第六章 系统的时间序列模型
时间序列模型建模步骤
时间序列模型是指对一组按照时间顺序排列的数据进行统计分析和预测的模型。
以下是一般的时间序列模型建模步骤：
1. 确定问题：首先需要明确需要解决的问题，例如预测未来时间点的数据、分析趋势规律等。
2. 收集数据：收集满足时间序列分析条件的数据，比如同一地点、同一时间间隔采集的数据或者使用同一标准计量的数据。
3. 数据清理：将收集到的数据进行清洗和整理，检查数据的准确性和完整性，去除异常值和缺失值，使得数据更加可靠。
4. 观察时序图：通过观察时序图，探索数据的特征和规律，比如是否存在趋势、季节性、周期性等。
5. 确定模型类型：根据数据的特点，确定适用的时间序列模型类型，比如ARIMA模型、指数平滑模型等。
6. 建立模型：依据选定模型类型和模型参数，使用统计软件或编程工具建立时间序列模型。
7. 模型诊断：对建立的时间序列模型进行诊断，检验模型的拟合程度、残差序列的平稳性等，判断模型是否可靠。
8. 模型预测：使用建立好的时间序列模型对未来的数据进行预测，考虑预测误差和置信区间等因素。
9. 模型评价：根据预测结果，评价模型的准确性和实用性，如果需要改进，则重新调整模型参数。
总之，时间序列分析需要经过多个步骤完成，建议在每个步骤中仔细观察、认真分析，确保模型的可靠性和有效性。
《时间序列模型 》课件
目录
Contents
• 时间序列模型概述 • 时间序列模型的基础 • 时间序列模型的建立 • 时间序列模型的预测 • 时间序列模型的应用 • 时间序列模型的未来发展
01 时间序列模型概述
时间序列的定义
01 时间序列是指按照时间顺序排列的一系列观测值 。
02 时间序列数据可以是数值型、分类型或混合型。 03 时间序列数据可以用于描述和预测时间变化的现
详细描述
通过分析历史经济数据的时间序列特性，时间序列模型能够预 测未来经济走势，为政策制定者和企业决策者提供重要参考。
举例说明
例如，利用ARIMA模型分析国内生产总值（GDP）的时间 序列数据，可以预测未来一段时间的GDP增长趋势。
股票预测
01
总结词
时间序列模型在股票市场中具有实际应用价值。
02 03
SARIMA、VAR等。
识别模型阶数
02
确定模型的参数，如自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
考虑季节性和趋势性
03
如果时间序列数据存在季节性和趋势性，需要在模型中加以考
虑。
参数估计
01
使用最小二乘法或最大似然法等统计方法估计模型 的参数。
02
考虑使用软件包或编程语言进行计算，如Python的 statsmodels库或R语言的forecast包。
象。
时间序列的特点
时序性
时间序列数据是按照时间顺序排列的，具有 时间上的连续性。
趋势性
时间序列数据通常具有一定的趋势，如递增 、递减或周期性变化。
季节性
一些时间序列数据呈现季节性变化，如年度 、季度或月度的变化规律。
不确定性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有不 确定性，难以精确预测。
时间序列模型讲义
时间序列模型讲义时间序列模型讲义一、概念介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间上变化的数据模型。
它是一种建立在时间序列数据上的数学模型，旨在揭示时间序列中的隐藏规律和趋势，并利用这些规律和趋势进行预测和决策。
二、时间序列的特征时间序列数据具有以下几个主要特征：1. 时间相关性：时间序列数据中的观测值在时间上是相关的，前一个时刻的观测值往往会影响后续时刻的观测值。
2. 趋势性：时间序列数据往往具有明显的趋势性，即观测值随时间呈现出递增或递减的趋势。
3. 季节性：时间序列数据中可以存在固定的周期性变化，比如月份、季节、一周等周期性变化。
4. 周期性：时间序列数据中可能存在非固定的周期性变化，比如经济周期、股票市场周期等。
三、时间序列模型的构建过程时间序列模型的构建过程主要包括以下几个步骤：1. 数据探索和预处理：对时间序列数据进行可视化和探索，查看数据的分布、趋势和周期性等特征，并进行缺失值处理、异常值处理等预处理操作。
2. 模型选择：选择适合数据特征的时间序列模型，常用的模型包括移动平均模型（MA模型）、自回归模型（AR模型）和自回归移动平均模型（ARMA模型）等。
3. 参数估计：利用已选定的时间序列模型，对模型中的参数进行估计，通常采用极大似然估计或最小二乘估计等方法。
4. 模型诊断：对估计得到的时间序列模型进行诊断，检验模型是否满足统计假设，例如模型的残差序列是否具有零均值和白噪声等特征。
5. 模型评价和预测：通过对模型在历史数据上的拟合程度进行评价，选择最优的模型，并利用该模型对未来的数据进行预测和决策。
四、常见的时间序列模型1. 移动平均模型（MA模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的加权平均，其中权重是模型的参数。
该模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列。
2. 自回归模型（AR模型）：该模型假设当前观测值是过去几个时刻的观测值的线性组合，其中系数是模型的参数。
该模型适用于具有明显的趋势性的时间序列。
时间序列模型ppt
82
§2
平稳时间序列模型
这里的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间 的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。 下面自回归模型（Auto Regressive Model）简称 AR 模型，移 动平均模型（Moving Average Model）简称 MA 模型，自回归移 动平均模型（ Auto Regressive Moving Average Model ）简称 ARMA 模型。 下面的 X t 为零均值 （即中心化处理的） 平稳序列。 （1）一般自回归模型 AR( n ) 假 设 时 间 序 列 X t 仅 与 X t 1 , X t 2 ,, X t n 有 线 性 关 系 ， 而 在
j 0
(1) S （2）式表明 t 是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为
, (1 ), (1 ) 2 ,；显然有 j ( 1 ) 1 1 (1 ) j 0
由于加权系数序列呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱 随机干扰的影响，所以（2）称为一次指数平滑，类似地，二次 指数平滑公式为：
上式还可以表示为
at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n
可见， AR(n) 系统的响应 X t 具有 n 阶动态性。 AR(n) 模型通过 把 X t 中的依赖于 X t 1 , X t 2 ,, X t n 的部分消除掉之后， 使得具有
1) (1) (1) St(1) yt (1 )St( S ( y S 1 t 1 t t 1 ) （1）
假定历史序列无限长，则有
S
(1) t
yt (1 )[yt 1 (1 ) S
(1) t 2
《时间序列模型》课件
对异常值的敏感性
时间序列模型往往对异常值非常敏感，一个或几个异常值可能会对整个模型的预测结果产生重大影响 。
在处理异常值时，需要谨慎处理，有时可能需要剔除异常值或使用稳健的统计方法来减小它们对模型 的影响。
PART 06
指数平滑模型
总结词
利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除随机波动。
详细描述
指数平滑模型是一种非参数的时间序列模型，它利用指数函数对时间序列数据进行平滑处理，以消除 随机波动的影响。该模型通常用于预测时间序列数据的未来值，特别是对于具有季节性和趋势性的数 据。
GARCH模型
要点一
总结词
用于描述和预测时间序列数据的波动性，特别适用于金融 市场数据的分析。
时间序列的构成要素
时间序列由时间点和对应的观测值组成，包括时间点和观测值两 个要素。
时间序列的表示方法
时间序列可以用表格、图形、函数等形式表示，其中函数表示法 最为常见。
时间序列的特点
动态性
时间序列数据随时间变化而变化，具有动态 性。
趋势性
时间序列数据往往呈现出一定的趋势，如递 增、递减或周期性变化等。
随机性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有一 定的随机性。
周期性
一些时间序列数据呈现出明显的周期性特征 ，如季节性变化等。
时间序列的分类
根据数据性质分类
时间序列可分为定量数据和定性数据两类。定量数据包括 连续型和离散型，而定性数据则包括有序和无序类型。
根据时间序列趋势分类
时间序列可分为平稳和非平稳两类。平稳时间序列是指其统计特 性不随时间变化而变化，而非平稳时间序列则表现出明显的趋势
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是一系列按照时间顺序排列的数据点。
例如，股票价格、气温、销售额都是时间序列数据。
时间序列模型能够分析数据中的趋势、周期性和季节性，提供对未来的预测。
时间序列模型的建立是基于以下几个假设：1. 时序依赖：时间序列数据中的每个数据点都依赖于之前的数据点。
这意味着前一时刻的数据对当前时刻的数据有影响。
2. 稳定性：时间序列数据的统计特性在时间上保持不变。
这意味着数据的平均值和方差不会随时间而变化。
3. 随机性：时间序列数据中的噪声是随机的，即不受任何规律的干扰。
为了建立时间序列模型，我们需要对数据进行预处理和分析。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，确保数据的均值和方差在时间上保持不变。
如果数据不稳定，我们可以采用一些技术，如差分操作，将其转化为稳定的形式。
接下来，我们需要对时间序列数据进行分解，找出其中的趋势、周期性和季节性。
常用的分解方法有加法分解和乘法分解。
加法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的和，乘法分解将时间序列数据分解为趋势、季节性和误差项的乘积。
在分解的基础上，我们可以选择适合的时间序列模型进行建模和预测。
常见的时间序列模型有：1. 自回归移动平均模型（ARMA）：基于时间序列数据的自回归和移动平均过程。
ARMA模型适用于没有趋势和季节性的时间序列数据。
2. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）：在ARMA模型的基础上，增加了对时间序列数据的差分操作。
ARIMA模型适用于具有趋势但没有季节性的时间序列数据。
3. 季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）：在ARIMA 模型的基础上，增加了对时间序列数据的季节性差分操作。
SARIMA模型适用于具有趋势和季节性的时间序列数据。
4. 季节性分解模型（STL）：将时间序列数据进行分解，然后对趋势、季节性和残差进行建模。
STL模型适用于具有明显季节性的时间序列数据。
时间序列模型原理
时间序列模型原理时间序列模型是一种用于预测未来事件或变量发展趋势的统计模型。
它基于过去的观测数据，通过分析数据中的时间依赖关系，来推测未来的发展情况。
时间序列模型在许多领域都得到广泛应用，例如经济学、金融学、气象学等。
时间序列模型的原理可以简单概括为以下几个步骤：1. 数据收集与清洗：首先，我们需要收集相关的时间序列数据，这些数据可以是按照一定时间间隔采集的观测值，例如每日、每小时或每分钟的数据。
在收集到数据后，我们需要对数据进行清洗，即去除异常值或缺失值，使得数据具有一定的可靠性和连续性。
2. 数据探索与可视化：在进行时间序列建模之前，我们需要对数据进行探索与可视化分析，以了解数据的特点和规律。
通过绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图等，可以帮助我们观察数据的趋势、季节性以及是否存在周期性等特征。
3. 模型选择与参数估计：选择合适的时间序列模型是构建准确预测的关键。
常用的时间序列模型包括ARIMA模型、季节性ARIMA模型（SARIMA）、指数平滑法、GARCH模型等。
在选择模型后，我们需要对模型的参数进行估计，通常使用最大似然估计或最小二乘估计等方法来确定模型参数的取值。
4. 模型诊断与验证：在参数估计后，我们需要对模型进行诊断和验证，以评估模型的拟合效果和预测能力。
常用的诊断方法包括检验残差序列的平稳性、白噪声性和自相关性等。
通过这些诊断方法，我们可以发现模型是否存在问题，进而对模型进行修正或调整。
5. 模型预测与评估：最后，我们可以使用已建立的时间序列模型进行未来事件或变量的预测。
通过模型预测，我们可以得到未来一段时间内的预测值，并使用一些评估指标（如均方根误差、平均绝对百分比误差等）来评估模型的预测准确性。
需要注意的是，时间序列模型的预测能力受到多种因素的影响，例如数据的质量、模型的选择和参数的确定等。
因此，在应用时间序列模型进行预测时，我们需要综合考虑各种因素，并不断优化和改进模型，以提高预测的准确性和稳定性。
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
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ˆ1 ˆ 0
ˆ1 ˆ p 1 a
ˆ p 2
ˆ p 2
ˆ a 2 ˆ ˆ 0 a p
和 ˆ ˆ （ aˆ ˆ 推方法：
2 0 1
1
ˆ 2 ˆ 2 a ˆ p ˆ p） a
2017-4-1 1
§6.1 时间序列简介
1. 时间序列是指存在于自然科学或者社会科学中的某一变量或指标的数值或 者观测值，按照其出现的时间先后次序，以相同的或者不同的时间间隔排列的一 组数值，如我们观测声音、电流和电压信号等。 2. 时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类： （1）按研究系统复杂程度不同分：线性时间序列和非线性时间序列； （2）按研究系统的确定性程度不同分：随机时间序列和确定性时间序列； （3）按研究系统的观察变量多少不同分：单变量时间序列和多变量时间序列； （4）按研究系统序列的统计特性分：平稳时间序列和非平稳时间序列； （5）按研究系统时间的连续性分：离散时间序列和连续时间序列； （6）按研究系统时间序列的分布规律分：高斯型时间序列和非高斯型时间序列。 3. 时间序列分析的表示主要有数据图法、指标法和模型法。
2
离散化，则有
2 1
Y (z) X (z)
as b s(s c)
1 1
s 2 1 z T 1 z 1
1
2 aT bT 2 bT z 4 2 cT 8 z
1
( bT 2 aT ) z
2
2
2
(4 2 cT ) z
上式可简写为： X ( z ) B
由此，上式是一个离散系统，也是一个典型的ARMA模型。
2017-4-1 13
§6.4 平稳时间序列模型的参数估计
1 2
6.4.1
AR(p)模型的参数估计 MA(q)模型的参数估计
6.4.2 3
6.4.3 ARMA(p, q)模型的参数估计
2017-4-1
14
§ 6.4.1 AR(p)模型的参数估计
1 0 2 1 p p 1
0 , 1 , ,
p
Yule-
1 0
0 1 1
p2
2
a1 p2 a2 0 a p
t
,1 t n
来自正态总体，则
(1)： (2)：
g 1 N (0,1)
g 2 N ( 1, 1)
t
利用以上结论，可检验 y ,1 t n 的正态性，具体步骤如下： z 4 ； Step1. 由给定的置信水平 查标准正态表得上 4 分为点， Step2. 由 y ,1 t n 计算 y , s , g 1 , g 2 的值； Step3. 若 g z 4 且 g 2 z 4 ，则以置信度 1 认为 y ,1 t n 是正 态的 ，否则认为是非正态的。 g2 上述检验一般要求 n 2 0 ，仿真结果表明：g 1 对非对称分布比较敏感， 对对称分布比较敏感 。
p 1
2 2 p
唯一决定，白噪声的方差 2 由 （ a a a x1 , x 2 , , x N 可以构造出样本自协方差的估计：
ˆ k
1 N
N k
p）
决定。现在从观测样本
y j y jk ,
j 1
k 0,1, 2, , p
T ˆ 2 , a ˆ p） ˆ2 ,a ,
i
,1 i k
中按数值大小排列形成的逆序
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9
§6.3 系统模型的时间序列表示
1 2
6.3.1
零极点匹配法 双线性变换法
6.3.2
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10
§6.3.1 零极点匹配法
零极点匹配法就是利用 z 变换的定义，将模拟系统 D ( s ) 的零极点变换为 数字系统 D ( z ) 的零极点，并使 D ( z )和 D ( s ) 的低频增益相互匹配。 具体步骤为： 1. 将 D ( s ) 的零极点映射到 z 平面
0.0039
最后
D(z) 0.0039( z 1)
2
( z 0.8187 )( z 0.7408)
0.0039(1 z )
1
1
2 1
(1 0.8187 z )(1 0.7408 z )
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12
§6.3.2 双线性变换法
根据 z 表达式与拉氏表达式之间的关系
t 1 t
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6
ˆ t ,1 y
t n
§6.2.2 独立性检验
通常的独立性检验方法仅适合于静态测量情况下，不能照搬到动态数据处理 中来。下面介绍一种基于样本自相关函数的关于时序残差数据的独立性检验法， 这是一种适合于动态数据独立性检验的方法：
ˆ ,1 t n ，若 ˆ : 1 t n 为独立序 ˆ ,1 t n 为 y ,1 t n 的拟合序列，令 ˆ y y 设 y 为 ˆ 的自相关函数列，可得 n ˆ , n ˆ , , n ˆ N 0,1 因 列，即有 0 ， 此，若将 ˆ 绘在直角坐标图中，它们应当在横坐标轴上下随机起伏，且有 6 8 .3 % ˆ 1 n 的两条平行线内；有 9 5 .5 % 的点值落在 ˆ 1 n 的 的点值，落在纵坐标 两条平行线内，这些性质可用来初步判别 ˆt 是否为独立序列。
s 1 T ln z 1 T 2( u 1 3
ze
Ts
，可以推知
u )
5
u
3
1 5
式中，u 1 z
1 z
1 1
低阶近似下，有
s
2 1 z 1 T 1 z Y (s) X (s)
Y
1
对输入输出分别为 、 的连续系统
X
as b s(s c)
lim D ( z ) lim D ( s )
z 1 s 0
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11
§6.3.1 零极点匹配法
4. 如果还要求在高频段，使 D ( z ) 的增益与 D ( s ) 的增益相匹配，则有
z 1
lim D ( z ) lim D ( s )
s
例：对 D ( s ) ( s 2)( s 3) 做零极点匹配变换，设采样周期为
0
Y (z)
A0 A1 z
0
A2 z B2 z
2 2
B1 z
做逆变换可得： A x ( kT ) A x[( k 1)T ] A x[( k 2)T ]
1 2
B 0 y ( kT ) B1 y [( k 1)T ] B 2 y [( k 2)T ]
4 yt y s 3 t 1
其中，标准偏度系数 g 1 反映了数据序列 y t 其总体概率密度关于均值的不
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§6.2.1 正态性检验
对称性，而标准峰度系数 g 2 则反映了总体概率密度函数与标准正态密度在 峰度上的差异。 定理6.1 若 y
对观测数据 y ,1 t n ，有以下四个表征总体概率密度函数的参数
t
均值：
方差： 标准偏度系数：
y
1 n 1
t 1 n
n
yt
2
(y n
t 1
t
y)
2
g1
1 6n
t 1
n
yt y s
n
3
标准峰度系数：
g2
1 24 n n
t
y1 1 yk1
i
y1 2 yk 2
y1 M y kM
2 i
计算各子列的均值与方差得 y ,1 i k 和 s
yk
s
2 k
,1 i k
，
1 M
1 M
t 1
M t 1
M
yt
2 t
y
yt
其中k，M的选取依数据长度n而定（一般地k>10）
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2
时间序列的应用领域
时间序列广泛存在于各个测量领域，如： 可对特殊路面不平度建立AR模型进行特殊路面的路面谱的测量与谱估计 ；
对影响测量数据校正的因素进行分析，建立了时序平均MA模型，增加测量 数据的冗余提高常减压炼油装置过程数据的校正精度 ；
对全球定位系统 (GPS) 的缺陷，采用时间序列分析的方法建立定位误差 ARMA模型，通过对ARMA模型的残差分析等操作提高定位的精度等 。 此外，时间序列还有很多被观测和研究的领域。
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3
§6.2 时序观测数据的检验
1 2
6.2.1
正态性检验 独立性检验
6.2.2 3
6.2.3 平稳性检验
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4
§6.2.1 正态性检验
对时序观测数据 y , y
t 2
, , y n
2 的正态性检验，一般可采用 --拟合优度检验法。
2 下面介绍正态性检验的偏峰值态检验法，这是一种较 --拟合优度检验法 具有更高功效的检验法 。
第六章 时间序列
§6.1 时间序列简介 §6.2 时序观测数据的检验 §6.3 系统模型的时间序列表示 §6.4 平稳时间序列模型的参数估计 6.4.1 AR(p)模型的参数估计 6.4.2 MA(q)模型的参数估计 6.4.3 ARMA(p, q)模型的参数估计 §6.5 平稳时间序列建模 §6.6 非平稳时间序列