不定积分的性质及应用
不定积分与定积分的概念
不定积分与定积分的概念一、引言在微积分中，不定积分和定积分是重要的概念。
它们分别可以用来描述函数和计算曲线下的面积。
本文将介绍不定积分与定积分的概念、符号表示以及它们的应用。
二、不定积分的概念不定积分，也称原函数，是指对于给定的函数f(x)，在其定义域上存在一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)。
不定积分通常用∫f(x)dx表示，其中∫表示积分号，f(x)表示要积分的函数，dx表示积分变量。
三、定积分的概念定积分是对函数在一个闭区间上的积分，表示曲线下的面积。
给定函数f(x)在闭区间[a, b]上，将[a, b]划分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，选取每个小区间的一个代表点xi，根据极限的概念，可以将定积分定义为极限值：∫[a, b]f(x)dx = lim(n->∞)Σf(xi)Δx，其中Σ表示求和的意思。
四、不定积分与定积分的关系不定积分与定积分是紧密相关的。
对于它们来说，不定积分可以看作定积分的逆运算。
具体而言，如果F(x)是函数f(x)的一个原函数，则对于闭区间[a, b]上的函数f(x)，有以下等式成立：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(b)和F(a)表示F(x)在点b和点a处的值。
五、不定积分与定积分的性质1. 基本性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx = F(x) + C成立。
2. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)，以及常数c和d，有∫[a, b](cf(x) + dg(x))dx = c∫[a, b]f(x)dx + d∫[a, b]g(x)dx成立。
3. 区间可加性质：对于闭区间[a, b]和闭区间[b, c]上的函数f(x)，有∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx成立。
六、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在各个科学领域都有广泛的应用。
不定积分的基本性质与计算方法
不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中非常重要的一个概念，其基本性质和计算方法对于理解和应用积分学都具有至关重要的作用。
本文将围绕不定积分的基本性质和计算方法展开探讨，旨在帮助读者对这一概念有更深入的理解。
1. 基本性质1.1 线性性质：不定积分具有线性运算的性质。
即对于任意常数a、b以及函数f(x)和g(x)，有以下的性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx1.2 累加性质：若在区间[a, b]上函数f(x)和g(x)的原函数存在，则有以下的性质：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx1.3 替换性质：不定积分中可以进行变量替换。
若有函数u=g(x)为可导函数，且f(x)在u的值域上连续，则有以下的性质：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du （其中，du=g'(x)dx）2. 基本计算方法2.1 使用基本积分表：基本积分表提供了一些常见函数的不定积分形式，通过查表可以快速计算积分。
例如：- 若函数f(x) = k，其中k为常数，则∫k dx = kx + C- 若函数f(x) = x^n，其中n≠-1，则∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （其中，C为常数）- 若函数f(x) = e^x，则∫e^x dx = e^x + C （其中，C为常数）2.2 利用换元法：对于一些复杂函数，可以通过变量替换来简化不定积分的计算过程。
常见的换元法包括：- 代数换元法：通过令u=g(x)进行变量替换，使得积分表达式变得更简单。
- 三角换元法：适用于含有三角函数的不定积分，通过三角函数的性质进行变量替换。
- 指数换元法：适用于含有以e为底的指数函数的不定积分，通过指数函数的性质进行变量替换。
2.3 利用分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题。
不定积分的概念与性质及基本积分公式
不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。
在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。
一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。
二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。
3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。
三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。
c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。
d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。
e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。
2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。
b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。
3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。
e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。
1。
1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
第3-1不定积分的概念和性质
(8)
(9)
tan x C sec x d x
2 csc x d x cot x C
(10) (11)
(12)
(13)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C dx 1 x arctan x C 或 arc cot x C
其中
— 积分号;
— 积分变量; C —积分常数
— 被积函数; — 被积表达式.
例如,
2 x dx x C cos xdx sin x C
2
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: 设此曲线方程为y f ( x ),
2
2
6. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
7. 已知 求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
2
Ax
2
2
1 x2
B 1 x2
( A B ) 2 Ax
2
dx 1 x2
arcsin x C 或 arc cos x C
例2. 求 解: 原式 = 3 2 dx 4
x
1 1 x2
dx 5 csc 2 xdx
3 x 2 4arcsin x 5cot x C ln 2
3 ( x 1 ) 例3. 求 x 2 dx . 3 2 x 3 x 3 x 1 解: 原式 = dx 2 x 3 1 ( x 3 2 )dx x x
不定积分基本概念
不定积分基本概念数学中的积分是微积分的重要概念之一。
在求解函数的不定积分时，我们会遇到一些基本概念，本文将对这些概念进行详细介绍。
1. 不定积分的定义不定积分是求解一个函数的原函数的过程。
若函数F(x)在区间[a, b]上可导，且对于该区间上任意一点x，都有F'(x) = f(x)，则F(x)就是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
我们将F(x)称为原函数，而f(x)称为被积函数。
不定积分表示为∫f(x)dx，其中∫表示积分运算。
2. 不定积分的性质不定积分具有如下几个重要的性质：- 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx +b∫g(x)dx。
即不定积分具有可分配律。
- 求导与积分的关系：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x) = f(x)，同时也可以推出f(x)是F(x)的一个原函数。
- 积分的逆运算：对于连续函数f(x)，如果它在区间[a, b]上的一个原函数存在，那么∫(f'(x))dx = f(x) + C，其中C表示常数项。
3. 常见的不定积分公式在求解不定积分时，我们常常会用到一些常见的不定积分公式，下面列举一些常见的例子：- 常数函数的不定积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。
- 幂函数的不定积分：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，C为常数项。
- 正弦函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，其中C为常数项。
- 余弦函数的不定积分：∫cosxdx = sinx + C，其中C为常数项。
4. 换元积分法换元积分法是求解复杂函数不定积分的一种常用方法。
它通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
换元积分法的基本步骤是：- 选择适当的变量代换，将不定积分转化为新变量的积分表达式。
- 对新变量进行积分运算，得到结果。
不定积分的性质与基本积分公式
不定积分的性质与基本积分公式不定积分是微积分中一个重要的概念，用于求解给定函数的原函数。
在实际应用中，不定积分可以用于求解曲线的长度、曲线下的面积、物体的质心等问题。
本文将介绍不定积分的性质和基本积分公式。
1.不定积分的定义不定积分是对函数进行积分运算的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可导。
称满足F′(x) = f(x)的函数F(x)为f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
记为F(x) = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
这里的F(x)就是f(x)的一个原函数，符号∫f(x)dx称为不定积分。
2.不定积分的运算性质（1）线性性质：若F(x)和G(x)都是f(x)在区间[a,b]上的原函数，则c1F(x)+c2G(x)也是f(x)在区间[a,b]上的原函数，其中c1和c2为常数。
（2）积分和导数的关系：若F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
即：（F(x)+C）'=F'(x)=f(x)。
（3）换元法则：设u = g(x)是一个可导函数，f(u)在区间[a, b]上连续，且f(g(x))g′(x)在[a, b]上连续，则∫f(g(x))g′(x)dx =∫f(u)du。
（4）分部积分法则：设u = u(x)和v = v(x)是可导函数，且u′(x)和v′(x)在[a, b]上连续，则∫u′(x)v(x)dx = u(x)v(x) -∫v′(x)u(x)dx。
（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中C为常数。
（2）幂函数：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C，其中C为常数。
（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec^2xdx = tanx + C，其中C为常数。
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又因所求曲线过点 ( 0, 1 ), 代入上式 , 得 C = - 1. 于是所求的曲线为 y = sinx - 1. 五、 不定积分的应用 根据不定积分的 定义和 性质 , 由 于不 定积 分和 导数 互 为逆运算 , 所以根 据记 住一 些基本 的公 式可以 更好 的应 用 到求不定积分的求解中 . 1 基本积分表的使用, 这里就不一一写积分表的公式了 . 2 根据不定积分的性质 和积 分表 , 由于 不定 积分 的计 算有很多的类型和技巧 , 把 这些类型和技 巧加以 梳理 , 不定
f ( ( x ) ) d ( x ).
由此可以看出 , 利用 换元 法可 以转 换成 我们 经常 用的 形式来运算 . 换元 法中 常 用的 有 有理 代 换 倒 代 换 法 三角 代换 指数代换 等等 , 形式很灵活的 . 第二种 分部积分法 这种方法是建 立在导 数乘 法法 则的 基础 上推 出来 的 , 过程如下 : ( uv ) = u v + uv , ( uv ) dx = uv = u vdx + u vdx + uv dx, uv dx, uv dx = vu u vdx.
也可以换句话说 , 函 数之和 的不 定积 分就 等于 各个 函 数的不定积分之和 . 性质 3 设 函数 f ( x )的原函数存在 , k 是常数 , 则 kf ( x ) dx = k f ( x ) dx.
换句话说 : 要求出不定积分 , 只 需要求出 被积函 数的一 个原函数 , 然后加上积分常数就行 . 3 从原函数和不定积分的定义可以得出 两者的关系 积分运算与微分运算之间有如下 的互逆关系 : [ f ( x ) dx ] = f ( x )或 d [ f ( x ) dx ] = f ( x ) dx, 此公
94
专题研究
ZHUANT I YANJIU
积分的求解可以归纳为以下几种方法 : 第一种 换元法 设 f ( u)原函数存在 , 同时 u = ( x )可导 , 则利 用换元法 公式如下 : f [ (x ) ] 即 f [ (x) ] ( x ) dx = ( x ) dx = f ( u ) du |u = ( x ),
这个性质 , 可 以 由性 质 2 推 出 来 , 如 果函 数 f1 ( x ) = f2 ( x ) = = fn ( x ), 则可以得出性质 3. 性质 3 也可以这么说 , 求解不 定积分 时 , 被 积函数 有不 为零的常数因子就可以提到积分号的外面来 . 四、 不定积分的几何意 义 根据不定积分的定义和 性质 , 可以 知道函 数 f ( x ) 的原 函数图形称为 f ( x )的积 分曲线 , 此积 分曲线 为一 族积 分曲 线 , f ( x ) 为积分曲 线的 斜率 , 即曲 线的 切线 , 那 么在 这族 积 分曲线上的横坐标相同点处作切 线 , 会得 到切线 彼此平 行 , 因此也就组成了平行曲线族 . 这就是不定积分的几何意义 . 几何意义的实际 应用 : 如果 我们 要求 出积 分曲 线族 中 的某一条特定的曲线 , 就必 须另外再增加 条件 , 根据这 个条 件确定积分常数 C 的值 , 就可以 求出所需曲线 . 例 曲线过点 ( 0, 1 ), 且曲线上任一点 处的切线 斜率等 于该点横坐标的余弦值 , 求 此曲线 . 解 设所求的曲线为 y = f ( x ) , ( x, y )为曲 线上任一 点 . 由导数的几何意义和题设条件可知 y = f ( x ) = cosx. 由此可求得 y = cosxdx = sinx + C.
从上面 式中可以看出 , 若被积 函数可 以表示 为 uv 的 形式 , 则可以利用 式进行计算 . 第三种 特殊函数形式的灵活转 化 在求不定积分的时候 , 可以通过 1 的不同转化形式 , 得到 自己熟悉的形式 , 从而简化操作. 比如在存在三角函数的不定 积分中 , 就可以想到 1 的妙用 . 当被积函数由三角函数所组成 时 , 经常利用三角恒等式将被积函数简化 . 常用的三角恒等式 是倍角公式、 两角和公式和积化和差公式等 , 如: 1 2 1= sin x + cos2 x, cos2 x = ( 1+ cos2x ), 2 1 s in2 x = ( 1- co s2x ) . 2 还可以总结出以下两个降低幂次 的万能公式 : 1 f ( xn ) xn - 1 dx = f ( xn ) dxn , n 1 1 1 f ( xn ) dx = f ( xn ) n dxn . x n x (上接 92 页 ) 结合 ( 9 ) ( 10) 可知 U 和 E 是有界线性算子 . 定理 ( A + U + E ) 生成某个正压缩 C 0 半群 T ( t). 证明 根据 C 0 半群的唯一性 (A + U + E )生成的正 压缩 C 0 半群正是 T ( t) . 根 据 Banach 空间 理论 , 可以证 明 X 的共轭空间为 X * = { q* R L [ 0, ) L [0 , ) | | | |q* | | | = sup{ | q0 |, sup qn L [ 0, ) } < }.
ZHUANTI YAN JIU
专题研究
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不定积分的性质及应用
吴晓 庆 李佳俞 (安阳师范学院 455000) 摘要 本文主要 对不定 积分的 性质和 应用 进行研 究 , 归纳了几种求解 不定 积分的 方法 , 能 熟练的 掌握 和应 用这 几种方法对于解 决不 同形式 的不 定积分 问题 很有 帮助 , 能 够灵活应用拓宽思路 , 有效的求解不定积分 . 关键词 原函数 ; 不定 积分 的定义 ; 不 定积 分的性 质 ; 不定积分的应用 一、 微积分的历史发展 很早以前 , 微分和积分被作为两类 不同的 数学问 题 , 不 同的数学运算 , 分别加以研究的 . 但随着欧 洲科学技 术的迅 猛发展 , 生产力的不 断提高 和社 会科 学领域 等方 面的 迫切 需要 , 经各个国家科学家的努力与历 史的丰富 积累 , 微积分 理论在函数与极 限概 念基础 上应 运而生 了 . 牛顿 从物 理方 向 , 莱布尼茨从哲学 方向把 积分 和微 分真正 意义 的沟 通起 来 , 确定了两者之间内在的直接关系 : 微分 和积分运 算是互 逆的 , 从而创立了现在的微积分 . 二、 原函数与不定积分 要更好的引入不定积分 , 先从原函 数的定 义出发 , 然后 得出不定积分的定义 , 明白两者的关系很重要 . 1 原函数的定义 如果在区间 I 上 , 可导函 数 F ( x ) 的导 函数为 f ( x ), 即 对于任何一个 x I 都有 F ( x ) = f ( x )或 dF ( x ) = f ( x ) dx, 那 么函数 F ( x )就称为 f ( x )在区间 I 上的一个原函数 . 因为常数 C 的导数为 0, 所 以当函数 F ( x ) 是 f ( x )在区 间 I 上一个原函数时 , [ F ( x ) + C ] = f ( x ), 因此 可以得 出 , f ( x )在区间 I 上的原函数不是唯一存在的 , 而有无穷多的原 函数 . 要注意到原函数是一个与区间相关的概念 . 2 不定积分的定义 若 F ( x ) 是 f ( x )在某区间 I 上的一个原函数 , 则 f ( x )的 全体原函数 F ( x ) + C ( C 为任意常数 )称为 f ( x )在该区间上 的不定积分 , 记为 f( x ) dx, 即 f ( x ) dx = F ( x ) + C. 分常数则表示只求出了一个原函数 . 积分的结果在 形式上 可能 有所 不同 , 但 实质 上只 相 差一个常数 . 三、 不定积分的性质 通过不定积分的定义 , 深入的了解不 定积分 的性质 , 更 好的解决不定积分的问题 . 性质 1 F ( x ) dx = F (x ) + C 或 dF ( x ) = F (x ) + C.
n 1
利用这两个公式 可以简 化很 多复 杂的 幂函 数 , 所以 灵 活应用特殊函数可以达到事半功倍的效果 . 第四种 分段函数的求解 由于求不定积分可能会遇到绝对值、 分段、 定义域不连续 等情况, 所以对分段函数的求解要考虑周全 , 同时也要考虑到 原函数的连续性问题 , 但基本的方法还是前面讲到的方法 . 六, 总 述 综上所述 , 在理 解不 定积分 的定 义的 基础 上要 搞清 楚 被积函数、 原函数与不定积 分之间的关系 , 还有 不定积 分的 几何意义的理解 . 求解一个 不定积分时 , 不同的 思路就 可以 产生不同的解法 . 一般 思路来 说 , 求解 不定 积分 的时 候 , 首 先考虑到是否能用 不定 积分的 性质 , 或 者是将 被积 式进 行 化简 , 再直接求解 ; 其 次考 虑的是 能否 可用 换元 法 ; 最后 考 虑到的是分部积分法 , 或综 合使用上述方 法 , 或 者是一 些特 殊的函数 . 可以看出不定积 分的求解是非 常灵活 的 , 可 以根 据形式的不同 , 把最基本的 方法应用到当 中去 , 以上的 几种 方法也是经常用到的 , 但并 不拘泥于这几 种 , 所 以以后 可以 根据具体的题目 , 灵活的改 变方法 , 在此也就不 能一一 举例 说明了 , 主要靠经 验的 积累 . 前面 也提 到 , 不定 积分 的性 质 说明微分与积分两 者是 互为逆 运算 的 , 因此我 们可 以利 用 求导数的方法来验证积分的结果 . 参考文献 [ 1] 徐志庭 , 刘名生 , 冯伟贞 . 微积 分 . 北京 : 科学 教育出 版社 , 2009. [ 2] 吴赣昌 . 高 等 数 学 [ M ]. 北 京 : 中 国人 民 大 学出 版 社 , 2009. [ 3] 李文林 . 数学史教程 . 北京 : 高 等教育出版社 , 2000. [ 4] 王高雄 , 周之铭 , 朱思铭 , 王寿 松 . 常微 分方程讲 义 . 第二版 . 北京 : 高等教育出版社 , 1983. [ 5] 同济大 学 应用 数 学系 主编 . 高等 数学 . 第 四 版 . 北 京 : 高等教育出版社 , 2002 . [ 6] 同济大 学 应用 数 学系 主编 . 高等 数学 . 第 五 版 . 北 京 : 高等教育出版社 , 2002 .