2.2.1探究导学课型

x2 y2 1(y 0) 25 16
类型三：待定系数法求椭圆的标准方程
【典例3】(1)(2015·邵阳高二检测)过点(-3，2)且与 x2 y2
1
有相同焦点的椭圆的方程是( )
94
A. x2 y2 1 15 10
B. x2 y2 1 225 100
(C2.)x求2 中y2心在1 原点，焦点D在. x坐2 标 轴y2 上 1，且经过

➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的定义：
平面内与_两__个__定__点__F_1_，__F_2_的_距__离__的__和__等__于__常__数__(_大__于__|_F_1_F_2_|_)_的__点__的__
_____叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_____，两点间的距离叫做
轨迹
焦点
椭圆的_____.
设A点坐标为(x，y)，则y≠0，
所以，
即为A的轨迹方程.
x2 y2 1(y 0) 25 16
【补偿训练】已知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的 轨迹方程. 【解析】建立如图坐标系，使x轴经过点B，C，原点O与BC的中点重合，
|BC|=6，|AB|+|AC|=16-6=10， 所以点A的轨迹是椭圆， 2a=16-6=10，2c=6，c=3，a=5， b2=a2-c2=52-32=16. 但当点A在直线BC上，即y=0时，A，B，C三点不能构成三角形，所以 点A的轨迹方程是：
类型一：椭圆的定义
【典例1】(1)椭圆 x2 y2 1 上一点M到一个焦点的距离为4，则M到 另一个焦点的距离为25 (16 )
A.4
B.6
C.8
D.2
(2)已知定点A(0，-1)，点B在圆F：x2+(y-1)2=16上运动，F为圆心，
线段AB的垂直平分线交BF于P.则点P的轨迹是__________.
94
5,0 ，即c 5.
设因所为求过椭点圆(-方3，程2为)，xa代22 入 by方22 程1为a＞b＞0.
解得a2=15(a2=3舍去).
9 a2

4 a2 5
1，
故方程为
x2 y2 1. 15 10
(2)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
x2 a2
MF2
＝1 2
8＝4.
【补偿训练】1.到两定点(2，1)，(-2，-2)距离之和为5的点的轨迹
是( )
A.线段
B.椭圆
C.直线
D.不存在
【解析】选A.两定点间的距离为
所以点的轨
迹为线段.
2 22 2 12 5，
2.已知椭圆
x2 a2

y2 ＝1(a 25
5)
的两个焦点为F1,F2，且|F1F2|＝8，弦AB
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
2.椭圆的标准方程中，参数a,b(a>b>0)与c满足的关系能否用图表
示？方程
x2 a2

y2 b2
与
＝1
y2 a2

x2 b2
有何不同？
＝1
提示：a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a,b,c的关系如图．
当a>b>0时，方程
表示焦点在x轴上的椭圆，方程
表大示．焦点在y轴上的xa22椭圆by22，＝1即焦点在哪个轴上相应的那个项的ay分22 母xb22就＝1
和
10 15
100 225
两点的椭圆方程．
A( 3，－2) B(－2 3，1)
【解题指南】(1)由已知椭圆方程求得焦点坐标得c，设出所求椭圆方 程，把点(-3，2)代入求系数. (2)根据条件设出椭圆的标准方程，利用A，B两点求方程中的系数.
【解析】(1)选A.，其焦点的坐标为
【解析】设圆P的半径为r，
又圆P过点B，所以|PB|=r， 又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10. 所以两圆的圆心距|PA|=10-r， 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆. 所以2a=10，2c=|AB|=6， 所以a=5，c=3. 所以b2=a2-c2=25-9=16. 即点P的轨迹方程为
过点F1，则△ABF2的周长为( )
A.10
B.20
C.
D.
【解析】选D.由已知得a2＝b22＋4c12＝25＋164＝4411，
所以a＝ 而△ABF2的周长为
41，
4a＝4 41.
类型二：定义法求椭圆的标准方程 【典例2】已知圆A：(x+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B 且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 【解题指南】根据两圆内切的特点，得出|PA|+|PB|=10，根据A，B 点的坐标，可以判定点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆，这就把 求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题.
【巩固训练】在△ABC中，B(-3，0)，C(3，0)，若周长为16，求顶 点A的轨迹方程. 【解题指南】由|AB|+|AC|=10可知顶点A的轨迹是椭圆，但要注意检 验A，B，C能否构成三角形.
【解析】由|AB|+|AC|=10>|BC|，可知点A轨迹为椭圆，其中2a=10，
即a=5，
又B(-3，0)，C(3，0)，则c=3，所以b=4.
【解题指南】(1)根据椭圆方程求出a，利用椭圆定义求点M到另一个 焦点的距离. (2)利用线段的垂直平分线的性质，可以判断点P到点A和点F的距离的 和为常数.
【解析】(1)选B.设椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点分别为F1，F2，不
妨令|MF1|=4，
25 16
由|MF1|+|MF2|=2a=10，
【过关小练】 已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中a 为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数)，当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段 AB；当2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综 上，甲是乙的必要不充分条件.
主题一：椭圆的定义 【自主认知】 1.将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上， 用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？ 提示：得到一个椭圆.
2.如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭 圆会发生怎样的变化？ 提示：当细绳两端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端 点逐步远离时，所画的椭圆越扁平. 3.绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 提示：不能.否则无法画图.
故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，且
2a 12，
所以a=6,b2=27，
2c 6，
所以点P的轨迹方程是
x2 y2 1. 36 27
【规律总结】定义法求椭圆的标准方程 (1)先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两 定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点间的距离. (2)若符合，则动点的轨迹为椭圆，且两定点间的距离为焦距2c，距 离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.
得|MF2|=10-|MF1|=10-4=6.
(2)由题意得|PA|=|PB|.
所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2，
所以动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆.
答案：以A，F为焦点的椭圆
【规律总结】椭圆定义的双向运用 (1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) 这一条件的点的轨迹为椭圆. (2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和 为2a. 提醒：在判断点的轨迹时，易出现只注意到距离之和为常数，而忽视 此常数要大于两定点距离的条件作出错误的判断.
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.

y2
1
36 20
x2 B.

y2
1
20 36
【C.解x2析 】y2 选 1B.由条件知D,. x椭2 圆 y的2 焦1点在y轴上,且c=4,a=6,
36 16
16 36
所以b2=a2-c2=36-16=20,所以其标准方程为
x2 y2 ＝1. 25 16
【延伸探究】(变换条件)典例中条件改为已知圆A：(x+3)2+y2=100， 圆B：(x-3)2+y2=4，圆P与圆A内切，与圆B外切，求圆心P的轨迹方程.
【解析】设圆P的半径为r，
则 PA 10 r,
所以 |PPBA|+2|PrB,|=12＞6=|AB|,
焦距
【合作探究】 1.当动点P与两定点F1，F2的距离和满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|时，点P 的轨迹是什么？