直线系方程的分类及应用
直线系方程
4y 10 0 4x 14 0
解得：
x y
7 2 5 2
所以直线恒过定点 7 , 5 2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法：
法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。
那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由 两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这 两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们. 请看下面的例子:
例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0 表示两条直线？
解（待定系数法）：将方程化作：
(3x y)(x y) (7x 5y) k 0
法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（1）：设经二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
y
o
x
4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m( A2x+B2y+C2)=0
其中m为待定系数.
证明： 设(x 0 , y0 )是A1x B1y C1 0与 A2 x B2 y C2 0的交点,
3.过两直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点,
直线系
直线系知识点一、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为： 例1已知直线l ：10x y ++=，l ∥m ，直线n ：210x y -+=被l ，m 截得的线m 的方程.二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为： 例2已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程： 1、2、例 3 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.如法一解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=， ∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，1=， 整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．另一种方法为：思考两种直线系方法的不同之处：四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例4 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.五、求直线系方程过定点问题例5 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标.。
直线系方程的问题分类解析
直线系方程的问题分类解析直线系方程问题是高中数学中的一个重要问题。
本文将介绍直线系在解题中的应用，供同学们参考研究。
一、平行直线系方程在解题中的应用如果与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C′=0（其中A和B不同时为0），则可用平行直线系求解问题。
例如，已知直线l：x+y+1=0，l∥m，直线n：x-2y+1=0被l，m截得的线段长为5，求直线m的方程。
解析：设m的方程为x+y+c=0（其中c≠1），直线l到直线n所处的角为θ，直线m和l间的距离为d。
由题知，kl=-1，kn=1/2.由到角公式得，tanθ=3/4.因此，sinθ=3/5，d=5sinθ=15/5=3.根据平行线间距离公式，|c-1|/√(1^2+1^2)=3/2，解得c=-2或c=4.因此，直线m的方程为x+y+4=0或x+y-2=0.二、垂直直线系方程在解题中的应用如果与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C′=0，则可用垂直直线系求解问题。
例如，已知直线l是曲线y=x+1的一条切线且与直线x-2y+5=0垂直，求直线l的方程。
解析：设l的方程为2x+y+c=0.由l与曲线y=x+1相切得，Δ=22-4(1+c)=0，解得c=0.因此，直线l的方程为2x+y=0.三、过定点直线系方程在解题中的应用如果直线系过定点(x,y)，则直线系方程为A(x-x)+B(y-y)=0（其中A和B不同时为0）。
例如，求过点P(-1,4)圆(x-2)²+(y-3)²=1的切线方程。
解析：设切线方程为y=kx+b，由圆的方程得(x-2)²+(kx+b-3)²=1.将P代入方程得(-1-2)²+(4-3)²=1，因此切线过点P。
又因为切线与圆相切，因此切点只有一个，即判别式Δ=0.解得k=1/4，b=17/4.因此，切线方程为y=x/4+17/4.过定点直线法可以表示过点P(x,y)的所有直线，即直线系。
直线系方程
m 3n 7 m n 5 mn k
解得：
m 2 n3 k m n 6
即：k= -6 时方程表示两条直线。
练 习
1．方程x2-y2=0表示的图形是：————
二相交直线 y 0与x - y 0 x
2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线 系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是 垂直 _______.
11
故所求得方程是： 4x+3y-6=0
小 结:
本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 这种方法称之为待定系数法,在已知 函数或曲线类型问题中,我们都可以 利用待定系数法来求解.
练习1
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
4
所以直线的方程为：
3x+2y+4=0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 )x ( 2) y (4 2) 0 1 解得： k 2 1 3 * 1 由已知： 2 4
1.过两直线x - 2y 3 0和x 2y - 9 0的交点和原点
y=x 的直线方程是: ______
2.过两直线 x - 3y 10 0和3x 4y - 2 0的交点 2 ,
2x+3y-2=0 且垂直于直线 x - 2y 4 0的直线是: ______ 3
3.过两直线 x y 8 0和x 2y 1 0的交点 2 ,
浅谈直线的参数方程及其应用
浅谈直线的参数方程及其应用直线是平面上最简单和基本的几何图形之一，其参数方程是直线方程的一种表示方法。
直线的参数方程的一般形式为:x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上一点的坐标，a和b是与直线方向有关的常数，而t是一个自变量。
这种表示方法的优势在于可以方便地描述直线上的所有点，而不仅仅是端点。
在直线的参数方程中，t的取值范围可以是实数集合中的任意一个数字，因而可以由t的变化来确定了直线上的所有点。
例如，当t取值为0时，参数方程中的x和y分别等于(x0,y0)，即直线上的一点；当t取值为1时，参数方程中的x和y分别等于(x0+a,y0+b)，即直线上的另一个点。
直线的参数方程有广泛的应用，下面我们来介绍其中的几个重要应用。
1.直线的插值和曲线绘制:直线的参数方程可以方便地实现直线的插值和曲线绘制。
通过选取不同的a和b值，可以确定直线上的一系列点，从而连接这些点可以得到平滑的曲线。
2.直线的运动轨迹:在物理学和运动学中，许多物体的运动轨迹可以用直线的参数方程来表示。
通过设定不同的初始位置和速度，可以得到物体在不同时刻的位置，从而得到物体的运动轨迹。
3.直线的几何关系:直线的参数方程可以方便地用来研究直线之间的几何关系。
通过比较直线的参数方程的系数a和b，可以得到它们的斜率和截距，从而判断直线是否平行或垂直，以及它们的相对位置。
4.直线的交点和相交角:直线的参数方程也可以用来求解直线的交点和计算直线的相交角。
通过将两条直线的参数方程联立方程组，可以求解得到它们的交点坐标。
而通过计算直线参数方程中斜率的差值，我们可以得到直线的相交角。
5.直线的最小二乘法拟合:最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合一组散点数据。
直线的参数方程可以用来构建最小二乘法拟合的模型，通过调整参数a和b的值，可以找到最佳拟合直线，从而可以预测和估计其他点的位置。
总之，直线的参数方程在几何学、物理学、运动学等领域中都有广泛的应用。
高考数学复习点拨 直线系方程及其应用
直线系方程及其应用直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线族所满足的其它条件确定出参数的值，进而求出直线方程。
一、直线系方程的定义具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程。
二、直线系方程的常见类型1、过定点),(00y x P 的直线系方程是：)(00x x k y y -=-（k 是参数，直线系中未包括直线0x x =），也就是平常所提到的直线的点斜式方程；2、平行于已经直线0=++C By Ax 的直线系方程是：0=++λBy Ax （λ是参数）；3、垂直于已经直线0=++C By Ax 的直线系方程是：0=+-λAy Bx （λ是参数）；4、过两条已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 的交点的直线系方程是：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ是参数，当0=λ时，方程变为0111=++C y B x A ，恰好表示直线1l ；当0≠λ时，方程表示过直线1l 和2l 的交点，但不含直线1l 和2l 的任一条直线）。
三、直线系方程的应用由于两个独立条件确定一条直线，因此，在求直线方程时，可根据直线系概念，先写出满足其中一个条件的直线系方程，然后用另一个条件求出直线系方程中的参数，即得我们所要求解的直线方程。
平常实际教学中，直线系方程第一、第二和第三种常见类型我们用的比较多，而直线系方程第四种常见类型也有很好的用处。
下面主要阐述直线系方程第四种常见类型的应用。
例1、已知三角形三边所在的直线方程分别为：042=+-y x ，07=-+y x ，01472=--y x ，求边01472=--y x 上的高所在的直线方程。
分析：此题解题方法比较多，常规方法计算较多，若引入直线系方程，则运算简便，解法精彩。
解析：设所求高所在的直线方程为0)7(42=-+++-y x y x λ，即0)74()1()2(=-+-++λλλy x ，则由0)74()1()2(=-+-++λλλy x 与01472=--y x 垂直，可得0)7()1(2)2(=-⨯-+⨯+λλ，解得511=λ， 所以所求高所在的直线方程为01927=-+y x 。
直线系方程
一 直线系方程直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用。
直线系方程的定义：具有某种共同性质的所有直线的集合。
直线系方程的几种类型：一、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（其中C C '≠， C '为待定系数）.【例1】求平行于直线02=--y x 且与它的距离为22的直线方程。
二、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 其中C '为待定系数。
【例2】求经过两条直线01032=+-y x 和0242=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程。
三、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.【例3】求过点(14)P -，的直线且与点(2,3)的距离为1的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.四、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线1l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与直线2l ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.【例4】 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.五、求直线系方程过定点问题【例5】 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.【例6】 已知m 为实数，直线0)11()3()12(=--+--m y m x m 恒过定点，求出定点坐标。
例谈直线系方程的应用技巧
直线系是指具有某种共同特征的直线的集合，表示这个直线系的方程叫做直线系方程，其特点是直线方程中含有一个参数.在解答有关直线的问题时，灵活运用直线系方程，可以起到化难为易、化繁为简的效果.下面主要谈一谈几种常见的直线系方程在解题中的应用.一、与一条直线平行或垂直的直线系方程若已知直线l :Ax +By +C =0,则与l 平行的直线系方程为:Ax +By +t =0(t ≠C ,t 为参数)；与l 垂直的直线系方程为为:Bx -Ay +t =0(t 为参数）.在解答平行或者垂直问题时，可引入参数，根据已知的直线方程，设出与其平行或垂直的直线系方程，将其代入题设中，便可快速求得问题的答案.运用直线系方程解题，能避免求直线上点的坐标、斜率、倾斜角等麻烦，有利于提升解题的效率.例1.已知正方形的中心为E (-1,0)，一条边所在直线的方程为x +3y -5=0,求正方形另外三条边所在直线的方程.分析：我们知道，正方形的对边平行，邻边互相垂直，可根据已知的一条边的直线方程，用直线系方程表示出正方形的另外三条边，再根据正方形的边到中心的距离相等建立关系式，求得参数的取值，即可求得正方形另外三边所在直线的方程.解：设AB 的方程为x +3y -5=0，∵AB ∥CD ,AD ∥BC ,且AD ⊥AB .∴可设CD 的方程为x +3y +t =0,AD ,BC 的方程为3x -y +λ=0.∵中心E (-1,0)到AD ,BC ,CD 的距离均为d ，且d =|-1+3×0-5|12+32=610,-y ×0+=,解得：λ=9或-3,t =7或-5(-5舍去).∴正方形ABCD 另外三边的方程分别为：x +3y +7=0,3x -y +9=0,3x -y -3=0.二、过两直线交点的直线系方程若直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交，那么过l 1与l 2交点的直线系方程为:A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ为参数).若遇到经过两条直线交点的直线问题，就可以直接设出过两直线交点的直线系方程，再根据已知条件求得λ的值，进而求得过交点的直线方程.例2.求过两直线：2x -3y =1与3x +2y =2的交点，且与直线y +3x =0相平行的直线方程.解：设所求的直线方程为：2x -3y -1+λ(3x +2y -2)=0,即(2+3λ)x +(2λ-3)y -1-2λ=0,因为此直线与直线y +3x =0平行，所以-2+3λ2λ-3=-3，解得λ=113，将其代入2x -3y -1+λ(3x +2y -2)=0中，可得：39x +13y -25=0,故所求直线的方程为39x +13y -25=0.先运用直线系方程来表示所求的直线，再根据题意求得参数的值，就能求得直线的方程，该方法能有效地简化运算.对于此类型的题目，还可以采用另一种方法解答,即先求出两直线的交点以及所求直线的斜率，最后根据直线的点斜式方程得出所求的直线方程.三、过定点的直线系方程一般地，过定点(x 0,y 0)的直线系方程为：y -y 0=k (x -x 0)(k 为参数）.在遇到求过定点的直线方程问题时，首先要对直线系方程的斜率存在性进行分类讨论.当斜率存在时，可直接运用上述直线系方程表示出过定点的直线方程，然后将其代入题设中，求得参数k 的值，即可求得直线的方程.例3.求过点P (a ,b )，且在x 轴上的截距为1的直线方程.解：若所求直线的斜率不存在，则x =1;若所求直线的斜率存在，设斜率为k ，则所求直线方程为：y -2=k (x -1).因为在x 轴上的截距为1，可得：1-2k=1,方程无解，故只有x =1的直线方程满足题意.解答此类问题的关键在于明确所求直线的特征，根据已知的直线方程、交点和定点的坐标，选择恰当的直线系方程设出直线方程，求得参数的值，即可求得直线的方程.在解答直线方程问题时，灵活运用直线系方程，可改变常规的解题思路，简化解题的过程，提高解题的效率.（作者单位：江苏省沭阳高级中学）备考指南55。