雷剑梅第9章 一阶电路和二阶电路

t

（ r (0 )为响应的初始值）
2. RC电路和RL电路中的零输入响应电压和零输入响应电
流都以同一时间常数按指数规律变化。经过 4 ~ 5 以后，
可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。
9-3 一阶电路的零状态响应
回顾第四章内容：动态电路零状态响应的求解步骤
1.画出t>0+时刻的电路 2.根据t>0+时刻的电路列出电路输入-输出方程 3.求出方程对应的齐次方程的通解 4.根据响应与激励形式相同，设特解为与激励相同形式 的量，代入方程中，求出特解 5.零状态响应，电容电压或电感电流初值为零 6.根据初值为零求出通解的系数 7.通解加特解得到电路输入-输出方程的解
3. 求解电路的强迫响应 4. 若强迫响应是常量，则 rf (0 ) rf () ，否则，令强迫响应 表达式中的t=0，求得强迫响应的初值
强迫响应怎样求解？
什么是强迫响应？ 强迫响应就是在激励作用下，电路趋于稳态后的响应。 怎样求强迫响应？根据激励类别不同采用不同的求解方法

A. 当激励为常量时，响应也为常量，此时问题转换为求解 t 时，电感元件等效为短路，电容元件等效为开路后，电路中的响 应 B. 当激励为正弦量时，响应为与激励同形式的正弦量，此时问题 转换求解电路的正弦稳态响应，可采用向量法
一阶电路零状态响应解的求法
r rf [r(0 ) rf (0 )]e
t

1. 根据换路前电路的状态，确定待求量的初值
r (0 )
待求量的初值就是电路全响应的初值，通常是电容电压或电感电 流这类状态变量的初值
2. 将电路中除动态元件以外的电路用戴维南等效电路代替， 确定电路时间常数
全响应
一个非零状态的电路，由输入激励和非零原 始储能共同产生的响应 对于线性动态电路而言，全响应等于零输入 响应与零状态响应的叠加。
9-2 一阶电路的零输入响应
只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为 电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。
一、RC电路的零输入响应（ZIR）
图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压uC(0－)＝U0，S
闭合后电路中的响应是零输入响应。
电路方程 初始条件 解得
du C RC uC 0 dt
S(t 0)
+
C
i R
+ uR
uC (0 ) uC (0 ) U 0
uC U 0e
t RC
-
uc
t 0
t
duC U 0 RC i C e dt R
t 0
uC U0
1. 求解RC电路和RL电路零输入响应的输入——输出方程
是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为 r (t ) r (0 )e pt，令
特征根 p 1 ，则 是电路的时间常数，RC电路的时间常 数 RC ，RL电路的时间常数 L R 。因此，零输入响应 亦为
r (t ) r (0 )e
伏特 库仑 安培 秒 [ ] ＝ 安培 ＝秒 安培 伏特
（3） 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反 映过渡特性的一个重要物理量， 越大，电惯性越大，相同 初始值情况下，放电时间越长。
t 0 时， uC (0) U0e0 U0

9-4 一阶电路的全响应
i 非零状态的电路（ uC 0 0 、L 0 0 ），在换路
以后，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应
称为全响应。
对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响 应之和。 对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素 法求解。
例：电路如下图所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在 t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。
例9-3-1 在（a）所示电路中， s U m sin(t ) ， u 开关S在t＝0时闭合，求闭合后电路中的电流i。
S(t 0)
R i L
R
+
uS
(a)
U sm
+ (b)
t
Im
j L
r(0+)、 rf、τ被称为一阶电路的解的三要素。
r rf [r (0 ) rf (0 )]e
t 0
R
t diL uL L RI0 e L dt
t 0
iL I0 0.368I 0 O
uL t
O

t
RI 0
RL电路的时间常数：
则有
L R
t 0
t
iL I 0e

t

diL uL L RI0 e dt
t 0
三、一阶电路的零输入响应的结论
10
iL
解得
iL (0.2 0.2e5t )A t 0
+
2ε (t )V
+
2H u L
(b)
-
uL 2e5t ε(t ) V
iL / A
t 0
uL / V
2
0.2
O
t /s
O
t /s
二、一阶电路零状态响应电路方程及解的一般形式
di L 2 10iL 2 dt
dr ar f (t ) dt 式中r为待求响应，f(t)为由激励决定的右端项，其函数形
对t≥0的电路，以uC 为求解变量可列出描述电路的微分 方程为
duC uC U S RC dt u C (0 ) U 0 以上方程与描述零状态电路的微分方程式比较， 仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似 的形式，即
uC Ke

t

US
代入初始条件 uC (0+)=U0 得
4）响应曲线
uC u()
u(0) uC
O
t
u(0) O t
u() 一阶电路的全响应曲线二
一阶电路的全响应曲线一
一阶动态电路响应的分类：
1）零输入响应与零状态响应
uC (t ) U 0e

t

U s (1 e )
t 时， uC ( ) U0e
1
0.368 0 U
因此， 就是 uC (t0 ) 衰减到 36.8%uC (t0 ) 所需的时间。 uC
U0
3 2 1
0.368U0 O
1
2
3
t
时间常数越大，放电时间越长，换路后电压/电流量变化越缓慢
理论上要经过无限长时间uC才衰减至零，工程上一般 认为换路后，经过 3 ~ 5 时间过渡过程结束。

t

三要素法：
1、三要素法的计算公式
y(t ) y() [ y(0) y()]e

t

y (t ) ----为任意瞬时电路中的待求电压或电流；
y (0) ----为相应所求量的初始值；
y ( ) ----为相应的稳态值；
---为时间常数 。
2、三要素法的计算步骤
1）计算初始值
uC U S (U 0 U S )e U 0e
t

t

t

U S (1 e )

对于阶跃形式的激励或常数形式的激励而言，Us就相当于 电路稳定后的响应，U0相当于电路的初始状态。 用初始状态和稳态响应表示的电路响应表达式为：
y(t ) y() [ y(0) y()]e
t
0

2
3
0.05U0
4
5
uC U0
0.368U0 0.135U0
0.0184U0 0.0068U0
（4）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具 有频率的量纲，称为“固有频率”。
例9-2-1 图示电路，t＝0 时开关S断开，已知开关断 开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应uC、iC、 S(t 0) iR 。 i 10
e

t RC
是一个衰减因子，RC具有时间的量纲。对于给定的
RC电路，R和C的乘积是一个常量，称为RC电路的时间常数， 用 表示，即
RC
关于时间常数 的说明：
（1）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电 路的结构与参数有关，而与激励无关。
（2）对于含电容的一阶电路， RC R：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻
零状态响应（ZSR）：电路在零初始状态下（动态元件初始 储能为零），由外施激励引起的响应。
一、电路方程
图（a）所示电路，已知 iL 0 0 ，开关S闭合以后电路 中的响应即为零状态响应。
S(t 0)
8
a
6 iL
R
+
4V
i
8
+
2H u L
-
-
b
(a)
di 2 L 10iL 2 dt
初始状态：动态电路在t＝0＋时的集合[uC(0＋)、iL(0＋)]
零输入响应
电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原 始储能（即由uC(0－)和iL(0－)决定的电路中的储 能）所引起的响应
动态 电路 响应 分类
零状态响应
电路在零状态下[即uC(0－)＝0 、 iL(0－)＝0]， 仅由输入激励引起的响应
第九章 一阶电路和二阶电路
本章内容提要
1. 零输入响应、零状态响应、全响应的概念
2.一阶动态电路（RC电路、RL电路）的零输入 响应及其标准求解方法 3.一阶动态电路的时间常数及其物理含义 4.一阶动态电路的零状态响应及其求解方法 5.一阶动态电路的全响应求解方法：三要素法 6.电容电压和电感电流不连续电路的响应求解