2015-2016高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测 新人教A版选修1-2

2015-2016高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测 新人教A 版选修1-2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是(D ) A ．ad －bc ＝0 B ．ac －bd ＝0 C ．ac ＋bd ＝0 D ．ad ＋bc ＝02．(2013·东莞二模)复数(1＋2i)i(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于(B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．复数z ＝i(1＋i)(i 为虚数单位)的模等于(B ) A ．1 B. 2 C ．0 D ．24．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i 则(C ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－15．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4等于(C )A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析：∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝i 4＝1. 6．复数z ＝a （a ＋2）a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为(C )A ．a ＝0B ．a ＝0，且a ≠－1C ．a ＝0，或a ＝－2D ．a ≠1，或a ≠－3解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）a －1＝0，a 2＋2a －3≠0，解得a ＝0，或a ＝－2. 7．复数（1＋2i ）23－4i 的值是(A )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：（1＋2i ）23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1.8．复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于(A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝12(i ＋1)＝12＋12i. ∴复数z 的对应点在第一象限． 9．复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(D )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i （2－3i ）2－3i ＋i （2＋3i ）2＋3i＝i ＋i ＝2i.10．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于(C ) A ．1±2i B ．－1±2iC ．1＋2i ，或－1－2iD ．2＋i ，或－2－i解析：若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可以采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝－3＋4i ，∴z ＝1＋2i 或－1－2i.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．计算：3－i 1＋i ＝________(i 为虚数单位)．解析：3－i 1＋i ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i 2＝1－2i.答案：1－2i12．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是1． 13．设a ，b ∈R .a ＋b i ＝11－7i 1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：由a ＋b i ＝11－7i 1－2i 得a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.答案：814．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b 是实数，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③a ∈C ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④z ＝1i，则z 2＋1对应的点在第一象限．其中正确的有_______________个．答案：0三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)如果(x ＋2y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，求实数x ，y 的值． 解析：由复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴x ＝2，y ＝－2. 16．(12分)已知z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2，求|z |.解析：∵z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2＝2－i （3－4i ）（2i ）－2i ＝2－i 8＋6i－2i ＝（2－i ）（8－6i ）（8＋6i ）（8－6i ）－2i ＝（2－i ）（8－6i ）100－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－115i ，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪110－115i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1152＝48510. 17．(14分)已知m ∈R ，复数z ＝m （m －2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z <0?分析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，z ∈R ；当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；当且仅当b ＝0且a <0时，z <0.解析：(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得m ＝－3，所以当m ＝－3时，z ∈R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －2）m －1＝0，m 2＋2m －3≠0解得m ＝0或m ＝2， 所以当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m （m －2）m －1<0 时z <0；即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－3，m <0或1<m <2， 即m ＝－3时z <0. 点评：要完整理解复数为纯虚数的等价条件．分母不为0不可忽视．18．(14分)已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1，1，4i}，若M ∪N ＝N ，求实数m 的值．解析：∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N . 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0.解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.解得，m ＝2. 综上知m 的值为1或2.19．(14分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴z 2＝4＋2i.20．(14分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·茂名一模)计算：i(1＋i)2＝(A ) A ．－2 B ．2 C ．2i D ．－2i2．复数z 1＝－3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于(B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．(2013·深圳二模)i 为虚数单位，则i ＋1i 等于(A )A ．0B ．2iC ．1＋iD ．－1＋i 4．对于复数z ＝a ＋b i 有(B )A ．|z 2|>|z |2B ．|z 2|＝|z |2C ．|z 2|<|z |2D ．|z 2|＝z 25.1－3i （3＋i ）2＝(B)A.14＋34i B ．－14－34i C.12＋32i D ．－12－32i 6．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是(A ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z 化成标准的a ＋b i(a ，b ∈R )形式，然后由共轭复数定义得出z －＝－1－i.解析：由z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，及共轭复数定义得z －＝－1－i.7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为(A ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z － 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，选A.8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则(D ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝2，c ＝－1 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝－2，c ＝3解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i 也是该方程的另一个根，所以1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，即b ＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c ，故选D.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为(A ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i 解析：因为z (2－i)＝11＋7i ，所以z ＝11＋7i2－i，分子分母同时乘以2＋i ，得z ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝22＋11i ＋14i ＋7i 24－i 2＝22－7＋25i 4－i 2＝22－7＋25i 4＋1＝15＋25i5＝3＋5i. 10．复数方程|||z ＋i|－|z －i|＝2对应的复平面内的曲线是(D ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．两条射线(包括端点)11．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为(B )A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析：设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1＝－a ，a －1＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴z ＝1. 12．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是(A ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 5解析：|z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到点(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上) 13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 解析：(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，实部为－20. 答案：－2014．若复数z 满足z ＝i(2－z )，则z ＝________． 解析：由z ＝i(2－z )，得(1＋i)z ＝2i ，即z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i. 答案：1＋i15．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ，∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋a i(a ，b ∈R )，若|z 1|＜|z 2|，则b 的取值范围是________．解析：由题知a 2＋b 2<（－1）2＋a 2，∴b 2<1，∴－1<b <1.答案：(－1，1)三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(10分)计算：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ； (2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i. 解析：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ＝2i ＋2－25＋15i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45i －4i ＝1－i.(2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i ＝（－1＋3i ）3（2i ）3－3＋4i 4－3i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3(－i)3－（4－3i ）i4－3i＝－i －i ＝－2i.18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时： (1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z 是零？解析：(1)当a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1或a ＝6时，z ∈R .(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，即a ＝－2时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1时，z 是零．19．(12分)已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根． (1)求a ，b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0，即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴a ，b 的值分别为a ＝－2，b ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然成立．∴1－i 也是方程的一个根． 20．(12分)设ω＝－12＋32i ，(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)． 解析：(1)证明：∵ω＝－12＋32i ，∴ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝14－32i －34＝－12－32i. ∴1＋ω＋ω2＝1－12＋32i －12－32i ＝0.(2)由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0.∴ω3＝1. ∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4. 21．(12分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.22．(12分)已知：复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，若z ＝z －1i －z 2，其中m ，n ，x ，y 都是实数．(1)若复数z 1所对应点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，求复数z 所对应点P (x ，y )的轨迹C 方程；(2)过原点的直线与轨迹C 有两个不同的交点，求直线的斜率k 的取值范围． 解析：(1)z ＝z －1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(2＋m )i ＝x ＋y i ，复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n －2，y ＝2＋m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝x ＋2，m ＝y －2.∵点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，∴n ＝12(m ＋3)2＋1⇒x ＋2＝12(y －2＋3)2＋1⇒x ＝12(y ＋1)2－1，即为所求．(2)设过原点的直线的方程是y ＝kx ，代入曲线C 的方程，得ky 2＋(2k －2)y －k ＝0，Δ＝(2k －2)2＋4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122＋2＞0恒成立，∴k ∈R .。