高一数学(1)不等式的性质

合集下载

高一基本不等式题型及解题方法

高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学的重要内容之一，也是数学中的基本概念之一。

在学习基本不等式时，首先要了解不等式的概念和性质。

不等式是数学中的一种等式变种，它是用不等号表示的数学关系式。

不等式具有反身性、传递性和对称性等性质。

在解决不等式问题时，首先要理解其性质，然后根据不等式的性质来解题。

二、基本不等式的类型基本不等式可分为线性不等式、一元二次不等式和高次不等式等类型。

下面来分别介绍这几种不等式及其解题方法。

1.线性不等式线性不等式是最基本的不等式类型，它可以表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。

解决线性不等式问题时，可以通过移项、交叉乘除、取绝对值、分情况讨论等方法进行求解。

例如，要解决不等式2x+5>7，则可以通过移项得到2x>2，再除以2得到x>1，这样就得到了不等式的解集{x|x>1}。

2.一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式。

解决一元二次不等式问题时，可以通过因式分解、配方法、求导数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^2-4x+3<0，则可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)<0，再通过分情况讨论得到不等式的解集1<x<3。

3.高次不等式高次不等式是包括二次以上的多项式不等式，它可以表示为f(x)>0或f(x)<0的形式。

解决高次不等式问题时，可以通过因式分解、分情况讨论、取对数等方法进行求解。

例如，要解决不等式x^3-3x^2+2x>0，则可以通过因式分解得到x(x-1)(x-2)>0，再通过分情况讨论得到不等式的解集{x|x<0或1<x<2}。

三、基本不等式的解题方法解决基本不等式问题时，首先要理解不等式的类型和性质，然后根据不等式的性质来选择合适的解题方法。

高中必修高一数学PPT课件不等式的性质

3.数轴的三要素：
原点、长度单位、正方向
4.如何表示数轴上两个点所对数的大小：
数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数。
B 。 A 。
bLeabharlann a5.如图，A、B是数轴上的两个点，A、B所对数分别为a、b，试比较a-b与0的大小
a>b a-b>0
a a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右边. 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个的左边小于右边.
2 2
(a a 1)(a a 1)的大小。
2 2
课外作业：
1.书P8习题6.1（1—3） 2. 设 a 0 且 a 1 , t 0 1 t 1 的大小. log t 与 log a a 比较 2 2
3.比较M a 1 a和N a a 1的大小（a 1 ）.
解：(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 0
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
2 2 4 2 ，比较 ( x 1) 与x x 1 的大小例2.已知 x 0

高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.

由21≤≤ff1－≤14≤，2，得320≤ ≤ab≤ ≤332， . ∴3≤f(－2)＝4a－2b≤12.上述解法是否正确？为什么？
2.在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断.作差法变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等.
3.利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步.
[再练一题] 1.已知A＝1x＋1y，B＝x＋4 y，其中x，y为正数，试比较A与B的大小.
【解析】 a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立.又a>b ⇒a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证C成立.显然D成立.事实上，指数函数y＝12x是减函数，所以a>b⇔12a<12b成立.
【答案】 D
教材整理 2 一元一次不等式的解法关于 x 的不等式 ax>b， (1)当 a>0 时，该不等式的解集为ba，＋∞； (2)当 a<0 时，该不等式的解集为－∞，ba； (3)当 a＝0 时，若 b<0，则该不等式的解集为 R；若 b≥0，则该不等式的解集为 ∅.
不等式组xx＞＋m9＜＋51x＋1，的解集是{x|x＞2}，则m的取值范围是(
)
【导学号：38000000】
A.m≤2
B.m≥2
C.m≤1 【解析】
D.m≥1 原不等式组可化为xx＞＞m2，＋1. ∵解集为{x|x＞2}，∴m＋1≤2，
∴m≤1. 【答案】 C
教材整理3 一元二次不等式的解法
xx≠－2ba

ax2＋bx＋
c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}

高一数学不等式基础知识点

高一数学不等式基础知识点不等式是数学中重要且常见的概念，它在解决实际问题中起着极为重要的作用。

在高一数学中，学习不等式的基础知识点对于掌握后续的数学知识具有至关重要的作用。

本文将围绕高一数学不等式基础知识点展开论述。

一、不等式的基本性质不等式是指两个数之间的大小关系，其比较运算包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。

在不等式中，我们需要了解以下几个基本性质：1. 相等性质：将不等式两边同时加上、减去一个相同的数（非零），不等式的大小关系不变。

2. 倍数性质：将不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等式的大小关系不变；将不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等式的大小关系发生改变。

3. 倒数性质：将不等式两边同时取倒数，不等式的大小关系发生改变。

二、一元一次不等式一元一次不等式是数学中最基础的不等式形式，其形式一般为ax + b > c（或 <、≥、≤），其中a、b、c为已知实数，x为未知数。

1. 解一元一次不等式的基本步骤是：将x的系数提出来，根据正负号的情况确定不等式的方向，最后将解集写出来。

2. 对于带有绝对值符号的一元一次不等式，我们需要分情况讨论。

当绝对值的自变量为未知数x时，分别考虑x的取值范围即可。

三、一元二次不等式一元二次不等式是高一数学中较为复杂的不等式形式，其形式一般为ax² + bx + c > 0（或 <、≥、≤），其中a、b、c为已知实数，a≠0。

1. 解一元二次不等式的基本步骤是：求出一元二次不等式的解集。

可以通过因式分解、配方法以及判别式等方法来解。

2. 对于带有绝对值符号的一元二次不等式，我们同样需要分情况讨论。

当绝对值的自变量为未知数x时，根据x的取值范围确定不等式的方向。

四、常见的不等式在高一数学中，有一些特殊的不等式形式常常出现，我们需要熟练掌握其解法。

1. 分式不等式：对于形如f(x) > 0的分式不等式，我们需要找出其定义域和零点，并根据函数在不同区间的取值情况确定不等式的解集。

不等式的性质(一）高中数学教案

教学建议 1．教材分析〔1〕学问构造本节首先通过数形结合，给出了比拟实数大小的方法，在这
个根底上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。学问构造图
〔2〕重点、难点分析在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、
第1页共5页
比拟实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的根本性质。不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均
〔传递性〕〔Ⅱ〕一个不等式的性质：
第2页共5页
(n∈N，n＞1) (n∈N，n＞1) 〔Ⅲ〕两个不等式的性质：
2．教法建议本节课的核心是造就学生的变形技能，训练学生的推理实力．为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的根底．授课方法可以采纳讲授与问答相结合的方式．通过问答形式不断地给学生设置疑问〔即：设疑〕；对教学难点，再由讲授形式解决疑问．〔即：解疑〕．主要思路是：老师设疑→学生探讨→老师启发→解疑．教学过程可分为：发觉定理、定理证明、定理应用，采纳由形象思维到抽象思维的过渡，发觉定理、证明定理．采纳类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简洁的证明题．
第一课时教学目标 1．驾驭实数的运算性质与大小依次间关系；
第3页共5页
2．驾驭求差法比拟两实数或代数式大小； 3．强调数形结合思想. 教学重点比拟两实数大小教学难点理解实数运算的符号法那么教学方法启发式教学过程一、复习回忆
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在右图中，点 A 表示实数，点 B 表示实数 ,点 A 在点 B 右边，那么 .
二、讲授新课 1．比拟两实数大小的方法——求差比拟法比拟两个实数与的大小，归结为判定它们的差的符号，而这又势必归结到实数运算的符号法那么. 比拟两个代数式的大小，事实上是比拟它们的值的大小，而这又归结为判定它们的差的符号. 接下来，我们通过详细的例题来熟识求差比拟法. 2．例题讲解例 1 比拟

高一数学不等式公式

高一数学不等式公式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：(1) 对称性：a>bb<a;(2) 传递性：若a>b，b>c，则a>c;(3) 可加性：a>ba+c>b+c;(4) 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc;当c<0时，ac<bc。

不等式运算性质：(1) 同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d;(2) 异向相减：，.(3) 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

(4) 乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则;(5) 开方法则：若a>b>0，n∈N+，则;(6) 倒数法则：若ab>0，a>b，则。

2、基本不等式定理：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)推论：如果，那么(当且仅当a=b时取“=”号)算术平均数;几何平均数;推广：若，则当且仅当a=b时取“=”号;3、绝对值不等式|x|0)的解集为：{x|-a|x|>a(a>0)的解集为：{x|x>a或x<-a}。

附：不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。

解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

一、要点精析1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。

其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

高一数学不等式知识点总结

(7)对数不等式
loga
f (x)
loga
g( x)
11.不等式的分类（按所连接的解析式类型分类）
一次不等式二次不等式整式不等式高次不等式有理不等式分式不等式代数不等式绝对值不等式无理不等式指数不等式超越不等式对数不等式三角不等式
(3)高次不等式：
( x a1 )(x a2 )( x an ) 0
a1 a2 an
表解法数轴标根法
(4)分式不等式： f ( x) 0 f ( x ) g( x ) 0 g( x ) f ( x) f ( x) g( x) 0 0 g( x ) 0 g( x )
不等式
不等式知识点
；杏耀娱乐杏耀娱乐；； 2019.1 ；
到许多常人得不到の宝物.无暇天君,亲自引着鞠言步入她の府邸.天君府邸内,壹些身份极高の修道者,有不少都出来与鞠言见面.申武城壹战,天君府邸内,有部分人是目睹过程の,他们琛知鞠言实历の彪悍,不能将鞠言当做寻常の冥空境.甚至,都不能将鞠言当做寻常の善韵冥空境.刚突破境界就能压制寂边,若是境界再有壹些小の提升,那么战斗历无疑会更为强大.鞠言与天君府邸内の壹些大人物简单交流之后,无暇天君便命人给鞠言准备住处,告诉鞠言在无暇城内事,他能够随意住在天君府邸之内.“鞠言道友,你从申武城到无暇城,壹路奔波劳顿,不如先休息几日?”无暇天君美目看着鞠言, 吐气如兰.“天君大人,你邀请俺来无暇城,俺觉得是想与俺谈哪个事情の吧?不如说完之后,俺再休息.”鞠言笑了笑说道.在申武城壹战

第08讲不等式的基本性质(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第08讲不等式的基本性质知识点一不等式(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b 或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<≥≤≤≥≥≤知识点二两个实数的大小比较1．文字叙述(1)当a－b为正数时，称a>b；(2)当a－b为零时，称a＝b；(3)当a－b为负数时，称a<b．2．符号表示(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.3．p⇔q的含义提示：p⇔q的含义是p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．知识点三不等式的性质不等式的性质性质1(自反性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a＞b，b＞c⇒a＞c性质3(加法保号性)a＞b⇔a＋c＞b＋c性质4(乘正保号性、乘a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc负改号性)性质5(同向可加性)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d性质6(全正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd性质7(拓展)a>b>0⇒a n>b n(n∈N*)考点一：实数比较大小例1(1)已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小；(2)已知a >0，试比较a 与1a的大小．【解析】(1)(x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)21324x ⎡⎤⎛⎫-+⎢ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∵x <1，∴x －1<0.x －122＋34>0，∴(x －1)21324x ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<0.即x 3－1<2x 2－2x .(2)∵a －1a ＝a 2－1a ＝（a －1）（a ＋1）a，又∵a >0，∴当a >1时，（a －1）（a ＋1）a >0，有a >1a ；当a ＝1时，（a －1）（a ＋1）a＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，（a －1）（a ＋1）a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.【总结】1．利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；(4)得出结论．2．作商法比较大小如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.方法如下：依据a >0，b >0，ab>1⇔a >b ；ab＝1⇔a ＝b ；ab<1⇔a 1⇔a b 应用范围两同号实数比较大小或分式、积、幂之间比较大小步骤(1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论变式已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．【解析】（方法1）因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0.所以M N ＝a ＋1－a a －a －1＝a ＋a －1a ＋1＋a.因为a ＋1＋a >a ＋a －1>0，所以MN<1，所以M <N .（方法2）因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0.又1M ＝1a ＋1－a ＝a ＋1＋a ，1N ＝1a －a －1＝a ＋a －1，所以1M >1N>0，所以M <N .考点二：不等式的性质例2(1)下列命题中正确的是()A.若0>a >b ，则a 2>b 2B.若a 2>b 2，则a >b >0C.若a >b ，则b a<1 D.若a >b ，则a 3>b 3(2)若c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b.(1)【答案】D【解析】对于A ，由0>a >b 可知，0<－a <－b ，则(－b )2>(－a )2，即b 2>a 2，故错误；对于B ，还可能a 0且a >b 时，ba <1才成立，故错误；对于D ，若a >b >0，则a 3>b 3；若a ≥0>b ，则a 3≥0，b 3<0，所以a 3>b 3；若0>a >b ，则－b >－a >0，所以(－b )3>(－a )3，即－a 3<－b 3，所以a 3>b 3.综上，若a >b ，则a 3>b 3，故正确．(2)【解析】证明：因为a >b >0⇒－a <－b ⇒c －a <c －b .因为c >a ，所以c －a >0，所以0<c －a <c －b .上式两边同乘1（c －a ）（c －b ），得1c －a >1c －b>0.又因为a >b >0，所以a c －a >bc －b.变式若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e （a －c ）2>e（b －d ）2.【解析】证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又a >b >0，∴a －c >b －d >0，则(a －c )2>(b －d )2>0，即1（a －c ）2<1（b －d ）2.又e <0，∴e （a －c ）2>e（b －d ）2.考点三：利用不等式的性质解不等式例3解不等式：x －13－x ＋26>4＋3x2，并用不等式的性质说明理由．【解析】去分母，得2(x －1)－(x ＋2)>3(4＋3x ).(性质4)去括号，得2x －2－x －2>12＋9x .移项，得2x －x －9x >2＋2＋12.(性质3)合并同类项，得－8x >16，即8x <－16.系数化为1，得x <－2.(性质4)【总结】变式已知关于x 的方程3(x －2a )＋2＝x －a ＋1的解满足不等式2(x －5)≥8a ，求a 的取值范围．【解析】解方程，得x ＝5a －12.将其代入不等式，得≥8a .去括号，得5a －1－10≥8a .移项，得5a －8a ≥1＋10.合并同类项，得－3a ≥11.系数化为1，得a ≤－113.考点四：利用不等式的性质求代数式的取值范围例4已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．【解析】∵1＜a ＜4，2＜b ＜8，∴2＜2a ＜8，6＜3b ＜24.∴8＜2a ＋3b ＜32.∵2＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－2.又∵1＜a ＜4，∴1＋(－8)＜a ＋(－b )＜4＋(－2)，即－7＜a －b ＜2.【总结】变式（1）已知1＜a ＜4，2＜b ＜8，试求ab的取值范围．【解析】∵2＜b ＜8，∴18＜1b ＜12，而1＜a ＜4，∴1×18＜a ×1b ＜4×12，即18＜ab＜2.（2）已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围．【解析】（方法1）设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v2，∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v .∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6.则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10.（方法2）令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .＋y ＝4，－y ＝－2，＝1，＝3.≤a ＋b ≤4，3≤3（a －b ）≤6.∴－2≤4a －2b ≤10.1．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则()A.b ＜0，c ＜0B ．b ＞0，c ＞0C.b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0【答案】D【解析】由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.2．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是()A.P ＞Q B ．P ≥Q C.P ＜Q D ．P ≤Q【答案】A【解析】因为P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c )＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2，所以当a ，b ，c 为不全相等的实数时，有P －Q ＞0，即P ＞Q .故选A.3．(多选)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是()A.x ＋y >y ＋z B ．xz <yz C.xy >xz D ．x |y |>z |y |【答案】ABC【解析】因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.>0，>z ，可得xy >xz ，故C 成立；由不等式的性质知A 、B 均成立；当x ＝1，y ＝0，z ＝－1，满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，显然D 不成立．4．若0＜x ＜1，则x ，1x，x ，x 2中最小的是________．【答案】x 2【解析】因为0＜x ＜1，所以1x＞1，0＜x ＜1，0＜x 2＜1.因为x x ＝x ＜1，x 2x ＝x ＜1，所以x ＜x ，x 2＜x ，即x 2＜x ＜x ＜1x ，故最小的是x 2.5．已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小．【解析】由题意，知(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )＝x 3－xy 2＋2x 2y －2y 3＝x (x 2－y 2)＋2y (x 2－y 2)＝(x 2－y 2)·(x ＋2y )＝(x －y )(x ＋y )(x ＋2y )，∵x >y >0，∴x －y >0，x ＋y >0，x ＋2y >0，∴(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )>0，即x 3－2y 3>xy 2－2x 2y .6．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是()A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞cB ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bd D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b 【答案】B【解析】选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B ．7．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则()A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b【答案】C【解析】a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b ．8．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________．【答案】(－2,0)【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1．所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0．9．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．【答案】(－π，2π)【解析】结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．10．已知12<a <60,15bc ，则a >bB.若a >b ，则a 2>b 2C.若a >b ，c <d ，则a ＋c >b ＋dD.若a >b ，c >d ，则a －d >b －c【答案】D【解析】对于A ，当c <0时，A 不成立；对于B ，取a ＝－1，b ＝－2时，B 不成立；对于C ，a >b ，c <d ，取a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝4，则a ＋c ＝b ＋d ，因此C 不成立；对于D ，因为c >d ，所以－d >－c ，又a >b ，所以a －d >b －c ，因此D 成立．故选D.2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是()A.M <N B ．M >N C.M ＝N D ．M ≥N【答案】B【解析】∵0<a 1<1，0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N .3．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a ，b ，c ，d .已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >cB ．b >c >d >aC.d >b >c >a D ．c >a >d >b【答案】A【解析】因为a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，所以2a >2c ，即a >c ，因此b <d .因为a ＋c b >a >c .故选A.4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A.－2<α－β<0B.－2<α－β<－1C.－1<α－β<0D.－1<α－β<1【答案】A【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.5．同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x 元/升，第二次加油汽油单价是y 元/升(x ≠y )，妈妈每次加满油箱，需加油a 升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则爸爸、妈妈更合算的是()A.爸爸B ．妈妈C.一样D ．不确定【答案】A【解析】由题意，妈妈两次加油共需付款a (x ＋y )元，爸爸两次能加300x ＋300y ＝300（x ＋y ）xy升油，设爸爸两次加油的平均单价为M 元/升，妈妈两次加油的平均单价为N 元/升，则M ＝600300（x ＋y ）xy ＝2xy x ＋y ，N ＝a （x ＋y ）2a ＝x ＋y2，且x ≠y ，∴N －M ＝x ＋y 2－2xyx ＋y ＝（x －y ）22（x ＋y ）＞0，∴爸爸的加油方式更合算．故选A.6．(多选)若1a <1b<0，则下列结论正确的是()A.a 2|a ＋b |【答案】ABC 【解析】∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.故选A 、B 、C.7．(多选)已知a ，b ，c ，m ∈R ，则下列推证中不正确的是()A.a ＞b ⇒am 2＞bm 2B.a c ＞bc⇒a ＞b C.ac 2＞bc 2⇒a ＞b D.a 2＞b 2，ab ＞0⇒1a ＜1b【答案】ABD【解析】A ，m ＝0时不成立；B ，c ＜0时不成立；C ，ac 2＞bc 2，两边同除以c 2，可得a ＞b ，正确；D ，由a 2＞b 2，ab ＞0，取a ＝－2，b ＝－1，可得1a ＞1b，不成立．故选A 、B 、D.8．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.【答案】＞【解析】a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.9．a 2与a －1的大小关系为________．【答案】a 2＞a －1【解析】因为a 2－(a －1)＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34＞0，所以a 2＞a －1.10．下列命题中，正确的是________.①若a ＞b ，c ＞d ，则ac 2＞bd 2；②若a ＜b ，则3a ＜3b ；③若a ＜b ＜0，则1a ＞1b ；④若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则a c ＞bd；⑤若a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，则ac ＜bd .【答案】②③【解析】对①，举反例，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，不成立，错误；对②，开三次方根不改变大小关系，正确；对③，是不等式的性质，正确；对④，取a ＝4，b ＝3，c ＝4，d ＝3，不成立，错误；对⑤，负数越小绝对值越大，应该是ac ＞bd ，错误．11．解不等式2－x －13＜x ＋12，并用不等式的性质说明理由．【解析】由2－x －13＜x ＋12，两边同乘以6，得12－2(x －1)＜3(x ＋1)，(不等式的性质4)即12－2x ＋2＜3x ＋3，两边同时加2x －3，得11＜5x ，(不等式的性质3)即5x ＞11，(不等式的性质1)两边同乘以15，得x ＞115，(不等式的性质4)|x .[素养提升练]12．已知实数a ，b ，则“a ＋ba －b＞0”是“|a |＞|b |”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】a ＋ba －b＞0⇔(a ＋b )(a －b )＞0⇔a 2－b 2＞0⇔a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，为充要条件．故选C.13．(多选)已知a ，b ，c ∈R ，下列命题为真命题的是()A.若a ＜b ＜0，则a 2＜ab ＜b 2B.若a ＞b ，则ac 2≥bc 2C.若ac 2＞bc 2，则a ＞bD.若b ＜a ＜0，则1a ＜1b【答案】BCD【解析】对于A ，当a ＜b ＜0时，a 2－ab ＝a (a －b )＞0，∴a 2＞ab ，A 错误；对于B ，若a ＞b ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2，若c ≠0，则c 2＞0，则有ac 2＞bc 2，B 正确；对于C ，若ac 2＞bc 2，则c 2≠0，∴a ＞b ，C 正确；对于D ，当0＞a ＞b 时，1a －1b ＝b －a ab ＜0，∴1a ＜1b ，D 正确．故选B 、C 、D.14．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．【答案】[3，8]【解析】∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是3≤z ≤8.15．给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 4＞b 4；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确命题的序号是________．【答案】②③【解析】①当c 2＝0时不成立；②因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞|b |2，即a 2＞b 2，所以a 4＞b 4，所以正确；③当a ＞b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b ＋34b 2＞0，成立；④当b ＜0时，不一定成立．如：|2|＞－3，但22＜(－3)2.16．已知－1＜x ＜y ＜0，比较1x ，1y，x 2，y 2的大小关系．【解析】因为－1＜x ＜y ＜0，根据实数的性质，可得x 2＞0，y 2＞0，1x ＜0，1y ＜0，由x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，且1x －1y ＝y －x xy，又由－1＜x ＜y ＜0，可得x ＋y ＜0，x －y ＜0，xy ＞0，所以(x ＋y )(x －y )＞0，且y －x xy＞0，即x 2＞y 2＞0且0＞1x ＞1y ，所以x 2＞y 2＞1x ＞1y .17．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad .若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程．【解析】(1)①②⇒③，即若ab ＞0且c a ＞d b ，则bc ＞ad .因为c a ＞d b 且ab ＞0，所以c a ·ab ＞d b·ab ⇒bc ＞ad ，则命题成立．(2)①③⇒②，即若ab ＞0且bc ＞ad ，则c a ＞d b.因为ab ＞0，所以1ab ＞0，又因为bc ＞ad ，所以bc ·1ab ＞ad ·1ab ⇒c a ＞d b，则命题成立．18．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了．【解析】(1)设糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ，加入m 克糖，即证明不等式a ＋m b ＋m ＞a b (其中a ，b ，m 为正实数，且b ＞a )成立．不妨用作差比较法，证明如下：a ＋mb ＋m －a b ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）b （b ＋m ）＝m （b －a ）b （b ＋m ）.∵a ，b ，m 为正实数，且a ＜b ，∴b ＋m ＞0，b －a ＞0，∴m （b －a ）b （b ＋m ）＞0，即a ＋m b ＋m＞a b .(2)设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ；另一份糖水d 克，含糖c 克，糖水浓度为c d ，且a b ＜c d ，求证：a b ＜a ＋c b ＋d＜c d (其中b ＞a ＞0，d ＞c ＞0).证明：∵a b ＜c d，且b ＞a ＞0，d ＞c ＞0，∴ad ＜bc ，即bc －ad ＞0，a b －a ＋c b ＋d ＝ab ＋ad －ab －bc b （b ＋d ）＝ad －bc b （b ＋d ）＜0，即a b ＜a ＋c b ＋d，c d －a ＋c b ＋d ＝cb ＋cd －ad －cd d （b ＋d ）＝cb －ad d （b ＋d ）＞0，即a ＋c b ＋d ＜c d .∴a b ＜a ＋c b ＋d＜c d .(3)设原糖水b 克，含糖a 克，糖水浓度为a b ，加入m 克水，求证a b ＞a b ＋m (其中b ＞a ＞0，m ＞0).证明：a b －a b ＋m ＝ab ＋am －ab b （b ＋m ）＝am b （b ＋m ）＞0，∴a b ＞a b ＋m .。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（1）不等式的性质
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果a <b<0，则下列不等式中成立的只有（
）
Ａ．
1b a Ｄ．b
a 11<
２．对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③
b a b
c ac >>则若,22；④b
a b a 1
1,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真
命题的个数是
（
）
Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４ 3．不等式“a +b>2c ”成立的一个充分条件是
（
）
Ａ．c b c a >>或Ｂ．c b c a <>且Ｃ．c b c a >>且Ｄ．c b c a <>或 4．若a 、b 为实数，则a >b>0是a 2>b 2的
（
）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件Ｄ．既非充分条件也非必要条件 5．若扇形的周长为C ，则使扇形的面积最大时的半径是（）
A ．
2
C B ．
3
C C ．4
C D ．
5
C 6．下列函数中，最小值为22的是
（
）
A ．x
x y 2+
= B ．)0(sin 2
sin π<<+
=x x
x y
C ．x
x
e
e y -+=2
D ．2log 2log 2x x y += 7．设0>>b a ，则下列不等式成立的是（
）
A ．
b a ab +2ab b a >+>2 B ．
>>+ab b a 2
b a ab
+2
C ．>+2b a b a ab
+2ab > D ．
b a ab
+22
b a ab +>> 8．若,21
0<<a 则下列不等式中正确的是
（
）
A ．1)1
1(log >-a
a
B ．x
x
a )2
1
(≤
C ．)1cos()1cos(a a -<+
D ．n n a a <-)1(
9．若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ （）
A ．8
B ．4
C ．22
D ．422
10．甲、乙两工厂2002年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等，
乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2003年元月份两厂的产值相等，则2002年7月份产值高的工厂是（
）
A ．甲厂
B ．乙厂
C ．产值一样
D ．无法确定
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若21<<-a ，12<<-b ，则a －b 的取值范围是． 12．函数11
1
2
2
+++
=x x y 的值域为． 13．已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是． 14．已知B A m m B m m A m ,,1,1,1则设--=-+=
>之间的大小关系是
三．解答题（本大题共6题，共76分）
15．设4)1(2,2)1(1,)(2
≤≤≤-≤+=f f bx ax x f 且，求)2(-f 的取值范围．（12分）
16．已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．（12分）
17．已知)]()([2
1,0,0),0,10(log )(2121x f x f x x x a a x x f a +>>>≠>=判断若且与)2
(2
1x x f +的大小，并加以证明．（12分）
18．已知△ABC 内接于单位圆，且2)tan 1)(tan 1(=++B A ，（1）求证内角C 为定值；（2）求△ABC 面积的最大值．（12分）
19．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400km 处的灾区，为安全起见，
每两辆汽车的前后间距不得小于2
)20
(x km ，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？（14分）
20．已知a ，b ，c 是实数，1|)(|11,)(,)(2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f 时当．
（1）求证：1||≤c ，（2）求证：当2|)(|,11≤≤≤-x g x 时．（14分）
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 42<-<-b a 12． ),2[+∞ 13．2
5lg 14．B A <
15．（12分）
[解析]：因为2)1(1≤-=-≤b a f ，4)1(2≤+=≤b a f ，)1(3-≤f +62)1(≤=a f
又a b a b a f 22224)2(+-=-=- 所以10)2(5≤-≤f
16．（12分）
[解析]：因为x >0，y >0，且x +2y =1
所以x y = 2
2
221)2(2
1⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛+≤⋅y x y x =8
14
121=⨯ 当且仅当x =2y 时上述不等式取“=”号，由⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
==⇒⎩⎨⎧=+=41
21122y x y x y x 因此，当2
1=x ，4
1=y 时，x y 取得最大值
8
1
． 17．（12分）
[解析]：)(log log log )()(212121x x x x x f x f a a a =+=+，
因为0,021>>x x ，所以22121)2
(x x x x +≤（当且仅当21x x =时取“=”号）．
①当a >1时，22121)2
(log )(log x x x x a a +≤，
)2
(log )(log 21
)log (log 21212121x x x x x x a a a a +≤=+∴，
即)2
()]()([2
12121x x f x f x f +≤+（当且仅当21x x =时取“=”号）．
②当0<a <1时，2
2121)2
(
log )(log x x x x a a +≥ ， )2
(log )(log 21)log (log 21212121x x x x x x a a a a +≥=+∴ 即)2
()]()([2
12121x x f x f x f +≥+（当且仅当21x x =时取“=”号）．
18．（12分）
（1）[证明]：由2)tan 1)(tan 1(=++B A 2tan tan tan tan 1=+++⇒B A B A 0)tan )(tan )
tan(1
1(=++-
⇒B A B A
0)tan (tan ≠+B A 0)
t a n (1
1=+-
∴B A
即1)tan(=+B A ，所以∠
135=C
（2）[解析]：由题意可得BC AC C BC AC S ABC ⨯=⨯=∆4
2sin 21 2)2
(42BC AC +≤
当AC=BC 时，ABC S ∆有最大值，最大值为=∆ABC S 2)(4
2
AC 再作辅助线如图，连结OD ，OA ，得AB ⊥OC ，
所以AD=BD=
22，CD=1－2
2，
AC 2=AD 2+CD 2= 22- 所以ABC S ∆最大值=2)(42AC =
2
12- 19．（14分）
[解析]：设全部物资到达灾区所需时间为t 小时，由题意可知， t 相当于：最后一辆车行驶了25个2
)20
(
x k m+400（k m ）所用的时间， A
B
C
D o
因此，t=
x
x x 400)
20(
252+⨯ 10400400252=⨯≥x x
当且仅当x
x 400400
25=即x =80时取“=”号．
答：这些汽车以80 k m/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间是10小时． 20．（14分）
[证明]（1）1|)0(|||1
|)(|,11≤=∴≤≤≤-f c x f x 时当
（2）1|)1(|1
|)1(|1|)(|,11≤-≤∴≤≤≤-f f x f x 时当
2|||)1(||)1(|||||,2|||)1(||)1(|||≤+-≤--=-=+-≤+≤-=+∴c f c f b a b a c f c f b a
即b ax x g g +=≤±)(2
|)1(|函数的图象是一条直线．
]1,1[|)(|-∴在x g 上的最大值只能在11=-=x x 或处取得
2|)(|,11≤≤≤-∴x g x 时当．。