直线系方程.ppt
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3.2.3《直线的一般式方程》(必修二,数学,优秀课件)
a=1
练习2:已知直线l1：x-ay-1=0和
l2：a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
a=1或a=0
三、直线系方程:
1)与直线l： Ax By C 0 平行的直线系
方程为： Ax By m 0
(其中m≠C，m为待定系数)
三、直线系方程:
2)与直线l： Ax By C 0 垂直的直线系
x y 1 a b
两个截距 化成一般式
截距式
Ax+By+C=0
作业： P99-100练习：1，2. P101习题3.2B组：1，2，5.
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？
(2) l1 l2 的条件是什么？
2 .l1 l2 A1 A2 B1B2 0 3.l1, l2相交 A1B2 A2 B1 0
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 1.l1 // l2 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0 x
5.
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
3.2.3《直线的一般式方程》
• 学习目标：知道什么是直线的一般式方程， 会将直线的一般式方程化为点斜式、斜截式、 两点式方程，反之亦然，理解二元一次方程 与直线的关系。 • 学习重点：直线的一般式方程、点斜式方程、 斜截式方程的互化。 • 学习难点：理解二元一次方程与直线的关系。
精品课件：第三章 直线与方程
[分析] 利用数形结合思想，观察直线的变化情况，根 据斜率公式及范围求解，要特别注意当直线与x轴垂直时的情 形．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 如图所示，直线PA的斜率
kPA＝－2－ 1－－－32＝5， 直线PB的斜率kPB＝3－0－－21＝－12.
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[例4] 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－
4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是170 5.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
专题二 直线方程的五种形式的应用问题 [例2] 已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x －2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程． [分析] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中 线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方 程．
第三章 章末归纳总结
线的斜率公式k＝
y2－y1 x2－x1
(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件
x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[例1] 已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)、B(3,0) 为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
∴点B的坐标为(5,1)．
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
第三章 章末归纳总结
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[解析] 如图所示，直线PA的斜率
kPA＝－2－ 1－－－32＝5， 直线PB的斜率kPB＝3－0－－21＝－12.
第三章 章末归纳总结
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[例4] 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－
4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是170 5.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
专题二 直线方程的五种形式的应用问题 [例2] 已知△ABC中，A(1,3)，AB、AC边上中线方程为x －2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程． [分析] 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中 线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方 程．
第三章 章末归纳总结
线的斜率公式k＝
y2－y1 x2－x1
(x1≠x2)，应用时注意其适用的条件
x1≠x2，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
第三章 章末归纳总结
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[例1] 已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)、B(3,0) 为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
∴点B的坐标为(5,1)．
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
平面直角坐标系中直线的一般式方程
等式的基本性质 等式的基本性质1:在等式两边都加上或减去同 一个数或整式，结果仍相等． 等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同 一个数(除数不为0)，结果仍相等．
它们是不等式吗？
√ √ 4x 5 0， a 2 2 b， a ≥0，
x 3， 3(x 2) 4≤5x，√
示的直线： 平行于y轴
y
B=0 , A≠0 , C≠0;
a
0
x
深化探究三
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表
示的直线： 与x轴重合
y
A=0
深化探究四
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表
示的直线： 与y轴重合
y
B=0 , A≠0, C=0;
x x
x1 2 x 1
.
截
距
式
：x a
y b
1.
一般式：Ax By C 0.
作业
作业本作业： • 1 课本P99练习1:(2),(4). • 2 课本P100练习2:(2),(4).
课后练习作业： • 1 课本P100A组1，5填在书上. • 2 B组2填在书上.
9.1.2 不等式的性质 第1课时
于
4 3
的直线方程的点斜式是y 4
4 3
(
x
6)。
化为一般式，得4x3y 12 0。
截
距
式
是
：x 3
y 4
1.
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距。
解：将原方程移项，得2y x 6,
2.2.2直线方程的几种形式
3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，分别根据下列 条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
4、设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－ a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的 取值范围．
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
方程表示的直线：
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
y
o
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0
x
二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，
小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
两点式
点斜式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
两个截距 化成一般式
截距式
Ax+By+C=0
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
A （1）直线的斜率 k＝－ B （2）直线在y轴上的截距b C C y 令x=0，解出 值，则 b B B (3) 直线与x轴的截距a 令y=0，解出 x C 值，则 a C A A
直线系方程
所以：
m 3n 7 m n 5 mn k
解得：
m 2 n3 k m n 6
即：k= -6 时方程表示两条直线。
练 习
1．方程x2-y2=0表示的图形是：————
二相交直线 y 0与x - y 0 x
2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线 系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是 垂直 _______.
11
故所求得方程是： 4x+3y-6=0
小 结:
本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 这种方法称之为待定系数法,在已知 函数或曲线类型问题中,我们都可以 利用待定系数法来求解.
练习1
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
4
所以直线的方程为：
3x+2y+4=0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 )x ( 2) y (4 2) 0 1 解得： k 2 1 3 * 1 由已知： 2 4
1.过两直线x - 2y 3 0和x 2y - 9 0的交点和原点
y=x 的直线方程是: ______
2.过两直线 x - 3y 10 0和3x 4y - 2 0的交点 2 ,
2x+3y-2=0 且垂直于直线 x - 2y 4 0的直线是: ______ 3
3.过两直线 x y 8 0和x 2y 1 0的交点 2 ,
m 3n 7 m n 5 mn k
解得：
m 2 n3 k m n 6
即：k= -6 时方程表示两条直线。
练 习
1．方程x2-y2=0表示的图形是：————
二相交直线 y 0与x - y 0 x
2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线 系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是 垂直 _______.
11
故所求得方程是： 4x+3y-6=0
小 结:
本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 这种方法称之为待定系数法,在已知 函数或曲线类型问题中,我们都可以 利用待定系数法来求解.
练习1
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
4
所以直线的方程为：
3x+2y+4=0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 )x ( 2) y (4 2) 0 1 解得： k 2 1 3 * 1 由已知： 2 4
1.过两直线x - 2y 3 0和x 2y - 9 0的交点和原点
y=x 的直线方程是: ______
2.过两直线 x - 3y 10 0和3x 4y - 2 0的交点 2 ,
2x+3y-2=0 且垂直于直线 x - 2y 4 0的直线是: ______ 3
3.过两直线 x y 8 0和x 2y 1 0的交点 2 ,
直线系方程与对称
6、当a 0，方程 x2 y2 ax - ay 0所表示的图形
关于
A、x 轴对称
B、关于y轴对称
C、直线x - y 0对称 D、直线x y 0对称
基础练习
7、从点 P（- 2，3）发出的光线射到直线 y x 2
上，反射后过点 Q（- 3，2），则反射光线所在
的直线方程为
A、x 2 y -1 0
知识要点
⑶过直线 l1，l2 交点的直线系： 设 l1：A1x B1 y C1 0，l2：A2 x + B2 y + C2 =0
则：A1x B1 y C1 （A2 x B2 y C2） 0 (
R) 表示一束过 l1与 l2交点的直线系 (不包括 l2） 作用: ①设出过两相交直线的交点的直线方程
知识要点
⑵轴对称
• 定义：设平面上有直线 l：Ax By C 0 和两 点 P (x，y），P（' x'，y'）若满足下列两条件：
① PP' l ② ( x + x' ，y + y' ) 满足 l 的方程， 22
则称点 P、P' 关于直线 l 对称，l 为对称轴。若 一图形与另一图形任意一对对应点满足这种关 系，那么这两图形关于 l 对称。有的图形本身就 是一轴对称图形，如抛物线，圆等
对称，则圆C 的方程是
A、(x 1）2 y2 1
B、x2 y2 1
C、x2 （y 1）2 1
D、x2 （y -1）2 1
10、将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0，2)与点
（ 2，0) 重合，且点 (2003，2004) 与点 (m，n）
重合，则 n m
；
基础练习
直线系与圆系方程
2、 过 两 圆Ci : x 2 y2 Di x Ei y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
x2 y2 D1 x E1 y F1 ( x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
圆系方程
常见的圆系方程：
3、 过 直 线 与 圆 的 交 点 的圆 系 方 程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
_x_2___y_2___D__x____E__y___F_____(_x__2 __y__2 __D__x____E y F ) 0
此方程不包括直线 l2 m( A1 x B1 y C1 ) n( A2 x B2 y C2 ) 0
此方程包括所有过两直线交点的直线。
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
解: 整理该方程得： (x 2y 1) m(x y 1) 0
o
x
过定点的直线系方程
• 如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？
已知直线 l1 : A1x B1y C1 0 ( A12 B12 0) 和直线 l2 : A2x B2 y C2 0 (A22 B22 0) 相交，则过该交点的 直线系方程：
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
x2 y2 D1 x E1 y F1 ( x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
圆系方程
常见的圆系方程：
3、 过 直 线 与 圆 的 交 点 的圆 系 方 程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
_x_2___y_2___D__x____E__y___F_____(_x__2 __y__2 __D__x____E y F ) 0
此方程不包括直线 l2 m( A1 x B1 y C1 ) n( A2 x B2 y C2 ) 0
此方程包括所有过两直线交点的直线。
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
解: 整理该方程得： (x 2y 1) m(x y 1) 0
o
x
过定点的直线系方程
• 如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？
已知直线 l1 : A1x B1y C1 0 ( A12 B12 0) 和直线 l2 : A2x B2 y C2 0 (A22 B22 0) 相交，则过该交点的 直线系方程：
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6