用反比例解决问题(5.3)
数学：5.3《反比例函数的应用课件(北师大版九年级上)
四.典型例题
例3（2006年·十堰）某科技小组进行野外考察，途中 遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全，迅速通过 这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构成 一条临时通道.木板对对地面的压强p(Pa)是木板面积 S（m2）的反比例函数.其图象如图所示， (1)请直接写出这一函数的 表达式和自变量的取值范围； (2)当木板面积为0.2m2时， 压强的面积是多少？ (3)如果要求压强不超过 6000 Pa，木板的面积至少要多大？
5 2
1，
5 2
1
3
2
5 ，选择题
3.（2005·宁波）如图，正比例函数y=x与反比例函数 的图象交关于A、C两点，分别过A、C 作AB⊥x 轴于 B，CD⊥x 轴于D，则四边形ABCD的面积为（ ） A.1 B. 3 C.2 D. 5
四.典型例题
思路分析：这是反比例函数在实际中的应用 问题.根据图象可直接得到函数表达式，根 据已知条件可求出相应的压强和面积. 知识考查：考查反比例函数在实际问题中应 用.
四.典型例题
解：(1)
由题意得，设
p
F (S 0) S
，
当木板面积为1.5 m2时，压强为400Pa，
∴F=1.5×400=600，∴ p 600 (S 0)
为
.
x
6.（2005·南通）如图，△OP1A1、△A1P2A2是等腰直
角斜三边角OA形1、，A点1AP2都1、在Px2在轴函上数，则y 点 4Ax 2的x 坐0标的是图象上，.
五.能力训练
（二）填空题 7.（2005·吉林）如图，正比例函数和反比例函数的 图象交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与 y轴相切的两个圆.若点A的坐标为（1，2），则图中 两个阴影的面积的和是___.
5.3《反比例函数》(第4课时)课件 青岛版
想一想
P
S1 S2 R S3
Q
S1、S2有什么关系？为什么？
任取一点向两坐标轴作垂线得到的 矩形面积是一个定值，为｜k |.
想一想
k y x
P
S1 S3 S2
Q
S1、S2等于多少?
思考题 ⑴如图，点P是反比例函数
k y = x （k 是常数， ≠ 0） k
B
O P A
图象上的一点，若矩形
k 在反比例函数 y （k≠0）上, x
a b
· C
X
比较a，b，c的大小.
k 若A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)都在双曲线 y (k 0) 上 x
且 x1<x2<0<x3 且y1,y2,y3间的大小关系为
4 直线y=kx(k>0)与双曲线 y x
交于A(x1,y1) B(x2,y2)
则
x1+x2=_____ y1+y2=_____
2 x1 y2 7 x2 y1 ＝_____
2.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 y=-8/x的图象交于A、B两点, 且点A的横坐标和点 B的纵坐标都是-2,求: (1)一次函数的解析式; (2)△AOB的面积.
3.
如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、y• 分 轴 k 别交于点A、B，与双曲线y2= （k<0）分别交 x 于点C、D，且C点坐标为（-1，2）．
C o Q x y
D
P
小试
牛刀
学以致用
如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与 x轴.y轴分别交于A.B两点,且与反比例函数 y=m/x(m≠0)的图象在第一象限内交于C点,CD 垂直于x轴,垂足为点D,若OA=OB=OD=1. (1)求点A.B.D的坐标; (2)求一次函数和
北师大版数学九年级上册5.3《反比例函数的应用》教学设计
北师大版数学九年级上册5.3《反比例函数的应用》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级上册5.3《反比例函数的应用》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生掌握反比例函数的图象和性质，以及如何利用反比例函数解决实际问题。
本节内容是在学生已经掌握了反比例函数的定义和基本性质的基础上进行学习的，通过本节课的学习，使学生能够进一步理解和掌握反比例函数，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对反比例函数也有了一定的了解。
但在实际应用反比例函数解决生活中的问题时，往往会因为对函数思想的理解不够深入而感到困惑。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将反比例函数与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解反比例函数的图象和性质。
2.学会如何利用反比例函数解决实际问题。
3.提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的图象和性质。
2.如何将反比例函数应用于实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过设置问题，引导学生探索反比例函数的图象和性质；通过案例教学，使学生了解如何将反比例函数应用于实际问题中；通过小组合作，培养学生团队合作精神，提高学生的解决问题能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例材料和实际问题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾反比例函数的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象，让学生观察和分析反比例函数的性质。
同时，教师给出一些实际问题，让学生尝试用反比例函数解决。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，如何将实际问题转化为反比例函数问题。
学生在讨论过程中，教师给予指导和点拨。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
在学生解题过程中，教师巡回指导，帮助学生巩固反比例函数的应用。
5.3反比例函数中k的几何意义及应用
反比例函数应用学案（3）研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有。
在解相关反比例函数的问题时，若能灵活使用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
现举例说明。
例1、如图所示，P是反比例函数的图象上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的解析式是_____________。
应用二：比较面积大小例2、如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A、B、C。
过这三点分别向x轴、y 轴作垂线。
过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则（）。
A、 B、C、 D、应用三：确定解析式例3、解答题已知反比例函数的图象经过，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．(1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax+1经过A点，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和|AO|：|AC|的值．评析：本题考查学生函数、方程的数学思想及待定系数法的使用．解： (1)由，∴ .∵，∴.∴y= .把代人双曲线，得m=2.(2) ∵点在一次函数y=ax+1上，∴ . ∴ .∴一次函数y= . ∴当y=0，则x= ，即C（，）又∵B（- ，0）则 BC= ，AB= .∴RtΔABC中，AC= . ∴AC=AB. ∴∠AC0= .在RtΔABO中，可求|AO|= ，∴|AO|:|AC|= .练习、1、（2003年全国初中数学联赛试题）若函数与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）A、1B、2C、kD、2、如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=(x>0)的图像相交于点 A、B，设点A的坐标为(x1，，y1)，那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为( )A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，63、如图4，反比例函数与一次函数的图象相交于A点，过A点作AB ⊥x轴于点B。
用反比例解决问题(精品公开课)课件
目录 Contents
• 反比例的概念 • 反比例的数学表达 • 反比例的实际应用 • 反比例问题的解题思路 • 反比例问题的解题技巧 • 反比例问题的综合案例
01
反比例的概念
反比例的定义
反比例：两个量x和y，当一个量x增大时，另一个量y反而减小，或一个量x减小 时，另一个量y反而增大，这样的两个量x和y叫做成反比例的量，它们的关系叫 做反比例关系。
利用公式解题
总结词：数学推导
详细描述：利用反比例函数的公式进行数学推导，可以求出函数的值或表达式的形式，从而解决一些 实际问题。
利用性质解题
总结词：性质应用
详细描述：反比例函数具有一些特殊的性质，如渐近线、对 称性等，利用这些性质可以简化问题，并快速找到答案。
06
反比例问题的综合案例
案例一：生活中的反比例问题
物理中的反比例问题
磁场与电流
在电磁感应现象中，磁场与电流 之间存在反比例关系，磁场越强
，电流越小。
光学中的折射率
不同介质之间的折射率与波长成反 比，波长越长，折射率越小。
声音的传播速度
声音的传播速度与介质和温度有关 ，一般来说，温度越高，声音传播 速度越快，二者之间呈反比关系。
数学中的反比例问题
03
反比例的实际应用
生活中的反比例问题
电池电量与使用时间的关系
随着电池电量的减少，使用时间会逐渐缩短，二者之间呈反比例 关系。
汽车油箱与行驶里程
油箱的油量与汽车能行驶的里程数成反比，油量越多，能行驶的里 程数越远。
体重与健康状况
体重过轻或过重都可能对健康产生不良影响，体重与健康状况之间 存在反比例关系。
用反比例解决问题
x=60
3、一间房子，用9dm²的方砖铺地， 要用200块；如果改用4dm²的方砖铺， 需要多少块？ 总面积（一定）
解：设需要x块。
4x=9×200 x=450
4、学校进行教室地面的装修，用边 长15cm的方砖铺地，需要300块。如 果改用边长25cm的方砖铺地，那么 需要多少块？ 总面积（一定）
解：设这堆煤实际可以烧x天。
2.4x 396 x 396 2.4 x 120
答：这堆煤实际可以烧120天。
第1问：
解:设每包X本。
15X = 20×18
X=
20×18 15
X = 24
答:每包24本。
第2问：
课件PPT
这批书如果每包20本,要捆18包，如果每包 30本,要捆多少包?
x=20
5、给一间房子铺地，如果用边长6分 米的方砖，需要80块。如果改用边长 8分米的方砖，需要多少块？
x=45
6. 某工厂生产一批零件，计划每天 生产200件，25天可以完成任务，实 际每天超产25%，实际生产了多少天？
200×(1+25%)x=200×25
x=20
4、甲乙两地间的距离是490千米，一辆
总价（钱的总数）
解：设李奶奶带的钱能买x千克苹果。
10/3x=4.8×5
x=7.2
9、水泥厂购进一堆煤，原计划每天
烧12t，可以烧45天，实际每天烧的煤
比原计划节约25%，这堆煤实际烧了
多少天？
总数量（煤的总数）
解：设这堆煤实际烧了x天。
12×(1-25%)x=12×45 x=60
3、同学们做操，每行站15人，正好 站12行。如果每行站9人，可以站多少 行？
浅谈反比例函数中“k”的性质与运用
浅谈反比例函数中“k ”的性质与运用诸暨市浣江初中有关反比例函数问题时常在中考中出现，并呈现出愈加灵活，有更深和更难的趋势，成为中考考查的重点之一，在解反比例函数问题时，灵活运用比例系数k 的几何意义，就会为解决问题提供极大的方便。
本文就做一次简单的探究，目的在于掌握反比例函数几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学相关问题，并熟悉与反比例函数k 几何意义的常见考查方式和解题思路。
一、反比例函数的概念：如果某个函数如果可以写成)0(≠=k xky 或)0(1≠=-k kx y 或)0(≠=k k xy 的形式，则这个函数为反比例函数。
二、反比例函数中k 与图像的形状关系：|k |越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直; |k |越小，图像的弯曲度越大。
三、反比例函数中k 值与图像位置和性质的关系：反比例函数与坐标轴没有交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k ＞0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
四、反比例函数与一次函数中k 值关系： 一次函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=的关系： （1）当21k k ⋅ ＜0时，两图像没有交点；（2）当时21k k ⋅ ＞0，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称。
五、反比例函数中k 和几何意义：如图1所示，反比例函数)0(≠=k xky 中，比例系数k 的几何意义，就是过该函数图像上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S 矩形PMON = PM ・PN = |x|・|y| = |xy| = |k |，这就说明，过曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k |，这是系数k 几何意义。
同时通过k 性质可以延伸理解出多种图形面积的不变性特征，如下表所示：明确了k 的几何意义，会给以下几种类型的解题运用带来许多方便，我们可以通过以下几举例说明。
5.3反比例函数的应用
反比例函数的应用细心的同学会发现，在日常生活中存在着许多两个量之间具有反比例关系的例子。
学习数学的目的是“学以致用”，现从反比例函数与一次函数、不等式、简单的几何知识的综合应用，反比例函数与相关物理知识的综合应用这些方面举例分析，供同学们参考。
一. 学科内知识间的综合应用例1. 如图1所示，A为反比例函数图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B。
若△AOB的面积为3，则反比例函数的解析式是什么？分析：因为点A在反比例函数第二象限的图象上，所以，由三角形面积公式可求得k，从而求出反比例函数解析式。
解：∵函数图象分布在第二、四象限∴k<0设A点坐标为（x，y），则∴反比例函数的解析式为例2. 如图2所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。
分析：求一次函数解析式必须有两个点的坐标。
由于M、N都在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出M点的坐标。
再由待定系数法求出一次函数解析式。
根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围。
解：（1）∵M、N在反比例函数上设一次函数解析式为则，解得故一次函数的解析式为（2）由图象可知，当时，反比例函数的值大于一次函数的值。
二. 反比例函数与物质知识的综合应用例3. 一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：（1）用含S的代数式表示p。
p是S的反比例函数吗？为什么？（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？练一练：1. 如图5所示，A、C是函数图象上关于原点O对称的任意两点。
直线MN过A、C两点，过C 向x轴作垂线，垂足为B，则三角形ABC的面积为_____________。
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用反比例解决问题
【教学时间】5.3
【课型】新授课
【教学用具】多媒体课件
【教学方法】谈话法
【教学目标】
1.能利用反比例的意义正确解读实际问题。
2.进一步培养学生应用已学知识进行分析、推理的能力。
在解决实际问题的过程中，开拓思维。
【教学重点】掌握用反比例知识解答实际问题的解题思路。
【教学难点】掌握用反比例知识解答实际问题的解题思路。
【教学过程】
一、情景导入
前面我们一起学习了用正比例解决实际问题，今天我们一起来学习用反比例解决实际问题。
二、新课讲授
1.教学例6。
一个办公室原来平均每天照明用电100千瓦时。
改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。
原来5天的用电量现在可以用多少天？
提问：以前我们是怎样解答的？这样解答是先求什么？是按怎样的数量关系式来求的？这道题里哪个量是不变的量？
（1）仿照例5的解题过程，用比例的知识来解答例6。
指名板演，其余学生在练习本上做。
练习后让学生说一说怎样想的。
检查解答过程，结合提问弄清为什么要列成积相等的式子。
（2）按过去的方法是先求什么再解答的？求总数量的题现在用什么比例关系解答？用反比例关系解答这道题，应该怎样想，怎样做？
（3）指出：解答例6要按题意列出关系式，判断反比例，再找出两种相关联的量相对应的数值，然后根据反比例关系的乘积一定，也就是相对应数值的乘积相等，列式解答。
2.小结解题思路。
（1）请同学们根据例6的解题过程，想一想应用比例知识解题，是怎样想的，怎样做的？
（2）同学们相互讨论一下，然后大家交流。
（3）指一名学生说解题思路。
（4）指出：应用比例的知识解题，先要判断两种相关联的量成什么比例关系，(板书：判断比例关系)再找出相关联的量的对应数值，（板书：找出对应数值）再根据正反比例意义列出等式解答。
（板书：列出等式解答）
追问：你认为解题的关键是什么？（正确判断成什么比例）怎样来列出等式？（正比例等式比值相等，反比例乘积相等）
三、课堂作业
教材第62页“做一做”第2题。
（1）先组织学生读题，理解题意。
（2）指两名学生板演，集体订正。
答案：
第2题：解：设可以买x支。
2x=1.5×4 x=3
四、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
五、课后作业
完成练习册中本课时的练习。
第6课时用比例解决问题（2）
用比例知识解题的关键：正确判断成什么比例，正比例等式比值相等，反比例乘积相等。
学生一般不喜欢用比例方法，而喜欢用算术方法解决问题。
把学生从传统的算术方法中释放出来是教学的关键。
因为习惯很难改变，一种新的思维方式需要时间来接受，所以对于用比例来解决问题必须在以后的课堂上经常提到。
改变他们传统的思维习惯，也是为了和初中学习的新知识接轨。
一。