塑性力学二单元
弹塑性力学2-Stress-
x yx zx
x x y z x xy xz yx y yz z x z y z
Stress state of a point depends on 9 stress components
i 1
3
3
ai bi ai bi a1b1 a 2b2 a3b3
i 1
应力分析
a ij b j a ij b j a i1b1 a i 2 b2 a i 3 b3
a ij bi c j aijbi c j
i 1 j 1
3
j 1 3
3
a11b1c1 a12b1c2 a13b1c3 a21b2 c1 a22b2 c2 a23b2 c3 a31b3c1 a32b3c2 a33b3c3
弹塑性力学
Chapter 2 Stress Analysis
应力分析
2-1 Volume forces and surface forces
• Force is an action of one body to another
• Volume forces act over body volume • Surface forces act on body surface
In which
应力分析
2-5 Principal stresses and stress invariants
• For every point in a loaded body, we can find 3 planes perpendicular each other, on which there are only normal
(完整)弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
解：根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得则主应变有解得主应变，，。
塑性力学
塑性力学 第一章 绪 论§1-1 引 言1、研究对象及物点塑性体σεσε⎧⎪-⎨⎪⎩残余变形非线性关系非一一对应的-关系2、学习目的及要求1）掌握基本概念、原理和方法 2）基本应用及简例3）数值解法（有限元）、近似解法（属板变曲）4）为研究非线性材料（砼、岩石、土壤等）结构打下理论基础 3、主要参政书1）《工程塑性力学》，丁大钩、单炳样编 2）《塑性理论简明教程》徐秉业等编3）《塑性理论基础》卡恰诺夫著，周承倜等译 4）《有限元法读讲》，李大潜等编5）《弹性力学与塑性力学解题指导及习题集》徐秉业等编 6）《塑性力学基础》蒋泳秋、穆霞编 4、课程内容的安排 第一章 绪 论第二章 应力状态和应变状态（物理关系） 第三章 塑性理论基本方法 第四章 简单弹塑性问题第五章 理想刚塑性平面应变问题 第六章 塑性理论有限元法 第七章 剪板弹塑性弯曲§1-2 单向拉伸、静水压力（实验资料）1、单向拉伸 A —比例极限p σ B —弹性 e σ BC —屈服阶段屈服应力 D —强度极限B σ FG —卸 载 OG —残余变形应变的分解：（见下页图）e pe Eεεεσε=+=2、静水压力（各向均匀受压） 实验→结论1）体积应变（H ）与压力P 基本上为线性关系2voH ap bp v ==-，2bp 很小2）H 为弹性的（卸载后完全恢复） 3）H 〈〈p x ε，……p exy r ……H~e x ε，……e xy r ……4）P 对屈服极限影响不大，可以忽略（不运合非金属材料） 根据以上的结论，塑性力学中通常忽略静水压力的影响。
§1-3简化模型1、理想弹塑性模型（低碳钢）2、线性强化弹塑性（高碳钢）3、幂强化模型§1-4三杆桁架的弹塑性分析，各杆面积A=1 1、平衡方程1212230p N N COSσ=+=2、几何关系1122312,cos303344vv hvvRδεδδεε=======变形协调条件3、物理关系（线性强化）1S()()() (>)Ss S SS SEEEεεεσσεεεσεεεε<⎧⎪===⎨⎪+-⎩（常数，用物理常数表示）4、弹性解由213(),4jσσ=（应力协调）12,1σσ>∴杆光屈服由1(),)(1k EV j p hσ=△弹性极限荷载13(1e p p σ==+弹性阶段，()()()121212,,,j k p v N N εεσσ−−→−−→−−→−−→ 5、弱塑性解12(,) s p p σσ>≤但1111221111 E (1)3(1)4((1)S i kjs s E EP V Ev E h E hE E EV h E Eεσσεσσ+-+++-=+-△当2s σσ=，开始全塑性，2S E εσ= 此时/111111()(1)S S Es S S E E E E εσσσεεεσ==+-+-1211132112(1)(1)44334(1)33jS Sj s S S E P PE EEV h E h h EE EP E E εσσσευσσ=+-++-=∴=++1=E 又6、塑性解122(,)s s p p σσσσ>>>(),()11111211(1)(1)](1(1)(1j k S S js E E pE E EEEV E h Eεσεσσ+-++-++-+7、全过程P-V 图对理想弹塑性或理想刚塑性材料，三杆全部进入塑性阶段后，P 不再增加而V 继续增加，2U P P =（极限荷载），对刚塑性，22)P P P P <<<时v=0,(P 时杆 对线性强化材料，不存在u p ，P 随υ不断增加受部分限制不变形，但在比例三阶段逐步减小，（刚速变小）8、卸载，重新加载（略）、荷载路径问题（略）第二章 应力状态和应变状态§2-1 点的应力状态1、应力解量ij σ （在直角坐标系i x 中） 下标 , j i 均从1至3变化i x ∴代表1,2,3(,,)x x x x y zij σ代表11,12,13,21,22,23,31,32,33σσσσσσσσσ 共九个分量，或,,,x xy xz z σττσij σ为二阶段对解量 2、斜面上的应力斜面法线N111122133112233cos()cos()cos() j jN X n N X m n N X n n T T e T e T e T e =======++=由平衡条件111112213322112222333311322333T n n n T n n n T n n n σσσσσσσσσ=++⎫⎪=++⎬⎪=++⎭或i ij j T n σ=3、应力能量的坐标变换原点标系：1,2,3x x x 新点标系：1,2,3x x x ''' 方赂余弦：,cos()j j ij x x x '=原点坐标系中的解量ij σ在新坐标系中为i j σ'（分量不同，实则代表同一点的应力状态）则ij ik je ke σαασ'=上式由二阶解量坐标变换的通式直接换来，可按以下步骤验证：1）以垂直于i x '的面（法线为i x '为“斜面”）用式（2-1）求该面上应力在原坐标系中的三个分量，2）将上述应力向新坐标投影 还可以验证：ij σ'仍为对称能量特例：xy 平面内的平方应力，3x '与3x 重合，132331320αααα====设图2-1中N 为立向(,,)m n ，则下为立应力n σ，n σ与作用线N 重合，故123N N N T T m T nσσσ=== 上式右边与（2-1）右边相等，约2()0()0()0X N xy XZ xy y n yz xy xz n m n m n m n σστττσστττσσ⎫-++=⎪+-+=⎬⎪++-=⎭而2221m n ++=，,,m n 不可能均为零，故321230N N N I I I σσσ∆=-+-=其中 2222212332x y z mx y y z z x xy yz zxx y z xy yz zx x y yz xy I I I σσσσσσσσσστττσσστττστστ⎫=++=⎪⎪=++---⎬⎪=+--⎪⎭式（2-3）有三个实根1,2,3σσσ，其值与坐标系无关，故1I 、2I 、3I 与坐标系无关，称为应力能量的三个不变量。
弹塑性力学 第二章 应变与几何方程
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
弹塑性力学第二章教学内容
z y
z
技
大
学
力
学
教 研
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量，
室 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
,
i, j x,y,z
zx zy z
西 南 科 技
大 二维应力状态与平面问题的平衡方程
学
力 学 教 研 室
二维应力状态与平面问题的平衡方程
一、平面问题
物体所受的面力和体力以及应力都与某一个坐标
Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量，
指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
力和应力的概念
2. 内力
西物
南 科
体 在外力作用下
技
大
学
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
力
学
当内力场足以和外
教
力平衡时，变形不
研
再继续
室
平衡
附加 的内 力场
二、应力的定义
西 南
科 技 大
化简后可得：xx
yx
y
Fbx
dxdy0
学 力
x
x
yx
y
Fbx
0
学 教 研
同理可求出：
y
y
xy
x
Fby
0
室
二维应力状态的平衡方程
x
x
yx y
Fbx
0
y
y
xy x
Fby
0
x
x
yx y
Fbx
0
西 南
y
y
xy x
塑性力学知识点
《塑性力学及成形原理》知识点汇总第一章绪论1.塑性的基本概念2.了解塑性成形的特点第二章金属塑性变形的物理基础1.塑性和柔软性的区别和联系2.塑性指标的表示方法和测量方法3.磷、硫、氮、氢、氧等杂质元素对金属塑性的影响4.变形温度对塑性的影响；超低温脆区、蓝脆区、热脆区、高温脆区的温度范围补充扩展：1.随着变形程度的增加，金属的强度硬度增加，而塑性韧性降低的现象称为:加工硬化2.塑性指标是以材料开始破坏时的塑性变形量来表示，通过拉伸试验可以的两个塑性指标为:伸长率和断面收缩率3.影响金属塑性的因素主要有:化学成分和组织、变形温度、应变速率、应力状态（变形力学条件）4.晶粒度对于塑性的影响为:晶粒越细小，金属的塑性越好5.应力状态对于塑性的影响可描述为（静水压力越大）：主应力状态下压应力个数越多，数值越大时，金属的塑性越好6.通过试验方法绘制的塑性一一温度曲线，成为塑性图第三章金属塑性变形的力学基础第一节应力分析1.塑性力学的基本假设2.应力的概念和点的应力状态表示方法3.张量的基本性质4.应力张量的分解；应力球张量和应力偏张量的物理意义；应力偏张量与应变的关系5.主应力的概念和计算；主应力简图的画法J =O +O +O公式（3-14）应力张量不变量的计算J =-9 O +o o +O O ）+T 2 +T 2 +T 2 ...................................................... 2兀y y z z兀冲yz小J =OOO + 2T T T - （OT 2 +o T 2 +O T 2 ） 3 兀 y z xy yz zx x yz y zx z xy公式(3-15)应力状态特征方程o 3 - J o 2 - J a -J = 01 2 3(当已知一个面上的应力为主应力时，另外两个主应力可以采用简便计算公式(3-35)・・・・・・・・ 的形式计算)6 .主切应力和最大切应力的概念计算公式(3-25)最大切应力T = 1(o -o ) max 2 max min7 .等效应力的概念、特点和计算主轴坐标系中公式(3-31) o =上T 1 =上 J(o -o )2 + (o -o )2 + (o -o )2 = J3J' ：2 8弋 2 1 2 ............................. 2 3 3 1 ， 2任意坐标系中公式(3-31a) o =工《(o -o )2 + (o -o )2 + (o -o )2 + 6(T 2 +T 2 +T 2) ............................................... 2 2 * 兀 ' ' z z x xy yz. zx8 .单元体应力的标注；应力莫尔圆的基本概念、画法和微分面的标注 9 .应力平衡微分方程 第二节应变分析1 .塑性变形时的应变张量和应变偏张量的关系及其原因2 .应变张量的分解，应变球张量和应变偏张量的物理意义3 .对数应变的定义、计算和特点，对数应变与相对线应变的关系4 .主应变简图的画法5 .体积不变条件公式(3-55)用线应变0=8 +8 +8 = 0 ；用对数应变(主轴坐标系中)e +G +e = 0 xy z ..........................1 (2)36 .小应变几何方程S u1 ,S u S v.8 =—；丫 二Y =-(——+ x S x xy yx2 S y S x 公式(3-66) 8 S v =—；Y 二Y 1 ,S v S 叭 =-(—+ ——)• ••••••• yS y yz zy2 S z S yS w1 ,S w S 8 =-；Y 二Y =一(——z S z zx xz2 S x S z第三节 平面问题和轴对称问题1.平面应变状态的应力特点；纯切应力状态的应力特点、单元体及莫尔圆公式（3-86） o =o =十（o +o ） =o..................... z2213 m第四节屈服准则 1 .四种材料的真实应力应变曲线 2 .屈雷斯加屈服准则 公式（3-96） T =乙=K ・・・・・・・・ - max 2 3.米塞斯屈服准则 公式(3-101) (o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 + 6(T 2 +T 2 +T 2) = 2o 2 = 6K 2.................................................. 无 y y z z 无盯 yz zxs(o —o )2 + (o —o )2 + (o —o )2 = 2o 2 = 6K 24 .两个屈服准则的相同点和差别点5 . o 1-orBo s ,表达式中的系数p 的取值范围 第五节塑性变形时应力应变关系 1 .塑性变形时应力应变关系特点 2 .应变增量的概念，增量理论 公式（3-125） d £ =o 、d 九• • •••••••IJ IJ公式（3-129） d £ =丝［o - 1（o +o ）］ ； d y =3竺T ........................ x o x 2y zxy2 o xy d £ = =[o - -(o +o)]； y o y 2 x z d yyz 人 d £「1 /d £ = =[o --(o z o z 2x+o y )l ；,3 d £dy = 一 =T zx 2o zx 3.比例加载的定义及比例加载须满足的条件 第六节塑性变形时应力应变关系 1.真实应力应变曲线的类型第四章金属塑性成形中的摩擦1.塑性成形时摩擦的特点和分类；摩擦机理有哪些？影响摩擦系数的主要因素2.两个摩擦条件的表达式3.塑性成形中对润滑剂的要求；塑性成形时常用的润滑方法第五章塑性成形件质量的定性分析1.塑性成形件中的产生裂纹的两个方面2.晶粒度的概念；影响晶粒大小的主要因素及细化晶粒的主要途径3.塑性成形件中折叠的特征第六章滑移线场理论简介1.滑移线与滑移线场的基本概念；滑移线的方向角和正、负号的确定2.平面应变应力莫尔圆中应力的计算；o = o —K sin 23公式（7-1） o =o + K sin23................ y mT = K cos 233.滑移线的主要特性；亨盖应力方程公式（7-5） o —o = ±2K3................ ma mb ab4.塑性区的应力边界条件；滑移线场的建立练习题一、应力-2 0 0 -1、绘制o ij= 0 4 -1的单元体和应力莫尔圆，并标注微分面。
弹塑性力学习题答案
第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。
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应力偏张 量也有三 个不变量
J s1 s 2 s 3 1 2 3 3 M 0 1 1 2 2 2 J2 (s1s 2 s 2s 3 s 3s1 ) (s1 s 2 s 3 ) 2 J3 s1s 2s 3
其中应力偏张量的第二不变量 J 2今后用得最多。 再介绍它的其他几个表达式：
例：判别以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
a 0 0 0 b 0 0 0 0
a b 2 ab 2 0 ab 2 ab 2 0 0 0 0
ij
1
ij
2
ij
1
a 0 0 0 b 0 0 0 0
xy yy zy
xz yz zz
采用张量下标记号的应力写法
11 12 21 22 31 32 13 23 ij ji 33
应力张量为对称 张量，有6个独 立分量。
把坐标轴x、y、z分别用x1、x2、x3表示，或简记为xj (j=1,2,3)。
m m
m ij ——应力球张量使微分单元体三个方向作用相
同的正应力，这使单元体发生变形时，只能产 生导致体积的均匀膨胀或收缩。因而只能改变 单元体体积，而不能改变单元体形状。
应力偏张量
S ij
11 m S ij 21 31
O z
xz xy y yx y yz x zx zy z
y
yx
zx
yz
x
工程力学的习惯写法
弹性力学的习惯写法
x xy z
xy y yz
xz yz z
xx yx zx
第二单元
复杂应力状态
一、前言
二、应力分析
三、应变张量及其不变量 四、屈服条件、屈服曲面
五、两种常用的屈服条件
六、屈服条件的实验验证 七、加载条件 八、塑性本构关系
一、前言
5个基本假设 ①忽略时间因素对材料变形的影响。（不计蠕变和 松弛） ②材料是均匀的、连续的。 ③各向均匀的应力状态, 即静水应力状态不影响塑性 变形而只产生弹性体积的变化。 ④稳定材料。 ⑤均匀应力—应变实验的结果，可以用于有应力梯度 的情况。
——应力偏张量
12 23 33 m 13
22 m 32
应力偏张量sij将不改变微分单元体的体积，仅产生 形状的畸变。它描述的是实际应力状态与平均应力 状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形是 十分重要的。
σ
z
σ
zy yz
xy
ij
2
a b 2 ab 2 0
ab 2 ab 2 0
0 0 0
J 1 kk a b 0 a b 1 ii kk ik ki 2 2 2 2 ( 11 22 22 33 33 11 ) ( 12 23 31 ) J2 ab a 0 0 J 3 ij 0 b 0 0 0 0 0
S N1 11 12 13 l 1 S N 2 21 22 23 l 2 S 32 33 l 3 N 3 31
N
O
x1
SN
x2
采用张量下标记号,可简写成
（2）偏应力张量的不变量 偏应力张量的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值 （称为主偏应力）为：
S1 1 m S2 2 m S3 3 m
3 J1 2 J 2 J 3 0
或
S j j m
( j 1,2,3)
y
yx
zx
zy yz
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个 数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体 内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并 称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素， 且由剪应力互等定理知，应力张量应是一个对称的二 阶张量，简称为应力张量。
（1）一点应力状态的表示方式
一点的应力状态由一个二阶对称的应力张量表示，在 直角坐标系中由九个应力分量表示。 z x面的应力： x , xy , xz zy y面的应力： y , yx , yz z面的应力： z , zx , zy 用矩阵形式写成
xx ij yx zx xy yy zy xz yz zz
二、应力分析 1、应力张量及其不变量
（1）一点应力状态的表示方式 （2）斜截面上的应力与应力张量的关系 （3）主应力及应力张量的不变量 2、偏应力张量及其不变量 （1）偏应力张量 （2）偏应力张量的不变量
（3）引入与J2´有关的几个定义
二、应力分析
1、应力张量及其不变量 应力状态的概念：受力 物体内某点处所取无限 多截面上的应力情况的 总和，就显示和表明了 该点的应力状态。考虑 到剪应力互等, 一点的 应力状态用六个应力分 量来表示。
Ni
S N 1 l 1 S N 2 l 2 S l 3 N3
代入
S Ni li
S N1 11l 1 12l 2 13l 3 S N 2 21l 1 22l 2 23l 3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3 ( 11 - )l 1 12l 2 13l 3 0 21l 1 ( 22 - )l 2 23l 3 0 l l ( - )l 0 32 2 33 3 31 1
或
ij ij 0
将这个行列式展开得到
3 J 12 J 2 J 3 0
J 1 11 22 33 kk
其中
J2 11 21 12 22 22 32 23 33 33 13
2
31 11
两个应力张量表示同 一应力状态。
判别两个应力状态是否相同，可以通过判别对应的三个 主应力不变量是否相同实现。
2、偏应力张量及其不变量 （1）偏应力张量
11 = 22 = 33 =
静水“压力”
在静水压力作用下，应力~应变间服从弹性规律，且不 会屈服、不会产生塑性变形，则应力分量分成两部分。 不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
S Ni ijl j
说明
i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于 这称为求和约定；
j 1
3
ii）不重复出现的下标 i 叫做自由下标，可取 i =1,2,3
（3）主应力及应力张量的不变量 ①主应力(Principal stress) 若某一斜面上 N 0 ，则该斜面上的正应力 N 称为 该点一个主应力 ； ②应力主向 主应力 所在的平面 —— 称为主平面； 主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向； 根据主平面的定义，设 SN 与 N 重合。若 SN 的大小 为λ ,则它在各坐标轴上的投影为 S = li
用张量符号表示：
ij m ij s ij
应力球张量
m m ij 0 0 0 m 0
应力偏张量
0 0 m
应力球张量
其中： ij ——单位球张量
1 ij 0 当i j 当i j
或
0 m 0
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
z
z
O
xz xy y yx y yz x zx zy z
y
yx
zx
zy yz
x
应力张量的概念： 0阶张量： 30=1 1阶张量： 31=3 2阶张量： 32=9 3阶张量： 33=27
x O z
z
xz xy y yx y yz x zx zy z
（2）斜截面上的应力与应力张量的关系 在xj坐标系中，考虑一个法线为N 的斜平面。 N是单位向量，其方向余弦为 l1 , l 2 , l 3 , 则这个面上的应力向量 SN 的三个分量与应力张量 ij x3 之间的关系
S N1 11l 1 12l 2 13l 3 S N 2 21l 1 22l 2 23l 3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
m
σ z -σ
m
zx xz
=
σ
y
+
σ
zx xz
zy
xy
yz yx
yx
σ
σ
m
σ y -σ
m
m
x
σ x -σ
m
说明 材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与 应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是 由应力偏张量引起的，应力张量的这种分解在塑性力 学中有重要意义。
1 1 1 m (11 22 33 ) kk J 1 3 3 3
平均正应力
应力张量可作如下分解：
12 13 11 12 13 m 0 0 11 m 0 0 21 22 m 23 m 21 22 23 31 32 33 0 0 m 31 32 33 m
③应力张量的不变量 当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 ij 均将改变, 但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变。因此, 方程 3 J 12 J 2 J 3 0 的系数的J1、J2、J3值与 坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。 可以证明方程 3 J 12 J 2 J 3 0 有三个实根，即三 个主应力 , ,