蜜蜂周报第1期(0316-0322)齐建民编著
小蜜蜂报第一期
广宗县冯家寨小学二年级第一期2017年10月3日星期一晴游崆山白云洞◎夏宇康早上5:30我们一家去崆山白云洞玩了，听说那里有五颜六色的石头，我真想早点看到它们。
我从手机上查到了崆山白云洞有五个大洞，分别是“人间”“天堂”“地府”“龙宫”和“迷宫”，在导游的带领下我们依次穿过了这五个洞。
洞里有很多的漂亮石头，爸爸说：“这石头是石花、石笋、石钟乳等，打上彩色的灯光，真漂亮！”我们在洞里看到了擎天柱，它是最大的石柱；还看到了万年灵芝、石琴、仙山玉阁等景观，真是景色万千，很美丽呢！下午我们恋恋不舍地离开了。
上车后我说：“妈妈，我们下一次可不可以再来崆山白云洞玩呢？”妈妈说：“当然可以。
”我兴奋地说：“谢谢妈妈，我今天真的好开心啊！”2017年10月4日阴天挖红薯◎王守轩今天我们全家去爷爷工作的地方挖红薯，它们都长着绿油油的叶子，好大一片。
在挖红薯前，我们进行了分工，奶奶负责清理红薯秧，爸爸和叔叔负责挖红薯，剩下的人负责装红薯。
叔叔一铲子下去，大大小小的红薯都出来了，看到挖出来的红薯，我们都开心极了！我们一共挖了三袋子红薯，到这么多的红薯，心想这下子够们吃一阵子的了，多么开心的一天啊！2017年10月4日星期三晴美丽的蝴蝶◎李一诺阳光下，一只蝴蝶在翩翩翩起舞，十分好看。
它有着一双白色的翅膀，一会儿在空中飞舞，一会儿又竖起翅膀落在兰花上，不知是蝴蝶变成毛毛虫，长在兰花上，还是花朵变成蝴蝶，飞在空中。
看着小蝴蝶美丽的身影在空中自由的飞舞，我在想，曾经那么丑的毛努力蜕变，成为一只美丽的蝴蝶，这真是一个奇迹啊！10月5日星期四晴串亲戚◎郑佳瑶今天，我们全家人去邢台玩，一下车，映入眼帘的是一栋高楼大厦，舅舅就在这住这里。
他已经在门口迎接着我们，一进门，我感觉舅舅家的房子好大呀!都是全新的家具。
舅妈还给我们准备了一大桌子菜，我们一大家子享受着美味的佳肴，不一会我就吃得饱饱的。
我和弟弟一起看电视，大人们在一边有说有笑。
青少自然科普《蜜蜂民主》第一章 完整版
中小学生自然科普读物《蜜蜂民主》第一章：概述蜜蜂芳香而轻盈，是蜂蜜和蜂蜡的制造者。
也难怪自古以来，人类就一直推赞这些小动物。
甚至于今天，当丰富的甜食以及明亮的灯光随处可见时，我们人类也依然珍惜这勤勤恳恳的昆虫。
尤其是与商业养蜂人有着紧密合作的2000亿蜜蜂，也代表着人类进行了重要而关键性的农业使命：进行授粉。
在北美洲，人养蜜蜂是50多种水果、蔬菜等植物的主要授粉者，而这些植物也组成了日常饮食中最有营运的部分。
但蜜蜂也给我们提供了另外一个非常好的礼物，这个礼物更主要是教导我们的大脑，而不是填补我们的胃。
因为在每一个合作的蜂巢都是一个社区的模范，大家为了达成一致的目标而共同努力奋斗。
我们可以看到这些可爱的有着六只腿的小动物确实教会了我们一些东西，教会我们组建一个运行顺畅的机构，尤其是那些能充分利用民主决策权力的机构。
我们的学习将来自于一种蜂蜜物种，那就是西方蜂蜜（意蜜）---世界上最为人所知的昆虫。
起始于亚洲西部、中东、非洲以及欧洲。
感谢人类爱慕者们的散播能力，如今我们在全球各地气候温暖以及热带地区均能找到蜂蜜。
蜜蜂就是这样一群美丽的社交群体。
我们可以在金色蜂巢中看到这些美丽的昆虫，而这些蜂巢是由非常薄的蜂蜡建造而成，由一层层精致的六边形巢房（图1.1 一个蜂巢是由蜂蜡建造而成的六边形巢房组成，并填满了各种植物的花粉）组成（如图1.1）。
进一步观察，我们可以看到在他们和谐的社会里，成千上万的工蜂共同合作来服务这个蜂群的共同利益。
而这本书里，我们将微妙地看到蜜蜂群体社会性的美丽一面，更为具体一些，我们将通过检测来看看一个蜂群在选择新巢时是如何做到接近完美的准确性。
选择正确的新巢对蜂群来说是生死攸关的一件事。
如果蜂群选择很差，巢穴太小而不能储存过冬的蜂蜜或者蜂巢不能提供很好的保护重要，无法避免冷风以及饥饿的掠夺者们的侵扰，那蜂群就会面临死亡。
考虑到选择宽敞而又舒适的新巢至关重要，我们就不难发现，一个蜂群对新巢的选择不仅仅是靠几只蜜蜂来独自完成，而是靠几百只蜜蜂集体来完成的。
《中国蜂业》帮助我成为养蜂能手
会养 蜂 啊 ！
不用 花钱 ， 书学技 术 ， 样整 整过 了两年 。随 看 这
着 日子 渐 渐 有 了起 色 ， 的 “ 心 ” 渐 渐 大 了 起 我 野 也
来 。我多 么渴 望 有一 套属 于 自己 的全 年 的《 国蜂 中
我 少走 了很 多弯路 ， 我成 为本地 养蜂 能手 。 使
十几箱变成 了几十箱 ， 而且箱箱蜂满 ， 个个群壮。认 识我 的蜂友都说 ： 的蜂群真好 ， 你 还是有知识 的人
１９ 年春 ， ９６ 我村小学缺乏教师 ， 由于我是高 中 毕业 ， 有幸成了一名代课教师 ， 每月 １０ ５ 元。工资虽 然是低了点 ， 但考虑到 自己念过几天书， 不想让所学 的知识 荒废 ，再 加 上教学 又影 响不 了侍弄 家 中的几 亩薄地 ， 一举几得 ， 所以欣然去任教。 上 班 的第 一 天 ， 办 公 室 里 ， 然 发 现 了一 本 在 突
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北京百花蜂产品科技发展有 限公 司
地 址 ： 京 市 经济 技 术 开 发 区 同 济 中路 ７号 ３号楼 北
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间 就 拿 出来 看 看 ，对 好 的知 识 用 笔 圈 圈划 划 作 标 记 ， 结 合 自己 的养 蜂 实践 ， 合 本 地 实 际情 况 给 并 结 杂 志 的 内容 作 小 结 ，同时 把 自己 的心 得 体 会 写 下 来 。一 年下 来 ， 杂志 装 订成 册 ， 把 一册 十 二本 ， 啥 用
现在我 已辞 去代课 教师 的工 作专业 养蜂 。 已有
饲粮蛋白质水平对意大利蜜蜂咽下腺发育及产浆量的影响
蜜 蜂 属 膜 翅 目 （ ｍｅ ｏ ｔ ａ 蜜 蜂 科 （ ｉ Ｈｙ ｎ ｐｅ ） ｒ Ａｐ— ｄ ｅ 蜜 蜂 属 （ ｐｓ 。 意 大 利 蜜 蜂 （ ｐｓｍｅ ｉ Ｆ ａ） Ａ ｉ） Ａｉ ｌ ｅｏ ｌ ｆ Ｌ． 又简 称 意 蜂 ， 我 国养 蜂 生 产 中 的 当家 品 种 。 ） 是
每 群 为 １个 重复 。 对 照组 饲 喂 油 菜花 粉 ， 验 组 分 别饲 喂 蛋 白质 水平 为 １ ％ 、０ 、 ５ 、 ０ 、 试 ５ ２％ ２％ ３％
３ ％ 及 ４ ％ 的 试 验饲 粮 。试 验 测 定各 群 采食 量 、 ５ ０ 工蜂 咽 下腺 蛋 白质 含 量 、 小 囊面 积 、 王 浆 产 腺 蜂
咽 下腺 发 育 最好 ， 能够 获得 最好 的 生产 性 能 。 且 关 键 词 ：蛋 白质 水 平 ； 食 量 ； 蜂 咽 下腺 ； 浆 量 采 工 产
中图分 类 号 ： ８ ４ ￥９ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ６２ ７ ２ １ ） ７ ｌ ４ —６ １ ０ —６ Ｘ（ ０ １ ０ 一１ ７０
近 年 来 ， 关 饲 料 对 蜜 蜂 产 浆 效 果 及 咽 下 腺 有 发 育 等 方 面 的 影 响 国 内 外 文 献 已有 报 道 ， 都 是 但
对 某 一 种 饲 料 或 花 粉 补 充 物 的 研 究 ， 对 于 人 工 而
虫 、 及成 蜂 等 ） 致 的意 大 利蜜 蜂 随 机分 为 ７ 蛹 一 组 ， 组 ５群 ， 群 为 １个 重 复 。设 ６个 试 验 组 ， 每 每 分 别 饲 喂 ６种 不 同 蛋 白质 水 平 的饲 粮 ， 用 Ａ、 Ｃ、 并 Ｂ、 Ｄ、 Ｆ表 示 （ Ｅ、 见表 １ ； ） 以饲 喂 油 菜 花 粉 （ 测 蛋 白 实
2021版新蜂三星问题条例新增加的一项
2021版新蜂三星问题条例新增加的一项蜂群的三星，指的是蜜蜂有问题，这是在过去对蜂群的管理和检测中得出的结论。
蜂群存在问题，会对蜜蜂造成一定的影响，甚至会引起群势下降，严重时出现群势大幅减群。
比如蜜蜂群势下降50%会直接导致不能正常工作；而蜂群没有问题，可能只是暂时出现了一个小毛病而已（比如连续一周不出勤或少出勤）。
但是很多时候这个小问题又是无法避免可以及时发现并采取措施解决的。
因为养蜂最难管理的地方，是要对蜜蜂进行有效、合理的管理（即：合理地进行群峰采集、正确记录群位、检查蜂箱);而蜂群中又存在着很多可以通过观察了解蜂群状况来判断是否应该更换大脾甚至减少大脾，从而避免了一些极端情况下因为没有及时更换大脾造成养蜂损失及产生环境污染。
这就要求养蜂管理者首先要加强自身管理意识，要对自己每一个动作都有个严格规范且合理的把握；其次要具备一定的判断能力；最后才是有处理解决问题所需要的各种能力。
一、蜂群状态蜂群的状态，是指蜂群的所有行为和活动状态。
群势，是指蜂王在正常产卵情况下，各子脾上产卵的数量是否足够。
新产的卵虫越多，其产卵量就越大。
当蜜蜂不能正常产卵和排出蛹后，蜜蜂恢复群力就需要用到新大脾或减少大脾了。
例如工蜂产卵多就会导致一个严重的问题：在生产时大脾将会变小；小脾将会变大甚至可能变小；小脾可能导致群势下降；而脾数过多或过少的话，就会产生群势性下降。
如果这些现象发生了，可能有两种情况：一种情况是正常产卵的蜜蜂群势性减少（无子或幼蜂不足);另一种情况是在蜜蜂连续一周不出勤或少出勤引起了蜂王不育；蜂群不能正常工作而减小脾所致；甚至只有1个群甚至几个群也会有问题（但大部分情况下蜜蜂可以自行处理）。
这些不正常现象都会导致蜂群快速消亡而不能正常工作或生产。
造成的后果：一是降低分蜂机率，导致蜂群不能正常生产和繁殖；二是群内蜜蜂严重饥饿而产生严重的盗蜂行为或蜂王在巢外受惊惊扰而引起群势下降而不能正常工作时产生不正常死亡，最终引发疾病或死亡。
重视蜜蜂授粉与蜜蜂保护是世界养蜂业共识——参加第46届国际养蜂
●国际蜂业重视蜜蜂授粉与蜜蜂保护是世界养蜂业共识———参加第46届国际养蜂大会学习见闻章振东（浙江省杭州智蜂麦谱网络科技有限公司，浙江杭州310000）背景信息：2019年第46届国际蜂业大会46t h AP I M O NDI A I n t e r na t io na l A pic ultur a l Co n gr e ss；时间：2019年9月8-12日；地点：蒙特利尔（加拿大）；主办单位：国际蜂联（AP I M O NDI A）；举办周期：2年一届；下届主办国：2021年俄罗斯。
会议简介：国际蜂业大会是由国际蜂联（AP I M O NDI A）主办，2年一届，本次会议主题为：农业联结养蜂业（B ee k eepi n g t o g e t h e r wi t h i n a gr ic ultur e）。
2019年第46届国际蜂业大会由加拿大承办。
国际养蜂大会为所有从事养蜂业相关的科学家、研究人员，企业主以及业余养蜂人、蜜蜂技师、蜜蜂设备制造商和供应商、非政府组织、记者和所有其他利益相关者参与。
本次大会的重点放在养蜂业在农业中的地位越来越凸显的当下，讨论世界养蜂业高度突出的问题和挑战，以及未来的发展趋势。
本次大会由中国养蜂学会和中国蜂产品协会共同组成的中国蜂业代表团计116人出席了会议。
36家企业参加了展览，大概占整个参展商的15%以上，属于主要的参展国，展品主要涉及蜂产品、蜂机具等项目。
本次会议我国蜂产品荣获6枚奖牌，其中金牌1枚、银牌4枚、铜牌1枚，分别由新疆北屯市新原养蜂合作社、新疆伊犁伊谷源农业发展有限公司、山东蜜源经贸有限公司、山西圣康蜂业有限公司、北京京纯养蜂专业合作社、河北保定市蜂业协会获得。
2年一届的养蜂大会是国际养蜂人的盛会。
农业联结养蜂业（B ee k eepin g t o g e t h er w i t h in a g ri c ul t ure)是第46届国际养蜂大会（加拿大）的主题。
蜜蜂生物学在中蜂饲养管理中的应用
蜜蜂杂志(月刊)JOURNAL OF BEE （Monthly ）NO.102020Oct.收稿日期：2020-07-02蜜蜂生物学是研究蜜蜂形态、进化、行为以及蜂群结构及其功能规律的一门科学。
人类利用蜜蜂是建立在对蜜蜂生物学的研究和了解基础上的，蜜蜂生物学是实施蜜蜂饲养管理具体措施的指导依据，也是改进或发明蜂机具的理论依据。
比如，大流蜜期前提前奖励饲喂培育适龄采集蜂；通过对自然蜂巢的观察，发明了活框蜂箱、人工巢础等。
蜜蜂对人类的贡献不可估量，体现在通过蜜蜂对植物的授粉，维持生态平衡，使农作物优质高产等，直接或间接造福人类。
中华蜜蜂是东方蜜蜂的一个亚种，与蜜粉源植物经历几千万年的协同进化，已经适应特定地区的气候和地理环境，在我国有三千多年的饲养历史。
现将部分蜜蜂生物学知识在蜂群饲养管理中的应用做简要介绍，供初学养蜂者学习和参考，以提高饲养管理水平。
1在中蜂场址的选择及蜂群摆放中的应用蜜蜂是以蜂巢为中心，大约在2.5km 的范围内进行采集活动。
需要根据蜜粉源植物的开花流蜜散粉的特点、分布选择蜂场，通常距离蜜粉源植物越近越好。
距离越近每次采集所需的时间越短，可以减轻蜜蜂的采集负担，延长工蜂寿命增强群势。
如发生盗蜂，则被盗群需要搬离原位置5km 以上，越远越好，使进入被盗群的盗蜂无法返回原群传递信息，以解除盗蜂的发生。
中蜂的嗅觉比较灵敏，在摆放蜂群时，箱与箱之间应间隔至少2m ，防止缺蜜季节发生盗蜂；中蜂易迷巢，把每群尽量放在显著的位置，充分利用树木、地形、地面标志物等，使蜜蜂容易识别蜂巢。
人工分蜂时，将新分群搬离原蜂巢一定距离（一般为3km 以外的地方），防止新分群蜜蜂飞回原巢，导致蜜蜂偏集。
根据蜜蜂生长发育对温湿度的要求，子脾发育的最适巢温是34.4~34.8℃，高过或低于这个范围都会增加群内工蜂的劳动负担和消耗贮蜜。
所以，蜂群需要放置在冬暖夏凉、巢门前方开阔的地方，人为为蜂群创造适宜的环境。
2在中蜂蜂群检查中的应用蜜蜂只能区别黄、绿、蓝、紫4种颜色，对于红色光是色盲。
邢台市刺槐蜜歉收
蜜蜂杂志(月刊)JOURNAL OF BEE （Monthly ）NO.72020Jul.【任付珍报道】5月16日，来自河南的养蜂师傅郑云周在检查蜂群。
邢台市的刺槐蜜以不抵往年收成而结束。
邢台市是刺槐分布面积最大的区域之一，以蜜质好在全国享有盛名。
在二十世纪七八十年代，一般群势的蜜蜂能采收15～20kg 刺槐蜜，随着农业结构的调整，昔日的大面积刺槐被板栗树所代替，近年来，强群只能采收到5～10kg 刺槐蜜，而今年的情况远不如往年，初期气温较高，上蜜相当涌，但到了中期连降大雨，气温骤降，连续多日低温导致花期错过，除南方的蜂场和平原区蜂场有点收成外，山区定地饲养的蜂场几乎没有收成。
从蜂场分布来看，由于疫情防控的原因，外来蜂场很少。
目前，各蜂场正在利用柿树花期培养繁殖枣树花期适龄蜂，对巢蜜生产将实现订单制作，严防喂糖封盖问题发生。
为保住太行山优质蜂产品品牌，中国农科院蜜蜂研究所和省农业农村厅畜牧总站专家专门赴邢台县调研指导蜂产品生产。
刺槐花期下雨，对枣树、荆条的生长带来良机，盼望枣树和荆条流蜜期有一个好的年景，情况如何将拭目以待。
收稿日期：2020-05-26●蜂业时事邢台市刺槐蜜歉收制，这样，“冬天有暖气，夏天有空调”。
这种智能化的温湿度调控，使得蜜蜂一年四季发育、生长、工作环境适宜。
（2）在巢门口安装红外计数器，可完整地记录进出蜂箱的蜜蜂数量，实现蜂群“上下班打卡”，经过数据统计和计算处理，和蜜蜂采集“效率”挂钩，完全可以通过“数据分析”得出“单日产量”。
而蜜蜂的“采集量”和“出勤量”相互关联，也就是说巢门口红外计数器可监测蜂蜜的品质，数据和电脑联网，可查，一一记录。
（3）巢门口还可安装麦克风装置，监测蜜蜂振翅的“语音”。
当胡蜂入侵时，蜜蜂振翅的声音频率和因巢内温度过高振翅频率是不同的；产生“分蜂热”的群，蜜蜂在巢内消极怠工，“蜂声”和正常采集时不一样，以此来判断蜂群是否存在“分蜂热”，养蜂人可以进行“人工控制”或者干涉，消除“分蜂热”，提高蜜蜂的工作积极性。
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来自互联网的高中数学读物蜜蜂周报
第1期
（2020年3月16-22日）
齐建民编著
前言
蜜蜂称得上是“动物界的数学家”，他们所筑的巢是严格的六角柱形体，给了人类诸多启发，同时蜜蜂也是勤劳精神、奉献精神的代表。
这都与现在网络上无数的数学老师极其相似，他们每天在QQ群，微信群等各个角落里不辞辛苦地做着题，研究着数学教学，乐此不疲，我有幸每天都能看到各种各样的题目被分析着研究着，从这个群转到那个群……，于是就想如果能把这些好题集合在一起应该是一件对师生都有益的事，所以决定做一个周报，并命名为“蜜蜂周报”（特别感谢南京巫平老师的创意）。
为了让读者更加了解这本电子杂志，特做如下说明：
（1）周报中收录的题目围绕高考，适合高中师生阅读；
（2）本人视野与水平有限，所以收录的题目并非个个精品，请读者理解；（3）题目主要来自中国数学解题研究会(QQ群号 47224687)，还有一些来自其他社群、公众号，有些我觉得不错的网络资源也一并收录；
（4）为便于读者浏览，我对题目难度进行了标注，难度从1星到5星依次递增，这与本人水平有关，或许与你的标准不同；
（5）标注*的为未解决或未收集到答案的题目；
（6）试题与解答皆来网络，因数量太大不能一一注明出处。
如网友对收录有异议请与本人联系；
（7）文末的“每周观点”为本人或网友对数学教育的观点摘抄；
（8）由于水平和时间有限，本人不对内容的权威性负责，个别题目本人做了点评或扩展，合适与否请读者自鉴；
（9）周报接受投稿，欢迎网友把你看到的好题或观点发给我，发挥互联网的力量；
这个周报首先是我个人的数学学习笔记，成已达人，无意间我要做一只小蜜蜂，在各个社群之间飞来飞去，集众人智慧，采百家之长，汇于一记！
本周报每周日20点首发于中国数学解题研究会，如您认为有价值，欢迎转发去影响更多的人！
齐建民（QQ:350601384）
作者简介
齐建民，网名三下五除二
●在体制内任教多年高中数学
●2014年加入学大教育集团，先后就职于呼
和浩特分公司、郑州分公司
●2017年始任集团教研总监
●2020年始任学大教育唐山分公司教研总监
2020年第1期目录
1.数列求通项公式（五星） (1)
2.函数与数列综合（五星*） (2)
3.解三角形最值问题（三星） (5)
4.立体几何解答题（三星） (6)
5.构成三角形的几何概率（三星） (7)
6.函数与数列综合的最值问题（四星） (8)
7.零点差最小值问题（五星） (8)
8.求三角形外接圆面积（四星） (10)
9.直线和圆的求值（三星） (11)
10.等和线应用的一个小题（三星） (13)
11.双切线放缩证明导数不等式（五星） (13)
12.对解三角形中边边角多解问题的一个模型解释（二星） (16)
13.和椭圆有关的二元最值问题（四星） (17)
14.平凡的二元最值问题（三星） (19)
15.三角函数图像平移的一个讲法（二星） (20)
16.导数不等式（四星） (21)
20.一个很不错的三角最值问题（三星） (21)
21.求外接球半径的两个模型（二星） (26)
22.高考中常见函数草图（二星） (28)
23.函数的同构 (36)
24.圆中的向量数量积最值问题（四星） (44)
25.指数函数与折线函数的零点问题 (49)
每周观点 (51)
1.数列求通项公式（五星）
点评：这种题已超出高考难度，高考不会考。
2.函数与数列综合（五星*）
这个题与第六题有点关系
（齐建民的尝试，失败）网友解答1
网友解答2
3.解三角形最值问题（三星）
点评：这是个常规题，按部就班，不要怕麻烦就可以搞定，只要方向对，干就完了！
4.立体几何解答题（三星）
点评：这个题其实没什么意思，不过看到了就收了。
解答由“作业帮”提供：）5.构成三角形的几何概率（三星）
一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是？？
6.函数与数列综合的最值问题（四星）
设零点为-3，-1,1,3，更简单些；（下面截图来自作业帮）
7.零点差最小值问题（五星）
8.求三角形外接圆面积（四星）
最优解法：
其次：
如果不把24写为3a，可以如下这样算，只是计算量比较大
9.直线和圆的求值（三星）
网友的解答：
巧解的关键是理解为什么恰有一条那样的弦；
(1)如果点A在圆外，那么相交弦长为d（小于直径）的直线一定有两条，这两条直线都与
一个同心圆相切，弦心距就是半径；
(2)如果点A在圆内，相交弦长为d（小于半径）的直线一般有两条，特殊情况下有一条。
特殊情况就是，A与圆心的连线就是弦心距。
10.等和线应用的一个小题（三星）
网友解答
11.双切线放缩证明导数不等式（五星）
再给出几个相关题目
12.对解三角形中边边角多解问题的一个模型解释（二星）
13.和椭圆有关的二元最值问题（四星）
解答2
14.平凡的二元最值问题（三星）
解答2
解答3
15.三角函数图像平移的一个讲法（二星）
16.导数不等式（四星）
20.一个很不错的三角最值问题（三星）
这个是我在公众号“邹生书数学”里看到的题，觉得很不错，推荐给大家。
命题简洁，方法多样，这是高考题的风格！
点评：解法2和解法6的两个图形是有关系的，其实是一个图，从不同点切入得到的2个解法。
这涉及到在“每周观点”中我提到的，对“一题多解”的看法。
21.求外接球半径的两个模型（二星）
点评：这是我看某机构的公开课中的内容，觉得有一定价值，和大家分享。
也许有人会认为这是小伎俩，但我们不能否认，给一个模型起个名字，这是一件很必要，很重要的事！
22.高考中常见函数草图（二星）
这是我在微信公众号“奇趣数学苑”里看到的高考常见函数图像（66个），希望对大家有用。
第1组：第1组：x与lnx，x与e^x之间的四则运算（10个）
第2组：x与sinx,x与cosx之间的四则运算（10个）
第3组：e^x与lnx，e^x与e^-x之间的四则运算（10个）
第4组：e^x与sinx、cosx，x^2之间的四则运算（10个）
23.函数的同构
同构的几个应用例子
例1
下面这个题的法1，法2都用到了同构的思想
例2（武汉2020.3质检）
关于x 的不等式3ln 1x
e x a x x
--≥ 对于任意(1,)x ∈+∞ 恒成立，则实数a 的取值范围为
A.(,1)e -∞-
B. (,3]-∞-
C. (,2]-∞-
D. 2
(,2]e -∞-
例3 （2020.3石家庄一模，这次考试因为疫情没有统考，个别学校自己考了）
标答
下面是我对标答第二问的疑问：
标准答案的解法很奇怪，不像是命题人给出的。
第一问已经证明了f（x）单调递减，第二问证明不等式却不利用（1），而是另起炉灶，去证明左边函数单调递减，好奇怪。
就是下面这样：
24.圆中的向量数量积最值问题（四星）本题来自微信公众号“邹生书数学”
法1 主元法法2 三角法
编者注：。