线代第一节

a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
a11a 23 a32 a12a 21a 33 a13a 22a 31
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2
三阶行列式几点注意：
1）右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这 三个元素位于行列式的不同的行、不同的列；
行标排列的逆序数设为r1 列标排列的逆序数设为t1
由于 r1与r 的奇偶性相反， t1与t 的奇偶性也相反， 故 r1 t1与r t 有相同的奇偶性。 利用这个结论，可以给出行列式的列顺序表示法。
定理2 (列顺序表示法) n 阶行列式也可定义为 其中
D (1) a p11a p2 2 a pnn s 为行标排列 p p p 的逆序数。 1 2 n
二、课程特点： 一个中心——求解线性方程组 一种工具——矩阵（行列式、向量）
三、教学安排：
• • 共32学时，计划讲授前5章； 期末总评成绩按：平时占20%，期末考试占 80%计算。
四、几点要求：
要注意预习、复习； 及时独立完成作业
练习册5元一本 汇款账号：6235 7260 0000 0083 336。户名：宋允全。银行：中国银行。 领取时间：2016年9月9日（星期五）上午9：00-11:30，下午2:00-4:30到文理 楼276领取线性代数练习册。 领取地点：文理楼276
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示.
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, 于 是，在这些元素的任一排列中，某两个元素的先 后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。 一般地，n 个不同的自然数，规定由小到大 为标准次序. 于是在一个排列 i1i2 it is in 中，若 数 it i s 则这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 逆序
1 t ( n 1) ( n 2) 1 n( n 1) 2
二、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
示为 (1) t ，其中t为列标排列的逆序数。
综上知，三阶行列式可以写成：
a11 a12 a13 t a21 a22 a23 ( 1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 a31 a32 a33
其中t为列标排列 p1 p2 p3 的逆序数，∑表示 对1，2，3三个数的所有排列取和。 仿上，我们可以定义 n 阶行列式。
下面给出结论的证明。
结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。
证 设有乘积项
a1 p1 aipi a jp j anpn r 行标排列的逆序数设为 t 列标排列的逆序数设为
对换元素 a jp j , a ip i 后，得
a1 p1 a jp j aipi anpn
多思考、多做习题； 注意培养自己的解理论证明题的能力。
五、参考书目：
《线性代数学习指导》等辅导书。
第一章 n阶行列式
本章介绍 排列的一些性质；
n பைடு நூலகம்行列式的定义、性质和计算；
克莱姆法则。
学习重点：
行列式的性质和计算。
§1 排列的逆序数与对换
一、全排列及其逆序数
，共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
一、引言
1995年国家教委颁布的教学大纲中指出：线性代数是高
等工科本科各专业的一门重要的基础理论课。
本课程的重要性在于：
涉及变量之间线性关系的问题大量存在； 许多非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题； 随着计算机的普及，人们处理多变量、多方程的能力 大大提高； 与其它学科相互渗透，是许多学科的基础。
1
于是
a1n a n1 a 2 n 1
2

n
( 1)t a1n a2 ,n1 an1 ( 1)t 12 n
其中 t 为排列 n(n 1)21 的逆序数，故
n( n 1) t 2
例4（教材P4例4）
证明下（上）三角行列式 对角线上(下)方 的元素全为零。
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论 证明
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立.
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 D a 21 a 22 a n1 a n 2 a nn
a11 a 22 a nn
a11 a12 a1n a22 a2n ann
例4（教材P4例3）
证明下三角行列式
D
a11 a 21 a 22 a n1 a n 2 a nn
对角线上(下)方 的元素全为零。
排列的逆序数：全体元素的逆序数之和，即
t t1 t2 tn ti
i 1 n
例1 求排列3421的逆序数。
解 逆序数为 t=0+0+2+3=5，为奇排列。
例2 求排列 13(2n 1)24(2n) 的逆序数。
解 逆序数为
（思考： 这个排列的奇偶性如何？） 当 n=4k，4k+1时， 为偶排列， 当 n=4k+2，4k+3时， 为奇排列。
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
由方程组的四个系数确定.
（3）
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
2. n 阶行列式 定义
a11 a21 a12 a1n a22 a2 n ( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn
an1 an 2 ann
其中 p1 p2 pn 为自然数1,2,…,n的一个排列， t 为这个排列的逆序数，∑表示对1，2，…，n 的 所有排列取和。 注：以上定义式也称为行列式的行顺序表示法。
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
关于定义,提请注意以下几点：
① n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数。 ② 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积
（称为一个乘积项）,这n 个元素是由行列式的
不同行、不同列的元素构成的。
③ 某一乘积项符号的确定：先把该项的n个元素
按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列 的奇偶性来决定这一项的符号。
a11a22 ann
t 证 D中可能不为0的项只有 ( 1) a 11 a 22 a nn t 0 此项的符号 (1) (1) 1，所以
D a11 a 22 a nn .
3. 列顺序表示法： 结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，行 (补充) 标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。
表 达 式a11a22 a12 a21称 为 数 表 （ 4 ）所确定的二阶 a11 行列式，并记作 a21 a12 a22
行列式的元素 元素的行标与列标
即
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
二阶行列式的计算
主对角线
对角线法则
a11a 22 a12a 21 .
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,