等式的性质
等式的性质
a b （c≠ 0） 如果 a = b，那么 c c
3、解一元一次方程的实质就是利用等式的 性质求出未知数的值x=a(常数)
学科网
则 4x +
= 7x
要求： 1、观察等式变形前后两边各 有什么变化 2、应怎么变化可使等式依然相等
(2) 若 3a + 4 = 8
关键：同侧对比 注意符号
则 3a = 8 +
.
你又发现了什么？
你又发现了什么？
• 等式的性质2: 等式两边都乘以 同一个数，或都除以同一个不为 0的数，结果仍相等。
(4) 如果-2x=4, ，那么x =________ 。 -2
(5) 如果2x1 2 3题的括号内，填上使等式成立的依据.
（1）2 x 8
得x 4 （ 2） 3x 2 2 x 得 x 2
1 x2 （ 3） 3 （4） x 5 1 （ 5） y 6
于是 所以 -9x=3 x=-3
1 x 3
练习2：下列各式的变形正确的是（ D ）
x A.由 0 ，得到 x = 2 2 x B.由 3 ，得到 x = 1 3
x=0 x=9
2 a= C.由－2 a = －3，得到 a = 3
D.由 x－1 = 4，得到 x = 5
3 2
你会吗？
判断对错，对的说明根据等式的哪一条性质；错的 说出为什么。
(1)如果x=y,那么
（× ）
(2)如果x=y,那么 x 5 a y 5 a （ √ ） x y (3)如果x=y,那么 5 a 5 a （ × ）
5 x 5 y (4)如果x=y,那么
（×）
(5)如果x=y,那么
《等式的性质》
同时加
3，得到
8=10，等式仍然成
立。
即：若 a=b，则 a+c=b+c（或 ac=b-c）。
等式的乘法性质
等式两边同时乘以（或 除以） 同一个非零数，等式仍然成立 。
即：若 a=b 且 c≠0，则 ac=bc（或 a/c=b/c）。
示例：若 6=9，两边同时乘以 2，得到 12=18，等式仍然成 立。
等式与不等式在解决实际问题中的应用
等式常用于求解未知数或验证数学定理；
不等式则更常用于解决实际问题中的大小、范围、最值等问题；
举例：利用不等式求解最优化问题（如线性规划），或者通过等式和不等式联合求 解实际问题（如方程组和不等式组的综合应用）。
高级等式性质与应
04
用
移项与合并同类项
移项
通过移项操作，可以将等式中的某些项移到等式的另一侧， 从而简化等式或解决问题。在移项时，需要保持等式的平衡 ，即等号两边的数学表达式在移项后仍然相等。
实际问题解决
等式的基本性质在几何中也有应用，例如 证明几何定理时，可以通过构建等式并应 用等式性质进行推导。
等式的基本性质可以用于解决实际问题中 的方程问题，如距离、速度、时间之间的 关系等。
等式的运算性质
02
等式的加法性质
等式两边同时加上（ 或 减去）同一个数 ，等式仍然成立。
示例：若 5=7，两边
学习等式性质的意义与价值
培养逻辑思维能力
通过学习等式的性质，我们可以培养逻辑思维能力，学会 从已知条件出发，通过逻辑推理得出未知数的解。
解决实际问题的基础
等式性质在实际问题中有广泛的应用，例如工程问题、经 济问题等。掌握等式的性质，能够帮助我们更好地解决这 些实际问题。
等式的基本性质
设一个花盆的重量为a克，一个花瓶的重量为b克。
a+b=4b
a+b-b=4b-b a=3b
等式的基本性质一：
等式的两边同时加上或减去相等的数，等式不变。
设一瓶墨水的重量为a克，一个文具盒的重量为b克。
a=2b
a×2=2b×2 2a=4b
设一个排球的重量为a克，一个小皮球的重量为b克。
人教版五年级数学上册第四单元
芦溪二小 童驰
设一个茶壶的重量为a克，一个茶杯的重量为b克。
a=2b
a+b=2b+b a+a=2b+a
1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋1个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋2个茶杯的重量＝2个茶杯的重量＋2个茶杯的重量 1把茶壶的重量＋1把茶壶的重量＝2个茶杯的重量＋1把茶壶的重量
2a=6b
2a÷2=6b÷2
a=3b
等式的基本性质二：
等式的两边同时乘或除以相等的数（0 除外），等式不变。
X＋4=48
x＋4 ○ □ =48 ○ □
X－4=48
x－4 ○ □ =48 ○ □ x÷4=48 x÷4 ○ □ =48 ○ □
x × 4=48
x × 4 ○ □ =48 ○ □
等式的性质ppt课件
科学实验中的应用
化学反应平衡
在化学实验中，等式性质可用于描述化学反应的平衡状态，确保 实验结果准确可靠。
生物学中的能量平衡
在生物学研究中，等式性质可用于描述生物体内的能量平衡，以了 解生物体的生存和生长状况。
物理学中的力矩平衡
在物理学中，等式性质可用于描述力矩的平衡，以解决与物体运动 相关的问题。
函数图像的对称性
函数图像的对称性
等式在研究函数图像的对称性方面具 有重要作用。通过对等式的分析，我 们可以确定函数的对称轴和对称中心 。
奇偶函数的性质
对称性与周期性的关系
函数的对称性和周期性是密切相关的 ，通过对等式的研究，我们可以深入 了解这种关系。
奇函数和偶函数具有不同的对称性质 ，这些性质可以通过等式进行描述和 证明。
可除性证明
假设a=b且c≠0，那么根据等 式的定义，我们可以得出 a/c=b/c。
02 等式的运算规则
等式的加减法规则
总结词
等式的加减法规则是基本的运算规则，它遵循相同的数学原理。
详细描述
等式的加减法规则是指在进行等式运算时，将等式两边的数值进行加减运算，如 果等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。例如，对于等式 (2 + 3 = 5)，如果两边同时加上(2)，得到 (4 + 3 = 7)，等式仍然成立。
几何图形的等分与对称
几何图形的等分
等式在几何图形中等分方面具有 应用，例如通过等式确定点、线 或面的位置，将图形等分为若干
部分。
图形的对称性
图形的对称性可以通过等式进行 描述和证明，例如平行四边形、
矩形和圆的对称性质。
等分与对称的应用
在几何图形中，等分和对称的应 用非常广泛，例如在建筑设计、 艺术和工程等领域中都有应用。
等式的基本性质
叫做方 未知数的值 )叫做方 )。 。 ) )
(2)求方程的解的过程叫做 解方程 求方程的解的过程叫做( 求方程的解的过程叫做
(3)比x多5的数是 。列方程为 X+5=10 比 多 的数是 的数是10。列方程为( (4)8与x的和是 。方程为 8+X=56 与 的和是 的和是56。方程为( (5)比x少1.06的数是 比 少 的数是21.5。列方程为 的数是 。 ( )。 。 X-1.06=21.5
同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？ 同学们，你知道小学数学教科书的印刷过程吗？
在一张大纸的 两面分别印上 16页教材。 页教材。 页教材
对折四次后， 对折四次后， 每页的面积是 689.75cm2。
经过装订、 经过装订、裁 边后就成了我 们看到的教科 书。
一、填空。 (1)使方程左右两边相等的 使方程左右两边相等的( 使方程左右两边相等的 程的解。 程的解。
等式两边同时乘或除以一个相同的数（ 除外），等式大小不变 除外），等式大小不变。 等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式大小不变。
解方程 3x = 18
x x x
方程两边同时除以同 一个不等于0的数，左 一个不等于 的数， 的数 右两边仍然相等。 右两边仍然相等。
解：3x÷（3）= 18÷（3 ） ÷ ÷ x =（6） （
100g
100+x＝250
100+x=100+150 100+150=250, 所以x=150。
100+x＝250 x＝150
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做 方程的解。 像上面，x=150就是方程100+x=250的解。 求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质ppt课件
代数证明方法
01
02
03
定义法
通过定义等式的性质，利 用已知条件推导出结论。
反证法
假设等式不成立，通过推 导得出矛盾，从而证明等 式成立。
消元法
通过消去等式中的未知数 ，得到一个或多个等式， 再利用已知条件推导出结 论。
几何证明方法
面积法
通过比较两个图形的面积来证明等式 。
勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理证明 等式。
结合律
(a × b) × c = a × (b × c)
分配律
a × (b + c) = a × b + a × c
除法运算性质
除法定义
01
a ÷ b = a × (1/b)
除法的反运算
02
a ÷ b = a × (1/b)
商的运算性质
03
(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b × c)
04
等式的证明方法
通过等式可以证明两条平行线的 性质，例如平行线的交角性质、
平行线的传递性等。
相似三角形性质
通过等式可以证明相似三角形的 性质，例如相似三角形的边长比
例、角度相等等。
圆的性质
通过等式可以证明圆的性质，例 如圆的周长、面积、半径等。
三角问题中的应用实例
三角函数的性质
通过等式可以证明三角函数的性质，例如正弦、余弦、正切函数 的周期性、对称性等。
不等式
表示两个量不相等的等式
条件等式
在某些条件下成立的等式
03
等式的运算性质
加法运算性质
交换律
a+b=b+a
结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
等式的性质
b1 5.能 不 能 从 a 3) x b 1得 到 等 式 ( x , a3 b1 为 什 么 ？ 反 之 ， 能 不 从x 能 得到等式 a3 (a 3) x b 1,为 什 么 ？
6.将 2 x 3 x两 边 同 除 以 ， 得2 3， 对 其 中 错 误 x 的 原 因 ， 三 名 同 学 归： 纳 甲 ： 方 程 本 身 错 误 ， 3 x 2x 乙：方程无解 丙 ： 方 程 两 边 不 能 同 除 以0 时 请谈谈你的看法
9．解方程：x+7=26．
10．解方程：7x=6x4．
11. 解方程：5x=20．
1 12. 解方程 : x 5 4 3
利用等式性质解一元一 次方程就是把方程 b ax b 0(a 0)变形，最终化为 的形式. x a
方程的解的检验: 一般地，从方程解出未知数的值以后， 可以代入原方程检验，看这个值能够使方 程的两边相等.
次方程 . (1)求 式 子 的 值 （m x）x 4m ) 3m 2 x 6; 2003 ( ( 2)求 关 于 的 方 程 m 3) 2 y x 2的 解. y (
16.已知关于 的方程 b c的解为，求 x ax 1 a b c 1的值
17.已 知3b 2a 1 3a 2b, 利用 等式 的性 质， 试比 较 与b的大 小 a .
第三章 一元一 次方程
3.12 等式的性质
+
等式的性质1 如果a=b，那么ac=bc.
3 3
等式的性质2 如果a=b，那么ac=bc.
a b 如果a b(c 0),那么 . c c
等式还有两条性质：
(1)对称性：如果 b, 那么b a . a ( 2)传递性：如果 b, 且b c， a 则a c .
等式的性质
（4）如果 0.2x=5 那么x=_.
随堂练习：
1.填空并说出是根条性质及怎 样变形（改变式子的形式）
（4）如果 0.2x=5, 那么x=_25_. 答：根据等式性质2，两
边都乘以5。
练习2： 以下等式变形，正确的是（ B）
① 由x = y，得到 x＋5 ＝ y＋5
等式的性质1:
等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
数学语言：如果 a = b，那么 a ± c = b ± c
等式的性质2：
等式两边乘同一个数（或式子），或除以同 一个非0的数（或式子）结果仍相等。
数学语言：如果 a = b，那么 a c = b c
如果
a
=
b，那么
a c
bc（c≠ 0）
习惯上，我们写为x=8.
归纳总结
1、等式的两条性质； ① 如果 a = b，那么 a ± c = b ± c ② 如果 a = b，那么 a c = b c 如果 a = b，那么 a b（c≠ 0）
cc
2、解一元一次方程的实质就是利用等式的 性质求出未知数的值
② 若 －x = y，根据_等__式_的__性__质__2_，得到 x =_－__y_ 。
随堂练习： 1.填空并说出是根据等式的哪 条性质及怎样变形（改变式子 的形式） （1）如果3x+7=8，那么
3x=8－______.
随堂练习： 1.填空并说出是根据性质及怎 样变形（改变式子的形式） （1）如果3x+7=8那么 3x=8－_7_;
② 由 2 a +1 = b+1，得到 2 a = b
③ 由 m = n，得到 a m = a n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用等式的性质解方程的几点思考
打开五年级上册的数学教材一看，第五单元就是解方程，仔细一看内容，和我小时候所学的用四则运算关系解方程截然不同。
以前也听过五年级的数学老师讲过，用等式的性质解方程太复杂了，总觉得还是原来依据四则运算关系解方程，便于教、便于学。
本文仅就与此相关的一些问题，谈谈个人的有关认识与体会。
一、新课程为什么要用等式的基本性质解方程
过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”．等等。
由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时．早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。
但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。
而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。
既然一到中学就被取代，并将彻底遗忘．为什么就不能改变，寻找一条新的可持续发展的出路呢?
现在，为了减少过渡性的、很快被淘汰的知识，为了避免中小学数学教学各自教一套，避免中学“另起炉灶”，为了促进学习的正迁移，将等式基本性质作为小学解方程的依据，使中小学解方程的思路得到基本统一，解释趋于一致。
这是一项很有意义的改革，值得我们
为之尝试、探索，积累经验。
通过实践还进一步发现，以等式基本性质为依据，有利于凸显等量关系，有助于渗透初步的方程思想和初步的数学建模思想。
这些则是改革初衷之外的收获了。
二、利用等式的性质解方程的一些困惑
利用等式的性质解方程，对于小学数学教师来说需面对并妥善解决一系列的教学实际问题。
只知道要过河，如果没有可操作的过河方法，仍然无济于事。
1．如何理解“等式的基本性质”?
新课程下的小学数学概念性的东西不多，一般都是在例题中或者练习中依靠学生自己归纳总结，而新教材对于等式的基本性质确实给出了明确的解释（见小学数学五年级上册第64页和第65页），对于这一性质，有的老师将其称为“天平原理”或者“天平平衡原理”，这都是可行的，学生理解起来也相对形象一些。
2、如有学生运用四则运算的关系解方程怎么办？
初学解方程时我一直要求学生利用等式的基本性质，但有些聪明的同学却能利用四则运算的关系来解方程。
比如，在教学解方程例1：X+3=9时，如果利用等式的性质就应该这样解：X+3-3=9-3解得X=6，讲到这个地方，班上有个同学就说：“老师，我有更简单的方法。
”我问：“你用的什么方法？”他说：“在X+3=9中，X是一个加数，加数=和-另一个加数，所以X=9-3，解得X=6，比你刚才讲的方法简单多了。
”他一说到这个地方，其他的同学也跟着附和，赞同他的方法而
否定用等式的性质解方程。
还比如，在教学例3:20-x=9时，用等式的性质解是这样的：
20-x = 9
解： 20-x+x = 9+x
20 = 9+x
9+x = 20
9+x-9 = 20-9
x = 11
而有的同学说这样太麻烦了，所以就出现了下面这种解法：
20-x = 9
解: x = 20-9
x = 11
这样做的学生说：在这个方程里，x是减数，减数=被减数-差，这样解比用等式的性质解方便多了.
面对这种情况，当时也就只是一再强调必须用等式的性质来解，而没有讲清理由，所以那节课后学生的作业基本上都是用的四则运算的关系解的方程。
后来，我请教以前上过这个知识的老师，也翻过《小学数学新课程标准》，因此我就给学生讲解：运用四则运算间的关系解方程，是可以的，但应该根据教材突出用等式性质解的思考方法为宜。
同时，给学生强调新的思考方法以后到中学解更复杂的方程时一直有用，以提高学生学习掌握根据等式基本性质解方程的积极性。
三、利用等式的性质解方程的一些教学策略
1．初学解方程，学生不习惯运用等式的基本性质时
首先，教学等式基本性质时，可以安排一些口答练习，如：b÷3=45÷3，b=( )，以便从一开始就尽可能地帮助学生初步体会等式基本性质的优势，逐步熟悉依据等式基本性质解方程的思路。
其次，教学解方程时，可以先通过复习，让学生再现、复述等式基本性质的内容，为新授作好铺垫；给出例题后，再用天平的教具或者图示表示例题的方程；同时通过明确的指导语予以思维定向．如“从今天起，我们将学习怎样用天平保持平衡的道理来解方程”。
这些都是行之有效的措施，一般来说，会有学生想到运用等式的基本性质来解方程。
由于教材在设计例题时，为了直观，选用的数据都比较小．学生一眼就能看出方程的解。
这时要求学生说出解方程的根据，显得有些“画蛇添足”。
这里，我们可以通过练习，如x+34=87，x-23=66，5x=50．x ÷7=43等，让学生说说，哪几题是在方程两边加上或减去一个数，哪几题是在方程两边乘或除以一个不等于零的数，从而使学生初步体会用天平保持平衡的道理来解方程思路比较统一的优点。
还可以告诉学生，以后进一步学习解更复杂的方程时这一优势会更加明显。
2．解决实际问题，学生列出形如a-b=x与b÷a=x的方程时这是列方程解决实际问题时学生经常会出现的现象。
对此，常用的对策有两条。
其一，引导学生根据题意，将可用加减法表示的等量关系统一成用加法表示的等量关系；将可用乘除法表示的等量关系统一成用乘法表示
的等量关系。
例如，路程÷速度=时间，路程÷时间=速度，可以归结为速度×时间=路程。
有些教师顾虑这是不是有违“算法多样化”的精神，其实这种顾虑是对课改理念的误读。
首先，同一等量关系的不同表达形式，常常并无本质差异：其次，一题多解与多题一解，算法多样化与算法优化，发散思维与收敛思维，都是相辅相成的，不应偏废。
而且，这里的收敛思维、多题一“式”，恰恰体现了列方程解决问题思路统一的特点，是必须让学生初步感悟、有所体会的。
其二，如果学生感兴趣，也可引导他们自己尝试解形如a-x=6与a=6的方程。
试举一例：王老师买了5支同样的钢笔付143元，找回1 8元．求钢笔的单价。
学生设钢笔每支x元，得143一5x=18或者(143—18)÷x=5。
怎么解呢?不妨联想天平，两边盘子内的物品交换一下，天平仍然平衡．得18=50—2x或2=(50—18)÷x，等式两边同加2x 或同乘x，得18+2x=50或2x=50—18。
有的教师把“等式两边交换”比喻为“挑担换肩”，农村的孩子有这样的生活经验，一听也就明白了。
虽然学生能用四则运算的关系解方程，但教师必须强调，为了给中学学代数打下基础，尽量要用等式的性质来解方程。
总之，新课程提倡用等式的性质解方程，思路更统一，我们应正确看待解方程方法的改变，提倡用新的方法来引领学生。