指标方程有特殊根时三阶线性方程的解
微分方程 09.6.15
上
下
停
积分因子： ( x, y) 0, 使
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
为恰当方程.
找 的方法：① 分项组合法
② 公式法
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0 有积分因子 ( x)
1 (M N ) ( x), 且 ( x) e ( x)dx .
第十二章
微分方程
一、知识网络关系图
一阶方程
类型 1.可分离 变量方程 2.齐次方程 3.线性方程 4.伯努利方程 5.全微分方程
基本概念
高阶方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根
定 系
及其对应项
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
可降阶方程
线性微分 方程
解的结构
欧拉方程
目
回
上
下
停
一阶显示微分方程的初等积分法
(若已知其一个特解 y1( x)) (令 z y y1( x)，化为z的n 2的伯努利方程)
目
回
上
下
停
5º全微分方程： M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
( 恰当)
u u( x, y), 使
d u(x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy (x, y) G
N y x
目
回
上
下
停
可降阶微分方程
1. y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z y(n1),
因此
z f ( x)dx C1
即
同理可得 y(n2) f ( x)dx C1dx C2 f ( x)dx dx C1x C2
线性代数复习要点
线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。
线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。
-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。
-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。
2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。
矩阵的大小由行数和列数确定。
-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。
-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。
-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。
-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。
3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。
-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。
-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。
-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。
-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。
4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。
-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。
-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。
-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。
-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。
5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。
-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。
-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。
-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。
考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
非齐次线性微分方程的几种解法
非齐次线性微分方程的几种解法摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。
关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (7)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (10)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (12)2.3拉普拉斯变换法 (14)总结 (16)参考文选 (17)致谢 (19)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。
非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。
这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。
下面我们主要介绍求特解的方法。
1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（1）()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++=（2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。
定理2：方程（2）的基本解组一定存在。
方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。
定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。
定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。
目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。
下面我们研究几个例子。
例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x x y x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。
自动控制原理复习理论资料
⾃动控制原理复习理论资料第⼀章⾃动控制的⼀般概念本章作为绪论，已较全⾯地展⽰了控制理论课程的全貌，叙述了今后在课程的学习中要进⾏研究的各个环节内容和要点，为了今后的深⼊学习和理解，要特别注意本章给出的⼀些专业术语及定义。
1、基本要求（1）明确什么叫⾃动控制，正确理解被控对象、被控量、控制装置和⾃控系统等概念。
（2）正确理解三种控制⽅式，特别是闭环控制。
（3）初步掌握由系统⼯作原理图画⽅框图的⽅法，并能正确判别系统的控制⽅式。
（4）明确系统常⽤的分类⽅式，掌握各类别的含义和信息特征，特别是按数学模型分类的⽅式。
（5）明确对⾃控系统的基本要求，正确理解三⼤性能指标的含义。
2．内容提要及⼩结⼏个重要概念⾃动控制在没有⼈直接参与的情况下，利⽤控制器使被控对象的被控量⾃动地按预先给定的规律去运⾏。
⾃动控制系统指被控对象和控制装置的总体。
这⾥控制装置是⼀个⼴义的名词，主要是指以控制器为核⼼的⼀系列附加装置的总和。
共同构成控制系统，对被控对象的状态实⾏⾃动控制，有时⼜泛称为控制器或调节器。
⾃动控制系统校正元件执⾏元件放⼤元件⽐较元件测量元件给定元件控制装置（控制器）被控对象负反馈原理把被控量反送到系统的输⼊端与给定量进⾏⽐较，利⽤偏差引起控制器产⽣控制量，以减⼩或消除偏差。
三种基本控制⽅式实现⾃动控制的基本途径有⼆：开环和闭环。
实现⾃动控制的主要原则有三：主反馈原则——按被控量偏差实⾏控制。
补偿原则——按给定或扰动实⾏硬调或补偿控制。
复合控制原则——闭环为主开环为辅的组合控制。
（3）系统分类的重点重点掌握线性与⾮线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、判别⽅法要准确理解。
线性系统??→?描述→→状态空间法时域法状态⽅程变系数微分⽅程时变状态⽅程频率法根轨迹法时域法状态⽅程频率特性传递函数常系数微分⽅程定常分析法分析法⾮线性系统（4）正确绘制系统⽅框图绘制系统⽅框图⼀般遵循以下步骤：①搞清系统的⼯作原理，正确判别系统的控制⽅式。
偏微分方程基本分类
偏微分方程基本分类偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学领域中的一个重要学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域。
对于一个偏微分方程的分类，可以从多个角度进行划分，本文将介绍几种基本的分类方法。
1. 按照方程的阶数进行分类偏微分方程根据方程中各导数的最高阶数进行分类，可以分为一阶、二阶、三阶等不同阶数的方程。
一阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂u/∂x + b(x, y)∂u/∂y = c(x, y)二阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂²u/∂x² + b(x, y)∂²u/∂x∂y + c(x, y)∂²u/∂y² = d(x, y)类似地，可以推广到更高阶的偏微分方程。
2. 按照方程的类型进行分类偏微分方程根据方程的类型进行分类，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程在物理学中描述了稳定状态，如静电场、热传导等问题；双曲型方程描述了波动传播问题，如声波、电磁波等；抛物型方程描述了扩散问题，如热传导方程、扩散方程等。
3. 按照边界条件进行分类偏微分方程根据边界条件进行分类，可以分为边值问题和初值问题。
边值问题是在给定区域上给出边界条件，需要求解在该区域上满足边界条件的解；初值问题是在给定初始条件下，需要求解在给定时间范围内的解。
4. 按照线性性质进行分类偏微分方程根据方程中的线性性质进行分类，可以分为线性方程和非线性方程。
线性方程满足叠加原理，如果 u1 和 u2 是其解，那么k1u1 + k2u2 也是其解；非线性方程则不满足叠加原理。
5. 按照解的形式进行分类偏微分方程根据其解的形式进行分类，可以分为解析解和数值解。
解析解是通过数学分析得到的解的表达式；数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
6. 按照方程的系数性质进行分类偏微分方程根据方程中的系数性质进行分类，可以分为恒定系数方程和变系数方程。
三阶常系数线性微分方程特解的简单求法
Ｙ ：Ｈ （ ）ｅ ＋ａＨ（ｘ）ｅ从＝（Ｈ （ ）＋Ａ （ ））
ｅｈ
（７）
Ｙ”＝（月 （ ）＋２ＡＨ （ ）＋Ａ Ｈ（ ））ｅ肛 （８）
＝ （１１＇”（ ）＋３Ａ （ ）＋３Ａ Ｈ （ ）＋Ａ Ｈ
（ ））ｅ“
（９）
把 （７）式 、（８）式、（９）式代人微分方程（１）得 ：
（ ｆｒ，，（ ）＋３３￣Ｈ＇ （ ）＋３Ａ 日 （ ）＋Ａ 日（ ））ｅ从
Ｑ （ ）是与 Ｐ （ ）同次 （ｍ次 ）的待定 多项 式 。
微 分方程 （３）和方程 （４）的特解 。
收稿 日期 ：２００７－０３－２０ 作者简 介：周 坚（１９７６一），女 ，江苏宿迁人 ，讲师 ，硕士 ，主要从事微分方程的研究。
西华大学学报 ·自然科学版
２００８薤
２ 主要结果及其证 明
定理 １ 设 有三 阶常 系数非 齐 次线 性微 分 方 程
（１），方 程 （１）对 应 的齐次方 程 的特 征方 程记 为
ｒ ＋ ＋ｑｒ＋ｄ＝０
（５）
若令 ，）＝ｒ ＋ｐｒ２＋ ＋ｄ，且 Ｙ＝ｔｔ（ｘ）ｅ３．ｘ为微
分方程（１）的解 ，其 中 Ｈ（ ）为多项式函数，则 Ｈ（ ）
需满 足下列 恒 等式
万方数据西华大学学报?自然科学版年主要结果及其证明定理设有三阶常系数非齐次线性微分方程方程对应的齐次方程的特征方程记为若令八矿且日戈舡为微分方程的解其中戈为多项式函数则石需满足下列恒等式以日石厂毒业戈证由于茗故易算得广日髫月日日把式式式代入微分方程得日日算髫即髫厂戈二当土月菇茹
第 ２７卷第 ６期
Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．６
到删繁就简的作用 ，而且对微分方程 的自由 ） 的特解 ，其 中 Ｐ，ｑ为实常 数 ，Ｐ ｘ）是 ｍ 次实 系数 多
关于三阶线性微分方程的一个求解公式
摘
要 对 于 ３阶非 齐 次 线 性 微 分方 程
ｑ｜ ｒ Ｙ ｙ： ｆ，
由它 对 应 齐 次 方 程 的 ２个 线 性 无 关特 解 ｙ ，。与其 Ｗ ｒｎｋ 行 列 式 叫， 用 降 阶 法 推 导 出 一 个 求 解 公 式 为 ，ｙ ｏ ｓｉ 应
ｆＳａ ｄ］ ｅ ｄ） ， ｚｆ ｚ
这 里 “＝ “ ｚ ， ６： ６ ） ｆ ＝ － ｚ （ ） （ ， 厂 ） （
（ ２ ）
是 Ｙ ， ｚ的 朗 斯 基 （ ｏ ｓ ｉ 。Ｙ Ｗｒｎ ｋ ）行 列 式 ， 恒 不 为 它
零 ， 。Ｃ ， ３ 任意 常数 ． Ｃ ，ｚＣ 为 证 明 将变换
例 １ 求方 程
ｚｙ 一 ３ Ｗ ｚ ＋ ６ｙ ｘ 一 ６ ＝ ３ ｙ ５ ＂
对应齐 次方 程有 特解
Ｙｌ＝ ｌ， Ｙ 一 。 ２ ．
应用 如上 推论知
一
． ｆ 青 Ｆ ｅ出 出＝ 红 『 ） ： 青 ＝
Ｊ（／ ｘｄｄ ｌＩＴ ２ｚｚ ２ － ｚ）一 ｚ ｘ３：
ｚ＋ ３ ＇ ＋ ３ ｙｉ ＇ ２ ｙ 十 Ｙｌ ｚ
给 一些特 殊 ３阶线性 方 程 的求 解带 来一 定便 利．
定 理 ｌ 对于 ３阶线性 微 分方 程
＋ ｐ ＋ ｑ ｒ — ｆ。 Ｙ ＋ ｙ （ ３ 可 得
ｙ ＝ Ｗ
代 人方 程 （ ） 并 注意 到 ３，
第 ｉ ４卷 第 ３期
２ｌ Ｏ １年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＯＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ４． ． Ｉ ｌ Ｎｏ ３
三阶行列式与线性方程组图文
图形化表示方法
三阶行列式的图形化表示
通过几何图形（如立方体、平行六面体等）来表示三阶行列式的各个元素，使得行列式的求解过程更 加直观。
线性方程组的图形化表示
通过平面直角坐标系或空间直角坐标系，将线性方程组的解表示为图形上的点、线或面，使得方程组 的解更加直观。
直观理解两者关系
要点一
通过图形化表示，可以直观地看 出三阶行列式与线性方程组之…
线性方程组的概念
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，用于求解多个未知数的 值。
三阶行列式与线性方程组的关系
三阶行列式可以用于判断线性方程组是否有解，以及求解线性方程组 中的未知数。
常见误区及注意事项
将三阶行列式与二阶行列式混淆，导致计算错误。需 要注意三阶行列式的计算规则与二阶行列式有所不同。
列式相似。
矩阵理论
行列式是矩阵理论中的重要概念， 高阶行列式的研究有助于深入理
解矩阵的性质和运算。
线性代数
在线性代数中，行列式与矩阵、 线性方程组等概念紧密相关，高 阶行列式的研究有助于解决更复
杂的线性代数问题。
与其他数学分支的联系
01
微分学
在多元函数微分学中，雅可比行列式（一种特殊的三阶行列式）用于表
矩阵基础
了解矩阵的基本概念、运算和性质，如矩阵的加法、数乘 、转置等。这些知识将为学习三阶行列式打下基础。
代数运算
具备基本的代数运算能力，如加法、减法、乘法、除法等 ，以及因式分解、整式运算等技巧。这些技能在计算三阶 行列式时将发挥重要作用。
02 三阶行列式基础
三阶行列式定义
表示方法
通常使用双竖线 || 或方括号 [] 表示 ，如 |a11 a12 a13| 或 [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]。
三阶方程导数求解法
三阶方程导数求解法摘要：一、引言二、三阶方程的定义和背景三、三阶方程导数求解法的原理四、求解步骤与实例五、总结与展望正文：一、引言三阶方程在数学领域具有重要的研究价值。
本文将介绍一种求解三阶方程导数的方法，帮助读者更好地理解三阶方程的性质和特点。
二、三阶方程的定义和背景首先，我们需要了解三阶方程的定义。
三阶方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为常数，且a≠0。
三阶方程在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，例如在流体力学中，三阶方程可以描述流体的粘性特性。
三、三阶方程导数求解法的原理三阶方程导数求解法是利用三阶方程的导数与原方程之间的联系来求解原方程。
具体来说，我们先求出原方程的导数，然后将导数方程进行因式分解，得到一个可解的线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到原三阶方程的解。
四、求解步骤与实例1.求导：对原三阶方程求导，得到3ax^2+2bx+c的导数方程。
2.因式分解：将导数方程进行因式分解，得到(3x-1)(x-1)或者(3x+1)(x-1)。
3.解线性方程组：将上一步得到的因式分解式与原三阶方程相比较，得到关于x的两个线性方程。
解这个线性方程组，得到x的解。
4.检验：将求得的x值代入原三阶方程，检验是否满足原方程。
以一个具体的三阶方程为例，如x^3-2x^2-3x-6=0，我们按照上述步骤进行求解。
首先求导得到3x^2-2x-3的导数方程，然后因式分解得到(3x-1)(x-1)。
接着解线性方程组，得到x=1或者x=-1/3。
最后检验可知，x=1是原方程的增根，而x=-1/3是原方程的实根。
五、总结与展望本文介绍了三阶方程导数求解法，通过求解导数方程，我们可以得到原三阶方程的解。
这种方法在某些情况下可能比其他方法更简便。
当然，对于复杂的三阶方程，可能需要结合其他方法进行求解。
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设 它 的根为 Ｐ ， Ｐ ： ， ｐ ， ．
（ １ ）
ｐ ［ （ ｐ 一１ ） （ ｐ ａ一２＋口 ０ ）＋６ ０ ］＋ ｃ ０＝０
１ ） 如果 Ｐ 。 一Ｐ ＝ｍ （ 固定 的非负整数 ） ， Ｐ 一 Ｐ ：≠ 整数． 因为 （ １ ）的级数解 的系数 的分母包含 因
１ ） 如果指标方程 （ ４ ） 有二重根 ， ０ ｃ ｍ ≠ｏ ｔ ｍ ：＝ｏ ｔ ｍ 。 ，由 ｍ 可得一个解 ． 然后用降阶法得二阶线性 方程 ， 再应用［ ５ ］ 求解．
２ ） 如 果 指标方 程 （ ４ ）有 三重 根 ｍ ． 这时， 为 了求 解 ， 在方 程 （ ３ ）中作 变量 变换 ＝ｕ ｅ ｘ ｐ （ 眦 方程（ ３ ）成 为
第５ 期
何众琦 ： 指标方程有特殊根 时三阶线性方程 的解
・ １ ９・
ｚ ＿ 。 ｔ 一 ｍ ［ 一 （ 口 ｍ ） ＋ ｍ ０ 一 一 ６ 一 ］ ｚ ｑ 一∑ ［ （ ｍ ） ＋ 一 ｍ ＋ 。 ］ ＋∑ｃ ｝
（ 文献［ １ ］中改写的 的 系 数 少写 因子ｚ ～ ． 另外， 在 （ ｐ＋ ｜ ｉ ｝ ） 的表达式中“ 一 ｃ ｊ ” 应该是“ ＋ ” ． 顺便在
（ ０ ［ ， ｎ ） （ ｏ ｏ一３ ａ一３ ）＋（ ＋Ｉ ） ０ ｃ ｍ 口 一 ｌ—ａ ｍｂ 一 １＋ｃ 一 ２ ， （ ｍ） ２ 口 ｌ＋ ｍ（ ＋１ ） （ 口 ０—０ ［ 一２ ）一ａ ｍｂ ｏ＋ｃ 一 １ ， （ ｍ） ＋ ２＋（ ＋１ ） ｍ ＋ ｌ一仅 ｍ ＋ １ ＋勺 （ ＿ ，＝０ ， １ ， ２ …）
可 以求解． 笔者解决 了这 些问题 ， 与文献 ［ １ ］ 一起构成 了三阶线性 方程 的完整解法．
关 键 词： 三阶线性方程 ； 指标 方程 ； 重根 ； 降阶法； 极点 ； 变量变换
中图分类号 ： ０１ ７ 编 号 ： １ ６ ７ ３—１ ６ ７ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ １ ８— ０ ３
二阶线性方程 ， 应用 ［ ４ ］ 求解． ２ ． 任意有三阶及低阶极点 的三阶线性方程
＋∑ 一 ” ＋∑ Ｉ ２ Ｗ ＋∑ ～ ＝ ０
Ｊ 一１ ＝ 一２ Ｊ 一 ３
（ ３ ）
（ ４ ）
应用文献 ［ １ ］中定理 ２ 求解 ， 先 由指标方程
何 众 琦
（ 平顶 山学院 数学与信 息科学学院， 河南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ９ ９ ）
摘 要： 用幂级数 解法或合成解法解有正则奇点的三阶线性方程 ， 它的指 标方程 的根之 差为整数 （ 包括
重根 ） 时， 不能求全部解． 但已 知 一个或两个解后 ， 用降阶法可求所缺 的解． 用合成解 法求解有极点 的三阶线性 方 程， 当指标 方程 有二 重根 时 ， 由非重根得一 个解． 然后利用 降阶法求所缺 的解 ； 指 标方程 有三 重根 时作 变量 变换
第２ ８ 卷第 ５期 ２ ０ １ ３年 ｌ ０月
平顶 山学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｐ ｉ ｎ ｇ ｄ ｉ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ０ １ ． ２ ８ Ｎｏ ． ５ ０ｃ ｔ ． ２ ０ １ ３
指 标 方 程有 特 殊 根 时 三 阶线 性 方 程 的解
＋∑ ＿ 。 ” ＋ （ Ｉ ２ ＋∑
＝
） ＋ （ 彳 Ｉ ２ ＋
－ ３ ＋∑ Ｉ ３ ） ＝ ０
（ ５ ）
其中 ＝３ ａ ｍ（ ＋１ ）一 ２ ａ ｅ ｒ ａ ｏ＋ｂ 一 １ ， ｂ ＝６ ｆ 一 ２ ０ ｃ ｍ 口 『 ＋ １ （ ＿ ， ＝０ ， １ ， ２ …）
一
ｔ ｏ ｍ［ 一（ ｏ Ｌ ｍ ） 。 ＋Ｏ ｔ ｍ Ｃ ｔ 一 １ 一ｂ 一 ２ ］：ｃ 一 ３
确定指标 ｍ， 再将（ ３ ）中 的系数写成
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ８—０ ８
作者简介 ： 何众琦 （ １ ９ ３ ９ 一
） ， 男， 湖南省新邵县人 ， 平顶 山学 院数学与信息科学学院副教授
当 ｋ＝ｍ为 ０ ． 所以由Ｐ ， 不能得解． 将Ｐ 。 代Ａ（ ２ ） ， 得（ ＋ｍ ｔ ｏ ） （ Ｐ ｌ — Ｐ ２ ｔ＋ ｏ ） ．
无论 ｋ 取什么正整数都不为 ０ ． 由Ｐ 可得一个解． 由Ｐ ： 也可得一个解． 然后 ， 由这两个解用降阶法 － 。
可得第 ３ 个线性无关解． ２ ）设Ｐ 一 Ｐ ：＝ｚ （ 非负整数 ） ， Ｐ 。 一 Ｐ ＝ｍ （ 非负整数） ． 只能由Ｐ 。 得一个解． 用降阶法将方程（ １ ） 降为
这里 给 予更 正． ）由第 ２个指 标 方程
ｃ ２＝一［ （ ａ ｍ） ２ （ ３ ｐ 一３ ａ一３ ）一 ｍ ｎ 一 １ （ ２ ｐ 一０ ｃ 一１ ）＋ｂ ＿ ２ ｐ ｃ ￣ ］ 确定指标 ｐ ， 由文献 ［ １ ］ 定理 ２ 得广义解． 但指标方程（ ４ ） 有二重根或三重根时 ， 由重根不能得解．
式
ｐ ｔ（ ｏ ｐ ｔ一１ ｏ ）＋（ ２ ｐ ｔ一１＋尼 ｏ ） （ ｐ ｔ 一２＋口 ｏ ｏ＋ｋ － ）＋ｂ ０
（ ２ ）
将Ｐ 代入 （ ２ ） ，
Ｐ ３ ｔ Ｏ （ ｐ ３ ｔ 一１ Ｏ ）＋（ ２ ｐ ３ ｔ 一１＋ｋ Ｏ ａ ） （ Ｐ ３ ｔ 一２＋ｔ Ｏ ｌ ， ０＋ ０ ＝ ）＋ｂ ｏ＝ （ ｋ ｏ ｚ —ｍ ｏ ｔ ） （ Ｐ ３ —Ｐ ２ ｔ＋ Ｏ ）
文献［ １ ］ 指出有极点的三阶线性方程的指标方程有重根时求解需另行讨论． 笔者解决了这个问题．
１ 结论 及证 明
定理 １ 指标方程有特殊根时三阶线性方程用降阶法或作适 当变换可 以求解．
证明 １ ． 有正 则奇 点 的方程
＋∑ ～ ” ＋∑ｂ ｊ ｚ ／ ＝ － ２ Ｗ ＋∑ 一 Ｗ＝ ０ ｊ ＝ Ｏ ＝ １ ＝ Ｏ