2016届高考数学一轮复习第19讲《同角三角函数的基本关系与诱导公式》ppt课件

2014π 4π 解析：sin(－ )＝－sin(670π＋ ) 3 3 π π 3 ＝－sin(π＋ )＝sin ＝ . 3 3 2
3 4．(2012· 河南省驻马店市 5 月)已知 cos(π＋x)＝ ， 5 x∈(π，2π)，则 sin x 等于( B ) 3 A．－ 5 3 C. 5 4 B．－ 5 4 D. 5
tan α 1 解析：由 ＝－1，得 tan α＝ ， 2 tan α－1
2 2 3sin α ＋ sin α cos α ＋ 2cos α 2 所以 sin α＋sin αcos α＋2＝ sin2α＋cos2α
3tan2α＋tan α＋2 ＝ tan2α＋1 12 1 3× ＋ ＋2 2 2 13 ＝ ＝ . 12 5 ＋1 2
【拓展演练 3】 (1)已知 cos x－sin x＝1， 求(cos2013x＋sin2013x)2； 1－sin6x－cos6x 3 (2)证明： 4 4 ＝ . 1－sin x－cos x 2
分析：遇到条件 cos x－sin x＝1，可运用平方法， 求得 sin xcos x，代入求解． 解析：(1)由 cos x－sin x＝1，可得 1－2sin xcos x＝1， 则 sin xcos x＝0，即 sin x＝0 或 cos x＝0. 当 sin x＝0 时，cos x＝1＋sin x＝1， 得(cos2013x＋sin2013x)2＝1； 当 cos x＝0 时，sin x＝cos x－1＝－1， 得(cos2013x＋sin2013x)2＝1. 综上可知，(cos2013x＋sin2013x)2＝1.
(2)证明：因为 sin2x＋cos2x＝1， 所以 1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2， 1－sin6x－cos6x 1－sin4x－cos4x sin2x＋cos2x3－sin6x－cos6x ＝ sin2x＋cos2x2－sin4x－cos4x 3sin4xcos2x＋3cos4xsin2x ＝ 2sin2xcos2x 3sin2x＋cos2x ＝ 2 3 ＝ . 2
π π 3 7 4.(2012· 山东卷)若 θ∈[ ， ]， sin 2θ＝ ， 则 sin θ＝( D ) 4 2 8 3 A. 5 7 C. 4 4 B. 5 3 D. 4
π π 3 7 解析：(方法一)因为 θ∈[ ， ]，sin 2θ＝ ， 4 2 8 所以 cos 2θ＝－ 3 解之得 sin θ＝ . 4
π 1 1 (方法二)由 tan (θ＋ )＝ ，得 tan θ＝－ ， 4 2 3 cos θ 1 9 所以 cos θ＝ 2 ＝ . 2 ＝ 2 sin θ＋cos θ tan θ＋1 10
2
3 10 2 10 又 θ 是第二象限角，所以 cos θ＝－ ，sin θ＝ ， 10 10 10 所以 sin θ＋cos θ＝－ . 5
3 7 2sin θcos θ＝ 8 (方法二)联立 2 2 sin θ＋cos θ＝1
3 72 1－ ＝1－2sin2θ， 8
，
3 解之得 sin θ＝ . 4
5π π π 解析：(1)原式＝sin(4π＋ )＋cos(10π－ )－tan(6π＋ ) 6 3 4 5π π π ＝sin ＋cos －tan ＝0. 6 3 4 3π sin －αtanπ＋α －cos αtan α 2 (2)f(α)＝ ＝ ＝cos α， tanπ－α －tan α 31π 31π 31π π 所以 f(－ )＝cos(－ )＝cos ＝cos(10π＋ ) 3 3 3 3 π 1 ＝cos ＝ . 3 2
第19讲 同角三角函数的基本关系
与诱导公式
3 3π 1．(改编)已知 sin αcos α＝ ，π<α< ， 8 2 则 sin α＋cos α 的值为 .
3π 解析：因为 π<α< ，所以 sin α＜0，cos α＜0， 2 所以 sin α＋cos α＝－ sin α＋cos α2 ＝－ 1＋2sin αcos α ＝－ 3 7 1＋ ＝－ . 4 2
5π 1 1.(2013· 广东卷)已知 sin( ＋α)＝ ，那么 cos α＝( C ) 2 5 2 A．－ 5 1 C. 5 1 B．－ 5 2 D. 5
5π π 1 解析：sin( ＋α)＝sin( ＋α)＝cos α＝ ，故选 C. 2 2 5
2.(2012· 辽宁卷)已知 sin α－cos α＝ 2，α∈(0，π)， 则 tan α＝( A ) A．－1 2 C. 2 2 B．－ 2 D．1
解析：由 sin α－cos α＝ 2，得 1－2sin αcos α＝2， 1 所以 sin αcos α＝－ ， 2 sin αcos α 1 tan α 1 所以 2 ＝－ ， 2 ＝－ ，所以 2 2 2 sin α＋cos α tan α＋1 所以 tan α＝－1.
3.(2013· 全国新课标卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角， π 1 若 tan(θ＋ )＝ ，则 sin θ＋cos θ＝ 4 2 .
2．(2012· 金华十校期末)已知 tan α＝2， 6sin α＋cos α 则 ＝ 3sin α－2cos α .
解析：将原式分子、分母同时除以 cos α， 6tan α＋1 13 得原式＝ ＝ . 3tan α－2 4
2014π 3．(原创)sin(－ )的值是( C ) 3 1 A. 2 3 C. 2 1 B．－ 2 3 D．－ 2
三
公式sin2α＋cos2α＝1的巧用
1 【例 3】已知 sin θ－cos θ＝ ，求： 2 (1)sin θcos θ； (2)sin3θ－cos3θ； (3)sin4θ＋cos4θ.
1 1 解析：(1)sin θ－cos θ＝ ，平方得 1－2sin θcos θ＝ ， 2 4 3 sin θcos θ＝ . 8 (2)sin3θ－cos3θ＝(sin θ－cos θ)(sin2θ＋sin θcos θ＋cos2θ) 1 3 11 ＝ (1＋ )＝ . 2 8 16 (3)sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ 9 23 ＝1－2× ＝ . 6ห้องสมุดไป่ตู้ 32
【拓展演练 1】 1 已知 cos(75° ＋α)＝ ，其中 α 为第三象限角， 3 求 cos(105° －α)＋sin(α－105° )的值．
解析：cos(105° －α)＝cos [180° －(75° ＋α)] 1 ＝－cos(75° ＋α)＝－ ， 3 sin(α－105° )＝－sin(105° －α) ＝－sin [180° －(75° ＋α)] ＝－sin(75° ＋α)．
二
利用同角公式进行弦切转化
1 1 【例 2】(1)(改编)化简：(tan x＋ )· 等于( tan x tan2x＋1 A．tan x C．cos x B．sin x 1 D. tan x )
(2)如果 f(tan x)＝sin2x－5sin xcos x， 那么 f(5)＝________.
sin x cos x 1 解析：(1)( ＋ )· cos x sin x sin2x ＋1 cos2x sin2x＋cos2x cos2x 1 ＝ · ＝ ，故选 D. sin xcos x sin2x＋cos2x tan x
1 因为 cos(75° ＋α)＝ ，且 α 为第三象限角， 3 所以角 75° ＋α 为第三或四象限角． 所以 sin(75° ＋α)＝－ 1－cos275° ＋α ＝－ 12 2 2 1－ ＝－ ， 3 3
1 2 2 2 2 －1 则 cos(105° －α)＋sin(α－105° )＝－ ＋ ＝ . 3 3 3
2 sin x－5sin xcos x 2 (2)f(tan x)＝sin x－5sin xcos x＝ sin2x＋cos2x
tan2x－5tan x ＝ ， tan2x＋1 52－5×5 所以 f(5)＝ 2 ＝0. 5 ＋1
【拓展演练 2】 tan α 已知 ＝－1，求 sin2α＋sin αcos α＋2 的值． tan α－1
tan θ＋1 1 π 1 解析：(方法一)因为 tan(θ＋ )＝ ，即 ＝ . 4 2 1－tan θ 2 1 所以 tan θ＝－ ，所以 cos θ＝－3sin θ，① 3 又 sin2θ＋cos2θ＝1，② 且 θ 是第二象限角，③ －3 10 10 由①②③得 sin θ＝ ，cos θ＝ ， 10 10 10 所以 sin θ＋cos θ＝－ . 5
3 3 解析：由 cos(π＋x)＝ ，得 cos x＝－ ， 5 5 4 又因为 x∈(π，2π)，所以 sin x＝－ 1－cos x＝－ . 5
2
一
诱导公式的应用
【例 1】(改编) 29π 29π 25π (1)sin ＋cos(－ )＋tan(－ )＝__________； 6 3 4 3π sin －αtanπ＋α 2 (2)已知 f(α)＝ ， tanπ－α 31π 则 f (－ )的值为( ) 3 1 1 A．－ B. 2 2 3 3 C. D．－ 2 2