直角三角形(二)
直角三角形全等的判定(二)
DOE BCAP图2课 题： 1、2直角三角形全等的判定（二）学习目标：1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。
学习重点：角平分线的性质定理和逆定理、学习难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力学习过程：一、 复习引入： 1．角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线 叫这个角的平分线．表达方式：如图∵ OC 是∠AOB 的平分线，∴ ∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2=21∠AOB ）．2．角平分线的画法：你能用什么方法作出∠AOB 的平分线OC ？（可由学生任选方法画出OC ）． 可以用尺规作图，可以用折纸的方法，二、探索活动一、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.【要点】条件：1. 点在角平分线上，2. 点到两边的距离，结论：3. 距离相等. 【符号语言】如图1∵点P 在∠AOB 的平分线上，①PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，②∴PD=PE. ③ 【作用】证线段相等.【辅助线添加提示】存在角平分线上的点，作此点到角两边的垂线段.【错误警示】1. 学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写，2. 对定理的图形语言认识不足.角平分线上的点到角两边的距离是指这个 点到角两边的垂线段的长度，而不是过此 点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线 与角两边相交所得的线段的长度. 学生往往出现如下错误：如图2 ∵点P 在∠AOB 的平分线上，OE PCBDA 图1∴PD=PE.二、角平分线判定定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 【要点】条件：1. 点在角的内部，2. 点到角两边的距离相等，结论：3. 点在角的平分线上.【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少.【符号语言】如图1，∵PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E∴PD=PE ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.【作用】：证点在角平分线上，证角相等. 三、例题教学例1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。
七年级(下)数学培优班--第10讲 直角三角形(二) 学生版
a c
b
a b
c
c b
a
bc a
b ac
a cb
bc a
ca b
a
c
b
cb a
赵爽弦图
邹元治弦图
美国总统 Garfield 证法
5. 两个特姝的直角三角形（三角板）： ①含 30 ， 60 ， 90 角的直角三角形三边之比为1: 3 : 2 . ②含 45 ， 45 ， 90 角的直角三角形三边之比为1:1: 2 .
A . A 为直角
B . C 为直角 C . B 为直角
D . 不是直角三角形
⑶ 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A . 1 ， 2 ， 3 B 32 ， 42 ， 52 C . 1 ， 2 ， 3 D . 3 ， 4 ， 5
第十讲
直角三角形（二）
1. 直角三角形的定义： 有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形（right triangle）．在直角三角形中，夹直 角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边． 直角三角形可用符号“ Rt△”表示，例如直角三角形 ABC 可表示为“ Rt△ABC ”，读作 “直角三角形 ABC ”.
⑵ 直角三角形中，两条边长分别为 3 和 4 ，则另一条边长为____________．
⑶ 在 RtABC 中， A 90 ， a 15 ， b 12 ，则第三边 c 的长为____________．
【例题2】 ★★☆☆☆ ⑴ 如图， Rt△ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，若 CD 2 ， AC 3 ， 则 BC ____________． A
D
B
C
⑵ 如图，△ABC 中， ACB 90 ， BC 12 ， AB 20 ， CD AB 于 D ， 则 CD ____________.
解直角三角形(二)
解直角三角形（二）主讲：黄冈中学数学高级教师 知识归纳:李平友仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从 上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示：精讲精练： 例 1、如图所示，一位同学在高为 40m 的建筑物的顶端 A 处，测得另一建筑物的 顶部 D 点的俯角α 为 50°，测得底部 C 点的俯角β 为 65°，试求另一建筑物的 高 CD（精确到 0.1m）．解： 延长 CD 交过 A 点的水平线于 E，则∠E=90°．设 AE 的长为 x m，在 Rt△ADE 中， ∴ED=AE·tanα =tan50°·x．，在 Rt△ACE 中，，∴CE=tanβ ·AE=tan65°·x．∵CE=40m，∴tan65°·x=40， ∴DE=tan50°·x=18.65×tan50°≈22.23（m） ∴DC=CE－DE=40－22.23≈17.8（m） 答：另一建筑物 CD 的高约为 17.8m． 变式练习 1：．如图，为测量建筑物 AB 的高度，先测标杆 CD 的高度为 2m，并分别在 C、D 处测得建筑物 AB 的顶点处的仰角为β =60°，α =45°，求建筑物 AB 的高度．解： 过 D 作 DE⊥AB 于 E，则四边形 EBCD 为矩形， ∴DE=CB，BE=CD，设 DE=BC=x m．（视频中应加括号）例 2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米的上空 P 点，测得 A 村的俯角为 30°，B 村的俯角为 60°，如图所示，求 A、B 两个村庄之间的距离．（精确到 1m．参考数据 ）解： 如图，过 P 作 PC⊥AB 于 C，依题意∠DPA=30°，∠DPB=60°， ∵PD∥AC，∴∠A=30°，∠PBC=60°．变式练习 2： 如图，B、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，小明测得∠ABC=45°，∠ ACB=30°，BC=60m，他很快求出了河的宽度，你知道他是怎样求出来的吗？变式练习 3： 如图，河两岸 a，b 互相平行，C，D 为河岸 a 上间隔 50m 的两根电线杆，某 人在河岸 b 上的 A 处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了 100m 到达 B 处，测得∠ CBF=60°．求河流的宽（精确到 1m）．答案： 如图，过 C 作 CE∥AD 交 b 于 E，过 C 作 CF⊥AB 于 F， 则∠CEB=30°，∵∠CBF=60°，∴∠ECB=30°=∠CEB， ∴CB=BE=100－50=50（m）即河宽为 43m． 例 3、如图所示，A、B 两地间有一条河，原来从 A 地到 B 地需要经过 D、C，沿 折线 A→D→C→B 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从 A 地到 B 地．已 知 BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥 DC 与 AB 平行，则现在从 A 地到达 B 地可 比原来少走多少路程？（精确到 0.1km， 0.80） ，sin37°≈0.60，cos37°≈答案： 分别过 D、C 作 DH⊥AB 于 H，CG⊥AB 于 G． 在 Rt△CBG 中，CG=sin37°×11（km），∴DH=sin37°×11（km）， 在 Rt△ADH 中，AH=DH=sin37°×11≈6.60（km），， 在 Rt△CBG 中，BG=BCcos37°=11cos37°≈8.80（km）． ∴少走 9.33＋11－6.60－8.80≈4.9（km） 1、桥头堡高 10 米，在堡顶发现附近有一可疑点，测得其俯角为 40°，则可疑 物距堡底__________米（精确到 0.1 米）． 2、如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测 得大树在底面的影长为 10 米， 则大树的长约为__________ （保留两个有效数字） ．3、如图，小明在操场上距离旗杆 AB 的距离为 9m 的 C 处，用测角仪测得旗杆顶 端 A 的仰角为 30°，测角仪高 CD=1.2 米，则旗杆 AB 的高为__________米．4、把一块三角形草地记为△ABC，量得∠A=60°，AB=6m，AC=4m，则△ABC 的面 积为__________m ．25、一架飞机在空中 A 处测得地面 B 处的俯角为 30°，飞行高度 AC=1200m，则飞 机在 A 处距 B 处水平距离__________m． 6、 一架飞机在高为 1000m 的高空， 在前进的方向上同时测得桥头的俯角为 30°， 桥尾的俯角为 60°，由此算出桥长为__________m．隐藏答案1、11.9 2、17 米 3、4、5、6、二、选择题 7、王师傅在楼顶的 A 处测得楼前一棵树 CD 的顶端 C 的俯角为 60°，又知水平 距离 BD 为 10m，楼高 AB 为 24m，则树高 CD 为（ ）m．8、 如图， 在高为 60m 的小山上， 测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为 30°， 60°，则这个建筑物的高度为（ ）m．A．20 三、综合题B．30C．40D．509、某市在迎接奥运圣火活动中，在一教学楼上悬挂着宣传条幅 DC，如图．小明 同学在点 A 处，测得条幅顶端 D 的仰角为 30°，再向条幅方向前进 10 米后，又 在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45°， 已知测点 A、 B 和 C 离地面高度都为 1.44 米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度．（结果精确到 0.1 米，参考数据 ）隐藏答案10、如图，小明为测量一氢气球离地的高度 CD，他在地面上相距 80 米的 A、B 两点，测得∠CAD=43.8°，∠CBD=39.2°，已知 A、D、B 三点在同一条直线上，求氢气球离地面的高度．（结果精确到 0.1 米．参考数据：sin43.8°=0.69， tan43.8°=0.96，sin39.2°=0.63，tan39.2°=0.82）隐藏答案11、如图，某海滨浴场的岸边可以近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现 海中 B 处有人求救，1 号救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是在岸边自 A 处跑 300 米到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处．假若所在救生员在岸边跑的速度为 6m/s，在海中游的速度为 2m/s，∠BAD=45°． （1）根据以上条件分析 1 号救生员的选择是否正确； （2） 若 2 号救生员同时从 A 处在岸边跑到 C 处， 再游向 B 处， 且∠BCD=65°， 问哪名救生员先赶到 B 处救人（本题计算过程中的数值均可精确到 0.1）？隐藏答案解：（1）依题意△ABD 为等腰直角三角形，∴BD=AD=300（m）．，∴1 号救生员直接由 A 游到 B 的时间为：，1 号救生员由 A 到 D 再游到 B 的时间为 ∵210s＞200s，∴1 号救生员选择正确． （2）在 Rt△BCD 中，，∴AC=AD－CD=300－142.9=157.1（m）∴2 号救生员由 A 到 C 再游到 B 的时间为 而 1 号救生员到 B 处时间为 200s，200s＞192.9s， ∴2 号救生员先赶到 B 处救人．．如图 1 是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为 10cm 的正三角形，三个侧面都 是矩形．现将宽为 15cm 的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形 ABCD（如 图 2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面 进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱 柱包装盒的侧面全部包贴满．在图 3 中，将三棱柱沿过点 A 的侧棱剪开，得到如 图 4 的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件 的平行四边形进行研究. （1）请在图 4 中画出拼接后符合条件的平行四边形； （2）请在图 2 中，计算裁剪的角度（即∠ABM 的度数）.分析： （1）将三棱柱侧面展开，通过平移拼成平行四边形． 解： （1）将图 4 中的△ABE 向左平移 30cm，△CDF 向右平移 30cm，拼成如图下 中的平行四边形，此平行四边形即为图 2 中的□ABCD．（2）由图 2 的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30． ∵纸带宽为 15，∴ sin∠ABM= ∴∠AMB=30°．．点评：如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A、B、C、D、分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图,则在直角△OAQ中有，即．在直角△OAQ中,则∠O＝90°－∠A＝90°－α，由弧长公式得PQ为．故选B．例2、（宁德）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）.分析：（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝ABcos∠BAF＝2.1cos40°≈1.609．∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD．在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25°≈0.844．∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝0.506≈0.51 ∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．。
直角三角形(第2课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∠C′=90 °,B′C′=BC，A ′B ′=AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到
Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
操作：已知一条直角边和斜边，作一个直角三角形
已知：线段a，c，直角α 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α ，BC=a，AB=c
作图步骤
N
A
B
C
M
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′ 求证：△ABC≌△A′B′C′ .
证明：∵△ABC中，∠C=90°
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）
A
A′
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2 .
∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′.
作图步骤
N
A
B
C
M
B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
作图步骤
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
作图步骤
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全本题
没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
五、课堂小结
斜边、 直角边
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.
1.2直角三角形(2)
初三数学导学稿 （初三年级）阅读数学教科书第23页的内容二、探究活动：（一）师生探究，合作交流 1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（简称HL ） 你能证明吗？已知：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′牛刀小试：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．（二）小组交流，合作解决１.问题：你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．2.证明：在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OA 的垂线，过点N 作OB 的垂线，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是么AOB 的平分线．（三）独立思考，解决问题如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB ≌BDA ，还需要什么条件?写出来一个并证明．A 'B'C 'BANMPOB ADC A O B练一练：如图，在△ABC ≌△A'B'C'中，CD ，C'D'分别分别是高，并且AC ＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC ≌△A'B'C'．三、课堂小结：1.通过今天的学习，同学们有何收获？还有那些疑惑？2.你认为老师上课过程中还有那些需要注意或改进的地方？3.预习时候的疑难解决了吗？四、自我检测：1.两个直角三角形全等除运用全等三角形的判定公理及推论外，还有其特殊的判定方法，即对应相等的两个直角三角形全等，简记为 . 2.如图，AB=AC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD ⊥BC ，则图中的全等三角形有 对.F E DCBAECDBAODCB A2题图 3题图 6题图3.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥BD ，要使ABC ∆≌DCB ∆，小名添加了一个条件AB=CD ，其全等依据为 ；你还可以添加一个条件 ，其全等依据为 .4.在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=︒90，下列条件中能判定Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′的个数是（ ）① ∠A=∠A ′,AC=A ′C ′ ② AC=A ′C ′,AB=A ′B ′ ③ AC=A ′C ′,CB=C ′B ′ ④ ∠A=∠A ′,AC=A ′C ′A ．1 B.2 C.3 D.45.给出以下几个命题：①有一边相等的两个等腰三角形全等；②有一边相等的两个直角三角形全等；③有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有一边相等的两个等腰直角三角形全等；⑤有两直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确命题的个数是（ ）A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图，AC ⊥BD 于点O ，AO=CO ，BO=OD ，AB=BC ，则下列说法不正确的是（ ）A ．与△AOB 全等的三角形共有3个； B.与△ABD 全等的三角形共有1个；C ．AC=BD D.AC 既平分∠DAB 又平分∠DCB. 7.已知：∠A=︒90，AB=BD ，ED ⊥BC 于点D ，求证：AE=DE.E D C B A8.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=︒90，∠B 的角平分线交AC 于D 点，过C 点作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点，求证：BD=2CE.E D CB A五、课后反思：'C CD B '''B D A。
直角三角形(2)
A
o 30
D
B
C D
A
如图是一副三角板拼成的四
E
边形ABCD，E为BD的中点。 ， 为 的中点 的中点。 边形 点E与点 ，C的距离相等吗？ 与点A， 的距离相等吗 的距离相等吗？ 与点 请说明理由。 请说明理由。
B
D
C
例3：如图，它是人字屋架设计图，其中 如图，它是人字屋架设计图， AB=AC=5米 AB=AC=5米。D是AB的中点，AE⊥BC。如果 AB的中点，AE⊥BC。 的中点 ∠BAC=120゜, 求AE和DE的长度。 BAC=120゜ AE和DE的长度 的长度。
C
A
D
B
练一练： 练一练：
1、已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上 已知Rt ABC中 斜边AB=10cm Rt△ AB=10cm， 的中线的长为______ 的中线的长为______ 5cm 2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， 是斜边AB上的中线 如图， Rt△ABC中 CD是斜边AB上的中线， ∠CDA=80°，则∠A=_____50° _____ 40° CDA=80° A=_____50° ∠B=_____40° ∠B=
C
E
F
D
A
G
B
C
B
o 30
C
1 BC = AB 2
变式题：如图，已知AD BE分别是 ABC的BC、 AD、 分别是△ 变式题：如图，已知AD、BE分别是△ABC的BC、 AC边上的高， AC边上的高，F是DE的中点，G是AB的中点，则 DE的中点， AB的中点， 边上的高 的中点 的中点 FG⊥DE，请说明理由。 FG⊥DE，请说明理由。
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》 浙江版《数学》八年级上册
1.2直角三角形的性质和判定(II)同步练习含答案
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.67.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴222015∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC =12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC =12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.57 18.设DC=x，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴∴20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2019·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.39.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：22AB AC小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，3，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。
直角三角形(二)
常规作业
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厅の菜谱便添上一道,因此生意经常爆满.餐厅有合伙人看着,他负责到处闲逛秀菜品.以上是视频の细节,直播时,他の言行举止比之前の刻板生动多了,千万粉丝就是这么来の.活の帅哥,比冰雕美男有趣得多.有问有答,有说有笑,虽然类似の镜头极少.偶尔邀请朋友亲临直播现场品尝他の作 品,镜头不在他身上,但在旁边陪同.但是,无论是视频或者直播,外人出没总是在片尾,在他工作期间不曾被人打断过,今天是头一回.众粉受他潜移默化の影响,正逐渐步他后尘达到清心寡欲の境界.他骤然“出轨”,一票铁粉哪里还坐得住？“老实交代,她是谁？”“你女票？！我不能接 受！”“真是邻居？！别骗人！”“邻居女票？！给地址我要跟她决斗！”...吧啦吧啦,吵个不停,完全无视他の忙碌.这种混乱还是头一次,对他来说是一种新鲜体验.不过,今天の直播算是失败了.面对镜头,邻居の意外闯入对他の颜值与技艺造成一定の辗压,她把大家の注意力全部拉走了. 也难怪,那丫头长相不俗,自带诗与远方の气质光环.一身素衣裳,乌黑发丝被柔顺挽在身后,横插一枝别致の乌木簪,宛如水墨画中走出来の江南仕女,朗月清风,淡雅从容.她推门而进,那双打量四周跳跃惊艳の小眼神,与他目光相对时谨小慎微の小表情,令大家意识到她不是画,而是一名有血 有肉机敏伶俐の女孩.“她真是我邻居,你们不信我也没办法.”尽管大家の注意力不在他身上,他对今天の任务依旧兴趣浓厚,双手继续忙碌,一边浅笑回应众人の提问.有些事情当局者迷,旁观者清.他认为今天の心境一般般好,但铁粉们为之惊悚.“她是个怎样の人？应该脾气很好吧？复古 风の女生一般很能干,精通生活中の十八般武艺,贤良淑德.”与狂热粉不同,铁粉们十分冷静淡定,有些吃味地形容说.噗哧,这个评价很有才,他忍不住笑两声以兹鼓励,害得狂热粉丝们の咆哮迅速化为右下角涌起の颗颗桃心,痴缠不断.相反,铁粉们の玻璃心正在咔嚓咔咔嚓,伤了.他笑而不语, 粉丝们不断追问.最后,为了让大家の注意力重新回到正题,他简单概括了一下.“她真是邻居,住在隔壁の一朵云岭之花.脾气很好,日常负责貌美如花.说到精通の本领...她叫外卖の日子占了人生一大半,”他温言浅笑,“是个好女孩.”此话作为终结.好女孩？众铁粉破裂の玻璃心再也搂不 住,咣啷一声响碎了一地玻璃片,彻底地伤了伤了.男人如此评价一个女孩,不管有心无心都证明他有一点想法.女粉心碎,不少男粉の脑海里却回想着刚才那道窈窕身影,眼里散发热烈の火花.“老板,她有男票吗？一定没有吧？给个坐标我要去追她.”追她？“这个恐怕有点难...”态度越发 温和の柏少华眼里の笑意更深了.他不介意跟大家分享一些众所周知の信息,事关个人私隐の话题一概不提,包括住址,这是做人の基本原则.一直以来,他在工作时极其讨厌被人打扰,但今天发现貌似可以接受一回两回.或许,随着年龄の增长他の心态变了,变得宽容大度,以前无法忍受の人和 事物,如今再看,感受已截然不同.这就是成长,每个人必经の一段过程...终于,直播在一片哀鸣中结束了.柏少华点击退出平地,双手撑在台面边沿,目光落在前方轻笑了下,真是热闹の一天.开始清洗用不上の餐具,把工作台擦得洁净光亮见不到半点油渍.煮好の饭菜晾在一边,他来到门边提起 篮子,掀开上边那层布一看,原来是个盒子.他刚打开盒盖,立时闻到一股熟悉の清香味道,唤醒记忆里那段遥远の过往.是它,就是它,而且这个茶叶の味道更加浓厚些.第107部分他掀开盖子,发现里边の茶叶摆放整齐严实不留缝隙,可见老板为人实诚不缺斤少两.一手拿起盒子嗅了嗅,再看看外 壳与底部,什么标签都没有,不禁心中了然.什么产品会没标签？餐厅の部分食材没有,他私人订制の衣服也没有.近段时间她不再提起茶叶の事,以为她忘了.忘了就忘了,他不强求,原来错怪人了.年纪轻轻の倒稳得住心思,只字不提,也不怕别人误会...那天之后,陆羽不去休闲居叫外卖了,与 婷玉在家有啥吃啥,回归原汁原味、绿色营养の健康生活.她提去の篮子一直不见回来,哪怕柏少君依然是陆宅の常客.没了就没了,犯不着为了一个篮子送上门给别人作弄,她以后出去买新の.连续几天后,柏少君提着两盒外卖来敲门.“听说你生气了？德力、陆易让我替他们说声对不起,喏, 还说请你吃一周の外卖作为补偿.”菜色任点,不点の话他们随机应变,“对了,他们对你做什么了？居然害你连饭都吃不下？”端着一碗稀粥の陆羽白他一眼,“谁说我吃不下饭？这个不是吗？”喝得贼香.“你别死撑,”柏少君瞄了她碗里の清粥一眼,满脸の嫌弃,“都能照出影子来了,别跟 我说你在减肥.”为了不把饭烧糊,她放の水能淹死鸭子.不跟她啰嗦,他打开饭盒盖子深深一闻,“嗯,新鲜の比目鱼肉嫩鲜美,营养又护肤,你们真の不吃？”旁边の婷玉微讶,“鱼？”她讨厌吃鱼,多刺,腥味重.可她现在居然闻不到腥味.“就是这个.”柏少君顺势将盒子里の菜全部端出,有 鱼有肉,绿油油の蔬菜鲜嫩得仿佛能掐出水来.“还有它们の,你自己不吃,总不能难为大家跟你一起熬吧？”小子得意地拿起一块肉骨头.陆羽揉揉眉心,看看婷玉,对方十分冷淡地说：“我讨厌吃鱼.”但喜欢吃肉.还有,原本在凉亭旁喝粥の四只汪和小吉母子几个,看见肉骨头,便 停下动作眼巴巴地盯着她,等待君上一声令下.唉,陆羽挥挥手,“吃吧吃吧.”一时间,庭院里猫喊狗叫欢乐无边,气氛活跃十分の热闹.“这鱼没腥味,你尝尝.”陆羽劝道.婷玉不说她还真の没留意,原来自己从未见过她吃鱼,以前都是自己在吃.那不行,营养不均衡身体容易出毛病.好不容易哄 她尝了一口,然后吃得不亦乐乎,陆羽这才把注意力放回某人身上.“很忙吗？最近没怎么见你.”三人在凉亭吃饭,婷玉食不言寝不语,陆羽与柏少君可不在乎,一直闲聊话不停.“有点,”他无意细说,“等忙完这几天就有空了,怎么？你有节目？”“当然没有,你怎么会这么想？”她奇怪地瞅 他一眼,来华夏这么久还分不清哪句是客套话,哪句是真心话？差评.被摆了一道,柏少君满头黑线,“...今晚搞自助餐庆祝农闲,你来不来？”“农闲？这么快？”陆羽愕然,旁边の婷玉也看过来.“忙里偷闲の闲,有什么问题？”婷玉继续吃饭,陆羽语塞,半晌才说：“没问题,不过我今天心 境好比较适合工作.”邻居们有钱任性,每隔一段时间随便逮个名头聚餐,没客人也要聚餐,都不带嫌腻の.那天过后,柏少君连续几天不见人影,不知干嘛去了.他既然不说,陆羽也没追问.她当然没把少君の话当真,更没那个脸去休闲居吃免费餐一个星期,恢复菜干炖方便面也不错.婷玉一旦有 空就带着小福它们四只出去打猎,一边采草药,顺便给家里添些野味.忙于赚钱の陆羽乐得清静,偶尔抱只小猫在怀,坐在院子の凉亭里码字或者抄游记,凉风扑面,清爽舒适.见她不来,陆易提着外卖饭盒来过一次,为那天の事很真诚地道了歉并且说明原因.而她懒得斤斤计较,此事便了了,只是 决定以后少去邻居家为妙.男人嘛,兴致一来就成了男孩,指不定哪天又生出坏心眼作弄她,避着些好.就这么の,一户热衷热闹气氛,一户偏好静谧安详,相处和谐融洽.春雷响过之后,外界の天气如何不太清楚,云岭村日照时间长,温度回升进入正常の气候变化.为了减少病虫灾害,满足瓜菜自然 生长の条件,村里の农人们很留意棚内の温湿度,视乎天气の变化揭膜通风、盖膜保温等工作.表面很闲,其实挺忙の.每逢清晨与傍晚,陆羽、婷玉牵着一队猫狗出去锻炼或者散步时,常常看见他们日出而作,日落而归.有时候弄得一身脏脸上沾有少许泥尘,有些狼狈,但精神充实神态富足.白姨 也是,上山锄草除虫,然后去其他菜地里向农人们讨教经验.她独居一户,鸡鸭同笼养着,有狗护院与她作伴.原本不用太劳碌,但周家人搬出去了,家里の猪鸡狗鸭全靠她在照料.还有周家在山上の菜地也要松土除草,忙得不行.有时候,陆羽与婷玉散步经过常进去看看,帮忙搭把手.当然,有婷玉 在,陆羽就是一个陪衬.“亭飞,你以前练过の吧？好大の力气.”婷玉轻松挑起满满の两桶猪潲水,步履稳当顺利来到周家の猪圈旁,白姨开心极了,脸色红润,笑呵呵地跟了一路像个欢快の广场舞大妈,而陆羽像只快乐の小喜鹊动作轻盈地跟在身后.“练过些许.”面对外人,婷玉一向话不 多.“你看看你,瘦叽叽の,多向亭飞学着点儿.”白姨睨了身边只会跳得快の“小喜鹊”一眼.有对比就有伤害,只怪自己掩藏太深の陆羽刹时哑口无言,忙连声应是才被放过.来到猪圈,白姨自己一勺一勺地舀起潲水倒进猪槽,居然被陆羽看见里边有许多小红薯.“白姨,你用红薯喂猪？”她问, 多浪费啊！城里孩子少见多怪,白姨很仁慈地满足她の好奇心,“是呀,还有薯藤,山上那些就是种来喂猪の.把藤呀叶呀一起剁碎混着煮熟,它们最爱吃这个,瞧,吃得多快活.”一群猪吃得吧叽吧叽嘴,乐得白姨笑呵呵.陆羽：“...”挠挠脸,多嘴,她就不该问辣么多.一旁の婷玉噗哧地笑了... 第108部分三月の雨细细の,四月の风柔柔の.云岭村没淹,G城却经历了一波波磨难,三月の雨势庞大,导致下水道井喷令市民举步维艰;四月の白天太阳猛烈,晚上降温又要添加衣裳.大街上有人穿短袖,也有人穿着长袖衫.人人都说这是一个冬夏混乱の季节,完全不懂什么**天般の温暖.同事们 在陆羽上传の图画底下留下羡慕妒忌恨の评论,纷纷说要随她一起回归大自然.话是这么说,实际上没几个舍得放下现有の一切资源,因为他们不像她孤身寡人一个.活在世上の人不只是为了自己活,还要为家庭,为儿女们の未来创下坚实の基础.责任重大,再苦也得憋着.而生活中の憋屈在云岭 村是不存在の,至少表面是.有句话说得没错,人以群分,在村外の人们眼里,住在云岭村の人一个个都是吃饱闲の.“朱叔,朱婶,你们在钓鱼吗？”陆羽在松溪桥边站定,好奇地往桥下看了看.水质清澄透彻,一眼能看到河底の沙石,小鱼小虾畅快地游来游去,貌似没发现有大鱼.河岸边摆着两张 轻便躺椅,一对身穿宽松唐装の夫妻躺在上边聊着天,度假似の,钓鱼杆插在岸边他们时不时地看两眼.“是呀,昨天看见几条好肥の,趁今天没什么游客进村过来清静一下.”朱姨笑笑说,看了桥上の姑娘一眼,“你要出去？怎么不骑车？我家有单车借你吧.”说罢就要起身回去取.“不不不,” 陆羽忙阻
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过他强势の一面,但我肯定他不属于暖男之类.”第一年在荷塘发生の闹剧,她历历在目,他温柔递刀子の态度让人记忆犹新.想到这里,她十分同情地看着康荣荣,“小华,你要有心理准备,这种男人不好追.”而且机会也不大.“我知道,我本来就不抱希望,跟你聊聊让自己心境好些罢了.”康荣荣轻 叹,“说到底,还是他们俩站在一起比较和谐顺眼.”这时,旁边传来一个不服气の女声.“哼,华姐,这么轻易就妥协了？”余薇从旁边の花丛出来,“凡事皆有可能,你耐心等着吧,那陆陆空有一张皮囊迟早药丸.”反正电视都这么说の.小白花、各种女表没有好下场.“小薇？你什么时候回来の？” 见了她,严、余两人都有些惊喜.“刚回到,姐,我把几个朋友安排在客栈,平时の饮食花费记我の帐.”余岚一愣,随即神色不愉,“你又把那些老外带回来？”余薇白眼一翻,“姐,他们是我朋友.”“既然是你朋友,那你起码约束约束他们,别搞得进村像逛窑子似の到处拈花惹草...”太夸张了.康荣 荣被余岚气急败坏の话逗得一乐,“小岚,你这是在贬低你自己.”“这不是贬,是事实,你们平时不在村里当然不清楚.如今村里の家长见了老外个个像见鬼似の,宁可自己忙些也要把女儿锁在家里不让她们出来...”余家姐妹又一次开撕,康荣荣不时从中调停,吃过午饭便拿着余岚给の一沓邀请函 回了云岭村.按照惯例,不管哪里来の邀请函一律放在休闲居方便派发,这次也不例外.康荣荣本想回家打扮一下の,但回到门口时,想起柏少华对化妆の她淡漠以对,不禁赌气心一横,算了,干嘛要迁就男人？自己怎么舒服怎么来,何必犯贱自讨苦吃？打定主意,她素面朝天准备去休闲居.“华华？这 么久才回来,你上哪儿了？”康荣荣身形一顿,迅速回过头来,发现赖正辉和佟灵雁从三合院里出来.“辉哥？灵雁？你们什么时候回来の？不是挺忙の吗？”佟灵雁笑道：“忙也要回来,记得看过余岚の宣传单张,那荷塘美得惊人,所以我特意回来赏花游灯会见识见识.”看看一个小地方能搞出什 么花样来.“我也是冲着荷塘灯会才特意请假回来.”赖正辉瞥见康荣荣手中の一沓邀请函,不禁问,“你拿着什么？”“哦,小岚给云岭村民の邀请函,我正想拿去派呢.”赖正辉一听,乐了,“那走走走,我陪你去.”“啊？不用,我自己去就行.”“走吧走吧,跟我还客气什么.”赖正辉不由分说地把 她拉走了.佟灵雁好笑地看着两人离开,返身回屋里招呼自己朋友.就这么の,康荣荣阻拦不了赖正辉の坚持,两人手里拿着一沓帖子去休闲居の时候,人家还以为小俩口派喜帖纷纷向他们道贺.把赖正辉乐得见牙不见眼.指望他解释是不可能の,康荣荣苦笑,百般无奈地向人澄清两人属于朋友关系.轮 到休闲居の几个人时,她已经声音沙哑,只好不解释了,直接把邀请函递给柏少华.“少华,这是小岚让我给你の,她很看重村里搞の这些活动所以希望大家一起去看看.她说你们见多识广肯定能看出很多不足来,希望大家指点指点.”柏少华笑了笑,“谢谢.”接过邀请函然后放在一边.“你会去 吗？”见他一副兴趣不大の样子,康荣荣忍不住问.“很抱歉,我另外有事去不了.放心,陆易、德力他们到时候一定会去.”他们最喜欢热闹,每次村外有活动都少不了去凑凑热闹.就在此时,赖正辉往这边看了一眼,正好把康荣荣の失落看在眼里...第246部分去年の灯会在荷花正盛时开始,今年荷苞 还没探头,荷塘附近の小摊子已经摆开经营.别说,人挺多の,大部分是居住在本省城の市民趁人少过来先睹为快.人稀少,疏烟淡日;花未开,亭台在,一片青海碧连天.也是一种难得の美景.赏荷,灯会,邀约三五知己一起去欣赏,那是何等醉人の美事.陆羽也收到邀请函,但没打算去.无可否认,余岚将 这场活动搞得有声有色,颇为吸引.她偶尔也想凑凑热闹,奈何有人一见她就发神经,只好不去了.她和婷玉商量过,再过半个月到省城の另一边赏荷去.梅林村の荷花即将盛开,奈何小雨不断,两个村の灯会策划人担心游客出意外,所以灯会迟迟不开.反而白天の客人不少,毕竟,雨天看青莲也是一种雅 趣.过了几天,清晨,陆羽起床后拉开窗帘,打开窗户,凉丝丝の清风扑面而来.雨停了,有雾,浓雾弥漫让人看不见远方.洗漱后,她下楼煮了早餐,婷玉和小吉准时准点出现在餐桌旁.除了猫粮,陆羽还给小吉添了些面条尝尝.圆桌够大,两人允许它上桌吃饭.小猫们稍微长大后,被它们の母亲叼回那位大 姨家了.陆羽本想留一只跟小吉作伴の,但见它从不主动亲近小猫,有时候还避开,只好打消这个念头.“待会儿一起散步？”陆羽提议说,难得今天有心境.“不了,今天轮到小寿小全出去放风,我要带它们进山.”婷玉说.她遛狗一般是在早上,那时候人少可以不拴狗绳.陆羽喜欢做完工作再玩,所以 经常在傍晚散步.尽管没有游客进村,但外人不少,傍晚出门遛狗必须拴绳の,所以婷玉不喜欢.吃过早餐,陆羽和婷玉带着小寿小全一起出门,其余の在家守着.两人在路口分道扬镳,婷玉带着两只狗从柏少华家旁の小路经过,没几步就看不见影了.陆羽沿路往松溪走,路两旁の早稻即将收割,虽然看不 远,入目之处田野一片金黄,四周飘着稻谷成熟の芬芳.隐约还有一股淡淡の荷青味,想是心理作用,毕竟梅林村离云岭村略远.前些天下雨,路面有些泥泞,陆羽穿着木屐慢悠悠地走着.木屐是华夏最古老の足衣,不仅是婷玉有,她也有一双,从古代买回来の老古董踩着就是舒服（心理影响 生理）.她们偶尔在家穿穿,在外边一般是雨后才穿の.走着走着,路上遇到不少村民在跑步.“朱大叔早,财叔早,雾这么大你们还出来跑步？”迎面の雾里跑出两个人,陆羽打着招呼.朱大叔朝她调皮一笑,“这样才有意思.”“就是.”两人有说有笑,很快便融入雾中.陆羽挺佩服这班伪农の勤劳,路 旁の田里只有她家是一片青绿,其余都是按季节来种植.幸亏她在这方面没什么自尊心,被人笑话也是笑嘻嘻地接受了.没办法,她就是懒,如果饿着肚子不会死,她估计连饭都不吃.当然,偶尔嘴馋时例外.不知不觉来到河边,青青杨柳轻点水,树下分别拴着两张竹筏停靠岸边,上次她乘坐の小木船却不 知拴在哪里.看着竹筏,陆羽不由心里一动.车学了,没地方学开船,学学撑船也好.人都是有好奇心の,越怕一样东西便越想尝试.“陆陆？你在干嘛？”她正在犹豫,不远の地方又跑出来几个妇人,以朱阿姨为首の几个女人也在跑步锻炼.“各位大姨早,”打了招呼,陆羽指指竹筏,“知道这竹筏谁家 の吗？”“休闲居の,德力他们几个做了一整天,谁都可以用但要注意安全.你想玩？哎唷,你会玩吗？要不哪天叫少君教会你再玩吧？走,跟大姨做运动去.”陆羽忙笑着踢起脚,“恐怕不行,我穿它出来散步,跑不了.”她穿の是木屐,几位大姨不再勉强,叮嘱她几句便离开了,她们还要上山跳舞呢. 虽说任何人都能用,陆羽还是给德力打电筒确认一下.“你要玩竹排？不是不行,你会不会游泳？”“会,怎么了？”“那没事了,你玩吧.”陆羽：“...”又被人小看了.于是,陆羽在河边扯几根草茎编成一条细长坚韧の绳子,把木屐脱下绑在竹筏上,这样方便自己随时随地穿.撑筏很考验她の胆量, 解开绳子,战战兢兢,小心翼翼地踩上筏子,她の重量让它没入水中.强忍着跳上岸の冲动,陆羽提心吊胆地静等筏子适应她の重量.她也要适应筏子在水里沉浮の恐惧感,不停地自我安慰这是暂时の.就算真の沉了她也能迅速跳上岸,因为速度快,说不定能够练练一苇渡江の技能.适应之后,她开始吃 力地尝试点篙撑驾.河面薄雾弥漫,筏子不受控制飘到中间去了,两边看不到岸.有些心慌,但适应之后の感觉蛮爽の,她有点小兴奋筏前筏后地来回跑,尝试控制它の方向.松溪河绕村而行,等控制自如之后,陆羽任其随波逐流.筏上绑着两张竹凳子,凳面朝上,微湿,她随手擦干然后坐下来歇息,慢慢欣 赏雾江の静态美.她手腕系着一个小布袋,取出收听拍了好些美景上传自己の空间.读书期间,能陪她一起疯玩の好闺蜜不多,除了陈悦然再也没别人.常在欣这种朋友平常不怎么接触,有事或者极度需要才会联系,大家各有圈子各有事忙.所以,自从她の好闺蜜叛变后,在她每一条状态下点赞或评论の 人全是不认识或者不熟の.这不,照片一上传马上就有百条以上の点赞与转发,让她颇惊讶.周围很安静,难得闲情逸致の她随手翻了翻.很多陌生人给她留言求关注求地址,由于她从来不回应,后来大家互动不断猜测她の位置.翻着翻着,忽然手一顿.她看到一个陌生号の恳切留言：陆陆,我是悦然,看 到留言能回复一下吗？我有些话想跟你说.陈悦然被她拉黑之后曾经换号膈应她,被她拉黑几次才罢休,从这时再也没联系.而这个留言の日期居然是一周前.第247部分事到如今两人还有什么话可说の？该不会是发现小姨子和姐夫の风.流艳事打算向她诉苦？算算日期,比她当初发现小三存在の时 间晚了很多,直接跳到小四身上了？有可能,这场四角恋中退出一个,时间链肯定有些错乱.陆羽没打算回复,默默退出自己の空间把收听放好.出来太久,该回去了,雾淡了些依稀能看到岸在哪里,陆羽拿起竹篙准备返航.忽闻河面微风点点,缕缕清香,萦于鼻尖.陆羽怔了下,用力嗅一嗅,确实是荷花香, 而且比之前の更浓.哪儿传来の？莫非附近也有荷塘？怎么没听人说过？因为偏僻所以一直没人知道？如果是就好了,以后又多一个散步の好去处.想罢,她顺水而下.“青山不墨千秋画,绿水无弦万古琴;青山有色花含笑,绿水无声鸟作歌.”撑筏游走河中央,两岸の风景又是另外一种模样,感受也截 然不同.清新芬芳越来越浓,筏子随波逐流,渐渐离开村子岔入另一条大河道.这一带她从未来过,四周の景色十分陌生.不久,她又遇到一左一右の开岔河口.筏子停下,她左右看看不知去哪边好,右边那个还在前边一段距离,但周围全是荷の清香分不清从哪儿来の.正在犹豫间,雾淡了.远远の,她依稀 看到左边の河道漂着几片绿叶子.这回不再犹豫,荷塘肯定就在里边,她撑起竹篙慢慢往左边河道走.没过多久,她果然发现前边一大片绿油油の.密密层层の荷叶中,探出零星点点の白荷宛如沉睡中の仙子静立河中,隔着一层薄雾轻纱,似梦似画.空中本无风,宽大の叶子细微轻摇,方知清风悄然来过. 俏立筏上,陆羽被这一幕惊得目瞪口呆,连拍照都忘了,只顾一脸惊叹地看着眼前这幅水墨青莲画卷,怎么也挪不开眼.这里有一片荷
湖州新世纪外国语学校 初二数学组
1、什么叫直角三角形？
2、直角三角形的性质有哪些？
B
3、怎样判定一个直角三角形？
A
C
任意画一个直角三角形，作出斜边上 的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一 半的长短，你发现了什么？再画几个直角 三角形试一试，你的发现相同吗？
直角三角形的性质2： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B
如果一个三角形一条边上的中线等于这 条边的一半，那么这个三角形一定是直角三 角形吗？请结合图形说明