数值分析Runge插值逼近

x0=-1:0.2:1
y0=1./(1+25*x0.^2);
x=-1:0.01:1; %插值计算点
y=1./(1+25*x.^2);
m=length(x);
n=length(x0);
forj=1:m
fori=1:n-1
if(x(j)>=x0(i))&(x(j)<=x0(i+1))
yx(j)=(x(j)-x0(i+1))/(x0(i)-x0(i+1))*y0(i)+(x(j)-x0(i))/(x0(i+1)-x0(i))*y0(i+1);
由此有 .
牛顿前插公式为
.
其余项为
牛顿后插公式为
.
其余项为
在这里由于x不是等距节点，Lagrange插值曲线与原曲线比较接近，没有出现Runge现象。
给定 ，构造次数不超过 的拉格朗日插值多项式
.
称 为 关于 的 次拉格朗日插值多项式，它满足
.
其中 称为 为结点的 次插值函数，它满足
.
设 是 上关于 的 次插值多项式， 在 上有 阶连续导数， 在 上存在，则其余项为
y=1./(1+25*x.^2);
yx=csape(x0,y0,'second');
figure;
plot(x,fnval(yx,x),'r','LineWidth',2);hold on;
plot(x,y,'b','LineWidth',2);
gridon;
plot(x0,y0,'ok','markersize',6,'LineWidth',6)
1.对Runge函数 用在区间[-1, 1]下列条件作插值逼近，并和 的图像进行比较。
（1）用等距节点 ，h=0.2,绘出它的10次Newton插值多项式的图像。
（2）用节点 (i=0,1,…,10)，绘出它的10次Newton插值多项式的图像。
（3）用等距节点 ，h=0.2,绘出它的分段线性插值多项式的图像。
xlabel('x轴','fontsize',20);
ylabel('y轴','fontsize',20);
legend('Newton插值曲线','原曲线:1/(1+25*x^2)');
set(gca,'fontsize',16)
i=1:11
x0=cos((2*i-1)/22*pi)
y0=1./(1+25*x0.^2);
Matlab程序如下：
x0=-1:0.2:1; %初始数据
y0=1./(1+25*x0.^2);
x=-1:0.01:1; %插值点
y=1./(1+25*x.^2);
n=max(size(x0));
l=max(size(x));
s=1; %一次因子的乘积,预设为1
dx=y0; %差商
fork=1:l
s=1; %一次因子的乘积,预设为1
.
分段线性插值函数在区间上是一致收敛的，曲线与原曲线比较接近，不会出现Runge现象，但是需要用分段函数来表示。
①n越大，分段越多，节点间距越小，分段直线越逼近于原函数曲线；
②由于在每个节点处，分段线性插值函数都是取该点的原函数的值，故 具有很好的收敛性，不会像拉格朗日插值那样出现振荡现象；
③由于对于x点的插值，分段线性插值只用到x左右的两个节点，并且用直线直接相连，因此分段线性插值在节点处不光滑。
dx=y0; %差商
yz=y0(1);
fori=1:n-1
dx0=dx;
forj=1:n-i
dx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j));
end
df=dx(1);
s=s*(x(k)-x0(i)); %一次因子乘积
yz=yz+s*df; %计算各次Newton插值的值
三次自然样条插值曲线与原曲线很接近。
设 为三次样条插值函数，则有估计式
， .
其中：
.
可见，当 时，三次样条插值函数 及其一阶导数 、二阶导数 分别一致收敛于被插函数 、 及 .
在以上四种插值方法中，三次自然样条插值方法得到的曲线与原曲线最相近。拉格朗日插值曲线在节点附近误差很小，曲线也较为光滑，但在端点处有较为明显的振荡现象；分段线性插值曲线具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值曲线在n较小时也会在端点附近有相对较大的误差，但兼具了收敛和光滑的优点，从直观上看与原函数曲线吻合得最好。
end
yx(k)=yz
end
figure;
plot(x,yx,'r','LineWidth',2);
holdon;
plot(x,y,'b','LineWidth',2);
gridon;
plot(x0,y0,'ok','markersize',6,'LineWidth',6)
holdon
title('Newton插值曲线与原曲线比较','fontsize',24);
end
end
end
figure;
plot(x,yx,'r','LineWidth',2);
holdon;
plot(x,y,'b','LineWidth',2);
gridon;
plot(x0,y0,'ok','markersize',6,'LineWidth',6)
holdon
title('分段线性插值曲线与原曲线比较','fontsize',24);
x=-1:0.01:1; %插值计算点
y=1./(1+25*x.^2);
m=length(x);
n=11;
for k=1:m %分别对每一点进行插值
tx=x(k);%插值点
s=0;
%进入迭代计算过程
forj=0:(n-1)
t=1;
fori=0:(n-1)
ifi~=j
t=t*(tx-x0(i+1))/(x0(j+1)-x0(i+1));
holdon
title('三次样条插值曲线与原曲线比较','fontsize',24);
xlabel('x轴','fontsize',20);
ylabel('y轴','fontsize',20);
legend('三次样条插值曲线','原曲线:1/(1+25*x^2)');
set(gca,'fontsize',16)
xlabel('x轴','fontsize',20);
ylabel('y轴','fontsize',20);
legend('分段线性插值曲线','原曲线:1/(1+25*x^2)');
set(gca,'fontsize',16)
x0=-1:0.2:1ຫໍສະໝຸດ %节点y0=1./(1+25*x0.^2);
x=-1:0.01:1; %插值计算点
end
end
s=s+t*y0(j+1);
end
yx(k)=s;
end
%画图显示结果
figure;
plot(x,yx,'r','LineWidth',2);
holdon;
plot(x,y,'b','LineWidth',2);
gridon;
plot(x0,y0,'ok','markersize',6,'LineWidth',6)
（4）用等距节点 ，h=0.2,绘出它的三次自然样条线性插值多项式的图像。
解：
当x在中间取值范围时，Newton插值曲线与原曲线比较接近，但是当x在两端时，Newton插值曲线与原曲线相差越来越大，出现了Runge现象。
插值余项 .
由插值多项式的唯一性知 ，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同的余项表达式，即
holdon
title('Lagrange插值曲线与原曲线比较','fontsize',24);
xlabel('x轴','fontsize',20);
ylabel('y轴','fontsize',20);
legend('Lagrange插值曲线','原曲线:1/(1+25*x^2)');
set(gca,'fontsize',16)