重视数学概念的教学

重视数学概念的教学关键词：数学教学、数学概念、概念教学、教学方法内容提要：数学概念是数学教学的重点内容，也是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件。

在概念教学中，教师要讲究教学方法，注重概念的形成过程，多启发学生的主动性与创造性，同时要求学生理解概念的根本内涵，弄清概念之间的区别与联系，记忆概念注意关键词语和分析概念。

一、数学概念教学的重要性“如果先不教明概念，便是教得不好的。

”夸美纽斯在《大教学论》中的这句话说明了概念教学的重要性。

概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。

一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别是象我们这样的普通中学的学生，数学素养关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。

在目前的中学数学教学中，对概念的教学是不尽如人意的。

有的不重视甚至不会进行数学概念的教学，有的主次不分，要求不当，以致学生在学习中出现概念不清，运算易错，推理不严以及不会运用概念进行解题等现象。

加强数学概念教学，既是深化教学改革的需要，也是培养“智能型”人才和提高全民族数学素质的需要。

二、概念的意义概念是思维的基本形式之一。

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。

有些数学概念是直接反映客观事物的空间形式和数量关系得来的。

例如，正数、负数、整数、方程、直线、射线等概念。

然而，大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，经过多次的抽象概括过程才形成和发展起来的。

例如，无理数、平行四边形、圆、函数的概念。

另外，数学概念本身也在不断发展之中，数学概念一般都有特定的名词与专门的符号来表示。

数学概念具有抽象性与具体性、相对性与发展性、可感性与约定性、生成性与系列性、相称性与简明性等特点。

概念由概念的外延和概念的内涵组成。

概念所反映事物的范围叫做这个概念的外延；这些事物的本质属性的总和叫做这个概念的内涵。

例如，平行四边形这一概念的外延是形形色色的平行四边形，内涵是由两组分别平行对边所组成的封闭图形；偶数这一概念的外延是集合｛2,4,6,8……｝，内涵是“能被2整除的数”这一性质。

概念间的关系有同一关系、交叉关系、从属关系、矛盾关系、对立关系。

例如，等边三角形与正三角形，它们在判断中可以互相代替，就是同一关系；等腰三角形与直角三角形，有理数与正数等就是交叉关系；等式与方程，方程与整式方程是从属关系；有理数与无理数是矛盾关系；正数与负数，整式与分式是对立关系等。

三、数学概念的教学方法《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》中明确指出：“在进行概念教学时，应当从实际事例或学生已有的知识中，逐步引导学生加以抽象，弄懂概念的含义。

对于容易混淆的概念，要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。

”我们常看到课标要求、教学目标中提到掌握和理解某个数学概念，可见数学概念是相当重要的。

忽视数学概念的教学必然导致教师在教学过程中，重结果，轻教学过程，忽视数学的本质，导致学生逻辑混乱。

不少教师认为学好数学就是要将概念、定理、公式记熟。

诚然，这种做法可能对暂时的考试成绩有用，但对以后的数学学习却留下了后遗症。

例如，在初中不少学生在求二次函数c bx ax y ++=2最值时都熟知当a b x 2-=，y 有最值a b ac 442-，但却不会配方法，这在高中的后继学习中造成极大的困难。

如果在初中教学中，教会学生二次函数的配方法，让学生理解为什么当a bx 2-=有最值，我想到了高中教学就水到渠成了。

由于教师的原因和学生的学习习惯，学生常常对概念没有足够的重视，仅仅停留在机械的识记上，不注意分析概念的内涵和外延，以及易混概念间的区别和联系，直接去记忆一些定理和公式用于解题，以为记住了概念就掌握了概念，这导致学生没有真正的理解知识，最终也限制了解题。

数学概念教学的基本要求是：教师应能准确地揭示概念的内涵和外延，以及概念之间的关系，使学生深刻理解概念，并能在解决各类问题时灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用概念的目的。

概念是人脑对客观事物本质属性的一种反映形式，是人们在长期实践活动中智慧的结晶，也是整个教学过程所积累的主要知识点。

怎样使学生真正掌握概念呢？我认为可从以下几方面去尝试。

1、联系实际，引入概念。

任何理性认识都源于感性认识。

中学数学概念无论如何抽象，都有它的具体内容和现实原型。

每一个概念的产生，都是由于知识体系扩充的需要。

在教学过程中，要让学生明白为什么要产生这个概念，它有什么意义，这个概念的产生是为了解决什么问题。

让学生理解概念产生的必要性。

同时，既应从学生的生活经验出发，也应从解决数学内部的问题出发来引入概念。

例如，在数系的扩充过程中，为什么要引入无理数？我们可以这样解释：在解方程22 x 就没有有理数解，但它的解却是客观存在的，正方形的对角线长与边长之比就是这个方程的解，但这个比不能用有理数表示，因此就添加了无理数，这促使数的范围扩大到全体实数。

教学时如果条件许可，应尽量多向学生提供必要的、直观的感知材料，并引导学生通过形象的方式进行分析、综合、比较，以认识概念的内部运动轨迹，然后用词把它概括标识出来。

这样，从学生熟知的语言和事例中提供感性材料，引导他们抽象出相应的数学概念，才能使学生较好地掌握概念的实质，这也是培养学生采用集中思维揭露概念本质的基础，是学生理解概念的有效途径。

2、变换角度，分析概念。

因教师提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成学生错误地扩大或缩小概念。

为防止学生断章取义，培养其发散性思维，就应充分运用变式从各个角度、各个方面加以补充说明。

例如讲“垂线”这个概念时，不但要用⊥号来表示，而且要用多种特殊图形来透视概念的含义。

再如，对一次函数概念的掌握，可通过下列练习：①如果3)1(-+=x m y 是关于x 的一次函数，则=m ；②如果3)1(-+=n x m y 是关于x 的一次函数，则=m 、=n ；③如果34)1(-++=x x m y 是关于x 的一次函数，则=m 。

学生通过以上训练，对一次函数的概念及解析式一定会理解。

教学时，也可以通过概念之间的对比，特别是通过反例来纠正学生在理解概念中的错误，从而加深学生对概念的理解。

例如，正数与负数，乘方与开方，正比例函数与反比例函数等，这些概念是成对出现的，同属于一个种概念又呈矛盾状态，通过比较，有利于学生准确理解概念。

3、理解内涵和外延，把握概念。

教学时要抓住主要概念，例如，在学习比例、比例外项、比例内项、比例中项等概念时，应抓住成比例的项的概念。

抓主要概念的同时，还要理解概念的内涵和外延。

理解概念的内涵是指知道这个概念包括哪些对象，还要知道它不包括哪些对象。

概念的外延是指这个概念的适用范围以及一些边界条件。

教师在讲解概念时要根据概念不同特点，采取不同教学手段，真正让学生理解每个概念的内涵和外延。

在课堂上给予学生充足的讨论时间，对于老师提出的问题，学生只有经过认真思考、整理，才能用语言表达出来。

时间不足只会走过场，往往只有少数尖子生才有发言的机会，而大多数学生则来不及思考，久而久之，使学生产生数学就是背概念的思想，可是，做起题来就是不会，挫伤学生学习的积极性，还养成了思维的惰性。

比如函数的概念：设A ，B 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的一个函数，记作A x x f y ∈=),(。

一个看似简单的概念，但是其中蕴含的内容是很多的，为后面学生函数章节学习奠定了基础。

在这个概念教学中，不妨提出几个问题：（1）在这个概念中要注意几个字眼？（2）为什么要非空数集？（3）什么叫对应法则？（4）A 中的元素x 在B 中一定可以找到对应的)(x f 吗？（5）B 集合的数在A 集合中一定可以找到对应的数吗？通过这些问题，留给学生足够多的思考，从而把这个概念吃透，而不是只会背概念。

任何一个概念都有它的内涵和外延，外延的大小和内涵成反比关系。

内涵越多，外延就越小；内涵越少，外延就越大。

把握概念的内涵和外延，能大大增加学生对概念的明晰度，提高鉴别能力，避免张冠李戴，为此，把所教概念同类似的相关的概念相比较，分清它们的异同点及联系，也就显得十分重要。

4、系统学习，讲清概念数学概念是随着数学知识的发展而不断发展的，学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识。

从数学概念之间的关系中来学习概念，可深化对所学概念的认识。

例如，函数——正比例函数——一次函数——二次函数,整式——公因式——因式分解——分式化简——分式运算——解分式方程等概念之间都有其内在的联系。

明确概念的系统性，有利于加深对概念的理解，也有利于学生的记忆。

5、具体运用，升华概念。

学习数学概念的目的，就是用于实践。

数学的运算，推理、证明都是以所学的数学概念为依据的，在教学时，要加强在这方面的应用训练。

学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程。

有时围绕着一个概念要配备多种练习，让学生多角度、多层次的练习，先巩固性练习，再综合性练习应用，在应用中掌握数学概念。

它不仅能使已有知识再一次形象化和具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻，同时还能提高学生的实践运用能力。

例如“分式方程的增根”的概念。

可从产生的根源去考察，教学时设计下列练习，让学生体会增根的概念：①分式方程的根是；②如果分式方程有增根，则增根一定是；m时，分式方程有增根。

③当通过以上的分析，我们认识到，数学概念是学生形成良好认知结构的纽带，是智能发展的重要因素。

学生对数学概念的掌握，必须通过教学活动来完成。

只有这样才能使学生更深刻地理解数学，以至进行数学创造。

总之，对概念的讲解，一定要注意它的教法，一定让学生理解，切勿让学生死记硬背。

因为数学科学严谨的推理性，决定了搞好概念教学是传授知识的首要条件。

如果学生概念不清，必将表现出思路闭塞，逻辑紊乱，对法则、定理的理解更无从谈起。

因此，对数学概念的教法，是我们数学教师长期探索的一个课题。

参考文献：【1】章士藻中学数学教育学江苏教育出版社 2001。