广西桂林中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

桂林中学2015~2016学年度 上学期 期中考试卷
高二数学（文科）
(满分：150分 时间：120分钟) 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1
1的等差中项为( )
A ．1
B
C ．2 D
．2．命题“2000,10x R x x ∃∈++<”的否定为( )
A ．2000,10x R x x ∃∈++>
B ．2
,10x R x x ∀∈++> C ．2000,10x R x x ∃∉++≥ D ．2,10x R x x ∀∈++≥ 3．若0a b <<，则下列不等式成立的是( )
A ．2
2
a b < B ．a b < C ．
1a b < D ．11a b
> 4． 在ABC ∆
中，若°
601A a b ==，，则角B 为 ( )
A ．°30
B ．°45
C ．°°45135或
D ．°°
30150或 5． 已知不等式2
0x ax b ++<的解集为{}|23x x -<<，则a b +的值为( )
A ． 7-
B ． 5-
C ． 5
D ． 7 6．已知:23p ≤；:q 矩形的对角线互相垂直，则( )
A ．p 假q 真
B ．p ⌝为真
C ．p q ∨为真
D ．p q ∧为真 7．“2m ≥”是“一元二次方程2
10x mx ++=”有实数解的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分且不必要条件
8．已知实数,x y 满足不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
，
，，则z x y =+的取值范围为( )
A ．[]1,2-
B ．[]13，
C ．[]1,3-
D ．[]2,4
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，13245
5
+=+=
24
a a a a ，，则8S =( )
A ．
127
32
B ．
255
64 C ． 255 D ．511 10．在△ABC 中，若222
sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定 11． 若不等式()14x y m x y ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．[)3,+∞
B ．[)6,+∞
C ．(],9-∞
D ．(],12-∞
12．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是S n ，若151600S S ><，，则在1512
1215
...S S S a a a ，，，中最大的是( )
A ．
1
1S a B ．88S a C ．99S a D ．1515
S a 第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题每小题5分，共20分。

13．命题“若a b +是偶数，则,a b 都是偶数”的否命题是： ． 14．已知ABC ∆
面积为S ∆°
1203C AC ==，，则BC 长为 ．
15
．已知1
1
00 a b a
b
>>+=，，
ab 的最小值为 ． 16．已知数列{}n a 满足1=1a ，()+121
=+*n n a a n N n n ∈+，则n a = ．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）设一元二次不等式2
20ax ax +-<的解集为M ．
(Ⅰ) 当1a =时，求M ；
(Ⅱ) 当M R =时,求a 的取值范围．
18．（12分）如图，△ABC 中，30458 5ABC ADC AB DC ︒
︒
∠=∠===，，，． 求AC 的长．
19．（12分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．
20．（12分）已知数列{}n a 是等差数列，21413=5a a a a ，且，，成等比数列．
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列12n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
21．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c ，，，且()2cos c a B R λλ=∈． (Ⅰ) 当1λ=时，求证：A B =； (Ⅱ) 若3
B π
=，2
23b ac =，求λ的值．
22．（12分）已知等差数列{}n a 满足35=3=9a a ，；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足
121,3b b ==，()11432,*n n n S S S n n N +-=-≥∈．
(Ⅰ) 分别求数列{}{}n n a b ，的通项公式；
(Ⅱ) 若对任意的1*,+2n n n N S k a ⎛
⎫∈⋅≥ ⎪⎝⎭
恒成立，求实数k 的取值范围．
桂林中学2015-2016学年度 上学期 期中考试
高二数学(文科) 参考答案 (满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ； 14. ； 15. 2 ； 16..
三、解答题：本大题共5小题，共60分．
17. (本小题满分10分)
解：：
解方程
∴
….……………………………………………...…………………………………4分
．..…….…………………………………………………………………..….8分
∴
．…………………………………………………………………………………………………………………10分
1 8. (本小题满分12分)
解：，，由正弦定理，得．…………………………………. 8分
在中，，
由余弦定理，得．……….12分
1 9. (本小题满分12分)
解：设矩形休闲广场的长为x米，依题意，其宽为米，绿化区域的面积为
, ..…...………………………….6分
∴
当且仅当，此时
所以，当矩形休闲广场的长为60米和宽为40米时，才能使绿化区域的总面积最大，最大面积为1944平方米． ....................................................…………………...12分
20. (本小题满分12分)
解：（1）设等差数列的公差为，依题意，得
解得，，
∴6分
（2）∵
∴..7分
两式相减，得.
. ………………………9分
. (11)
分
所以， . (12)
分
21. (本小题满分12分)
解：（I）当时，得，由余弦定理得，
， (3)
分
化简得：，即，
∴
.…………………..………….…………………………….………….....…6分
另证:当时，得，由正弦定理，得
,………….…………………………….…………..….....…3分又
则
∴,即
又,则.
∴
…………………..………….…………………………….……….....…6分
（II）由余弦定理，得：， (8)
分
又，则，
化简得：，
即，
又，
∴ (12)
分
22.（本小题满分12分）
解：（1）由，得，所以
∴.
由，得，
即．
又，即
∴是等比数列，其中首相为，公比为，
所以．………………………………………………………...6分（2），…………………………………………..………...7分所以原不等式可转化为对恒成立，
∴对恒成立．……………………………..………...8分
令，．当时，即；当时，．
∴当时有最大值，最大值为
所以………………………………………………………………………12分．。