高二数学正弦定理
1.1.1正弦定理 学案【预习达标】在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，1.在Rt ΔABC 中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即sin a A== 。
2. 在锐角ΔABC 中，过C 做CD ⊥AB 于D ，则|CD|= = ，即sin a A= ，同理得 ，故有sin aA= 。
3. 在钝角ΔABC 中，∠B 为钝角，过C 做CD ⊥AB 交AB 的延长线D ，则|CD|= = ，即sin a A= ，故有sin aA= 。
【典例解析】一 新课导入，推导公式 （1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
例2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC【达标练习】1. 已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ 3 D 2 （2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 43-3 D 83-8 -（3）正弦定理的内容是————————————（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则则a=------------------------，b=------------------------（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------A BCD（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明==+c b a CBA sin sin sin +参考答案【预习达标】1．a,b,sin sin b c B C =. 2.bsinA asinB ,sin b B , sin a A =sin c C ,sin bB =sin cC. 3. .bsinA asinB ,sin b B , sin b B =sin cC .【典例解析】在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c=，sin bB c=，又sin 1cCc==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a bcABC==C aB(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a bAB=，C同理可得sin sin c bCB=， ba 从而sin sin abAB=sin cC=Ac B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C由向量的加法可得 AB AC CB =+则 (j AB j AC CB ⋅=⋅+ A B∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b cB C从而 sin sin abAB=sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=例1解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， Aβ β得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-， 两式相除得BD ABDC AC=【双基达标】1．（1）C （2）D （3）sin a A=sin b B =sin cC.（4）36-126126-24（5）2, 2.5, 3 ，2．证明：设sin sin sin a b ck A B C===，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C === sin sin sin sin sin sin a b k A k B A Bc k C C+++∴==学校：临清二中 学科：数学 编写人：刘会志 一审：李其智 二审：马英济 §1.1.2 正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观1.培养学生处理解三角形问题的运算能力； 【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】：新授课 四教学过程一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解例 1试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径证明 如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D aA a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2=∴A a sin =B b sin =Cc sin =2R例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ ：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c 1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴CBc b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b五、巩固深化，反馈矫正 1试判断下列三角形解的情况：已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解 A 一 B 两 C 无解3.在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____4.在ABC ∆中，, B=1350 C=150 a=5则此三角形的最大边长为_____5在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____ 6.在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数六、小结（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===；（2）A a sin =B b sin =C c sin 等价于A a sin =B b sin ，B b sin =C c sin ，Aasin =Ccsin ，即可得正弦定理的变形形式： 1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； 2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===； 3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BAb a sin sin =； 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如B baA sin sin =。
一般地，已知角A 边a 和边b 解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．外接圆法）如图所示，∠A ＝∠Da=bsinA 有一解 a >bsinA 有两解 a>b 有一解 a>b 有一解七板书设计 略1.1.2正弦定理学案— 预习达标1 正弦定理的内容是——————————————————2 在三角形ABC 中已知c=10 A=450 C=300，则边a=---------，边b=-------，角B=------3在三角形ABC 中，已知a=20cm ，b=28cm ，A=400，则角B=-------------（可借助计算器） 二 典例解析例 1试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆三 达标练习1试判断下列三角形解的情况：已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（）解A 一B 两C 无解 2已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（）解A 一B 两C 无解3.在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____4.在ABC ∆中， B=1350 C=150 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____5.在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____6.在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数学案答案一预习达标1 A a sin =B b sin = Cc sin 2 102 ， 56+52 3 640 或1160二典例解析例1证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2=∴A a sin =B b sin =C c sin =2R例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆ ：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角，0090,30==∴B C ∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c1360sin 75sin 6sin sin ,75600000+=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200000-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 三达标练习1: B 2；A 3 1:3：2 4 52 5 2<x<22 6 300 或1500。
高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修
04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2， 求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定 理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三 角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两 边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角 和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求 角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角 形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以 利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的 三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此 外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断 三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌 握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。
高中正弦定理和余弦定理公式
当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。
高二数学正弦定理
正(一)1．正弦定理：A a sin =B b sin = Ccsin ∙ 正弦定理适合任意三角形，是勾股定理的推广。
2．利用正弦定理，可解决两类三角形问题：（1）已知两角与一边，求另两边与另一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角。
∙ 三角形有三条边和三个角，可看成是六个元素，则最少几个元素可能确定一个三角形。
∙ 由其中三个元素求另外三个元素的过程叫解斜三角形。
∙ 类型（2）的解的情况不唯一。
2．正弦定理的变形①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ②C B A c b a sin :sin :sin ::= 2．三角形面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆基础试题：例1．① 在ΔABC 中 已知23,45,7500===c B A ，求b a C ,,②在ΔA BC 中 ，已知060,67,14===B b a ，解三角形ABC 。
③在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c ，解三角形ABC 。
例２．在ΔABC 中 ，已知,45,250==A c 试判断当a 分别取25,3310,5,10时解的个数。
例３．在ΔABC 中 ，已知0150,3,2===C b a ，求ABC S ∆四、课堂练习：１．在ΔABC 中 已知12,120,3000===b B A ，求b a C ,,２．在ΔABC 中 ，已知060,32,2===B b a ，解三角形ABC 。
3．在ΔABC 中 ，已知045,2,3===B b a ，解三角形ABC 。
三、例题分析：∙三角形中的边角计算，边角论证及形状判断。
例1 .在ΔABC 中，5:4:3sin :sin :sin =C B A ，且12=++c b a ，求c b a ,,例２．① 在ΔABC 中，证明B c C b a cos cos += ② 在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，证明DCBDAC AB =例3．① 在ΔABC 中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ΔABC 的形状。
正弦定理主要知识点总结
正弦定理主要知识点总结一、正弦定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以得到正弦定理的表述如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示三角形的角度。
二、正弦定理的证明正弦定理的证明可以使用三角形的面积公式来进行推导。
我们知道，三角形的面积可以用边长和对应的角度的正弦函数来表示：S = 1/2 * a * b * sinCS = 1/2 * b * c * sinAS = 1/2 * c * a * sinB由于三角形的面积是固定的，所以我们可以得到以下等式：a *b * sinC = b *c * sinA = c * a * sinB进而推导得到正弦定理的表述：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、正弦定理的应用1. 求解三角形的边长正弦定理可以帮助我们求解三角形中的边长。
当我们已知三角形的一个角度和对边，以及另外两个角度之一时，我们就可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它边长。
2. 求解三角形的角度正弦定理也可以帮助我们求解三角形中的角度。
当我们已知三角形的边长和对应的两个角度时，我们可以通过正弦定理来求解这个三角形的其它两个角度。
3. 解决实际问题正弦定理在解决实际问题中也有着广泛的应用。
比如在测量不便的情况下，可以利用正弦定理来计算物体的高度、距离等。
四、正弦定理的注意事项在使用正弦定理时，需要注意以下几点：1. 三角形的三个边长必须是正数，角度必须在0到180度之间。
2. 必须注意边长和角度之间的对应关系，确保使用正确的对应关系来求解未知量。
3. 在实际问题中，需要根据具体情况来选择使用正弦定理还是余弦定理。
五、正弦定理与余弦定理的比较正弦定理和余弦定理都是三角形中常用的定理，它们之间的区别在于求解的对象不同。
正弦定理适用于已知三角形的一个角和对边，以及另外两个角度之一的情况下求解三角形的其它边长或角度；而余弦定理适用于已知三角形的三个边长或两个边长和夹角的情况下求解三角形的其它边长或角度。
高中数学知识点精讲精析 正弦定理
11.1 正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。
即（其中R 表示三角形的外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
（从而进一步求出其他的边和角）已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⑵若A 为直角或钝角时:ABC 中，，…1. 在ΔABC 中，已知a ＝，b ＝，B ＝45°，求A ，C 及边c 。
【解析】 解：由正弦定理得：sinA ＝， 因为B ＝45°<90°且b<a ， 所以有两解A ＝60°或A ＝120°(1)当A ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B)＝75°，c ＝， (2)当A ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B)＝15°， c ＝ 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情R C c B b A a 2sin sin sin ===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ),( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a ⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a B A B A sin sin <⇔<3223245sin 3sin =⋅= b B a 22645sin 75sin 2sin sin +=⋅=BC b 22645sin 15sin 2sin sin -=⋅=B C b况的讨论。
2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2＝b （b ＋c ），求证：A ＝2B 。
【解析】分析：研究三角形问题一般有两种思路。
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。
正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。
这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。
所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。
6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。
余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。
正弦定理
【知识梳理】1、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
正弦定理的变形应用：(1)sin sin sin sin sin sin a b b c a cA B B C A C===或或 （2）sin sin ,sin sin ,sin sin a B b A b C c B a C c A === (3)2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===,常用于边化角。
（4）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，常用于角化边。
(5)::sin :sin :sin a b c A B C =2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（3）一边及其邻角【典型例题分析】例1、在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数解：由定理得sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ， ∴－2sin A sin C cos B ＝3sin A sin C∵sin A sin C ≠0 ∴cos Β＝－23∴B ＝150°例2、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状解：在原等式两边同乘以sin A 得：2cos B sin A sin C ＝sin 2A ，由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2Β＝sin 2A ，∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形变式练习：1、在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形证法一：欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a ＝BAb sin sin ∴2b cos C ＝BAb sin sin ，即2cos C ·sin B ＝sin A ＝sin （B ＋C ）＝sin B cos C ＋cos B sin C ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0即sin （B －C ）＝0，∴B －C ＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B 、C 是三角形的内角，∴B ＝C ，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a ＝b cos C ＋c c os B ， 又∵a ＝2b cos C ∴2b cos C ＝b cos C ＋c cos B∴b cos C ＝c cos B ，即.cos cos CB c b = 又∵.sin sin C B c b =∴,cos cos sin sin CB C B =即tan B ＝tan C ∵B 、C 在△ABC 中，∴B ＝C ∴△ABC 为等腰三角形证法三：∵cos C ＝,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222baab c b a =-+ 化简后得b 2＝c2∴b ＝c ∴△ABC 是等腰三角形2、在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边 例3、在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ ，C=15︒ 变式练习：在△ABC 中，已知2a =，22b =，15C =，求A ．错解： 由余弦定理，得2222cos15c a b ab =+-62482222+=+-⨯⨯843=- ∴62c =．又由正弦定理，得sin 1sin 2a C A c ==，而0180A <<， ∴30A =或150A =．辨析： 由题意b a >，∴B A >．因此150A =是不可能的．错因是没有认真审题，未利用隐含条件．在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生．正解： 同上62c =，1sin 2A =，∵b a >， ∴B A >，且0180A <<，∴30A =．例5、如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去） 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 例6 、△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 ;2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *∈N k 且1>k∵C 为钝角 ∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k ∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去 当3=k 时 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a 2︒设夹C 角的两边为y x , 4=+y xS )4(415415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15例7、 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x，在△ADB 中，cos ADB ＝,2425)2(42222222x xBDAD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+在△ADC 中，cos ADC ＝.2423)2(42222222x x DCAD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+又∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2, 所以，BC 边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sin A ，思路如下：由三角形内角平分线性质可得35==DC BD AC AB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cos A ，再由同角平方关系求出sin A 例8、若,,a b c 是三角形的三边长，证明长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形．错解： 不妨设0a b c <≤≤，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可．()()()222cos 22a b c a b ca babθ+-+-==．由于,,a b c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>， 即cos 0θ>．∴长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形．辨析： 三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角．显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件．正解： 由错解可得cos 0θ>．又∵a b c +-＝()()a b ca b ca b c+-++++＝2()a b c a b c +-++＝2a b c aba b c a b c+-+++++>0． 即长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形． 例9、在△ABC 中，62c =+，30C =，求a b +的最大值．错解： ∵30C =，∴150A B +=，150B A =-． 由正弦定理，得()62sin sin 30sin 150a b A A +==-， ∴()262sin a A =+，()()262sin 150b A =+-．又∵sin 1A ≤，()sin 1501A -≤，∴()()262262a b +≤+++()462=+．故a b +的最大值为()462+．辨析： 错因是未弄清A 与150A -之间的关系．这里A 与150A -是相互制约的，不是相互独立的两个量，sin A 与()sin 150A -不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的．正解： ∵30C =，∴150A B +=，150B A =-． 由正弦定理，得()62sin sin 30sin 150a b A A +==-． 因此()()262sin sin 150a b A A ⎡⎤+=++-⎣⎦ ()()262sin 75cos 75A =+⋅-()()62462cos 754A +=+- ()()843cos 75843A =+-≤+．∴a b +的最大值为843+．【课堂小练】1在△ABC 中，已知B =30°,b =503,c =150，那么这个三角形是( )A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰三角形或直角三角形 2在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，则此三角形为( )A 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形 3在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，则sec A =4△ABC 中，BAB A sin sin tan tan =，则三角形为在△ABC 中，角A 、B 均为锐角且cos A ＞sin B ，则△ABC 是6已知△ABC 中，A bB a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且，试判断△ABC 的形状 7在△ABC 中，（a 2+b 2）sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B )，判断△ABC 的形状参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5钝角三角形6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形【课堂总结】进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力 解斜三角形基本类型 一般解法一边两角 先由内角和定理求第三角，再由正弦定理求另两边 两边夹角 先用余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角 三边由余弦定理和内角和定理求角两边和其中一边的对角先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边和角或者由余弦定理和解一元二次方程求边（解的情况可以确定）【课后练习】1、在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B ⇒2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12BA B -+-=-⋅∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2, 即a 2，b 2，c 2成等差数列2、 在△ABC 中，A ＝30°，cos B ＝2sin B －3sin C(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(提示B ＝C ＝75°)(2)设D 为△ABC 外接圆的直径BE 与AC 的交点，且AB ＝2，求AD ∶DC 的值答案：（1）略 （2）1∶33、在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的 三边长分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中αααcos sin 22sin =利用正弦二倍角展开后出现了cos α，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x ,xx 22cos +=∴α①又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍) 所以此三角形三边长为4，5，6评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程4、已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC ＝21ab sin C 表示面积，其三是周长条件应用解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a 由①式得：b 2＝［20－（a ＋c ）］2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40（a ＋c ） ④ 将②代入④得400＋3ac －40（a ＋c ）＝0 再将③代入得a ＋c ＝13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1＝7，b 2＝7所以，此三角形三边长分别为5c ｍ，7c ｍ，8c ｍ评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力5、已知△ABC 中，C=3B,求cb的取值范围。
正弦定理的公式是什么
正弦定理的公式是什么正弦定理的公式是什么sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。
在直角三角形中，∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，故记作sinA，即sinA=∠A的对边/∠A的斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。
古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。
股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。
正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。
勾股弦放到圆里。
弦是圆周上两点连线。
最大的弦是直径。
把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。
按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。
余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
高中数学正弦定理公式数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cosA=(b?+c?-a?)/2bc。
正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。
2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。
二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)
sin A”,判断△ABC的形状.
解 因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos
Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或
所以 C>B,所以 B=30°,所以 A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC 的面积
1
1
S=2AB·AC·sin A=2×2 3×2sin 30°= 3.
素养形成
对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角
形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
sin 5sin60° 5 3
解 由正弦定理,得 sin A=
=
=
>1,则角 A 不存在,所以该三
2
4在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.
分析
解 (方法一)∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
c
,
C
高二数学1.1.1正弦定理二课件新人教.ppt
三角形的面积．
a
C
连接CD，则∠A=∠D
. cO
a a BD2R
b
sinA sinD sin90
D
同 理 ， b 2R, c 2R;
A
sinB sinC
∴
a b c =2R(R为△ABC外接圆半径） sinA sinB sinC
二、新课讲解
正弦定理的推论： a b c =2R (R为△ABC外接圆半径）
※判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤(适合填空或选择题)： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系.
五、小结
1.正弦定理: a b c 2R sinA sinB sinC
其中，R是△ABC的外接圆的半径 2.应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角
解:由正弦定理可得 sinBbsinA28sin40o0.8999
a
20
(10 )oB 1 8 0o B64o或B116o
当B64o时, C=180º-(A+B)≈76º
casinC20sin76o30(cm) sinA sin40o
(2)当B≈116º时，C=180º-(A+B)≈24º
cassin inA C20 sisn in 40 2o 4o13(cm)
(5)在△ABC中,A=135º，a3,b4 ,这样的三角形有_0_个_
三、例题讲解 已知两边和其中一边的对角时，解斜三角形的各种情况 (一)当A为锐角
a≥b 一解
(二)当A为钝角
bsinA<a<b 两解