应的点设不同形式的函数方程；（3）、将相应点的坐标带入（2）步骤所设的函数方程得到关于系数关系的方程或方程组；（4）、解出方程或方程组得到相应的系数（5）、将系数带入所设方程得到二次函数的解析式如题：二次函数的顶点为（2,1），函数图像经过点（1,0），求此二次函数的解析式。
解：∵二次函数的定点为（2,1）找点（1）∴设二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋1 根据相应的点设立方程（2）∵点（1,0）在函数图像上，即（1,0）满足方程y＝a(x－2)2＋1∴0＝a(1－2)2＋1 将点带入得方程（3）解之得：a=-1 解方程（4）∴二次函数解析式为：y＝-(x－2)2＋1 将所求系数代入得方程解析式（5）一般式y＝ax2＋bx＋c的求解方法：若是已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，代入方程求得解析式例题一1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为____________．2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( ) A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋24．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．5.已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．顶点式y＝a(x－h)2＋k的求解方法：若是已知条件是图像上的顶点（h，k）与另外一点（x，y），则设所求二次函数y＝a(x－h)2＋k，将已知条件（x，y）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题二1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－82．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)的求解方法：若是已知条件是图像上抛物线与x轴的交点（x1，0）、（x2，0）与另外任意一点（x3，y3），则设所求二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，将已知条件（x3，y3）代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，代入方程求得解析式例题三1．如图，抛物线的函数表达式是( )A．y＝12x2－x＋4B．y＝－12x2－x＋4C．y＝12x2＋x＋4D．y＝－12x2＋x＋42．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．3．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋24．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，该抛物线的解析式为5．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．3.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)
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3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶 点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac＞0 ，交点有两个， 分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个 即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:（交点式） 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有： y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
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专题二：求函数解析式的题型及方法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.题型一、已知是常见函数（如一次、二次、反比例函数等），求()f x 的解析式 解法：用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 练习一1.已知()f x 是二次函数，且f(0)=0,f(x+1)= ()f x +x+1, 求()f x 的解析式 .2.已知()f x 是反比例函数，且过其图像上任意一点 分别作X 轴、Y 轴的垂线段，所构成的矩形面积为4，求()f x 的解析式。
3.已知二次函数()F x ，其图像的顶点是(1,2)-，且经过原点，求()F x .4．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.题型二、已知复合函数[()]f g x 的解析式，求()f x 的解析式解法：1.配凑法：但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
2.换元法 ：同上。
例2 已知221)1(x x xx f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（配凑法）2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+xx2)(2-=∴x x f )2(≥x例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：（换元法）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x练习二1．若xx x f -=1)1(,求)(x f .2.已知f(x-1)=x 2+4x-3，求)1(+x f题型三、求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数的解析式 解法：代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ，点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y∴67)(2---=x x x g题型四、已知互为倒数或相反数的两个复合函数差的解析式求()f x 的解析式， 解法：构造方程组法例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 解 x xf x f =-)1(2)( ①显然,0≠x 将x 换成x1，得： xx f xf 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--= 练习四1.设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.2．若x xx f x f +=-+1)1()(,求)(x f 的解析式. 题型五、利用函数奇、偶性建立方程组求解析式 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ②解① ②联立的方程组，得 11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 练习五题型六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f题型七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f n n -=-=--=将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=+++=∴n n n n f+∈+=∴N x x x x f ,2121)(2 练习题(1)已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求f (x )的解析式。
(2)已知f （x ＋x1）＝x 3＋x1，求f (x )的解析式。
(3)已知函数f （x ）是一次函数，且满足关系式3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f (x )的解析式。
分析：此题目中的“f ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。
即：求出f 及其定义域.(1)解法一：【换元法】设t ＝x ＋1≥1，则x ＝t －1，∴x ＝（t －1）2 ∴f （t ）＝（t －1）2＋2（t －1）＝t 2－1（t ≥1） ∴f （x ）＝x 2－1（x ≥1）解法二：【凑配法】由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1，∴f(x)=2x -1(x≥1) 【评注：】①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。
②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。
(2)∵x 3＋31x ＝（x ＋x 1）（x 2＋21x－1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x 1）2－3] ∴f （x ＋x1）＝（x ＋x1）[（x ＋x1）2－3] ∴f （x ）＝x （x 2－3）＝x 3－3x ∴当x ≠0时，x ＋x 1≥2或x ＋x1≤－2 ∴f （x ）＝x 3－3x （x ≤－2或x ≥2） (3)设f （x ）＝ax ＋b则3f （x ＋1）－2f （x －1）＝3ax ＋3a ＋2b ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17 ∴a ＝2，b ＝7 ∴f （x ）＝2x ＋7评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。
值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。
（4）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （5）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（6）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（7）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ． 解：（4）∵3331111()()3()f x x x x x x x x+=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）． （5）令21t x+=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg(1)1f x x x =>-． （6）设()(0)f x ax b a =+≠， 则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（7）12()()3f x f x x +=①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．注：第（4）题用配凑法；第（5）题用换元法；第（6）题已知一次函数，可用待定系数法；第（7）题用方程组法。