8上14.5《一次函数》课堂教学实录
《一次函数》教案(第1课时)
一次函数教案第一课时年级八年级课题课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能１．掌握一次函数解析式的特点及意义．２．知道一次函数与正比例函数关系．３．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律通过实例总结函数三种表示方法。
过程方法１．通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性．２．进一步提高分析概括、总结归纳能力．情感态度利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．教学重点１．一次函数解析式特点．２．一次函数图象特征与解析式联系规律．教学难点１．一次函数与正比例函数关系．２．一次函数解析式的联系规律教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入Ⅰ．提出问题，创设情境问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm 时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y•与x 的关系．分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：y=15-6x （x≥0）当然，这个函数也可表示为：y=-6x+15 （x≥0）当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题．教师出示问题，学生讨论。
教师根据问题设计引导学生写出函数解析式。
学生口述老师在黑板上板演这几个函数的解析式。
数学来源于生活又去指导生活。
培养学生的发二、探究新知我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？１．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C 与温度t（℃）有关，即C•的值约是t的7倍与35的差．２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值．３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）．４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化．这些问题的函数解析式分别为：１．C=7t-35．２．G=h-105．３．y=0．01x+22．４．y=-5x+50．它们的形式与y=-6x+15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．如果我们用b来表示这个常数的话．•这些函数形式就可以写成：y=kx+b（k≠0）一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linearfunction）．当b=0时，y=kx+b 即y=kx．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．以函数解析式为y=10+0.05t (0≤t≤5).(画图象略)(2)根据图象或表中数据规律都能估计出再过2小时的水位高度为10.35米，但不如利用解析式更为简便、准确：把t=7代入解析式，求得y=10.35米. 点拨:解决函数问题，应优先考虑求解析式，解析式确定后许多问题便迎刃而解.2、归纳：题目中只给出了列表法，我们通过分析求出解析式并画出了图象，从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化。
最新人教版八年级数学第14章一次函数教案范文
最新人教版八年级数学第14章一次函数教案范文备课应有老师自己的东西，教案也应突出教参所没有的内容。
不仅有对教参的割舍与放弃，也有详细的知识拓展与补充，以及传授的方法与步骤。
今天WTT在这里整理了一些最新人教版八年级数学第14章一次函数教案范文，我们吧!最新人教版八年级数学第14章一次函数教案范文1一、教学目的：理解分式乘除法的法那么，会进展分式乘除运算.二、重点、难点1.重点：会用分式乘除的法那么进展运算.2.难点：灵敏运用分式乘除的法那么进展运算 .3. 难点与打破方法分式的运算以有理数和整式的运算为根底，以因式分解为手段，经过转化后往经过转化后往往可视为整式的运算.分式的乘除的法那么和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，教给学生类比的数学思想方法能较好地实现新知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取知识.老师要重点处理分式中有别于分数运算的有关内容，使学生标准掌握，特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实.三、例、习题的意图分析^p1.P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法那么.但分析^p 题意、列式子时，不易耽误太多时间.2.P14例1应用分式的乘除法法那么进展计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.3.P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进展约分.4.P14例3是应用题，题意也比拟容易理解，式子也比拟容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1四、课堂引入1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进展分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法那么.1. P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法那么.3.[提问] P14[考虑]类比分数的乘除法法那么，你能说出分式的乘除法法那么?类似分数的乘除法法那么得到分式的乘除法法那么的结论.五、例题讲解P14例1.[分析^p ]这道例题就是直接应用分式的乘除法法那么进展运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.P15例2.[分析^p ]这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进展约分.结果的分母假如不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.P15例.[分析^p ]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量?先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是、，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1 最新人教版八年级数学第14章一次函数教案范文2一、教学目的1.理解分式的根本性质.2.会用分式的根本性质将分式变形.二、重点、难点1.重点: 理解分式的根本性质.2.难点: 灵敏应用分式的根本性质将分式变形.3.认知难点与打破方法教学难点是灵敏应用分式的根本性质将分式变形.打破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的根本性质，再用类比的方法得出分式的根本性质.应用分式的根本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的根底上灵敏地将分式变形.三、例、习题的意图分析^p1.P7的例2是使学生观察等式左右的的分母(或分子)，乘以或除以了什么整式，然后应用分式的根本性质，相应地把分子(或分母)乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的根本性质进展约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式;通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的次幂的积，作为最简公分母.老师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3.P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的根本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的根本性质的应用之一，所以补充例5.四、课堂引入1.请同学们考虑：与相等吗? 与相等吗?为什么?2.说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形根据?3.提问分数的根本性质，让学生类比猜测出分式的根本性质.五、例题讲解P7例2.填空：[分析^p ]应用分式的根本性质把的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3.约分：[分析^p ] 约分是应用分式的根本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4.通分：[分析^p ] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的次幂的积，作为最简公分母.(补充)例5.不改变分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“-”号.，，，，。
8上148《一次函数实际应用》课堂教学实录.doc
课堂实录一次函数实际应用【预习反馈】师：（微笑）请同学们回顾一下正比例函数与一次函数图象的相关性质.（学生很感兴趣，轻声交谈.）思考片刻生：（抢着站起来）我知道正比例函数与一次函数的图彖都是一条直线.师：（赞许地点点头），很好，真是有心人！还有补充的吗？生：（很有把握地）当k >0吋，y随兀的增大而增大；当k < 0时，y随x的增大而减小.师：好.还有哪位同学说的更详细吗？生：y = kx（即£不等于0, y与兀成正比）当R>0时，直线必通过一、三象限，y随兀的增大而增大；当£<0时，直线必通过二、四象限，y随兀的增大而减小.y = kx-\rb当k>0,b >0,这时此函数的图象经过一，二，三象限.当R>0,b <0,这时此函数的图彖经过一，三，四彖限.当k<0.b >0,这吋此函数的图象经过一，二，四象限.当R<0,b <0,这时此函数的图彖经过一，三，四彖限.生：（赶紧补充）当吋（即y = kx）,一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次两数师：你们真棒.（学生会心地笑）师：请看第二题：某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1000元，投资一年可增加2500元产值.那么总产值y （万元）与增加的投资额兀（万元）之间的函数关系式为.生.『=30 + 2.5兀师：很好.请看第三题：某市电话的刀租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元.①写出每月电话费y （元）与通话次数x之间的函数关系式；②分别求出刀通话50次、100次的电话费；③如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数.牛.y = 20 + 0」3（兀一60）（x > 60）生：通话50次、100次的电话费分别是20元，25.2元. 师：对.很好.笫三小题呢？生：（抢着站起来）刀通话的次数为120.师：很好.【评析】鼓励学生自主探索与合作交流，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.提高学生的分析问题、解决问题和类比、归纳的能力.这样使数学的学习方式不再是单一的，枯燥的，以练习为主的方式：它是一个生动活泼，主动的和富有个性的充满生命力的过程.【情境导入】师：假如你是单位领导，你的单位急需用车，但乂不准备买车，你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同，设汽车每月行驶兀千米，应付给出租车公司3 4的月租费是儿元，儿=一兀+ 1100 （x>0）,应付给个体车主的刀租费是儿元，儿二一兀5 3 （x>0）.请你作出决定租哪家的车合算.师：（颔首微笑）同学们动动脑筋哟！【评析】提醒同学，在我们的现实牛活中，蕴含着大量的数学问题，我们应当主动去寻找问题，并用所学的数学知识去解决一个一个的问题.【探索新知】师：（描述）课堂上同学们都争先恐后回答问题，生：（脱口而岀）图像法.师：（征求具他同学意见）人家觉得这个方法怎么样？生：（鼓掌同意）真好！师：（试探）那咱们试试？（皱眉）具体说明一下.生：（口信地）由图像知当兀=1500时y = 200°,两家公司收费一样.当0 VXV1500时，租个体车合算.当兀>1500 时，租国营出租年合算.师：根据图象，你能很快的回答下列问题吗？①如果该单位佔计每刀的行程约为X00千米，那么这个单位租哪家的车合算？②如果该单位估计每月的行程约为2300 T•米，那么这个单位租哪家的车合算？生：（挠挠脑袋）我认为每刀的行程约为800 T米时，租个体车合算.若每月的行程约为2300千米，租国营出租车合算.师：很好.【评析】通过，使学牛感受一次函数在牛活中的广泛应用，体会利用一次函数解决问题的好处.激发学生学习函数的兴趣，同时培养学生应用数学的意识•培养学生从图像中获取信息解决实际问题的能力.师：通过“租车”问题的解决，我们发现利用函数图彖可以很直观的解决问题.在我们的生活中还冇很多类似的问题.比如，现在手机像固定电话一样应用十分广泛，但是手机的付费方式种类很多，像联通、移动等等.那么我们选择那种好呢？现提供两种付费方式供人家选择.!）Hi：下面，我们来看问题2：甲、乙两个通信公司分别制定了一种移动电话的收费办法.甲公司规定：每月收取月租费50元，每通话一分钟收费0.4元；乙公司规定：不收取月租费，每通话一分钟收费0.6元，（通话不到一分钟按一分钟收费）设按照甲、乙两个通信公司的收费标准通话/分钟的话费分别为戸元和儿元.那么，应当怎样选择通信公司才能节省话费？师：先小组讨论一下.（四人学习小组展开热烈讨论）教师走到学生中参与讨论（大约过了10分钟）生：（一个小组派i代表到讲台上来发言）生：我觉的先要把甲，乙公司收费的式子列出來.我们小组通过讨论最后的结果是甲公司：x =50 + 0.0 乙公司：力=0血师：很好！完全正确.然后呢?生：当2250吋，两家公司收费一样.（说完赶紧上位了）（还没有等老师开口，另一组的一同学走上了讲台）生：他的答案不完整，我來补充.一共三种情况.当°V/V25°时，选择乙公司合算；当' = 250时，两家公司收费一样；当r>250时，选择甲公司合算.师：很好!（又一学生走上讲台）牛：除了求出函数的解析式的方法外，还可以用刚才的图像法解决这道题.师：很好！你们真棒！【评析】培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力•转化与数形结合的思想方法.培养他们合作学习的精神.大胆阐述自己的观点.课堂上学生畅所欲言，教室里沸腾起來.这时应多表扬孩子善于观察善于思考.【巩固新知】师：刚才同学们的表现都很出色•下而通过一练习检查一下你们今天学习情况如何？冇没冇信心做好这道题？（生齐说有）师：某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟,办卡费每月12元，租碟费每张0.4元,若每月租碟数量为兀张.设零星租碟方式应付金额儿元），会员卡租碟方式应付金额匕（元）•请你制作一张“刀租碟费用”的函数图彖, 帮助来这家店租碟的人判断选取那种租碟方式更合算？（生做题，师巡视）师：同学们真聪明，老师为你们的成功感到高兴，记住：只要勇于探索，就一定能成功.【评析】学生独口完成后组内交流，并选一些同学的作业在实物投影仪上展示.全体师生对作品予以评价.在本次活动中教师应重点关注：①学生对一次函数的运用能力；②学生在作品中所体现的悄感态度和价值观.师：最后，谈谈本节课你有哪些收获？生：我明白了一次函数在生活中冇着广泛的应用，所以，我们要学好数学，就能解决更多的实际问题.生：在实际问题中，使枯燥乏味的数字，变得有趣起來，激发了我们学数学的兴趣和灵感.生：我学会了用图形法解决一次函数的实际应用问题.生：我还学会了用解析式法解决一次函数的实际应用问题.师：同学们谈得好极了，收获真不小.在我们的现实牛活中，蕴含著大量的数学问题, 我们可要主动去寻找问题，并用所学的数学知识去解决一个一个的问题.有信心吗？生：（齐说）有师：请大家记好今天的作业.。
一次函数的应用(分段函数)教学实录
一次函数的应用（分段函数）教学实录设计说明：本文是人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》八年级上第十一章的内容．本节内容是中考的一个热点，因此我特设计了一节课的教学．我以问题的形式将学习内容展现给学生，让学生的思维在问题的牵动之下实质性的动起来．通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的合作精神和创新能力；通过教师的引导与点拨，形成热烈而有序的师生互动场面．1创设情景，导入新课师：同学们，你们还记得龟兔赛跑的故事吗？生：（齐答）记得．师：谁来讲给大家听听？生1：（上讲台讲）一天，乌龟和兔子赛跑，他们来到了同一个地方同时起跑，不多一会，兔子将乌龟甩下很远，它想，乌龟跑得也太慢了吧，我来睡一觉它也跑不赢我，于是就呼呼的睡了起来．但乌龟仍然坚持不懈，等兔子一觉醒来后，发现乌龟马上就要到终点了，它赶快追也来不及了，最终乌龟先达到了终点．师：这个故事告诉我们一个什么道理？生2：我们不管做什么事都不要骄傲，要有危机感，应该不断进取．生3：我们要学习乌龟奋勇拼搏、勇往直前的精神，“笨鸟先飞”“勤能补拙”嘛．图1师：同学们说得真好！这是乌龟赛跑的路程图像，你能说出哪一个是乌龟的路程图像，哪一个是兔子的路程图像吗？（出示图像），如图1生4：图像甲是乌龟的路程图像，图像乙是兔子的路程图像．生5：乌龟的路程图像是以原点为端点的线段，它是正比例函数图像的一部分；乙是以原点为起点的折线．师：兔子运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数的解析式应该怎样来表示呢？（学生疑虑，产生期待的眼神）今天我们就一起来探讨吧！（设计意图：通过讲故事来加强对学生的思想道德教育，同时复习了正比例函数的图像；通过对“兔子运动的路程图像又是什么函数的图像”这一问题的设置，激发学生的学习欲望，导入新课的学习．）2抛出问题，学生探讨小芳以200m/分钟的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分钟速度提高20m/分钟,又匀速跑了10分钟．试写出这段时间里她的跑步速度y(单位：m/分）随时间x（单位：分钟）变化的函数关系式，并画出函数图像．师：默读问题，你能从本题中获取哪些信息？生6：小芳在整个运动过程中的速度变化分两个部分：先是加速，然后匀速．生7：我接着生6的说，我觉得在写函数关系式时应该分两部分，考虑到实际情况，自变量x的取值范围应该是：0≤x≤5和5＜x≤15．师：（疑惑）我们以前都是用一个解析式来表示一个函数，他的说法对吗？生8：我觉得生7的说法是正确的，因为y在整个变化过程中分两部分，而且这两部分的意义不相同，所以，不能用同一个解析式来表示两个不同的意义，只能用两个解析式来表示．生9：能求出第一分钟的速度为220m/分，第二分钟的速度为240m/分钟，第三分钟的速度为260m/分钟……师：有这个必要把每分钟的速度分别求出来吗？生10：没有，因为在前5分钟，每分钟提高的速度都是20m，可以用含有x的代数式去表示y，即 y=200+20x (教师板书）师：在5＜x≤15这个范围内应抓住什么去理解呢？生11：我觉得“匀速”一词很关键．“匀速”则说明了速度不变，也就是说y不随时间x的变化而变化．所以在5＜x≤15这个范围内的速度为200+20×5=300m/分．师：因此，在5＜x≤15这个范围内的解析式可表示为：y=300(教师板书）生：（疑惑，纷纷议论）这不是用含x的代数式去表示y 的呀，它是一个函数的解析式吗？师：当y不随自变量的变化而变化时，y就是等于一个常数，我们把它叫做常值函数（学生的脸上顿时绽开了笑容），你会画这个函数的图像吗？生12：会，应该画两段．生13：我把生12的补充完整．因为小芳有初速度，所以第一段应该是以（0，200）为起点到（5，300）为终点的一次函数的图像的一部分；因为在5＜x≤15这个范围内速度未变，所以，第二段应该是以（5，300）为起点到（15，300）为终点的线段．师：说得太好了！我们以热烈的掌声鼓励他．（学生画出图像）通过完成本题你有什么收获？生14：今天的例题要用两个解析式来表示一个函数，它的图像是由两条线段构成的折线段．生15：我知道了常值函数的图像平行于坐标轴．（x轴）生16：做今天学习的这类题就是要找准题目中有几层意思（或者自变量几段范围），每一层意思都要用一个解析式来表示，有几层意思，就要用几个解析式来表示这个函数．师：我们把今天学习的这种函数叫分段函数．（板书课题）3及时练习，巩固知识如图2，某市出租车收费标准如下：3km以内收费6元；3km到10km部分每千米加收1．3元；10km以上的部分每千米加收1．9元．那么出租车收费y(单位：元）与行驶路程x(单位：km）的函数关系用图像表示为（）．图2生17：应该选（B）．因为所给问题向我们表达了三层意思，即0＜x＜3, 3≤x＜10,10＜x，所以应写成三个解析式，故排除了（A）、（C），又因为在10＜x这个范围内每千米加收1．9元，比在3≤x＜10这个范围内的每千米加收的多，图像应继续呈上升趋势，所以排除（D），故应选（B）．4继续练习，加深理解某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费的办法．某户居民应交水费y(单位：元）与用水量x(单位：吨）的函数关系式图3如图3：（1）分别写出当0≤x≤15和15≤x时，y与x的函数解析式；（2）某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？师：比较此题与例题有什么不同？生18：例题是先根据题意写解析式，再画图像；此题则是先有图像，再根据图像求解析式．师：对于此类题应该认真观察图像，从图像中挖掘出条件，然后根据以前学习的知识求解．生19：从图像中我观察到了该图像分两段，即0≤x＜15和15≤x两部分，则应写出两个解析式．生20：第一段是经过原点的正比例函数图像的一部分，因此，可设y=kx (k≠0)，将点（15，20）的坐标代入y=kx 中即可求解；第二段是一次函数的图像的一部分，可设y=kx+b (k≠0)，将点（15，20）和（20，30）的坐标代入y=kx+b中即可求解．师：说得真好！你们自己在练习本上完成吧（教师巡视，指导差生）．5运用知识，深化理解师：同学们，这节课我们教室里有这么多的老师听课，你们紧张吗？（学生纷纷议论）人的紧张程度是由人的心跳次数表现出来的，如果用横轴t表示时间，纵轴y表示心跳次数，你能用函数图像大致表示出这节课你的心情变化吗？抽三名不同心情变化的学生在黑板上画，其余的同学在练习本上画，如图4．图4（三位同学画好后，其余的同学在议论并不时发出笑声）师：老师刚才观察到了有的同学在笑，我想一定有蹊跷吧，谁来告诉我．生24：生22画错了，y轴表示心跳次数，函数图像不能从（0，0）开始，若从（0，0）开始表示以前没有心跳（此时师生笑开了），应该从y轴的正半轴某个点开始．此时生22很不好意思．师：我知道，大家的笑声中不是对该同学的嘲讽，而是在提醒他在以后的作业中要细心．从这个错例也给我们每位同学警示，在画函数图像时要考虑到自变量的实际情况，不要只为画图而画图，否则就容易闹出笑话．（设计意图：通过这个环节的设置，让学生明白数学知识能解决生活实际问题，通过对生22的评析更让学生深刻体会到学习数学来不得半点马虎，必须事实求是，尊重事实，养成理论联系实际去分析问题的习惯．）图5师：听语文老师说，我们班的同学想象很丰富，能自己编故事，你能看着这个图像编一个故事吗？图5反映了一个人离家的距离y(单位：km)与时间（单位：x)的关系，请你根据图像编一个故事．此时课堂又热闹起来了……（设计意图：对这个环节的设置旨意在于培养学生的创新意识和口头表达能力，同时使整节课首尾呼应，浑然一体．）（在写稿过程中得到了陶兴模老师的指导，在此表示感谢！）“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
2019-2020年八年级上册《第14章一次函数》全章教学设计
2019-2020年八年级上册《第14章一次函数》全章教学设计教学目标（一）教学知识点１．认识变量、常量．２．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．（二）能力训练要求１．经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．２．逐步感知变量间的关系．（三）情感与价值观要求１．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．２．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．教学重点１．认识变量、常量．２．用式子表示变量间关系．教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．•行驶时间为t小时．１．请同学们根据题意填写下表：２．在以上这个过程中，变化的量是________．变变化的量是__________．３．试用含t的式子表示s．通过本节课的学习，相信大家一定能够解决这些问题．Ⅱ．导入新课我们首先来思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程．其实现实生活中有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的值是按照某种规律变化，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、•里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时．[活动一]活动内容设计：１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的式子表示y?２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？设计意图：让学生熟练从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律，并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量．教师活动：引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．学生活动：在教师的启发引导下，经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论．活动结论：１．早场电影票房收入：150×10=1500（元）日场电影票房收入：205×10=2050（元）晚场电影票房收入：310×10=3100（元）关系式：y=10x２．挂1kg重物时弹簧长度： 1×0．5+10=10．5（cm）挂2kg重物时弹簧长度：2×0．5+10=11（cm）挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5（cm）关系式：L=0．5m+10[师]通过上述活动，我们清楚地认识到，要想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（constant）．如上述两个过程中，售出票数x、票房收入y；重物质量m，•弹簧长度L都是变量．而票价10元，弹簧原长10cm……都是常量．其次通过尝试运算，猜想探究找出变量间的变化规律，并加以验证，才能保证写出准确无误的关系式．[活动二]活动内容设计：１．要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？２．用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．•记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，面积为Ｓcm2．怎样用含有x的式子表示Ｓ？设计意图：进一步熟悉巩固前面总结的探究方法，并学会利用以前所学的一些公式来帮助分析解决问题．教师活动：引导学生熟悉巩固前面所总结的探究方法，提醒他们可以应用有关公式来帮助分析解决问题．学生活动：利用上面总结的经验探究规律，并能利用有关公式顺利完成题目要求．活动过程及结论：１．要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=πr2⇒面积为10cm2的圆半径≈1．78（cm）面积为20cm2的圆半径2．52（cm）关系式：r２．因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm．若长为1cm，则宽为5-1=4（cm）据矩形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm2）若长为2cm，则宽为5-2=3（cm）面积Ｓ＝2×（5-2）=6（cm2）……若长为xcm，则宽为5-x（cm）面积 S=x·（5-x）=5x-x2（cm2）[师]从以上两个题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识公式进行分析寻找，以便尽快找出之间关系，确定关系式．Ⅲ．随堂练习１．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量与变量，并写出关系式．２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h•变化关系式，并指出其中常量与变量．解：１．买1支铅笔价值 1×0．2=0．2（元）买2支铅笔价值 2×0．2=0．4（元）……买x支铅笔价值 x×0．2=0．2x（元）所以 y=0．2x其中单价0．2元／支是常量，总价y元与支数x是变量．２．根据三角形面积公式可知：当高h为1cm时，面积Ｓ＝12×5×1=2．5cm2当高h为2cm时，面积Ｓ＝12×5×2=5cm2……当高为hcm，面积Ｓ＝12×5×h=2．5hcm2其中底边长为5cm是常量，面积Ｓ与高h是变量．Ⅳ．课时小结本节课从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要意义．１．确定事物变化中的变量与常量．２．尝试运算寻求变量间存在的规律．３．利用学过的有关知识公式确定关系区．Ⅴ．课后作业课后思考题、练习题．课后反思：§14．1．2 函数教学目标（一）教学知识点１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．２．进一步理解掌握确定函数关系式．３．会确定自变量取值范围．（二）能力训练要求１．经历回顾思考过程、提高归纳总结概括能力．２．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．（三）情感与价值观要求１．积极参与活动、提高学习兴趣．２．形成合作交流意识及独立思考的习惯．教学重点１．进一步掌握确定函数关系的方法．２．确定自变量的取值范围．教学难点认识函数、领会函数的意义．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容．Ⅱ．导入新课我们首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x 的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．据此我们可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]活动内容设计：１．在计算器上按照下面的程序进行操作：显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？２．在计算器上按照下面的程序进行操作．所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．设计意图：通过在计算器上操作及填表分析，进一步认识函数意义，经过对表中数据分析推理验证以至最后确定按键、写表达式逐步掌握列函数式的方法．教师活动：引导学生正确操作、分析思考、寻求理由证据，确定按键及函数关系式．学生活动：在教师引导下，１．经历操作、填表、分析、推理、确认等一系列过程，更加深刻理解函数意义．２．通过观察、讨论、分析、猜想、验证、确立等一系列过程，进一步掌握建立函数关系式的办法．活动结论：１．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．这两个键，且每个x•的值都有２．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1 [师]通过以后活动，我们对函数意义认识更深刻了，并完善掌握了函数关系式确定的方法．为了进一步学好函数，我们再来完成一个问题．[活动二]活动内容设计：一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．１．写出表示y与x的函数关系式．２．指出自变量x的取值范围．３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？设计意图：通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．教师活动：注意学生在活动中对函数意义的认识水平，引导其总结归纳自变量取值范围的方法．学生活动：通过活动，感知体会函数意义，学会确立函数关系式及自变量取值范围，并能掌握其一般方法．活动过程及结果：１．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶里程x时耗油为：0.1x油箱中剩余油量为：50-0.1x所以函数关系式为：y=50-0.1x２．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x•代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0．1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500３．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x得： y=50-0．1×200=30汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．Ⅲ．随堂练习下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．１．改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．２．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n•的变化而变化．Ⅳ．课时小结本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力．Ⅴ．课后作业习题14．1．1－1、2、3、4题．课后反思：§14．1．3 函数图象教学目标（一）教学知识点１．学会用列表、描点、连线画函数图象．２．学会观察、分析函数图象信息．（二）能力训练要求１．提高识图能力、分析函数图象信息能力．２．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力．（三）情感与价值观要求１．体会数学方法的多样性，提高学习兴趣．２．认识数学在解决问题中的重要作用从而加深对数学的认识．教学重点１．函数图象的画法．２．观察分析图象信息．教学难点分析概括图象中的信息．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．Ⅱ．导入新课我们先来看这样一个问题：正方形的边长x与面积Ｓ的函数关系是什么？其中自变量x的取值范围是什么？计算并填写下表：大家思考一下，表示x与Ｓ的对应关系的点有多少个？•如果全在坐标中指出的话是什么样子？可以讨论一下，然后发表你们的看法，建议大家不妨动手画画看．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．•上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象．函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．[活动一]活动内容设计：下图是自动测温仪记录的图象，•它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？如有条件，你可以用带有温度探头的计算机（器），测试、记录温度和绘制表示温度变化的图象．活动设计意图：１．通过图象进一步认识函数意义．２．体会图象的直观性、优越性．３．提高对图象的分析能力、认识水平．４．掌握函数变化规律．学生活动：在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．活动结论：１．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．２．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．３．从0时至4时气温呈下降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14•时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态．４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．５．如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温变化规律． [活动二]下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．•其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．根据图象回答下列问题：１．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？２．小明给菜地浇水用了多少时间？３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？４．小明给玉米地锄草用了多长时间？５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？学生活动：在教师引导下，积极思考、大胆参与、探求答案．活动结论：１．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，•小明走到菜地用了15分钟．２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，•小明从菜地到玉米地用了12分钟．４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．５．由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，•小明从玉米地走回家用了25分钟．所以平均速度为：2÷25=0．08（千米／分钟）．[师]我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？例：在下列式子中，对于x的每个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数．请画出这些函数的图象．１．y=x+0．5 ２．y=6x（x>0）解：１．y=x+0．5从上式可看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数．从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值．列表如下：根据表中数值描点（x ，y ），并用光滑曲线连结这些点．从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x 由小变大时，y=x+0．5随之增大． ２．y=6x（x>0） 自变量的取值为x>0的实数，即正实数． 按条件选取自变量值，并计算y 值列表：据表中数值描点（x ，y ）并用光滑曲线连结这些点，就得到图象．从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x 由小变大时，y ＝6x随之减小． [师]我们来总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤，好吗？[生]由以上例题可以知道：第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． Ⅲ．随堂练习 P114练习 Ⅳ．课时小结本节通过两个活动，学会了分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想． Ⅴ．课后作业习题14．1─5、6、7题．课后反思：§14．1．4 函数的表示方法教学目标（一）教学知识点１．总结函数三种表示方法．２．了解三种表示方法的优缺点．３．会根据具体情况选择适当方法．（二）能力训练要求１．经历回顾思考，训练提高归纳总结能力．２．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力．（三）情感与价值观要求１．积极参与活动，提高学习兴趣．２．形成合作交流意识及独立思考习惯．教学重点１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点．２．能按具体情况选用适当方法．教学难点函数表示方法的应用．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？这就是我们这节课要研究的内容．Ⅱ．导入新课我们首先思考刚才提出的第一个问题．说出了三种表示方法的优点，那么他们又各有什么不足之处呢？我们就从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点．请同学们根据自己的看法填表：从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．我们来共同看一个例子．１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？分析：记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系．•我们现在需要从这些数值找出这两个表量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式来，再画出函数图象，进而预测水位．[师]就上面的例子中我提几个问题大家思考：１．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？３．函数的三种表示方法之间是否可以转?Ⅲ．随堂练习甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是：甲车为：20x 乙车为：25x两车行驶路程差为：25x-20x=5x两车之间距离为：500-5x所以：y随x变化的函数关系式为：y=500-5x 0≤x≤100Ⅳ．课时小结通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化，为下面学习数形结合的函数做好了准备．Ⅴ．课后作业习题14．1─8、9、11、12题．课后反思：§11．2．1 正比例函数教学目标（一）教学知识点１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．（二）能力训练要求１．经历思考、探究过程、发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．２．体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题．３．体会解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新意识．（三）情感与价值观要求１．积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．２．形成合作交流、独立思考的学习习惯．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．• 一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？[活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x学生活动：利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识．活动过程与结论：１．函数y=2x画出图象如图（1）．２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．[活动二]经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？学生活动：在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由．活动过程及结论：。
2009-2010新人教八年级数学（上）第14章《一次函数》整章教案、学案及部分
14.1.1 变量【教学目标】1.知识与能力（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律．（2）从具体的事例了解常量、变量的意义．（3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．2.过程与方法在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．3.情感、态度与价值观通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣．【教学重点】（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律．（2）从具体的事例了解常量、变量的意义．（3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．【教学难点】函数的概念的理解．【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．【教学过程】一、设置问题情境、激发学生的学习兴趣和学习欲望问题大家都爱看侦探小说《柯南》吧，其中有这样一个故事：柯南到了一个案发现场后，发现现场只留下一串脚印，但是柯南很快推断出了嫌疑犯的身高，你知道他为什么如此之快地推断出了嫌疑犯的身高吗？学生思考：脚的大小与身高有一定的关系．得出结论：人们的身高在一般情况下随着脚的大小的变化而变化．其实生活中还有很多类似的现象．二、探究具体问题的数量关系，感受变量和常量的含义我们生活之中常常会遇见许多数量，这些数量之间的关系都是怎样表达的呢？让我们看一些具体的实例（大屏幕显示）．1．用10 m长的绳子围成一个长方形，改变长方形的长，观察长方形的面积如何变化，若设长方形的长是x m，面积为y m2，则y和x应当满足什么关系？（y＝x（5－x））2．银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：观察上表，说说随着存期x 的增长，相应的利率y 是如何变化的．这是一个用表格形式表示的数量关系的例子，同学们能否再举一个类似的例子．3．一辆汽车以60 km / h 的速度行驶，行驶的路程s （千米）和行驶的时间t （小时）有怎样的关系?学生回答：s = 60 t （板书）．4．圆的面积和它的半径之间的关系是2S R π=（板书）．学生活动设计：在上述四个实例的解决过程中，体会在一个变化过程中各个量的变化规律，进而发现有的量变化、有的量不变，最后在教师的引导下进行归纳．教师活动设计：概括：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，出现了各种各样的量，有些量，它们始终保持不变．我们称之为常量（constant ），如：60，π，而有些量，在某一变化过程中，可以取不同数值，我们称之为变量（variable ）．三、问题引申，探索函数的概念在前面研究的每个问题中，都出现了两个变量，它们之间是相互影响，相互制约的．问题请同学们自己分析实例3中各个变量之间的关系，进而再分析上述所有实例中的各个变量之间是否有类似的关系．学生活动设计：小组活动，合作讨论，然后进行交流．学生分析：s 和t 两个变量之间是互相关联，互相影响的，对于t 每给定的一个值，变量s 都有一个唯一确定的值和它对应，如t = 1时，s = 60；t = 2时，s = 120等．对于其他问题，都有着这样一个规律：上述每个实例中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应．教师活动设计：让学生体会上述两个变量之间的变化，引导学生总结．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量，例如，x 、y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量．例如，s = 60 t 中（1）t 是自变量，s 是t 的函数；（2）函数的定义域是t 的取值范围，0t ≥．又如：圆的面积和它的半径之间的关系是2S R π=．（1）π是常量，S ，R 是变量；（2）R 是自变量，S 是R 的函数；（3）函数的定义域是0R >．四、应用提高、拓展创新探究1：例1 一辆汽车以每时40千米的速度行驶，行驶路程为s ，行驶时间为t （时）.（1）填空s= ______. ②（s=40t ）（2）在②式中，哪是常量?哪是变量? （答：案40是常量，s ，t 是变量）（3）请填表：（4）在上面的填表过程中，t 与s 哪个是自变量?哪个是自变量的函数?答t 是自变量，s 是自变量t 的函数.例2 A 表示圆的面积，r 表示圆的半径（1）填空：A=________. ③ （A=πr2）（2）在③式中，哪是常量?哪是变量? （π是常量，A ，r 是变量）（3）请填表：（4）在上面的填表过程中，A 与r 哪个是自变量?哪个是自变量的函数?答：r 是自变量， A 是自变量r 的函数.学生活动设计：学生独立完成探究，并交流。
人教版八年级数学上册第14章《一次函数》教案
第十四章一次函数14.1.1 变量教学目标1．知识与技能了解变量的概念，会区别常量与变量．2．过程与方法经历探索变量的过程，感受常量与变量的意义．3．情感、态度与价值观培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想．重、难点与关键1．重点：理解变化与对应的内涵．2．难点：理解变化与对应的内涵．3．关键：从实际问题出发，引入变量，由具体到抽象的认识事物．教学方法采用“情境教学法”进行教学，让学生在熟悉的背景中认知常量与变量．教学过程一、创设情境，揭示课题【情境思考1】汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s．t/时 1 2 3 4 5s/千米【教师活动】提出问题，引导学生思考问题，提问个别学生．【学生活动】先独立思考后再与同伴交流，填出表格中问题：s：60千米，•120千米，180千米，240千米，300千米．推出含t的等式为s=60t（t≥0）．【情境思考2】每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，•晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票x张，票房收入为y元，•怎样用含x的式子表示y？【教师活动】引导学生思索，然后从学生中推荐好的方法．【学生活动】分四人小组合作交流，通过交流，部分学生上讲台演示：早、中、晚三场电影的票房收入各为：1500元、2050元、3100元；含x的式子表示y为：y=10x．【情境思考3】在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m（单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度L（单位：cm）？【教师活动】启发诱导，并让出讲台，请学生上台板演．【学生活动】观察图形，先独立思考后再与同桌交流，得到关系式为L=10+0.5x（x 表示悬挂重物的重量）．【情境思考4】要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r？【教师活动】巡视、观察学生的思考，并及时加以启发，请一位学生上讲台演示．【学生活动】独立思考，把问题解决．根据圆的面积公式S=πr2，得出面积为10cm2时，圆的半径为10πcm；面积为20cm2时，圆半径为20πcm；关系式r=sπ．【情境思考5】如课本图14．1-1所示，用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，•观察长方形的面积怎样变化，记录不同的长方形长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示S？【教师活动】引导学生做实验．【学生活动】拿出准备好的线，按要求进行实践、记录、计算、寻找规律，得到S 与x的关系式为S=x（5-x）．二、操作观察，获取新知【形成概念】在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量．【拓展延伸】请同学们具体指出上面的各问题中，哪些是变量，哪些量是常量？【学生活动】通过小组合作交流，得到常量为：60、10、5、π、0.5等，变量为：x、y、r、S、t、L等．【教学形式】生生互动，畅所欲言．三、随堂练习，巩固深化课本P95练习．四、课堂总结，发展潜能1．什么叫做变量？什么叫做常量？它们之间有何区别？2．本节课中，通过实际事例，你对变量的概念以及实际意义有怎样的感受？五、布置作业，专题突破课本P106第1，6题．板书设计14.1.1 变量1、变量的概念例：2、会区别常量与变量练习：。
2009-2010新人教八年级数学（上）第14章《一次函数》整章教案、学案及部分
14.1.2 变量与函数（2）【教学目标】1.知识与能力1．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．2．进一步理解掌握确定函数关系式．3．会确定自变量取值范围．2.过程与方法在探究问题的过程中，体会取值范围确定的依据．3.情感、态度与价值观通过对已有问题的进一步研究，激发同学们探究问题的兴趣．【教学重点】1．进一步掌握确定函数关系的方法．2．确定自变量的取值范围．【教学难点】认识函数、领会函数的意义．【教学过程】一、创设情景，引入课题我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容．二、导入新课首先回顾一下上节活动一中的几个问题（前一节引例问题）．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量，另一个变量随之就有的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？年份人口数／亿1984 10．341989 11．061994 11．761999 12．52（2）在右边的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？由此，你能归纳出相关结论吗？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是（independentvariable），y是x 的（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的．据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2.5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y 是x的函数．当x=1999时，函数值y=12.52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]1．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：x 1 3 -4 0 101y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？2．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的x与yx 1 2 3 0 -1y 3 5 7 2 -1所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含有x的式子表示y）．[活动二]例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x （km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．1．写出表示y与x的函数关系式．2．指出自变量x的取值范围．3．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？关于函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制?问题2：某剧场共有30排座位，第l 排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制．2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围 例．求下列函数中自变量x 的取值范围（1）y=3x －l （2） y ＝2x 2＋7 （3）y=1x ＋2 （4）y=x －2我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又该学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．练习：1．列出下列问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数．矩形的一边长5cm ，写出另一边长x 与它的面积S 之间的关系式． 2．求下列函数种自变量x 的取值范围．（1）y=-2x-5x 2 （2）y=x （x+3） （3）y=3x 6x+ （4）y=12x - 3．写出下列问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数，以及自变量的取值范围．一个正方形的边长为3cm,它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形的周长为y cm,求y 与x 之间的函数关系式．体会：用数学式子表示的函数，自变量的取值范围应使式子有意义，即注意以下几点： ① 若解析式是整式，则自变量取全体实数；② 若解析式是分式，则自变量的取值应使分母不为零； ③ 若解析式是二次根式，则自变量的取值应使被开方数非负．三、随堂练习下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x ，正方形的面积Ｓ随之改变．2．秀水村的耕地面积是106m 2，这个村人均占有耕地面积y 随这个村人数n•的变化而变化．四、小结本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力．五、作业1、习题11．1．1－1、2、3、4题．六、活动与探究1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸．小明买了10支毛笔和x张宣纸，•则小明用钱总数y（元）与宣纸数x之间的函数关系是什么？2、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x >10），应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？3、如图（二），请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式．*4、如图（三），等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式．课后练习1．校园里栽下一棵小树高1.8米，以后每年长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________．2．在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v=1500t，则这个关系式中________是自变量，________函数．3．已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为____________．4．△ABC中，AB=AC，设∠B=x°，•∠A=•y•°，•试写出y•与x•的函数关系式_____________．5．到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0.80元，超过20克而不超过40克时付邮费1.60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0.80元（信重量在100克内）．如果某人所寄一封信的质量为78.5克，则他应付邮费________元．6．有一棵树苗，刚栽下去时树高为2.1m，以后每年长0.3m．（1）上述问题中哪些量在发生变化？（2）3年后树高为多少米？。
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课堂实录
一次函数
（新授课）
【复习导入】
师：同学们，我们在前面学习过正比例函数，它的解析式具有怎样的特点呢？它的一般形式是怎样的呢？（众多学生举手，争相回答）
生：正比例函数的解析式是常数与自变量的乘积的形式且自变量的指数为1，它的一般形式是：y =kx （k 是常数且k ≠0•）
师：很好.请大家指出下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？(多媒体展示)
（1）y =3x (2)y =x 2 (3)y =2
x （4）S = πr 2 （众多学生举手，争相回答） 生：（1）是 比例系数是3 （2）不是 （3）是 比例系数是
21 （4）不是 师：他的回答正确吗？
众生：正确
师：大家学得都不错哦，继续加油！
【探索新知】
师：下面请同学们观察屏幕上的问题并思考（多媒体展示）
某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km 气温下降6 ℃，登山队员由大本营向上登高x km 时，他们所在位置的气温是y ℃，试用解析式表示y 与x 的关系. 师：我们请一位同学分析一下并在黑板上写出解析式，其余同学都是评委 （众多学生举手，大家争先恐后）
生：y 随x 的变化规律是：从大本营向上当海拔增加x 千米时，气温从5 ℃减少6x ℃.因此y 与x 的函数关系为:y =5－6x .( 并在黑板上写出解析式: y =5－6x )
师：同学们对他的回答满意吗？
众生：满意
师：你真棒！那当登山队员由大本营向上登高0.5 km 时，他们所在位置的气温是多少呢？
（同学们争相举手）
生：当登山队员由大本营向上登高0.5 km 时，他们所在位置的气温是2℃. 师：y =5－6x 这个函数可以写成 y =－6x +5吗？
众生：可以
师：很好.那么这个函数解析式与正比例函数的解析式相比有什么不同呢？它有什么特点脚呢？大家能否再次通过探究下面的问题找到正确答案呢？
〖点评〗通过创设问题情境，引起学生的认知冲突.
师：(多媒体展示)
(1)有人发现,在20~50 ℃时蟋蟀每分鸣叫的次数c 与温度t (单位： ℃)有关，即c 的值约是t 的7倍与35的差；
(2)一种计算成年人标准体重G (单位：千克)的方法是，以厘米为单位量出身高值h ，再减去常数105，所得差是G 的值；
(3)某城市的市内电话的月收费额y (单位：元)包括：月租费22元，拔打电话x 分的计时费(按0.1元/分收取)；
(4)把一个长10cm 、宽5cm 的长方形的长减少x cm,宽不变，长方形的面积y (单位：平方厘米)随x 的值而变化.
师：大家在独立思考的基础上，也可以互相讨论，给出上面问题中的解析式.
（大约两分钟后）
师：我们请一位同学展示一下问题中的解析式，其他同学还是做好评委.（同学们争相举手）
生：上面问题中的函数解析式分别为：(1)C=7t-35； (2)G=h-105；
(3)y=0.1x+22； (4)y=-5x+50 （投影展示）
师：同学们说正确吗？
众生：正确（掌声一片）
师：你真牛！那么大家能不能类比正比例函数形式的特点，用数学语言说出这类函数形式的特点呢？
（很多学生跃跃欲试）
生：多了一个常数，多了一个常数.
生：上面这些函数的形式都是自变量乘以一个常数再加上一个常数.
师：他们说得有道理吗？
众生：有.
师：有没有哪位同学能用含有字母常数的式子描述一下这些函数的特点呢？比如把自变量的系数用字母常数表示（沉默片刻）.
生：上面这些函数的形式都是自变量的k （常数）倍与一个常数的和.
（掌声一片）
师：不错哦！现在请大家把我们刚得到的四个函数解析式和第一个问题的函数解析式与正比例函数的一般形式比较一下，能不能用含有字母常数的式子表示这类函数呢？
（大家很兴奋）
众生：能
师：哪位同学能到黑板上写出来？（同学们争相举手）
生：（板演）y =kx +b
师：他写得正确吗？有没有要补充说明的？（沉默片刻）
生：式子是对的，但要说明k 、b 是常数且k ≠0.•
师：你回答得太好了！一般地，形如y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0•）的函数，叫做一次函数。
把y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0•）叫做一次函数的一般形式.（板书）
师：请同学想一想，在一次函数一般形式中，如果b=0，那么它变成了什么形式？ （大家很活跃）
众生：正比例函数的形式.
师：很好.因此，我们说当b =0时，y =kx +b 就变成了y =kx ．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．大家能理解吗？
众生：能
【例题探究】
师：下面我要看一看大家是不是真正理解了，请看大屏幕.(多媒体展示)
1.下列哪些函数是一次函数，哪些又是正比例函数.
（1）y = -8x +2； （2）y =3x 2-6； （3）y =-0.5x +1
（4）y=x
7- （5）m=62+x （6）y=9x 2.已知y =(m +1)x +2，当m 满足何条件时,ｙ是x 的一次函数．
（大约5分钟）
师：第1题大家能解决吗？
（同学们争相举手）
生：（1）、（3）、（5）、（6）是一次函数；（6）又是正比例函数
师：同学们说他回答得对吗？
（沉默）
师：根据一次函数的特点（1）、（3）、（6）显然是一次函数，但根据算术平方根的意义
（5）中m 是2x +6的算术平方根，则m 2=2x +6，这不符合一次函数的特点，所以（5）不是一次函数
众生：明白了
师：第2题能解决吗？
生：第2题其实就是弄清一次函数所符合的条件：自变量的系数不能为0（板演） ∵ ｙ是x 的一次函数
∴ m +1≠0
即 m ≠-1
∴当m ≠-1时,ｙ是x 的一次函数
师：怎么样？
（掌声一片）
〖点评〗通过对例题的分析，理解一次函数的概念，实现学以致用的效果，体现交流合作的优势.
【巩固新知】
师：通过以上的探究，我想大家对一次函数有了进一步理解，下面有一些练习看谁做得既快又好.(多媒体展示)
1.下列函数哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y =-8x （2）y =x
8 （3）y =5x 2+6 （4）y =-0.5x -1
2.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米/秒.
（1）求小球速度v （单位：米）随时间t （单位：秒）变化的函数关系式，它是一次函数吗？
（2）求第2.5秒时小球的速度
3.汽车油箱中原有汽油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的汽油y (单位：升)随行驶时间x (单位：时)变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.y 是x 的一次函数吗？
(大约5分钟 学生抓紧求解）
师：请一位同学迅速说出第1题结果
（大家争相举手）
生：（1）是正比例函数 （4）是一次函数
师：正确吗？
众生：正确
师：很好.下面我们请两位同学到黑板上写出第2、3题结果
生：（板演第2题）
解：（1）根据题意，得
V =2t
由一次函数的含义可知，这是一次函数
（2）当t=2.5时
V=2×2.5=5(米／秒)
生：（板演第3题）
解：根据题意，得
y=50-5x
∵汽车油箱中有汽油50升，如果行驶中每小时用油5升
∴汽车最多只能行驶10小时
∴0≤x≤10
y是x的一次函数
师：请同学们分别给他们打分，能给多少分？
众生：满分
师：你们太好了.(鼓掌)
【课堂反思】
师：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
生：通过本节课的学习，我理解了一次函数的含义及它的一般形式.
生：我弄清了正比例函数与一次函数的关系.
师：能否说得具体些？
生：一次函数的特点是自变量x的k倍与一个常数的和，它的一般形式是y=kx+b（k、b 是常数，k≠0•），当b=0时，y=kx+b就变成为y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．
生：我还学会了利用一次函数的含义求相关字母的值
……
师：很好，通过本节课的学习大家收获都不小，我很高兴。
希望大家在今后的学习中善于观察、勤于思索、努力探索、勇于创新，开创美好未来……。