第一章一元二次方程竞赛拔尖题
一元二次方程的正整数解拔高题
训练专题三——一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_________个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_________个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=_________．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_________．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_________．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（）A．B．C．D．三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．15．（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0 至少有一个整数根，求a的值．16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。
苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》 能力训练题(含答案)
第一章《一元二次方程》能力训练题一．选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+x＝0 B．x+2＝0 C．x+y＝1 D．＝22．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣24．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9 5．某药品原价为100元，连续两次降价a%后，售价为64元，则a的值为（）A．10 B．20 C．23 D．366．设a、b为x2+x﹣2011＝0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b＝（）A．2014 B．﹣2014 C．2011 D．﹣20117．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为（）A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a＞﹣2且a≠2 D．a≥﹣2且a≠2 8．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.64万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6（1+x）＝8.64B．6（1+2x）＝8.64C．6（1+x）2＝8.64D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.649．在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（）A．x2+100x﹣400＝0 B．x2﹣100x﹣400＝0C．x2+50x﹣100＝0 D．x2﹣50x﹣100＝010．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（）A．﹣6 B．2 C．16 D．16或211．为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．1212．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米二．填空题13．若m是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式2m﹣m2＝．14．在“低碳生活，绿色出行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城自2018年起自行车的销售量逐月增加．据统计，该商城一月份销售自行车100辆，三月份销售121辆，该商城的自行车销量的月平均增长率为．15．如表是某同学求代数式x2﹣x的值的情况，根据表格中数据，可知方程x2﹣x＝6的根是．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …x2﹣x 6 2 0 0 2 6 …16．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行现场比赛），比赛总场数为380场，则参赛队伍有支．17．关于x的方程x2﹣6x+3＝0的两根分别是x1和x2，且＝．18．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为．19．用配方法将方程x2﹣4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则＝．20．某养殖场为落实国家环保政策，建造一个池底为正方形、深度为2m的长方体无盖水池，池壁的造价为每平方米150元，池底的造价为每平方米300元，总造价为9600元，则该水池池底的边长为m．三．解答题21．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝9﹣x222．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，求（1）+的值．（2）（x1﹣1）（x2﹣1）的值．23．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，解下列方程：（1）＝x；（2）x+2＝6．24．阅读理解：材料一：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0（在由原方程得到新方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想）．于是可解得y1＝1，y2＝4．①当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；②当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．材料二：恒等变形是代数式求值的一个重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化问有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当x＝+1时，求x3﹣x2﹣x+2的值．为解答这道题，直接代入x的值进行计算，显然比较麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答：先将条件化为整式，再把无理数运算转为有理数运算．由x＝+1，得x﹣1＝，两边同时平方得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2请参照以上的解决问题的思路和方法，解决下列问题：（1）解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0（2）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值．25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．26．如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m，宽为40m．（1）求通道的宽度；（2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．27．温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了a%，求a的值．参考答案一．选择题1．解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．B、该方程的未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本题选项不符合题意．C、该方程中含有两个未知数，属于二元一次方程，故本题选项不符合题意．D、该方程不是整式方程，故本题选项不符合题意．故选：A．2．解：∵x2﹣3x+6＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，∴方程没有实数根，即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，故选：D．3．解：将x＝1代入方程2x2﹣cx＝0，得：2﹣c＝0，解得c＝2，故选：B．4．解：∵x2﹣6x﹣2＝0，∴x2﹣6x＝2，∴（x﹣3）2＝11，故选：C．5．解：当药品第一次降价%时，其售价为100﹣100a%＝100（1﹣a%）；当药品第二次降价x后，其售价为100（1﹣a%）2．∴100（1﹣a%）2＝64．解得：a＝20或a＝﹣180（舍去），故选：B．6．解：∵a、b为x2+x﹣2011＝0的两个实根，∴a2+a＝2011，a+b＝﹣1，∴a3+a2＝a（a2+a）＝2011a，∴a3+a2+3a+2014b＝2011a+3a+2014a＝2014（a+b）＝﹣2014．故选：B．7．解：由题意可知：△＝16+4（a﹣2）≥0，∴a≥﹣2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a≥﹣2且a≠2，故选：D．8．解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：6（1+x）2＝8.64．故选：C．9．解：设纸边的宽为xdm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）＝2800，整理得：x2+50x﹣100＝0，故选：C．10．解：当a＝b时，+＝1+1＝2；当a≠b时，∵a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，∴a、b为一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，∴a+b＝6，ab＝2，∴+＝＝＝＝16．故选：D．11．解：依题意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11．12．解：设修建的路宽应为x米根据等量关系列方程得：20×30﹣（20x+30x﹣x2）＝551，解得：x＝49或1，49不合题意，舍去，故选：A．二．填空题（共8小题）13．解：∵m是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣5＝0，∴m2﹣2m＝5，∴2m﹣m2＝﹣5．故答案为﹣5．14．解：设运动商城的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得：100（1+x）2＝121，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．故答案为：10%．15．解：由表格知，当x＝﹣2或x＝3时，x2﹣x＝6成立，即该方程x2﹣x＝6的根是x＝﹣2或x＝3．故答案为x1＝﹣2，x2＝3．16．解：设参赛队伍有x支，则x（x﹣1）＝380．解得x＝20．故答案是：20．17．解：由题意可知：x1+x2＝6，x1x2＝3，∴原式＝＝2，18．解：由于i4n+1＝i4n•i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．∴i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3＝0，∴原式＝（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+i8）+……（i2017+i2018+i2019）＝504×0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣119．解：∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x+4＝3，∴（x﹣2）2＝3，∴m＝﹣2，n＝3，∴原式＝1，故答案为：120．解：设池底的边长为xm．300x2+1200x＝9600，解得x1＝4，x2＝﹣8（舍），答：池底的边长为4m．故答案为：4．三．解答题（共7小题）21．解：（1）x2﹣4x﹣1＝0x2﹣4x+4＝5（x﹣2）2＝5，则x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2．2（x﹣3）2﹣（3﹣x）（3+x）＝0，（3﹣x）[2（3﹣x）﹣（3+x）]＝0，（3﹣x）（3﹣3x）＝0，故3﹣x＝0或3﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝1．22．解：由题意可知：x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，（1）原式＝＝．（2）原式＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣3﹣2+1＝﹣423．解：（1）两边平方，得16﹣6x＝x2，整理得：x2+6x﹣16＝0，解得x1＝﹣8，x2＝2；经检验x＝﹣8是增根，所以原方程的根为x＝2；（2）移项得：2＝6﹣x两边平方，得4x﹣12＝x2﹣12x+36，解得x1＝4，x2＝12（不符合题意，舍）．24．解：（1）令t＝x2+x，原方程可化为t2﹣4t﹣12＝0，∴（t﹣6）（t+2）＝0，∴t＝6或t＝﹣2，当x2+x＝6时，（x+3）（x﹣2）＝0，∴x＝2或x＝﹣3，当x2+x＝﹣2时，方程无解，∴原方程有两个根，x＝2或x＝﹣3；（2）∵a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，∴2a3﹣5a2﹣3+＝2a（3a﹣1）﹣5（3a﹣1）﹣3+＝6a2﹣17a+2+＝6（3a﹣1）﹣17a+2+＝a﹣4+，∵a2﹣3a+1＝0，∴a+＝3，∴2a3﹣5a2﹣3+＝3﹣4＝﹣1．25．（1）设x秒后，PQ＝2BP＝5﹣x BQ＝2x∵BP2+BQ2＝PQ2∴（5﹣x）2+（2x）2＝（2）2解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）∴3秒后，PQ的长度等于2；（2）△PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：设t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t又∵S△PQB＝×BP×QB＝7×（5﹣t）×2t＝7∴t2﹣5t+7＝0△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0∴方程没有实数根∴△PQB的面积不能等于7cm2．26．解：（1）设通道宽度为xm，依题意得（50﹣2x）（40﹣2x）＝1200，即x2﹣45x+200＝0解得x1＝5，x2＝40（舍去）答：通道的宽度为5m．（2）设每次降价的百分率为x，依题意得80（1﹣x）2＝51.2解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）答：每次降价的百分率为20%．27．解：（1）设购进x台A型号暖风机，则购进（900﹣x）台B型号暖风机，依题意，得：600x+900（900﹣x）≥690000，解得：x≤400．答：至多购进400台A型号暖风机．（2）依题意，得：600（1﹣a%）×400（1+a%）+900（1﹣a%）×（900﹣400）（1+a%）＝690000（1+a%），整理，得：150a﹣12a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为12.5．。
(完整版)一元二次方程能力拔高题
一元二次方程培优专题复习只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A 、()()12132+=+x x B 、02112=-+x xC 、02=++c bx ax D 、1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值： ；⑵写出关于x 的一元一次方程： 。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
一元二次方程拔高专题(2019中考真题)(含答案)
2019-2020一元二次方程培优专题（中考真题含答案)一、单选题1．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．72．（2019·内蒙古中考真题）若12x x ，是一元二次方程230x x +-=的两个实数根，则3221417-+x x 的值为（ ）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．43．（2019·湖北中考真题）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 、c ，则关于x 的一元二次方程240ax x c ++=有实数解的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．234．（2019·内蒙古中考真题）已知等腰三角形的三边长分别为4a b 、、，且a 、b 是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根，则m 的值是（ ） A ．34B ．30C ．30或34D ．30或365．（2019·湖北中考真题）若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根D ．无法确定6．（2019·黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．77．（2019·新疆中考真题）若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（） A ．54k ≤B ．54k ＞C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 8．（2019·河南中考真题）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根9．（2019·广东中考真题）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．210．（2019·山东中考真题）已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．201911．（2019·山东中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ） A ．2m =-B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =12．（2019·山东中考真题）若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠13．（2018·宁夏中考真题）若是方程x 2-4x+c=0的一个根，则c 的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．14．（2018·内蒙古中考真题）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3二、填空题15．（2019·四川中考真题）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1, 3 )P a a +--在第____象限．16．（2019·宁夏中考真题）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）17．（2019·湖北中考真题）已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为__________．18．（2018·四川中考真题）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-1=0的两实数根，则12112121x x +++的值是__．19．（2015·四川中考真题）已知实数m ，n 满足，，且，则= ．20．（2018·四川中考真题）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．21．（2014·内蒙古中考真题）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=___________．三、解答题22．（2019·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．23．（2019·湖北中考真题）已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.24．（2019·湖北中考真题）已知于x的元二次方程26250x x a-++=有两个不相等的实数根12,x x．（1）求a的取值范围；（2）若22121230x x x x+-…，且a为整数，求a的值．25．（2018·四川中考真题）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．26．（2019·重庆中考真题）某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少3%10a；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少1%4a．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少5%18a，求a的值．参考答案1．D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x 12=3x 1-1，则x 12+3x 2+x 1x 2-2=3（x 1+x 2）+x 1x 2-3，接着利用根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1x 2=1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】∵x 1为一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根， ∴x 12﹣3x 1+1＝0， ∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3， 根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1， ∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 2．A【解析】 【分析】利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=-1、x 1•x 2=-3，211x x 3+＝，将代数式2132x 4x 17+﹣进行转化后，再代入数据即可得出结论． 【详解】 解：12x x ，是一元二次方程2x x 30+﹣＝的两个实数根，12x x 1∴+＝﹣，12x x 3＝﹣，211x x 3+＝，3221x 4x 17∴+﹣ 32211418--+＝x x()()2222111418=-++-+x x x x()211114418=---⨯-+x x21184418=---+x x()2118418=--++x x 10432=-⨯=-故选：A ． 【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则1212,b c x x x x a a+=-=. 3．C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可. 【详解】由题意，△=42-4ac≥0，∴ac≤4， 画树状图如下：a 、c 的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数， 所以a 、c 的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为61=122， 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键. 4．A 【解析】【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b 时；结合韦达定理即可求解； 【详解】解：当4a =时，8b <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，8a <，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根， 412a ∴+=， 8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x m -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==， 236m ∴+=， 34m ∴=；故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键． 5．A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解.【详解】 解：一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，0k ∴>，0b ≤，240k b ∴∆=->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 6．C 【解析】 【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】设这种植物每个支干长出x 个小分支， 依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =． 故选：C ． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程 7．D 【解析】 【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x +1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ，解得：k ≤54且k ≠1． 故选：D ．【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键 8．A 【解析】 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】解：原方程可化为：2240x x --=，1a \=，2b =-，4c =-，2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>， ∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ． 【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键． 9．D 【解析】 【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0， 可得k ＝2符合题意. 【详解】解：由韦达定理，得：12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－， 所以，()2142(2)3k k ----+=-,化简，得：24k =， 解得：k ＝±2， 因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根， 所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0， k ＝－2不符合， 所以，k ＝2 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 10．A 【解析】 【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.【详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=； 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 11．A 【解析】 【分析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，由根与系数的关系得122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可.设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根， ∴40m ∆=-≥， ∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=，∴3m =或2m =-， ∴2m =-， 故选A ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 12．D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围． 【详解】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键． 13．A【分析】把2代入方程x 2﹣4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【详解】把2代入方程x 2﹣4x +c =0，得（22﹣4（2+c =0，解得：c =1．故选A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 14．B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可. 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根， ∴△=()224120m =⨯⨯-≥，解得：3m ≤，又∵m 为正整数， ∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求； （2）当m=2时，原方程为x 2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求； （3）当m=3时，原方程为x 2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m 的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5. 故选B. 【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，若方程有两个实数根，则△=240b ac -≥”是解答本题的关键.【解析】 【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由a 的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P 在第四象限，此题得解． 【详解】∵关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根， ∴201(1)4-04a a ≠⎧⎪⎨⎛⎫∆=--⨯⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：1a >-且0a ≠． ∴10a +>，30a --<， ∴点(1,3)P a a +--在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键． 16．②． 【解析】 【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解． 【详解】 解：24120x x --=即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+， 据此易得6x =．故答案为：②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．17．1 .【解析】【分析】根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次不等式，把k的值代入，进而即可确定值，此题得解．【详解】是关于的方程的两个实数根，.，即，整理，得：，解得：．关于的方程的两个不相等实数根，当k=时，△=-<0，故k=不符合题意；当k=1时，△=4>0；．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键． 18．6 【解析】 【分析】已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根，根据方程解的定义及根与系数的关系可得x 12﹣2 x 1﹣1=0， x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1，代入所给的代数式，再利用完全平方公式变形，整体代入求值即可. 【详解】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两实数根， ∴x 12﹣2 x 1﹣1=0， x 22﹣2 x 2﹣1=0，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，即x 12=2 x 1+1， x 22=2 x 2+1，∴12112121x x +++=()22212121222222212121221142 6.1x x x x x x x x x x x x +-+++==== 故答案为6. 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，会熟练运用整体思想是解决本题的关键.19．．【解析】 试题分析：由时，得到m ，n 是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．试题解析：∵时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴，．∴原式===，故答案为：．考点：根与系数的关系． 20．1【解析】分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．详解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3， ∴x 3+x 4+2=3 故答案为：1点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 21．8 【解析】试题分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m 、n 即可解题．∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根， ∴mn=﹣5，m+n=﹣2， ∵m 2+2m ﹣5=0 ∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8 考点：(1)、根与系数的关系；(2)、一元二次方程的解．22．（1）94k ≤；（2）m 的值为32． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥，解得94k ≤； （2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =； 当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =， 而10m -≠， ∴m 的值为32． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根． 23．（1）2m ≤.（2）1m =. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值． 【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16， 解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程． 24．（1）a<2；（2）－1，0，1 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围，再求其值即可． 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根12,x x ，0∴∆>，即2(6)4(25)0a --+>，解得2a <；（2）由根与系数的关系知：12126,25x x x x a +==+，12,x x 满足221212x x x x 30+-…，()21212330x x x x ∴+-…， 363(25)30a ∴-+…，3,2a ∴-…a 为整数，a ∴的值为1,0,1-．【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． 25．（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）由题意可知：△=（2m ﹣2）2﹣4（m 2﹣2m ）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x 1+x 2=2m ﹣2，x 1x 2=m 2﹣2m ，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=10， ∴（2m ﹣2）2﹣2（m 2﹣2m ）=10， ∴m 2﹣2m ﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．26．（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）a 的值为50． 【解析】 【分析】（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位，根据菜市场毎月可收取管理费4500元，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）可得出：5月份参加活动一的2.5平方米摊位及4平方米摊位的个数，再由参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少518%a ，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设该菜市场共有x 个4平方米的摊位，则有2x 个2.5平方米的摊位， 依题意，得：20420 2.524500x x ⨯+⨯⨯=， 解得：25x =．答：该菜市场共有25个4平方米的摊位．（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为25240%20⨯⨯=（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为2520%5⨯=（个）． 依题意，得：320(12%)20 2.5%10a a +⨯⨯⨯()1516%204%4a a ++⨯⨯⨯[20(12%)20a =+⨯⨯2.5+5(16%)a +5204]%18a ⨯⨯⨯， 整理，得：2500a a -=，解得：10a =（舍去），250a =． 答：a 的值为50． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
一元二次方程拔高题
O C B A 一元二次方程拔高题1． 已知关于x 的方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）设x 1，x 2是方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0的两个根，且x 12+x 22=9，求a 的值2．问题：构造ax 2+bx+c=0解题，已知：21a +1a －1=0，b 4+b 2－1=0，且1a ≠b 2，求21ab a 的值．3．（6分）已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为________．4．（12分）已知：关于x 的两个方程①2x 2+（m+4）x+m －4=0与②mx 2+（n －2）x+m －3=0，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证：方程②两根的符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n 为整数，求m 的最小整数值．5.如图，AO=OB=50cm ，OC 是一条射线，OC ⊥AB ，一只蚂蚁由A 以2cm/s 速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O 点以3cm/s 的速度沿OC 方向爬行，几秒钟后，•两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2？6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。
10..随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1） 若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.7，每件商品的成本是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样。
一元二次方程和一元二次函数真题及答案
一元二次方程和一元二次函数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠（1） 若方程没有实根：判别式240b ac ∆=-< （2） 若方程有两个相等实根：判别式240b ac ∆=-=（3） 若方程有两个不等的实根：判别式240b ac ∆=->注：若方程有两个实根：判别式240b ac ∆=-≥ 若方程有两个实根，记为12x x 、则：12b x a -+=、22b x a--=2121222221212122212121240()22()()b ac c x x a b x x a b c x x x x x x a a x x x x x x ⎧∆=-≥⎪⎪=⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-=+-⎩g g g g一元二次函数： 函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
配方写成顶点式：a b ac a b x a y 44)2(22-++=（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线ab x 2-=。
（2）当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min-=，无最大值。
函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。
2ba=-24)4ac b a-(3) 当0a <，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max-=，无最小值。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
2ba-244ac b a-两点间距离公式：11(,)A x y 、22(,)B x yd =图像的移动：x 的系数为正先加后减 先左后右 先上后下例1：2(0)y ax a =≠怎么样变为)0(2≠++=a c bx ax y第一步：将被平移的二次函数的x 系数变为正,并化为顶点式。
2(0)0y a x =-+ 移动为： ab ac a b x a y 44)2(22-++=先左移2b a ，变为2()2b y a x a=+ 再上移244ac b a -，变为ab ac a b x a y 44)2(22-++=另：先上移244ac b a -，变为2244ac b y ax a -=+再左移2ba，变为a b ac a b x a y 44)2(22-++=例2：23y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位。
一元二次方程竞赛训练题
一元二次方程培优训练命题人：周金林 9.18一:选择题（25分）1．方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（ C ）（A ）3＜k ＜4；（B ）－2＜k ＜－1；（C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。
2．方程012=--x x 的解是（ D ）（A ）251±； （B ）251±- （C ）251±或251±-； （D ）3．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是( B )(A)∆>M (B)∆=M (C)∆<M ; (D)不确定. 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ C ）（A ）10≤≤m ； （B ）43≥m ； （C ）143≤<m ； （D ）143≤≤m5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ B ）(A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤二;填空题（25分）1．在Rt ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程2(21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是 42．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 8 3．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 6 ． 4．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值 0 5．已知m ，n 是有理数，并且方程02=++n mx x 有一个根是25-，那么m+n 的值是___3___。
专题1.13解一元二次方程(精选100题)(全章专项练习)1「含答案」
专题1.13 解一元二次方程（精选100题）（全章专项练习）1．用适当的方法解下列方程．(1)()2224x x +=+(2)2314x x-=2．解下列方程：(1)267x x -=；(2)23520x x -+=．3．解方程：(1)2430x x ++=；(2)()()()21332x x x --+=．4．解方程：(1)()()628x x x -=-(2)()()221230x x +--=5．解方程：(1)()22250x +-=(2)2420x x --=6．解方程：(1)2340x x -=；(2)2313162x x -=--．7．解下列方程：(1)231x x =-；(2)2430x x -+=．8．解方程：(1)2680x x ++=；(2)3(1)22x x x -=-．9．解方程：(1)2412x x =(2)22430x x +-=10．解方程：(1)2360x x -=(2)2420y y ++=11．（1）解方程：()()439239x x x +=+．（2）解分式方程：26124x x x -=--；12．（1）解方程：()230x x -=；（2）用配方法解方程：2240x x --=．13．解方程：(1)2410x x -=+(2)()()221230x x +--=14．解方程：(1)()294x x x -+=；(2)226x x +=．15．解方程：(1)22410x x -+=；(2)()()3424x x x +=+．16．选择合适的方法解方程．(1)2572x x=-(2)()()3121x x x -=-17．解方程：(1)2210x x --=；(2)()()()23213x x x -+=-．18．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2213x x +=19．解方程：(1)2410x x -+=(2)2(3)2(3)0x x x -+-=20．解方程：(1)20x x -=．(2)22350x x --=．21．用配方法解下列方程：(1)2440x x ++=；(2)22320x x -+=．22．解方程(1)2240x x --=(2)()()2232x x -=-．23．解方程(1)()428x x x-=-(2)23210x x --=24．解方程：(1)22530x x +-=（用配方法）(2)22390x x --=25．解方程：(1)2220x x +-=；（配方法）(2)()236x x x -=-．26．解下列方程：(1)280x x +=；(2)22460x x --=．27．解方程：(1)(41)3(41)x x x -=-；(2)24120x x --=．28．解方程：(1)()()2233x x x +=+；(2)2521x x +=29．解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．30．解方程：(1)2430x x -+=；(2)()()()3111x x x +=-+．31．解下列方程：(1)20x -=(2)257311x x x ++=+32．解方程：(1)2280x -=；(2)24320x x --=．33．解下列方程：(1)()220x x x -+-=(2)2430x x -+=34．解下列方程：(1)250x x +=(2)2240x x --=35．解下列方程．(1)()()3121x x x -=-(2)22610x x -+=36．解一元二次方程：(1)()2214x -=；(2)2410x x --=．37．用适当的方法解方程：(1)2250x x --=(2)()()23492230x x ---=38．解下列方程(1)22125x x -+=；(2)2100x ++=39．解一元二次方程：(1)()5133x x x +=+(2)23640x x +-=40．解方程：(1)()()135x x ++=；(2)2267x x +=．41．用适当的方法解下列方程．(1)223x +=；(2)()()22132120y y ++++=．42．解方程：(1)4(3)3-=-x x x ；(2)22860x x -+=（配方法）．43．（1）解方程：2230x x --=；（2）解方程：228122-=--x x x x．44．解下列一元二次方程：(1)2470x x --=(2)2531x x x -=+45．解方程(1)()220x x x -+-=(2)2178x x-=46．用适当的方法解下列方程：(1)2410x x -+=(2)(1)(2)2(2)x x x -+=+47．解方程：(1)260x x -=；(2)1(3)623x x x -=-．48．用适当的方法解方程(1)()2516x -=(2)2510x x --=49．解方程：(1)220x x -=；(2)2720x x -+=．50．解方程：(1)2280x -=(2)()2240x x -+=1．(1)10x =，22x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）()2224x x +=+24424x x x ++=+220x x +=()20x x +=∴0x =或20x +=解得10x =，22x =-；（2）2314x x-=23410x x --=3a =，4b =-，1c =-()()22Δ44431280b ac =-=--´´-=>∴x ==解得x ，．2．(1)127,1x x ==-(2)1221,3x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）运用因式分解法解方程即可；（2）运用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：267x x -=2670x x --=()()710x x -+=70x -=或10x +=\127,1x x ==-；（2）解：23520x x -+=()()1320x x --=10x -=或320x -=\1221,3x x ==．3．(1)1213x x =-=-，(2)12121x x =-=，【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2430x x ++=，()()130x x \++=，∴10x +=或30x +=，∴1213x x =-=-，；（2）()()()23=213x x x --+，整理得：211120x x +-=，∴()()1210x x +-=，120x \+=或10x -=，12121x x =-\=，．4．(1)124x x ==；(2)12243x x ==，．【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法．（1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】（1）解：()()628x x x -=-Q ，26216x x x \-=-，则28160x x -+=，即2(4)0x -=，124x x \==；（2）解：∵()()221230x x +--=．∴()()1231230x x x x ++-+-+=，∴1230x x ++-=或1230x x +-+= ∴12243x x ==，．5．(1)13x =，27x =-(2)1222x x =+=【分析】本题考查一元二次方程的解法．（1）先移项，然后直接开平方即可；（2）利用配方法解此方程，即可求解．【详解】（1）解：()22250x +-=，()2225x \+=，25x \+=±，25x \+=或25x +=-，13x \=，27x =-；（2）2420x x --=，242x x \-=，24424x x \-+=+，()226x \-=，2x \-=1222x x \==．6．(1)10x =，243x =(2)分式方程的根为0.5x =【分析】（1）用因式分解法解二元一元方程．（2）按照解分式方程的步骤解方程即可．【详解】（1）解：∵2340x x -=，∴()340x x -=，则0x =或340x -=，解得10x =，243x =；（2）2313162x x -=--两边都乘以()231x -，得：()42313x --=，解得：0.5x =，检验：当0.5x =时，()2310x -¹，∴x =7．(1)1x =2x =(2)13x =，21x =【分析】本题主要考查解一元二次方程．（1）利用公式法解一元二次方程即可．（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：231x x =-整理得：2310x x -+=2D ，x =，∴1x （2）2430x x -+=()3(1)0x x --=，30x -=或10x -=，解得：13x =，21x =．8．(1)12x =-，24x =-；(2)11x =，223x =-．【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（1）利用十字相乘法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：2680x x ++=，()()240x x ++=，20,40x x \+=+=，12x \=-，24x =-．（2）解：3(1)22x x x -=-，3(1)2(1)0x x x -+-=，(1)(32)0x x -+=，10x \-=或320x +=，11x \=，223x =-．9．(1)10x =，23x =(2)1x =2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）2412x x=24120x x -=()430x x -=∴40x =或30x -=解得10x =，23x =；（2）22430x x +-=2a =，4b =，3c =-()2244423400b ac D =-=-´´-=>∴x =∴1x 10．(1)10x =，22x =(2)12y =-22y =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）2360x x -=()320x x -=∴30x =或20x -=解得10x =，22x =；（2）2420y y ++=2442y y ++=()222y +=2y +=解得12y =-22y =-11．（1）12x =，23x =-；（2）1x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关键，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．【详解】解：（1）()()439239x x x +=+()()4392390x x x +-+=(()42)390x x -+=∴420x -=或390x +=，解得：12x =，23x =-．（2）26124x x x -=--去分母得，()()()2226x x x x +-+-=解得1x =检验：将1x =代入()()220x x +-¹∴原方程的解为1x =．12．（1）10x =，23x =；（2）11x =21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和配方法，熟练其解法是解题的关键．（1）由()230x x -=得，20x =或30x -=，即可求解；（2）将2240x x --=，配方得2215x x -+=，即()215x -=，开方后即可求解；【详解】解：（1）()230x x -=，20x \=或30x -=，解得：10x =，23x =；（2）2240x x --=，配方得：2215x x -+=，即()215x -=，开方得：1x -=，解得：11x =21x =-13．(1)12x =，22x =(2)123x =，24x =【分析】本题考查了用配方法与因式分解法解一元二次方程；根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）利用平方差公式进行因式分解即可求解．【详解】（1）解：配方得：2445x x ++=，即()225x +=，两边开平方得：2x +=即12x =-，22x =；（2）解：分解因式得：()()3240x x --+=，即320x -=或40x -+=，故123x =，24x =．14．(1)123x x ==(2)11=-x 21=-x ．【分析】本题主要考查了用直接开平方法和公式法解一元二次方程．（1）用直接开平方法，即可求解；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：()294x x x -+=，整理得：2690x x -+=，即()230x -=，∴123x x ==．（2）226x x +=整理得：2260x x +-=，()24446280b ac D =-=-´-=>，∴x ==∴11=-+x 21=-x ．15．(1)11x =21x =(2)14x =-，223x =【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：22410x x -+=，移项，得：2122x x -=-，配方，得：212112x x -+=-+，即()2112x -=，开方，得1x -=，∴11x =21x =；（2）()()3424x x x +=+，移项，得：()()34240x x x +-+=，因式分解，得()()4320x x +-=，∴40x +=或320x -=，∴14x =-，223x =．16．(1)12715x x =-=(2)12213x x =-=，【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再进行因式分解，得()()5710x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先移项，提公因式得()()3210x x +-=，令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：2572x x=-25270x x +-=()()5710x x +-=解得12715x x =-=，（2）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=()()31210x x x -+-=()()3210x x +-=解得12213x x =-=，17．(1)1211x x ==(2)1234x x ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2210x x --=，∴221x x -=，∴22111x x -+=+，∴2(1)2x -=，∴1x -=解得：1211x x ==；（2）()()()23213x x x -+=-，∴20()3)((21)3x x x -+--=，∴0(3213)()x x x -+-+=，∴(3)(4)0x x -+=，∴30x -=或40x +=，解得：1234x x ==-，18．(1)121,2x x =-=(2)121,0.5x x ==【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解．【详解】（1）∵()220x x x -+-=∴()()210x x -+=∴20x -=或10x +=∴121,2x x =-=（2）∵2213x x+=∴22310x x -+=∴()()2110x x --=∴10x -=或210x -=∴121,0.5x x ==19．(1)12x =22x =(2)13x =，21x =【分析】（1）根据配方法得到2(2)3x -=，再开平方即可解答；（2）根据因式分解法得到(3)(32)0x x x --+=，进而可得30x -=或320x x -+=即可解答．本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）解：∵2410x x -+=，∴241x x -=-，∴2443x x -+=，∴2(2)3x -=，∴2=x∴12x =22x =（2）解：∵2(3)2(3)0x x x -+-=，∴(3)(32)0x x x --+=，∴30x -=或320x x -+=，∴13x =，21x =．20．(1)10x =，21x =(2)152x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法、公式法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：20x x -=，∴()10x x -=，∴0x =或10x -=，解得：10x =，21x =；（2）解：22350x x --=，则2a =，3b =-，5c =-，∴()()23425490D =--´´-=>，∴x 解得：152x =，21x =-．21．(1)122x x ==-(2)原方程无实数根【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键；（1）由题意易得244x x +=-，然后进行配方即可求解；（2）由题意易得2232x x -=-，则有2312x x -=-，然后进行配方即可求解【详解】（1）解：移项，得244x x +=-，配方，得2224242x x ++=-+，即2(2)0x +=，122x x \==-．（2）解：移项，得2232x x -=-．二次项系数化为1，得2312x x -=-．配方，得2223331244x x æöæö-+-=-+-ç÷ç÷èøèø，即237416x æö-=-ç÷èø．因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根．22．(1)1211x x ==(2)122,5x x ==【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：224x x -=Q ，22141x x \-+=+，即2(1)5x -=，则1x -=，1x \=±\1211x x =+=；（2）解：2(2)3(2)0x x ---=Q ，()()2230x x \---=，(2)(5)0x x \--=，则20x -=或50x -=，\122,5x x ==．23．(1)1222x x =-+=-(2)12113x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可；、（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．【详解】（1）解：∵()428x x x -=-，∴2482x x x -+=，∴242x x +=，∴2446x x ++=，∴()226x +=，∴2x +=，解得1222x x =-=-（2）解：∵23210x x --=，∴()()3110x x +-=，∴310x +=或10x -=，解得12113x x =-=，．24．(1)21132x x ==-，(2)12332x x =-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵22530x x +-=，∴2253x x +=，∴25322x x +=，∴25254921616x x ++=，∴2549416x æö+=ç÷èø，∴5744x +=±，解得21132x x ==-；（2）解；∵22390x x --=，∴()()2330x x +-=，∴230x +=或30x -=，解得1x =25．(1)1x 2x =(2)1232x x ==，【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2220x x +-=，222x x \+=，2112x x \+=，2111121616x x \++=+，2117416x æö\+=ç÷èø，x \，1x \， 2x =（2）解：()236x x x -=-，()()232x x x \-=-，()()2320x x x \---=，()()230x x \--=，2030x x \-=-=，，1232x x \==，．26．(1)10x =，28x =-(2)11x =-，23x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵280x x +=，∴()80x x +=，∴0x =或80+=x ，解得10x =，28x =-；（2）解：∵22460x x --=，∴2230x x --=，∴()()310x x -+=，∴30x -=或10x +=，解得11x =-，23x =．27．(1)1213,4x x ==(2)126,2x x ==-【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再提公因式，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式为0，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：(41)3(41)x x x -=-(41)3(41)0x x x ---=方程可化为()()3410x x --=，30x \-=或410x -=，解得1213,4x x ==．（2）解：24120x x --=，得()()620x x -+=，60x \-=或20x +=，解得126,2x x ==-．28．(1)13x =-，26x =-(2)1x =2x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选取适当的方法是解题的关键．（1）利用因式分解法解一元二方程即可；（2）利用公式法直接解方程即可 ．【详解】（1）解：()()2233x x x +=+，∴()()3260x x x ++-=，∴()()360x x ++=，则30x +=或60x +=，∴13x =-，26x =-；（2）解：2521x x +=，原方程可变为25210x x +-=，这里5a =，2b =，1c =-．∵()2242451240b ac -=-´´-=>，∴x 即1x 29．(1)17x =，25x =-(2)13x =-，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：22350x x --=，因式分解得()()750x x -+=，即70x -=或50x +=，解得17x =，25x =-．（2）解：()2326x x +=+，移项得()()23230x x +-+=，因式分解得()()3320x x ++-=，即30x +=或320x +-=，解得13x =-，21x =-．30．(1)13x =，21x =(2)11x =-，24x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2430x x -+=，∴()()310x x --=，∴30x -=或10x -=，∴13x =，21x =；（2）解：()()()3111x x x +=-+，∴()()()31110x x x +--+=，∴()()1310x x +-+=，∴()()140x x +-=，∴10x +=或40x -=，∴11x =-，24x =．31．(1)10x =，2x =(2)11x =，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：(0x x -=10x =，2x =（2）解：整理得：224x x +=22141x x ++=+()215x +=1x +=11x =，21x =32．(1)122,2x x ==-(2)124,8x x =-=【分析】此题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键．（1）将方程的常数项移到右边，方程两边同时除以2，开方后即可得到方程的解；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：2280x -=移项得，228x =，系数化为1得，24x =，直接开平方得，2x =±，122,2x x \==-；（2）24320x x --=()()480x x +-=，40x +=或80x -=，\124,8x x =-=．33．(1)12x =，21x =-；(2)121,3x x ==【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】（1）解： ()220x x x -+-=(2)(1)0x x -+=，20x -=或10x +=，12x \=，21x =-；（2）解：2430x x -+=，()()130x x --=，121,3x x \==．34．(1)1250x x =-=，(2)1211x x ==+【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【详解】（1）解：∵250x x +=，∴()50x x +=，∴0x =或50x +=，解得1250x x =-=，；（2）解：∵2240x x --=，∴224x x -=，∴2215x x -+=，∴()215x -=，∴1x -=，解得1211x x ==+35．(1)11x =，2x =(2)1x =2x 【分析】此题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解题关键．（1（2）根据求根公式x =即可求解．【详解】（1）解：()()3121x x x -=-()()31210x x x ---=，∴()()1320x x --=，解得11x =，223x =；（2）解：22610x x -+=∴2a =，6b =-，1c =，∴()224642128b ac -=--´´=，∵x =∴x =，解得36．(1)1231,22x x ==-(2)1222x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．（1）运用直接开平方即可求得x 的值；（2）运用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：()2214x -=212x -=或212x -=-，解得1231,22x x ==-；（2）解：2410x x --=24414x x -+=+()225x -=2x -=2x -=37．(1)11x =21x =；(2)132x =，276x =-；【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键.（1）用公式法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可.【详解】（1）2250x x --=由题意得，1,2,5a b c ==-=-，则()()22Δ4241524b ac =-=--´´-=，∴1x ===即11x =21x =；（2）()()23492230x x ---=则()()()323232230x x x +---=∴()()2332320x x éù-+-=ëû()()23670x x -+=∴230x -=或670x +=∴132x =，276x =-38．(1)16x =，24x =-(2)原方程无解．【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）首先计算判别式得到(2244110200b ac D =-=-´´=-<，进而得到原方程无解．【详解】（1）22125x x -+=()2125x -=15x -=±解得16x =，24x =-；（2）2100x ++=1a =，b =10c =(2244110200b ac D =-=-´´=-<∴原方程无解．39．(1)11x =-，235x =(2)1x =2x =【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用公式法解答，即可求解．【详解】（1）解：()5133x x x +=+()()51310x x x +-+=，∴()()5310x x -+=，∴530,10x x -=+=，解得：11x =-，235x =；（2）解：23640x x +-=，∵3,6,4a b c ===-，∴()2246434840b ac D =-=-´´-=>，∴x =，2x =40．(1)12x =-+22x =-(2)12x =，232x =．【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；【详解】（1）解：将原方程化简可得：2420x x +-=，∴()2441224D =-´´-=∴1222x x ==-==-（2）解：移项可得：22760x x -+=，∴()()2320x x --=∴12x =，2x41．(1)1x =2x =(2)11y =-，2 1.5y =-【分析】本题主要考查了用适当的方法解一元二次方程．（1）用公式法解一元二次方程即可．（2）设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，用因式分解法解出11x =-，22x =-，再把11x =-，22x =-代入21y x +=，解两个一元一次方程即可得到原方程的解．【详解】（1）解：原方程化为：2230x +-=，2a =，b =3c =-，()224423270b ac D =-=-´´-=>，x ==即（2）解：设21y x +=，则原式变形为：2320x x ++=，分解因式得：()()120x x ++=，解得：11x =-，22x =-，当211y +=-时，11y =-，当212y +=-时，2 1.5y =-，∴原方程的解为：11y =-，2 1.5y =-．42．(1)114x =，23x =(2)13x =，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）先移项，再用因式分解法求解；（2）先变形、移项，得到243x x -=-，再通过配方求解．【详解】（1）解：()433x x x -=-4(3)(3)0x x x ---=()()4130x x --=，410x -=或30x -=，114x \=，23x =；（2）解：（2）22860x x -+=方程变形得：243x x -=-，配方得：2441x x -+=，即2(2)1x -=，解得：13x =，21x =．43．（1）11x =-，23x =；（2）4x =-【分析】题目主要考查解一元二次方程及分式方程．（1）利用因式分解法求解即可；（2）先去分母，然后解一元二次方程，最后进行检验即可．【详解】解：（1）2230x x --=()()130x x +-=10x +=，30x -=，∴11x =-，23x =；（2）解：2812(2)x x x x -=--228(2)x x x -=-，2280x x +-=，解得124,2=-=x x ，经检验，2x =是增根，应舍去．故原方程的解为4x =-．44．(1)12x =，22x =(2)115x =-，21x =【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用公式法求解；（2）先化成一般形式，再利用因式分解法求解．【详解】（1）解：2470x x --=，Q 1a =，4b =-，7c =-，\()()224441744b ac D =-=--´´-=，\2x ==±，\12x =+，22x =；（2）解：2531x x x -=+，25410x x --=，()()5110x x +-=，510x +=或10x -=，解得115x =-，21x =．45．(1)1221x x ==-，(2)1244x x ==【分析】本题考查了因式分解法或公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先提公因式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．（2）先化为一般式，再运用公式法解方程，即可作答．【详解】（1）解：()220x x x -+-=()()210x x -+=∴2010x x -=+=，解得1221x x ==-，（2）解：2178x x-=∴28170x x --=则()246441176468132b ac D =-=-´´-=+=∴4x ===±1244x x ==46．(1)1222x x ==(2)122,3x x =-=【分析】本题考查解一元二次方程；（1）根据配方法解一元二次方程；（2）先将方程整理成右边为0的等式，再结合因式分解法解题．【详解】（1）解：2410x x -+=，∴2443x x -+=，∴()223x -=，∴2x -=解得：1222x x ==；（2）解：(1)(2)2(2)x x x -+=+，∴()()()12220x x x -+-+=，∴()()2120x x +--=，∴20x +=或30x -=，解得：122,3x x =-=．47．(1)10x =，26x =；(2)13x =，26x =-．【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．（1）提公因式分解因式解方程即可（2）移项后，提公因式，利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：260x x -=，(6)0x x -=，0x \=或60x -=，∴10x =，26x =；（2）解：1(3)623x x x -=-，(3)6(3)x x x -=--，(3)(6)0x x -+=，30x \-=或60x +=，∴13x =，26x =-．48．(1)19x =，21x =；(2)1x 2x =【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法：直接开平方法和公式法是解题的关键．（1）根据平方根的定义可得54x -=±，解方程就可以解决问题；（2）先求得290D =>，再利用公式法求出方程的解即可．【详解】（1）解：()2516x -=，∴54x -=±，∴19x =，21x =；（2）解：2510x x --=，1a =，=5b -，1c =-，()()2Δ5411290=--´´-=>，∴x =，∴1x 2x 49．(1)10x =，212x =(2)1x =，2x 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），根据因式分解法求出解；对于（2），根据公式法即可得出方程的解．【详解】（1）220x x -=，解：因式分解，得(21)0x x -=，即0x =或210x -=，∴10x =，212x =；（2）2720x x -+=，解：由1a =，7b =-，2c =，则()2247412410b ac -=--´´=>，∴x =，∴1x ，2x 50．(1)122,2x x =-=(2)124,2x x ==-【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：2280x -=∴228x =∴24x =解得：122,2x x =-=（2）解：()2240x x -+=∴228=0x x --∴()()420x x -+=解得：124,2x x ==-，。
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8、解方程：(y 4)( y 3)(y 2)( y 1) 1 0
第一章《一元二次方程》竞赛拔尖题
2
1、若关于x 的方程x 2ax
A. 2 x 2ax 3a 2 0
B. 2 x 2ax 5a 6 0
C. 2 x 2ax 10a 21
D. 2 x 2ax 2a 3 0
7a 10 0没有实根，那么必有实根的方程是
2、若关于x 的一元二次方程(b c)x 2 (a b)x c a 0有两个相等的实数根，
则a 、b 、
c 之间的关系是( )
b c , a c
—— B. b ——
2 2 a b ,
----
D. a b c
2 A. a C. c 3、若 2是关于x 的方程x 2 0的一个根，则a 的值为
4、已知 2 x 2 5x 2016
2)3 (x 1)2 1
的值为
x 2
5、满足 / 2 # \ n 2 (n n 1)
1的整数n 有
6、设整数a 使得关于x 的一元二次方程5x 2 5ax 26a 143 0的两个根都是整数，则
a 的值是
2
7、设a 、b 是整数，方程x ax b 0的一根是 7^2/3 ，求a+b 的值
9、求方程x 2 12x 5 5j x 2
12x 9的实数根的和与积 个时，求实数a 的取值范围
11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程
2 c x 6x a 0的量根，当这样的三角形只有
12、已知3个不同的实数 a 、
2 b 、c 满足a-b+c=3，方程x 2 ax 1 0 和 x bx c 0 有一 个相同的实根，方程 x 2 2 a 0和x cx b 0也有一个相同的实根.求a 、b 、c 的值
13、已知在关于x 的分式方程 k 一 1
--- 二2①和一元二次方程 (2 - k ) x 2
+3mx+ (3 - k ) n=0②中, X - 1
k 、m 、n 均为实数，方程①的根为非负数.
(1 )求k 的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根 X 1、X 2, k 为整数，且k=m+2, n=1时，求方程②的整数根;
(3)当方程②有两个实数根 X 1、X 2,满足 x 1 (x 1 - k ) +x 2 (x 2- k ) = (x 1 - k ) (x 2- k ),且 k 为负整数时，试判断 m| W 是否成立？请说明理由.
15支少一元，试求初三年级共有多少学生 ？并确 (2 )若按批发价每购 15支与按零售价每购 定m 的值
10、一个批发兼零售的文具店规定： 凡一次购买铅笔 301支以上(包括301支)可以按批发
10、 (1)不难知道，x 的取值范围应为 240 V X w 300（x 为正整数）;
铅笔的零售价每支应为m2-1/x 元； 铅笔的批发价每支应为
(2)从给出条件可得到如
下等式: 15*(m2-1)/x — 15 *(m2-1)/x+60 = 1.
整理后，得
X2 + 60x — 900(m2 — 1) = 0.
解得x1 = 30(m — 1),或x2 = — 30(m — 1)(不合题意，舍去).
怎样去求X 与m 的值呢？首先应当注意已获得的等式和不等式
，即
① 240 V xw 300;
② X = 30(m — 1)
从上式可见，求X 、m 的值，只要能确定其中的一个值即可__则 240 V 30(m — 1) w 300
••• 8V m — 1 w 10 9V mw 11
再考虑 m 为正整数，故 m = 10或 m = 11.
又因m = 10时，m2 — 1 = 99V 100,不合题意应舍去.当m = 11时，m2 — 1= 120> 100,此时x = 300.经检验X = 300是所列方程的根.
11、 a=9 或 0 V aw 8
12、 a=— 2，b=— 3，c=2
13、( 1 )•••关于x 的分式方程
二2的根为非负数,
/• X>0且 XMl, •••解得k A 1且kM ,
又•••一元二次方程（2 - k ） x 2
+3mx+ （3 - k ） n=0 中 2 - kM0, /• kM2参考答
案:
1、A 2 C 3、 77
4、 2020
5、4
6、18
7、0
8、 y 1
5 75 ，y3 y4 丁 两根之和为一 12,两根之积为一 4© m2-1/x+60 元
y 2 9、
综上可得：k>- 1且k^l且kM2;
(2)•••—元二次方程(2 - k) x2+3mx+ (3- k) n=0有两个整数根X1、X2, 且k=m+2, n=1 时，.••把k=m+2, n=1 代入原方程得：- mx2+3mx+ (1 - m) =0，即：mx2- 3mx+m- 1=0, ••△ >0,即△= (- 3m) 2 - 4m ( m - 1),且m^Q
:,△ =9m2- 4m( m - 1) =m( 5m+4),
•X1、x2是整数，k、m都是整数,
•X1 + X2=3, X1?X2= __ =1-Z,
m m
•-1 -丄为整数,
ID
/• m=1 或-
1,
•••把m=1代入方程mx2- 3mx+m- 1=0 得: x2- 3x+1 - 1=0 ,
x2-
3x=0,
x (x- 3) =0 ,
x i=0, X2=3;
把m=- 1代入方程mx2- 3mx+m- 1=0 得:- x2+3X- 2=0 ,
X2-
3x+2=0 ,
(X- 1) (x-2) =0,
X1 = 1 ,
X2=2 ；
(3) |m| w不成立，理由是:
由(1)知：k>- 1 且kMl且k^2
• k是负整数,
••• k= -
1,
(2 - k) x2+3mx+ (3 - k) n=0且方程有两个实数根X1、X2,
.、，3in 3m 3 - k 4
…X1 + X2= - —= --------- = - m , X1X2 ~~—,
2-k k-2 2-k 3
X1 (X1 - k) +x2 (x2 - k) = (X1 - k) (X2 —k),
2 2 2
X1 - X1k+x2 - X2k=x1X2 - x1k -
X2k+k ,
X12+X22nx2+ k2,
(X1 + X2)2 - 2X1X2 -
X1X2=k2,
(X1 + X2)2- 3X1X2=k2,
(—m) 2—3^ = (—1) 2
3
m2—4=1, m2=5,
m=±S,
w不成立.。