2012奥赛决赛

25 4 3=7 ，所以弟弟现在 11 岁，哥哥现在 18 岁。他们的年龄和至少是 11 18=29
岁。 【点评】此题出题不严谨，出题者默认 1 岁不能上幼儿园，所以弟弟当时的年龄只能选 4 岁。
9.
x，y 是正整数，满足条件
2012 x 2011 ＞ ＞ ，那么， x y 的最小值= 2013 y 2012
10. 一只蚂蚁从一把长 10 厘米的直尺左端开始在直尺上面爬行，速度为每秒 1 厘米。当蚂蚁爬到端 点时就用 1 秒钟的时间转身，继续向另一端爬行。那么，蚂蚁开始爬行 1400 秒后，它在直尺上 的位置是
。（例如，蚂蚁在图中直尺上的位置是 4）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
【考点】周期问题 【答案】7 【解析】首先蚂蚁从最左端（即 0 刻度处）开始往右爬，它爬的一个周期用时是 22 秒（从 0cm 处往右爬，在 10cm 处转身，再回到 0cm 处准备开始往右爬为一个周期）.爬了两个 10cm，转了两次身。 因为 1400 22 63 14 ，也就是爬了 63 个周期，还需要爬 14 秒。首先爬到 10cm 再 转身，用时 10 1 11 （秒） ，接着从 10cm 处往左爬，还需要爬 14 11 3 （秒） ，爬了 3cm，到了 7cm 处。
1 ，则甲需要 20 天。 20
6.
5 个不同的数，它们两两之和为 5,7,8,9,10,11,12,12,14,16。那么，这 5 个数中从小到大的第三个 数是 。 【考点】论证与构造 【答案】5 【解析】设这五个数从小到大依次为 a、b、c、d、e,则五个和的和是这 5 个数和的四倍，
4 a b c d e 5 ， a b c d e 26 ，又因
V甲 : V乙 3 : 5 ，全长对应 8 份，甲走了 12 份一个半全长，乙走了 20 份 2 个半全长。
在甲乙 2 次迎面相遇后，有 1 次追及相遇（第 3 次） ，然后 1 次迎面相遇（第 4 次） 。
4 1 3 2
A
B
由上图，第三次与第四次相遇相差 3 份，即 100 公里，所以 AB 之间相距 方法二：柳卡图法
为最小的和 5 一定是 a b 5 ，最大的和 16 一定是 d e 16 ，所以 c 26 5 16 5 。 7. 某苗圃种有甲、乙两种树苗各若干株。甲种树苗平均高 80 厘米，乙种树苗平均高 200 厘米， 甲、乙两种树苗平均高 150 厘米。如果甲种树苗 30 株，那么，乙种树苗有______株。 【考点】应用题 【答案】42 株 【解析】方法一： （方程法）设乙种树苗有 x 株，则根据题意有方程：
A c 满足算式 c a b
b c ，那么 abc ________。 a c
5. 6. 7. 8.
9.
一批零件，如果安排甲乙两种机床一起加工，需要 12 天完成，如果甲机床 2 天的工作量等于乙 机床 3 天的工作量，那么，甲机床单独加工全部零件需要 天。 5 个不同的数，它们两两之和为 5，7，8，9，10，11，12，12，14，16。那么，这 5 个数中从小 到大的第三个数是 。 某苗圃种有甲、乙两种树苗各若干株。甲种树苗平均高 80 厘米，乙种树苗平均高 200 厘米， 甲、乙两种树苗平均高 150 厘米。如果甲种树苗 30 株，那么，乙种树苗有______株。 哥哥对弟弟说：我在你现在这么大时，你还在读幼儿园，弟弟对哥哥说：我到你现在这么大时， 你已经大学本科毕业了；哥哥对弟弟说：我在你现在这么大时，你的年龄正好是一个平方数，弟 弟对哥哥说：我到你现在这么大时，你的年龄也是一个平方数。如果哥哥和弟弟都是 6 岁入小学 并且没有跳过级，那么，他们现在的年龄之和至少是_______岁。 2012 x 2011 ＞ ＞ x，y 是正整数，满足条件 ，那么， x y 的最小值= 。 2013 y 2012
800 公里。 3
V甲：V乙 15： 25 3： 5 ，走一个全程路程一样，速度与时间成反比： t甲 : t乙 5 : 3 ， 若不计追及相遇：
A 3 9 10 C 15
D
B
5
6
12
15
设全程为 L,可知 C 到 A 地的距离是
L 5L ，D 到 A 地的距离是 ，根据题意可知： 8 8
.
.

。
3.
如图、 S△ABC 12 ， BD CD ， AE DE ．那么，图中所有三角形的面积之和为________。
A E
B
D
C
【考点】几何计数 【答案】42 【解析】由 BD CD ， AE DE 可知图中每个小三角形面积都为 3，则图中面积为 3 的三角形有 4 个，面积为 6 的三角形有 3 个，面积为 12 的三角形有 1 个，所以所有三角形面积和为 3 4 6 3 12 1 42 。
4.
a b 已知三位数 abc 满足算式 c a b
【考点】位值原理 【答案】198
b c ，那么 abc ________。 a c
【解析】由原式可得 aa bb cc abc ，所以 11a 11b 11c 100a 10b c ，
b 10c 89a ，所以 a 1 , b 9 , c 8 ， abc 198 。
11. 甲乙两车分别从 AB 两地同时出发，相向而行，并在 AB 两地之间不断往返行驶。甲车的速度是 每小时 15 公里，乙车的速度是每小时 25 公里，已知两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点 相距 100 公里。那么，AB 两地的距离= 公里。 【考点】多次相遇问题 【答案】200 【解析】此题有歧义，没有注明是否计入追及相遇： 方法一：比例法 （1）若不计入追及相遇
10. 一只蚂蚁从一把长 10 厘米的直尺左端开始在直尺上面爬行，速度为每秒 1 厘米。当蚂蚁爬到端 点时就用 1 秒钟的时间转身，继续向另一端爬行。那么，蚂蚁开始爬行 1400 秒后，它在直尺上 的位置是
。（例如，蚂蚁在图中直尺上的位置是 4）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11. 甲乙两车分别从 AB 两地同时出发，相向而行，并在 AB 两地之间不断往返行驶。甲车的速度是 每小时 15 公里，乙车的速度是每小时 25 公里，已知两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点 相距 100 公里。那么，AB 两地的距离= 公里。 12. 一次游戏：有编号从 1 到 8 的卡片 8 张，要求从中三张卡片组成一组，使得它们的编号之和是偶 数，那么，这样的卡片组的不同选法共有______种。
80 30 200 x 150 x 30 ，解得 x 42 ，即乙种树苗有 42 株。
方法二： （十字交叉法）
甲 80 150 乙 200 50 5 ： 70 7
甲、乙所种的数量之比为 5 : 7 ，所以乙种了 30 5 7=42 株。
8.
哥哥对弟弟说：我在你现在这么大时，你还在读幼儿园，弟弟对哥哥说：我到你现在这么大时， 你已经大学本科毕业了；哥哥对弟弟说：我在你现在这么大时，你的年龄正好是一个平方数，弟
。
【考点】最值问题 【答案】8048 【解析】 （1）将原式进行如下变形： 2012 x 2011 1 yx 1 ＞ ＞ 1 1 1 2013 y 2012 2013 y 2012
1 yx 1 2012 y x y 2013 y x 。得到 y 的范围。 2013 y 2012
12. 一次游戏：有编号从 1 到 8 的卡片 8 张，要求从中三张卡片组成一组，使得它们的编号之和是偶 数，那么，这样的卡片组的不同选法共有______种。 【考点】计数问题 【答案】28 或 40 【解析】本题出题有歧义：卡片 6 是否可以通过旋转变成 9。 1) 卡片 6 不可以通过旋转变成 9 时： 奇数有 1，3，5，7；偶数有 2，4，6，8。
25 3： 5 ，则可设全程为 8 份。第一次相遇，两人合走 1 个 根据题意可知： V甲：V乙 15：
全程，甲走 3 份；之后每次相遇，两人合走 2 个全程，甲走 2 3=6份 。如下图所示：
3 A 1 4 2 B
甲
第三次相遇与第四次相遇间隔 4 份，即 100 公里，1 份是 25 公里，而全程共 8 份，所 以 A 与 B 相距 25 8=200 公里。 （2）若计入追及相遇 则除了甲乙合走全程时迎面相遇，还有乙比甲多走一个全程时，乙追上甲：
5L L 1 L 100，即L=200 ，所以 AB 之间相距 200 公里。 8 8 2
若计入追及相遇：
A 3 9 D C 10
B 5
6
12
设全程为 L,可知 C 到 A 地的距离是
L L ，D 到 B 地的距离是 ，根据题意可知： 2 8
L L 3 800 800 ，所以 AB 之间相距 公里。 L 100，即L= 2 8 8 3 3
2012 年小学数学竞赛决赛试卷
1. 2. 3.
4 5 计算： 5 3.125 3.75 0.5 15 8
. . . . 计算： 0.91 0.9 2 0.1 0.2 0.5
。 。
如图、 S△ABC 12 ， BD CD ， AE DE 。图中所有三角形的面积之和为______？
91 9 92 9 1 2 1 原式 90 9 9 2 90 82 83 2 4 9 90 90 18 18 18 165 15 90 18 1


弟对哥哥说：我到你现在这么大时，你的年龄也是一个平方数。如果哥哥和弟弟都是 6 岁入小学 并且没有跳过级，那么，他们现在的年龄之和至少是_______岁。 【考点】年龄问题 【答案】26 岁 【解析】哥哥在弟弟的年龄时，弟弟在幼儿园（年龄小于 6 岁）而且年龄是平方数，所以那时弟 弟的年龄最小是 4；弟弟在哥哥的年龄时，哥哥大学毕业（年龄大于 22 岁）而且也是 一个平方数，那时哥哥的年龄最小为 25。4 和 25 之间有 3 个年龄差，每个年龄差为