直线系方程
直线系方程
所以直线恒过定点
7 , 5 2 2
例1.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2：将方程变为：
x 3 y 11 m( x y 1) 0
解得： x 3 y 11 0
x
y
1
0
即：
过 7 , 5
3.过两直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点,
且平行于直线4 x - 3 y 7 0的直线是 : 4_x_-_3_y_-6_=0
4.过两直线y 2x 3和3x - y 2 0的交点,
且垂直于第一条直线的直线方程是 :x_+_2_y_-_1_1=0
四、一个二次方程表示 两条直线的问题:
高一数学 必修 2
第三章 直线的方程
一、直线系方程的概念
• 直线系： • 具有某种共同性质的所有直
线的集合.它的方程叫直线系 方程。
二、直线系方程的种类1:
1:与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程 为：
Ax+By+m=0 （其中m≠C，m为待定系 数）；y
o x
直线系方程的种类2:
2:与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.
2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法： 法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。
法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
直线系方程
m 3n 7 m n 5 mn k
解得：
m 2 n3 k m n 6
即：k= -6 时方程表示两条直线。
练 习
1．方程x2-y2=0表示的图形是：————
二相交直线 y 0与x - y 0 x
2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线 系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是 垂直 _______.
11
故所求得方程是： 4x+3y-6=0
小 结:
本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 这种方法称之为待定系数法,在已知 函数或曲线类型问题中,我们都可以 利用待定系数法来求解.
练习1
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
4
所以直线的方程为：
3x+2y+4=0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 )x ( 2) y (4 2) 0 1 解得： k 2 1 3 * 1 由已知： 2 4
1.过两直线x - 2y 3 0和x 2y - 9 0的交点和原点
y=x 的直线方程是: ______
2.过两直线 x - 3y 10 0和3x 4y - 2 0的交点 2 ,
2x+3y-2=0 且垂直于直线 x - 2y 4 0的直线是: ______ 3
3.过两直线 x y 8 0和x 2y 1 0的交点 2 ,
直线系方程与对称
6、当a 0，方程 x2 y2 ax - ay 0所表示的图形
关于
A、x 轴对称
B、关于y轴对称
C、直线x - y 0对称 D、直线x y 0对称
基础练习
7、从点 P（- 2，3）发出的光线射到直线 y x 2
上，反射后过点 Q（- 3，2），则反射光线所在
的直线方程为
A、x 2 y -1 0
知识要点
⑶过直线 l1，l2 交点的直线系： 设 l1：A1x B1 y C1 0，l2：A2 x + B2 y + C2 =0
则：A1x B1 y C1 （A2 x B2 y C2） 0 (
R) 表示一束过 l1与 l2交点的直线系 (不包括 l2） 作用: ①设出过两相交直线的交点的直线方程
知识要点
⑵轴对称
• 定义：设平面上有直线 l：Ax By C 0 和两 点 P (x，y），P（' x'，y'）若满足下列两条件：
① PP' l ② ( x + x' ，y + y' ) 满足 l 的方程， 22
则称点 P、P' 关于直线 l 对称，l 为对称轴。若 一图形与另一图形任意一对对应点满足这种关 系，那么这两图形关于 l 对称。有的图形本身就 是一轴对称图形，如抛物线，圆等
对称，则圆C 的方程是
A、(x 1）2 y2 1
B、x2 y2 1
C、x2 （y 1）2 1
D、x2 （y -1）2 1
10、将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0，2)与点
（ 2，0) 重合，且点 (2003，2004) 与点 (m，n）
重合，则 n m
；
基础练习
直线方程的五种形式
直线方程的五种形式直线方程一般式：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)；点斜式：y-y0=k(x-x0)；截距式：x/a+y/b=1；斜截式：y=kx+b；两点式：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)。
直线方程表达形式1：一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】K=-A/B，b=-C/BA1/A2=B1/B2≠C1/C2←→两直线平行A1/A2=B1/B2=C1/C2←→两直线重合横截距a=-C/A纵截距b=-C/B2：点斜式:y-y0=k(x-x0)【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线3：截距式:x/a+y/b=1【适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线4：斜截式:y=kx+b【适用于不垂直于x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线5：两点式:【适用于不垂直于x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)6：交点式:f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线7：点平式:f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线8：法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于不平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度9：点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线10：法向式：a（x-x0）+b（y-y0）=0【适用于任何直线】表示过点（x0，y0）且与向量（a，b）垂直的直线。
直线系方程过定点
直线系方程过定点摘要：1.直线系方程的概念2.直线系方程过定点的意义3.求解直线系方程过定点的方法4.实例分析5.总结与启示正文：在学习直线方程时，我们经常会遇到直线系方程过定点的问题。
所谓直线系方程，是指在二维平面上有且只有一条直线满足给定的条件。
而直线系方程过定点，则意味着存在一个确定的点，使得这条直线恰好经过这个点。
本文将详细介绍直线系方程过定点的概念、求解方法以及实例分析，以帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
首先，我们来了解一下直线系方程的概念。
在二维平面上，直线可以用一般式方程Ax + By + C = 0 表示，其中A、B、C 为常数，且A 和B 不同时为零。
当A 和B 不同时为零时，该直线系方程表示一条唯一的直线。
然而，在实际问题中，有时我们需要讨论多条直线之间的关系，这就涉及到直线系方程。
直线系方程可以看作是多条直线之间的“关系式”，它们可能具有相同的斜率、截距或其它参数。
接下来，我们来探讨直线系方程过定点的意义。
对于一条直线，如果它过定点，那么这条直线在平面上的位置就确定了。
换句话说，直线系方程过定点意味着存在一个确定的点，使得这条直线恰好经过这个点。
这个定点可以看作是直线系方程的一个参数，它与其他参数（如斜率、截距等）共同决定了直线的位置和形状。
那么，如何求解直线系方程过定点呢？我们可以按照以下步骤进行：1.确定直线系方程中的参数：根据题目给出的条件，确定直线的斜率、截距等参数。
2.选取一个合适的坐标系：根据题目要求，选择合适的坐标系，以便于求解定点。
3.列方程求解：将直线系方程中的参数代入一般式方程，得到一个关于x 和y 的方程。
然后，通过解方程组求解直线系方程过定点的坐标。
4.验证解的正确性：将求得的坐标代入直线系方程，检验是否满足题目给出的条件。
下面，我们通过一个实例来分析求解过程。
实例：已知直线系方程y = 2x + 1，求该直线过定点（2，3）的方程。
解：1.确定直线系方程中的参数：已知斜率k = 2，截距b = 1。
【高考数学】直线系和圆系方程
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。
和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。
直线系方程
直线系方程直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。
直线系方程的定义：具有某种共同性质的所有直线的集合。
直线系方程的几种类型：一、平行直线系方程二、 与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（其中C C '≠， C '为待定系数）.二、垂直直线系方程与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 其中C '为待定系数。
三、过定点直线系方程过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.三、过两直线交点的直线系方程为了讨论的方便，我们只讨论最一般的情况，如下所述：过直线1l ：1110A x B y C ++=（11,A B ，1C 均不为0）与直线2l ：2220A x B y C ++=（22,A B ，2C 均不为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.但是此直线系方程却不包括直线2l ：2220A x B y C ++=，为什么呢？ 假设直线系方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=包括直线2l ：2220A x B y C ++=，则有,221221221C C C B B B A A A λλλ+=+=+ 故,212121C C B B A A == 则直线1l 与直线2l 重合，这与直线1l 与直线2l 交于一点矛盾，故假设不成立，故直线系方程却不包括直线2l ：2220A x B y C ++=.但是此种方法只能证明直线系方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=不包括直线2l ，但在一般情况下怎么证明直线系方程111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=包括除直线2l 之外的所有其他直线呢？为了说明的方便，我们只看最一般的情况，如下： 将直线系方程整理成一般式方程0)()(212121=+++++C C y B B x A A λλλ, 当,0021212121B B A A A A B B ==+=+，则且λλ此时直线1l 与直线2l 平行，矛盾，故此种情况不存在.当002121≠+=+A A B B λλ且,则此直线系方程表示的是一条垂直与x 轴斜率不存在的直线，故此直线不会直线2l .若021≠+B B λ,则此直线系方程的斜率为2121B B A A λλ++-，令 2121)(B B A A f λλλ++-=， ,)()(21212122222121λλλλ+--+-=++-=B B B B A A B A B A B B A A f 故2121)(B B A A f λλλ++-=的值域为},)(|)({22B A f f -≠λλ故直线系方程的斜率不会等于直线2l 的斜率，故直线系方程0)()(212121=+++++C C y B B x A A λλλ包括除直线2l 之外的所有其他直线.。
直线系方程
2 − 2 + 4 + λ ( 2 + 1 − 2) = 0
λ = −4
故所求直线的方程为： 3x+2y+4=0
（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 + λ ) x + (λ − 2) y + (4 − 2λ) = 0
解得： k = −1+λ
λ−2
1+ λ 3 * = −1 由已知： − λ−2 4
y
o x
2．与直线 与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: 与直线
BxBx-Ay+λ =0
y
（λ为待定系数）.
o
x
直线系方程的种类(二):
3.
过定点P（x0，y0）的直线系方程为： A(x- )+B(yA(x-x0)+B(y-y0)＝0
推导： 设直线的斜率为
y − y0 = −
− A B
直 线 系 方 程
1. 定义: 具有某种共同属性的所有直线的集合
2..类型
3. 应用
(1)求直线的方程 求直线的方程 (2)直线恒过定点问题的证明 直线恒过定点问题的证明 (3)灵活变换 灵活变换
直线系方程的种类(一):
1.与直线 与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为： 与直线 （其中λ≠C）； Ax+By+λ=0
y
A (x − x 0 ) B
A(x-x0)+B(y-y0)＝0
请问: 请问 斜率不存在 的情况如何?
o x
4.已知直线l1、 l2 ：A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0 ，
那么方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0 表示直线l3，简记为l1＋λl2=0，则当l1∩l2=P时， l3为过交点P的直线系，当l1∥l2时，l3为与l1、l2 平行的平行线系(λ为参数)
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第三章 直线的方程
一、直线系方程的概念 • 直线系： • 具有某种共同性质的所有直 线的集合.它的方程叫直线系 方程。
二、直线系方程的种类1:
1:与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为： Ax+By+m=0 （其中m≠C，m为待定系数）；
y
o
x
直线系方程的种类2:
2:与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.
o
x
问题： 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2： A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则 过两直线的交点的直线系方程为： m(A1x+B1y+C1)+n( A2x+B2y+C2)=0 其中m、n为待定系数.
证明：
设(x0 , y0 )是A1x B1y C1 0与 A2x B2 y C2 0的交点 ,
4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为:m(A1x+B1y+C1 )+n( A2x+B2y+C2)=0(1), 其中m、n为待定系数.
A1x+B1y+C1 +k( A2x+B2y+C2)=0(2) 其中k为待定系 数.方程(2)比(1)少一条直线。
练习1
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
1.过 两 直 线 x - 2y 3 0和x 2y - 9 0的 交 点 和 原 点
y=x 的直线方程是 : ______
2.过 两 直 线 2x - 3y 10 0和3x 4y - 2 0的 交 点 , 且垂直于直线 3 x - 2 y 4 0的 直 线 是 :2x+3y-2=0 ______ 3.过 两 直 线 2x y 8 0和x 2y 1 0的 交 点 , 且平行于直线 4 x - 3 y 7 0的 直 线 是 : 4x-3y-6=0 ______
代(x0 , y0 )入二方程 ,得 : A1x0 B1y 0 C1 0且A 2 x0 B2 y0 C2 0,
所以
m(A1x0+B1y0+C1)+n(A2x0+B2y0+C2)=0
直线m(A1x0+B1y0+C1)+n(A2x0+B2y0+C2)=0 经过点（x0，y0）
直线系方程的种类4:
设： (3 x y m)( x y n) 0 则 (3 x y )( x y ) x(m 3n) y(m n) mn 0 所以：
m 3n 7 m n 5 mn k
解得：
m 2 n3 k mn 6
即：k= -6 时方程表示两条直线。
2 1 3 1 由已知： 2 4
解得： k 1
11
故所求得方程是： 4x+3y-6=0
方法小结：
本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 这种方法称之为待定系数法,在已知 函数或曲线类型问题中,我们都可以 利用待定系数法来求解.
7 5 , 2 2
例1.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2： 将方程变为：
x 3 y 11 m( x y 1) 0
解得： x 3 y 11 0
即：
x y 1 0 7 x 2 y 5 2
y
o
x
直线系方程的种类3:
3. 过定点P（x0，y0）的直线系方程为：
A(x-x0)+B(y-y0)＝0
y
设直线的斜率为
A(x-x0)+B(y-y0)＝0 (1)
A y y0 ( x x0 ) B y-y0＝k(x-x0) (2) 说明:(2)比(1)少一条直线 即:(2)应考虑k不存在的情况
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（1）：设经二直线交点的直线方程为：
x 2 y 4 ( x y 2) 0
代（2，1）入方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，得：
2 2 4 (2 1 2) 0 4
例4：方程 x y 6 x y 3m 0表示两条直线， 求m的取值范围。
: ( x y )2 6 x y 3m 0 解:将方程化作
方程应两个有非负根,故设:t = x y 0,得 : t
2
6t 3m 0
36 12m 0 f (0) 0 0 3m 0 对称轴t 3 0
4.过 两 直 线 y 2x 3和3x - y 2 0的 交 点 , 且垂直于第一条直线直 的线方程是 :x+2y-11=0 ______
四、一个二次方程表示 两条直线的问题:
两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程, 如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得:
x2 +xy-2y2-x+y=0
所以直线的方程为：
x+2y-4=0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（2）：将（1）中所设的方程变为： (1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0
那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由 两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这 两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们. 请看下面的例子:
例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0 表示两条直线？
解（待定系数法）：将方程化作：
(3 x y )( x y ) (7 x 5 y ) k 0
y
o
x
三、直线系方程的应用:
例.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法1：令m=1，m= -3代入方程，得： 7 x 2 4 y 10 0 解得： y 5 4 x 14 0 2 又因为: 3.5(m-1)- 2.5(m+3)-(m-11)=0 所以直线恒过定点
所以 参变分离
0 m<3
7 5 故直线恒过 , 2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法： 法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。