边角网平差中的坐标初值

图 1. V T PV 与参数之间的关系示意图 上图只是一个示意图， 它实际上应该是一个多维曲面，维数等于参数的个数。当平差模型 为线性模型时，该多维曲面只有一个极小值，这时平差结果将与初值无关。对于距离、角度或 方向观测值， 平差模型是非线性的，该多维曲面将可能有多个极小值和多个极大值。准确的平 差过程是先确定一组初值，迭代使 V T PV 趋近于上图中最小的极小值。若迭代使 V T PV 趋近 于其它极小值，则平差出错(由初值不当引起)。若迭代使 V T PV 越来越大，则平差发散。 在求边角网中各点平差初值(近似坐标)的方法中，最容易实现的是指定推算路线，用极坐 标、 前方交会或后方交会等方法求出各点初值，早期的平差程序经常采用这种方法，另一种求 近似坐标的方法是根据观测资料，将观测数据拓扑化，由程序自动找出推算平差初值的路线， 这种方法编程较复杂， 难以普及。这两种方法求得的近似坐标具有相当的准确性，在没有多余
0
先定出各点的近似坐标， 按 V T PV = min ，由(1)式组成法方程，即可平差求得各点坐标。 对某测边网，网形如图 2 所示。1(100，100)、2(200，100)、3(100，200)为已知点，另外 的 4、5 为待定点，边长观测值如表 1 所示。 起点 1 2 3 4 2 3 图 2. 某边角网网 表 1. 边长观测值 平差采用两种方案， 方案 1 相当于将坐标初值点位取在网的左下方，方案 2 相当于将坐标 初值点位取在网的上方。平差时边长精度取为 2mm+2PPm。 点号 方案 1 近似坐标初值 平差值 x 149.992 y 149.992 方案 2 近似坐标初值 平差值 x 149.997 199.995 y 149.997 199.995 终点 4 4 4 5 5 5 测得边长 70.7 70.7 70.7 70.7 100.0 100.0
( )
∆ y0 ij
( )
∆x 0 ij
( )
∆y 0 ij
( )
∆x 0 ij
∆y 0 ij −1
(2)
式中的 Vk 指第 k 个方向观测值 α ij 的改正数，i、j 为方向观测值的测站点和目标点， Zi0 为测 站 i 上零方向的方向角未知数(它是线性量，与初值无关)， ( x i ，y i ) 为 i 点的坐标，上标 0 表 示初值， ρ 0 为由近似坐标求得的两点间的边长值，括号中的数字表示由 i、j 两点坐标反算方 向角时，由相对位置确定的要不要加 1800 或 3600 。角度是同一测站上的两个方向相减，故角 度的误差方程就是两个(2)式相减， Zi0 被消区，但要不要加 1800 或 3600 的问题仍然存在。 由(2)式，先定出各点的近似坐标，按 V T PV = min ，即可平差求得各点坐标。 由测边网相比，角度或方向观测值在组成误差方程时，近似坐标初值的取值要复杂一些， 因为初值决定的点与点的相对位置要影响要不要加 1800 或 3600 的问题，这相当与图 1 中有多 个极值。 仍以图 2 的网形为例，观测了所有的方向，试算表明，若 4、5 号点的坐标初值的取值与 1、2、3 三个点的相对位置准确，即 4 号点初值落在由 1、2、3 三点组成的方形内部，5 号点 初值在 4 号点的右上方，则平差能收敛到准确值上。若 4、5 号点的坐标初值不能满足以上关 系，则平差时会出现求逆错或收敛到错误结果上。 2.3 边角网 由于全站仪的广泛使用，边角网是常规控制网施测的主要手段。其法方程由(1)和(2)两种 误差方程形成。 仍以图 2 所示的网形为例，计算表明的情况与 2.2 中的结果相同。 三、结束语 本文讨论了边角网平差中待定点坐标初值的几何意义。 对于测边网，待定点的坐标初值可以任取，只要保证任何两点的近似坐标初值不同即可， 但在所观测距离不能唯一决定网形时(如上例中的 5 号点) ，需要预先指定网形。对于观测了 角度或方向的网，近似值初值取值不当时，平差可能会出现求逆错或不收敛。 因此， 对任意边角网，只要待定点的坐标初值与全网各点间的相对关系一致，即点间的象 限关系准确，平差就可收敛到正确结果上，待定点坐标初值的精度与平差结果无关。 在实际工程测量中， 边角网观测前要经过选点埋石， 选点用的草图就可用来确定待定点的 坐标初值， 在由于计算机的普及和发展，草图可以很容易被直观地输入计算机。这种方法可以 避免输入推算路线，也不必复杂的拓扑化编程。
边角网平差中的坐标初值
裘晓维 1 (湖州市城乡规划管理处) 王解先 2 (同济大学)
摘要 本文讨论边角网平差中， 平差初值的取值问题，及其几何意义，通过实例得出了初值不必 很准，只要能反应点与点之间相对位置即可的结论。 一、前言 在一般的工程建设中，总是先建立一个控制网，边角网是其中最常见的形式，如导线网、 三角网、测边网等。在边角网的平差计算时，要先确定网中各点的平差初值(近似坐标)，再进 行平差。 平差初值所起的作用是在组成误差方程时，有线性化初值，平差计算是一个迭代至收 敛的过程， 这个过程就是平差初值向最或是值趋近的过程。 所取的初值应该使得平差结果收敛 到最或是值上，若起始近似坐标取得不当，则平差可能发散，或收敛到非最或是值上。
观测的情况下，它们就是平差的最后结果。 本文将讨论边角网平差中，坐标初值需要的准确程度和取法。 二、边角网平差中的近似坐标 2.1 测边网 对于测边网，误差方程可写为：
Vk = ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 − D ij
= ∆x 0 ij ρ
0
δx i +
∆ y0 ij ρ
2.2 测角网或测方向网 对于由方向观测值组成的网，误差方程可写为：
00 y j − yi 0 −1 Vk = tg − α ij − Zi0 + 180 x j − xi 3600 00 0 = − α ij + 180 2 δx i − 2 δy i − 2 δx j + 2 δy j − Zi 0 + tg 0 ∆x ij ρ0 ρ0 ρ0 ρ0 3600
$ = (x $1 和其它参数，最小二乘平差就是求定一组 X
二乘法中， V T PV = min 是通过
以 V 表示观测量的改正数， P 表示观测量的权矩阵，X = ( x 1
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
$ n ) ，满足 VT PV = min 。在最小 L x
L x n ) 表示待定点坐标
T
∂VT PV = 0 来实现的。若某网平差时 VT PV 与参数 X (各点 ∂X ∂VT PV 坐标和其它有关参数)的关系可用图 1 来示意， 则将有 5 组 X 满足 = 0 ，即将可解出 5 ∂X 种结果，而其中只有 X3 这组解满足 V T PV = min 。对平差初值 X 0 的要求就是要在迭代过程 中， X 0 趋近于 X3。
0
0
δ yi −
∆x 0 ij ρ
0
δx j −
∆y 0 ij ρ
0
δy j + ρ 0 − D ij
(1)
式中的 Vk 指第 k 条边长观测值 D ij 的改正数， i、 j 为该边的两个端点，( x i ，y i ) 为 i 点的坐标， 上标 0 表示初值， ∆x ij 、 ∆y ij 、 ρ 0 为由近似坐标求得的两点间的坐标差和边长值。
x
4 5
0
y
0
x
0
y
0
0.0 -10.0
0.0 -10.0
200.0
300.0
100.0 100.0 0.0 200.0 表 2. 取不同的近似值测边网的平差结果
表 2 的结果表明，按 2 套不同初值的方案平差，求出的 4 号点坐标是一致的，而 5 号点的 结果相对于 2、4、3 三个点的连线对称，仔细分析可以看出，这两种结果都以最小二乘满足表 1 的观测值，就是说，仅有以上观测值不能唯一确定 5 号点的位置。相当于图 1 有两个相等(观 测精度范围内)的 V T PV 极小值。4 号点的平差结果与初值无关，因为观测值能唯一决定其点 位，5 号点的平差结果与初值有关，因为观测值不能唯一决定其点位，若初值点位在 2、4、3 三点连线的上方，则平差结果同方案 2，若初值点位在 2、4、3 三点连线的下方，则平差结果 同方案 1。 坐标初值的取值应使得 ρ 0 ≠ 0 (分母不能为零)，即各点的近似坐标初值不能完全相同。