高中数学完整讲义——空间几何量的计算6.证明与计算(角度)

高中数学讲义【例1】 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ∥，90BCD ∠=，PA PB =，PC PD =．⑴证明：CD 与平面PAD 不垂直； ⑵证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；⑶如果CD AD BC =+，二面角P BC A --等于60，求二面角P CD A --的大小．【例2】 （2008山东）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD求二面角E AF C --的余弦值．GFEDCB A PPFDCBA典例分析板块六.证明与计算（角度）高中数学讲义 【例3】 如图，正ABC ∆的边长为3，过其中心G 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ，将11AB C ∆沿11B C 折起到111A B C ∆的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：⑴二面角111A B C M --的大小；⑵异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值的大小．【例4】 （2009福建）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，M D ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，E 为BC 的中点．⑴求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；⑵在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．【例5】 （2009浙江文）如图，DC ⊥平面ABC ，EB DC ∥，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．⑴ 证明：PQ ∥平面ACD ；⑵ 求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．ENMDC BAQPEDCBA高中数学讲义【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，ACBD H =，且H 为AC的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==，DB =．⑴证明：PA ∥平面BDE ； ⑵证明：AC ⊥平面PBD ；⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．【例7】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． ⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．【例8】 （2009朝阳一模）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，4290AA AC BC ACB '===∠=︒，，，D 是AB 的中点．⑴求证：CD AB '⊥；⑵求二面角A AB C ''--的大小；⑶求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值．【例9】 （2007东城期末理）如图，在长方体ABCD —1111A B C D 中，棱3AD DC ==，14DD =，过点HE DCBA PPGFE DCBA DC 'B 'A 'CB高中数学讲义 D 作1D C 的垂线交1CC 于点E ，交1D C 于点F ．⑴求证：1A C BE ⊥；⑵求二面角E BD C --的大小； ⑶求BE 与平面11A D C 所成角的正弦值．【例10】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，ACBD H =，且H 为AC的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==，DB =．⑴证明：PA ∥平面BDE ；⑵证明：AC ⊥平面PBD ；⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．【例11】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．D 1C 1B 1A 1F EDCBA HE DCBA PPGFE DCBA高中数学讲义【例12】（2006江苏-19）在正ABC∆中，E F P、、分别是AB AC BC、、边上的点，满足:AE EB::CF FA CP==1:2PB=，将AEF∆沿EF折起到1A EF∆的位置，使二面角1A EF B--成直二面角，连结11A B A P、⑴求证：1A E⊥平面BEP⑵求直线1A E与平面1A BP所成角的大小⑶求二面角1B A P F--的余弦值大小．【例13】（07湖南理18）如图1，E，F分别是矩形ABCD的边AB CD，的中点，G是EF上的一点，将GAB∆，GCD∆分别沿AB CD，翻折成1G AB∆，2G CD∆，并连结12G G，使得平面1G AB⊥平面ABCD，12G G AD∥，且12G G AD<．连结2BG，如图2．⑴ 证明：平面1G AB⊥平面12G ADG；⑵ 当12AB=，25BC=，8EG=时，求直线2BG和平面12G ADG所成的角；【例14】（2007东城期末理）如图，在长方体ABCD—1111A B C D中，棱3AD DC==，14DD=，过点D作1D C的垂线交1CC于点E，交1D C于点F．⑴求证：1A C BE⊥；⑵求二面角E BD C--的大小；⑶求BE与平面11A D C所成角的正弦值．FECPA1BPFEDCBAAB CDE FG图1AEB CFDG1G2图2高中数学讲义【例15】 （2009朝阳一模）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，4290AA AC BC ACB '===∠=︒，，，D 是AB 的中点．⑴求证：CD AB '⊥；⑵求二面角A AB C ''--的大小；⑶求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值．【例16】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是2AB =，BC =PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ．⑴证明：BC ⊥侧面PAB ；⑵证明：侧面PAD ⊥侧面PAB ；⑶求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小．【例17】 （05-湖南-17）如图，已知ABCD 是上，下底边长分别为2和6它沿对称轴1OO 折成直二面角．D 1C 1B 1A 1F EDCBA DC 'B 'A 'CBADCBAP高中数学讲义⑴证明：AC⊥1BO；⑵求二面角1O AC O--的正弦值．【例18】（08浙江卷18）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE CF∥，90BCF CEF∠=∠=︒，AD2EF=．⑴求证：AE∥平面DCF；⑵当AB的长为何值时，二面角A EF C--的大小为60︒？【例19】球O的截面BCD到球心的距离等于球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D是圆周上的一点，CA是球的直径．⑴求证：平面ABD⊥平面ADC⑵如果:2BD DC，求二面角B AC D--的大小．【例20】如图所示，正三棱柱111ABC A B C-的底边长为2，高为4，过AB作一截面交侧棱1CC于P，截面与底面成60角，求截面PAB∆的面积．O1OD CBAABCDOO1EHDFCBA高中数学讲义【例21】 （06 重庆-理-19）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，2AD CD AB ==，E 、F 分别为PC 、CD 中点．⑴试证：CD ⊥平面BEF ；⑵高PA k AB =⋅，且二面角E BD C --的平面角大于30，求k 的取值范围．【例22】 如图，已知边长为a 的正ABC ∆，以它的高AD 为折痕，把它折成一个二面角B AD C '--．⑴求AB '和面B CD '所成的角；⑵若二面角B AD C '--的平面角为120，求出二面角A B C D '--的余弦值．【例23】 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB 2AC =，111A C =，12BD DC =． ⑴证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； ⑵求二面角1A CC B --的大小．PBC 1B 1A 1CAFEACBDPMABC DB '高中数学讲义【例24】 已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//90，°AB DC ABC BCD ∠=∠=， 2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ．⑴求证：PA BD ⊥⑵求二面角P BD C --的正切值．【例25】 （2009北京）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，60ABC ∠=︒，90BCA ∠=︒．点，D E 分别在棱PB ，PC 上，且∥DE BC ．⑴求证：BC ⊥平面PAC ；⑵当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；⑶是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．【例26】 （2009天津）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，∥∥AD BC FE ，AB AD ⊥，M 为EC 的中点，12AF AB BC FE AD ====．⑴求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⑵证明平面AMD ⊥平面CDE ； ⑶求二面角A CD E --的余弦值．【例27】 （东城一模）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，2PC AC ==，AB BC =，D 是PB 上一点，且DC 1B 1A 1BAPDCBAMFEDCBA高中数学讲义 CD ⊥平面PAB ．⑴ 求证：AB ⊥平面PCB ；⑵ 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；⑶ 求二面角C PA B --的大小．【例28【例29】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，PD =，60PAB ∠=．⑴ 证明AD ⊥平面PAB ； ⑵ 求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； ⑶ 求二面角P BD A --的大小．【例30】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．PDCBA高中数学讲义11思维的发掘 能力的飞跃 ⑴ 证明CD AE ⊥；⑵ 证明PD ⊥平面ABE ；⑶ 求二面角A PD C --的大小．【例31】 已知平面αβ⊥平面，交线为AB ，C α∈，D β∈，AB AC BC ===E 为BC 的中点，AC BD ⊥，8BD =．⑴求证：BD α⊥平面；⑵求证：平面AED BCD ⊥平面；⑶求二面角B AC D --的正切值．【例32】 （2008山东）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD求二面角E AF C --的余弦值．【例33】 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．AB C D E PαβED CB A P FE D C B A高中数学讲义 12 思维的发掘 能力的飞跃 ⑴证明：AD CE ⊥； ⑵设CE 与平面ABE 所成的角为45︒，求二面角C AD E --的余弦值．【例34】 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，F 为对角线AC 与BD 的交点，E为PC 中点，PD a =，PA PC ==， ⑴求证：EF ∥平面PAD ； ⑵求证：PD ⊥平面ABCD ，PB ⊥AC ； ⑶求二面角P AC D --的正切值．E D C B AFB EA C DP。