过定点的直线系应用
直线系方程
4y 10 0 4x 14 0
解得：
x y
7 2 5 2
所以直线恒过定点 7 , 5 2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法：
法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。
那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由 两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这 两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们. 请看下面的例子:
例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0 表示两条直线？
解（待定系数法）：将方程化作：
(3x y)(x y) (7x 5y) k 0
法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（1）：设经二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
y
o
x
4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m( A2x+B2y+C2)=0
其中m为待定系数.
证明： 设(x 0 , y0 )是A1x B1y C1 0与 A2 x B2 y C2 0的交点,
3.过两直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点,
直线系方程在解题中的应用
２ ． 过两条直线 ， ｌ ：Ａ １ ｘ ＋Ｂ ｌ ＋Ｃ ｌ ＝０ ，
２： ２ ＋Ｂ２ ＋Ｃ２＝０的交点 的直线
系 方 程 为 ：
＋
＋Ｃ ｏ＝ ０（Ａｏ ， Ｂ０ 是不全 为
） 的 直 线 系 为 ：
Ｉ ． 以斜率为 ｋ ｏ（ 常数 ）的直线系
零 的 常 数
— —
四、 运用 示弱教育的教学建议 （ 一） 要 求我们对学生做到 １ ． 充 分信任对方 。只要有 机会和条件 ， 人 总是 愿意发展并希望改变 自己， 用苏霍姆 林斯基 的话来 说 ， 那就是 “ 每个人都有一颗 成 为好 人的心”。我们要相信学生的能力和 潜 力。 ２ ． 耐心等待对方 。 教育不是加工和塑造 ， 而是生长与成熟 。 加工与塑造强调外在的力 量， 生长 和成熟 重视 内在的可能和 自为。生 长和成熟是一个过程 ， 需要时间 ， 需要耐心 ， 需要等待 ， 等待意味着 “ 示弱 ” 和“ 用弱”。 在等待 中， 在学生的学 习责任 和自觉性被唤 醒 以后 ，教育可能收获更多的欣喜。
交点 ，
’ ． ．
。
３
依题意有：
。
． ．
ｑ
１ ｔ ｌ 一０ ｌ ． － 卜１ ＝ ６
设 所 求 的 直 线 为
：
， １ 的方程为： 一 ３ ｙ ± ４ √ ：０
（ ２ ｘ ＋ ３ ｙ ＋ １ ） ＋ ． ； Ｌ （ ｚ 一 ３ ｙ ＋ ４ ） ＝ ０ ，
Ｙ＝ｋ ｏ ｘ＋ｂ （ ｂ 为参数） ；
２ ． 平 行 于 已 知 直 线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ Ａ ｌ ｘ ＋ Ｂ ￣ ｙ ＋ Ｃ １ ） ＋ ２ （ Ａ ２ ｘ ＋ Ｂ ２ ＋ ｃ ） ＝０（ ｌ 、 ２ 为
直线系
直线系知识点一、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为： 例1已知直线l ：10x y ++=，l ∥m ，直线n ：210x y -+=被l ，m 截得的线m 的方程.二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为： 例2已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程： 1、2、例 3 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.如法一解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．另一种方法为：思考两种直线系方法的不同之处：四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例4 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.五、求直线系方程过定点问题例5 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标.。
直线系方程的问题分类解析
直线系方程的问题分类解析直线系方程问题是高中数学中的一个重要问题。
本文将介绍直线系在解题中的应用，供同学们参考研究。
一、平行直线系方程在解题中的应用如果与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C′=0（其中A和B不同时为0），则可用平行直线系求解问题。
例如，已知直线l：x+y+1=0，l∥m，直线n：x-2y+1=0被l，m截得的线段长为5，求直线m的方程。
解析：设m的方程为x+y+c=0（其中c≠1），直线l到直线n所处的角为θ，直线m和l间的距离为d。
由题知，kl=-1，kn=1/2.由到角公式得，tanθ=3/4.因此，sinθ=3/5，d=5sinθ=15/5=3.根据平行线间距离公式，|c-1|/√(1^2+1^2)=3/2，解得c=-2或c=4.因此，直线m的方程为x+y+4=0或x+y-2=0.二、垂直直线系方程在解题中的应用如果与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C′=0，则可用垂直直线系求解问题。
例如，已知直线l是曲线y=x+1的一条切线且与直线x-2y+5=0垂直，求直线l的方程。
解析：设l的方程为2x+y+c=0.由l与曲线y=x+1相切得，Δ=22-4(1+c)=0，解得c=0.因此，直线l的方程为2x+y=0.三、过定点直线系方程在解题中的应用如果直线系过定点(x,y)，则直线系方程为A(x-x)+B(y-y)=0（其中A和B不同时为0）。
例如，求过点P(-1,4)圆(x-2)²+(y-3)²=1的切线方程。
解析：设切线方程为y=kx+b，由圆的方程得(x-2)²+(kx+b-3)²=1.将P代入方程得(-1-2)²+(4-3)²=1，因此切线过点P。
又因为切线与圆相切，因此切点只有一个，即判别式Δ=0.解得k=1/4，b=17/4.因此，切线方程为y=x/4+17/4.过定点直线法可以表示过点P(x,y)的所有直线，即直线系。
高中数学论文：巧用曲线系,求解曲线题
巧用曲线系，求解曲线题曲线系问题是高中数学课中重要而又难以掌握的问题，它可分为直线系、圆系、圆锥曲线系三类。
在求解曲线问题时，若能巧妙的应用曲线系知识，将会使烦琐的运算变的轻而易举。
现归纳分析并举例应用如下。
一、直线系1过两直线交点的直线系若点P （x 0,y 0）是两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2+B 2+C 2=0的交点，则过点P 的直线系方程为：A 1x+B 1y+ C 1+ λ( A 2+B 2+C 2)= 0例1 已知直线l 1:3x+4y-10=0，l 2:4x-6y+7=0,l 3过l 1,l 2的点且过点A(4,-7)，求l 3的方程。
解:由题意可得l 3方程为:3x+4y-10+ λ(4x-6y+7)=0l 3过点A(4,-7), ∴3 ⨯4+4 ⨯(-7)-10+ λ[4 ⨯4-6 ⨯(-7)+7]=0 ∴ 52=λ 因此 l 3的方程为3x+4y-10+52(4x-6y+7)=0，即23x+8y-36=0 2 平行直线系方程y=kx+b ，当k 为定值时，表示斜率为k 的平行直线系。
方程A 0x+B 0y+C=0(A 0,B 0为定值,B 0 ≠0)表示斜率为00B A -的平行直线系。
例2 、直线l:3x-2y+5=0, l 1∥l 且l 1过点P(3,-2)，求l 1方程。
解： 因为l 1∥l ，故设l 1方程为3x-2y+m=0,。
P(3,-2) ∈l 1, ∴m=-3⨯3+2⨯(-3)=-13 ，即l 1的方程3x-2y-13=0 。
3 过定点直线系当k 为变量时，方程y-y 0=k(x-x 0)表示过定点P(x 0,y 0)的直线系。
例3、求证：当m 任意实数时，直线y=(m 2+2m+2)x-3m 2-6m-1必过一定点。
证明：将原方程变形为:y=(m 2+2m+2)x-3(m 2+2m=2)+5，即y-5=(m 2+2m++2)(x-3),由此可知直线过定点(3,5)。
直线系方程
一 直线系方程直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。
直线系方程的定义：具有某种共同性质的所有直线的集合。
直线系方程的几种类型：一、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（其中C C '≠， C '为待定系数）.【例1】求平行于直线02=--y x 且与它的距离为22的直线方程。
二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 其中C '为待定系数。
【例2】求经过两条直线01032=+-y x 和0242=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程。
三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.【例3】求过点(14)P -，的直线且与点(2,3)的距离为1的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线1l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与直线2l ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.【例4】 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.五、求直线系方程过定点问题【例5】 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.【例6】 已知m 为实数，直线0)11()3()12(=--+--m y m x m 恒过定点，求出定点坐标。
例谈直线系方程的应用技巧
直线系是指具有某种共同特征的直线的集合，表示这个直线系的方程叫做直线系方程，其特点是直线方程中含有一个参数.在解答有关直线的问题时，灵活运用直线系方程，可以起到化难为易、化繁为简的效果.下面主要谈一谈几种常见的直线系方程在解题中的应用.一、与一条直线平行或垂直的直线系方程若已知直线l :Ax +By +C =0,则与l 平行的直线系方程为:Ax +By +t =0(t ≠C ,t 为参数)；与l 垂直的直线系方程为为:Bx -Ay +t =0(t 为参数）.在解答平行或者垂直问题时，可引入参数，根据已知的直线方程，设出与其平行或垂直的直线系方程，将其代入题设中，便可快速求得问题的答案.运用直线系方程解题，能避免求直线上点的坐标、斜率、倾斜角等麻烦，有利于提升解题的效率.例1.已知正方形的中心为E (-1,0)，一条边所在直线的方程为x +3y -5=0,求正方形另外三条边所在直线的方程.分析：我们知道，正方形的对边平行，邻边互相垂直，可根据已知的一条边的直线方程，用直线系方程表示出正方形的另外三条边，再根据正方形的边到中心的距离相等建立关系式，求得参数的取值，即可求得正方形另外三边所在直线的方程.解：设AB 的方程为x +3y -5=0，∵AB ∥CD ,AD ∥BC ,且AD ⊥AB .∴可设CD 的方程为x +3y +t =0,AD ,BC 的方程为3x -y +λ=0.∵中心E (-1,0)到AD ,BC ,CD 的距离均为d ，且d =|-1+3×0-5|12+32=610,-y ×0+=,解得：λ=9或-3,t =7或-5(-5舍去).∴正方形ABCD 另外三边的方程分别为：x +3y +7=0,3x -y +9=0,3x -y -3=0.二、过两直线交点的直线系方程若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交，那么过l 1与l 2交点的直线系方程为:A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ为参数).若遇到经过两条直线交点的直线问题，就可以直接设出过两直线交点的直线系方程，再根据已知条件求得λ的值，进而求得过交点的直线方程.例2.求过两直线：2x -3y =1与3x +2y =2的交点，且与直线y +3x =0相平行的直线方程.解：设所求的直线方程为：2x -3y -1+λ(3x +2y -2)=0,即(2+3λ)x +(2λ-3)y -1-2λ=0,因为此直线与直线y +3x =0平行，所以-2+3λ2λ-3=-3，解得λ=113，将其代入2x -3y -1+λ(3x +2y -2)=0中，可得：39x +13y -25=0,故所求直线的方程为39x +13y -25=0.先运用直线系方程来表示所求的直线，再根据题意求得参数的值，就能求得直线的方程，该方法能有效地简化运算.对于此类型的题目，还可以采用另一种方法解答,即先求出两直线的交点以及所求直线的斜率，最后根据直线的点斜式方程得出所求的直线方程.三、过定点的直线系方程一般地，过定点(x 0,y 0)的直线系方程为：y -y 0=k (x -x 0)(k 为参数）.在遇到求过定点的直线方程问题时，首先要对直线系方程的斜率存在性进行分类讨论.当斜率存在时，可直接运用上述直线系方程表示出过定点的直线方程，然后将其代入题设中，求得参数k 的值，即可求得直线的方程.例3.求过点P (a ,b )，且在x 轴上的截距为1的直线方程.解：若所求直线的斜率不存在，则x =1;若所求直线的斜率存在，设斜率为k ，则所求直线方程为：y -2=k (x -1).因为在x 轴上的截距为1，可得：1-2k=1,方程无解，故只有x =1的直线方程满足题意.解答此类问题的关键在于明确所求直线的特征，根据已知的直线方程、交点和定点的坐标，选择恰当的直线系方程设出直线方程，求得参数的值，即可求得直线的方程.在解答直线方程问题时，灵活运用直线系方程，可改变常规的解题思路，简化解题的过程，提高解题的效率.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）备考指南55。
直线系方程过定点
直线系方程过定点
【实用版】
目录
1.直线系方程的概念
2.直线系方程过定点的定义
3.直线系方程过定点的证明
4.直线系方程过定点的应用
正文
一、直线系方程的概念
直线系方程是指描述一条直线的所有方程。
在数学中，我们通常使用参数方程或一般方程来表示一条直线。
例如，参数方程形式为 x=a+tcos θ，y=b+tsinθ，一般方程形式为 Ax+By+C=0。
二、直线系方程过定点的定义
直线系方程过定点，是指在直线系方程中，存在一个点，无论参数如何变化，该点都满足直线系方程。
也就是说，这个点是直线系方程的解，并且是唯一的。
三、直线系方程过定点的证明
为了证明直线系方程过定点，我们可以先设定一个点，然后求出该点在直线系方程中的参数值。
如果这个参数值对于所有的直线系方程都成立，那么就证明了直线系方程过定点。
四、直线系方程过定点的应用
直线系方程过定点在实际应用中非常广泛，例如在计算机图形学中，我们就可以使用直线系方程过定点来表示一个图形的边界。
在物理学中，直线系方程过定点也可以用来描述物体的运动轨迹。
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1、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程．
分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.
解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，
∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，
1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =
≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．
点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:
00()()0A x x B y y -+-=，
注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．
练习： 过点(1
4)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，
∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，
1=，
整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =
≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．
2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用 过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）
与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（
R λ∈，λ为参数）.
例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等
的直线方程.
分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.
解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，
当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，
此时所求直线方程为：20x y -=；
当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =
12λλ+-， 令y =0，解得x =121
λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13
λ=， 此时，所求直线方程为：5540x y ++=.
综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.
3、求直线系方程过定点问题
例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.
解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,
∵m ∈R, ∴1010
x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，
∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.
（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =， 将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，
∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.
点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.。