振动理论及其应用：第2章_单自由度系统受迫振动
机械振动运动学2单自由度系统振动2
【例2-11】如图2.29所示为一辆石油载重卡车在波形路面行走
的力学模型。路面的波形可以用公式
表示，其中幅
度d=25mm波长l=5m。卡车的质量为m=3000kg，弹簧刚度系数为
k=294kN/m。忽略阻尼，求卡车以速度v=45kM/h匀速前进时，车
体的垂直振幅为多少？卡车的临界速度为多少？
图2.29石油载重卡隔离
隔振分为：主动隔振，被动隔振两类。
（a）主动隔振
（b）被动隔振
图2.39单自由度隔振系统的动力学模型
两种模型比较
①主动隔振
防止振动传递开去的隔振称为主动隔振。如图2.39(a) 所示为主动隔振的简化模型。
弹簧传到支承上的最大载荷 支承上的最大载荷
最大合力
力
的作用。此时振动系统的响应就是（2.96）式
在
阶段
式中：
当常力 去除后，系统自由振动的振幅A随着矩 形脉冲作用时间和振动系统固有周期之比值 的改变 而改变。
当
时，系统自由振动的振幅
在 时是以振幅等于 作简谐运动
当
时，A=0
2.5单自由度系统振动应用专题
2.5.1等效粘性阻尼
实际的石油机械振动系统中存在的阻尼是非常复杂的，只 有在特定情况下，阻尼力才表现为与运动速度成线性关系。工
1cosnt
式中
图2.35 系统的位移响应与阻尼的关系
【例2-13】 如图2.36（a）所示，一无阻尼弹簧—质量系统受到
的矩形脉冲的作用。这一矩形脉冲可用
表
示，试求这一振动系统的响应。
图2.36 作用于弹簧-质量系统上的矩形脉和系统的响应
【解】在
阶段，相当于振动系统在t=0时受到突加常
振动理论-第1,2章 单自由系统振动
1.2 振动系统的模型及其分类
5. 按描述振动系统的微分方程分类
线性振动 能用常系数线性微分方程描述的振动 非线性振动 只能用非线性微分方程描述的振动
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
6. 按激励（动荷载）分类
动荷载
确定
周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载
刚柔耦合系统
·对于大型振动系统可以部分采用离散系统模型，部分采用连续系统模型.
总之，建立振动系统的模型应力求简单，能准确反映客观 实际，且计算结果在工程允许的范围内.
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
2. 按振动系统的自由度数分类
单自由度振动系统 确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置只需要 一个独立坐标的振动
Fs2 k2 (x2 x1)
Fs Fs1 Fs2 k1(x2 x1) k2 (x2 x1) keq(x2 x1)
所以等效弹簧刚度为
第2章 单自由度系统的振动
keq k1 k2
（2-1） （2-2）
2.1 单自由度系统的自由振动
n
keq ki i 1
串联时弹簧的等效刚度
（2-3）
第第22章章 单单自由自度由系度统系的振统动的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
弹性元件的组合
在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式 组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式， 分别如图2-4（a）和2-4（b）所示。
图2-4 弹簧的组合
并联时弹簧的等效刚度
Fs1 k1(x2 x1)
第1章 绪论
第2章 单自由度系统的振动
第1章 绪论
第二章 单自由度系统振动的理论及应用
M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
第二章3-单自由度系统强迫振动
积分常数的确定
x x Acosnt ， 代入微分方程：
2 n 2 n
2Bn sin nt cos cosnt sin Acosnt
2 n
从而：
cos 0
2
2 n A cos nt n A B 2n cos nt 2
方程解可以写成：
A x x0 cos nt sin nt cos t cos nt 2 n 1 x0
解的讨论
从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有 频率 n 。
A cos t 2 1
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。
A cos nt 2 1
表示激扰力引起的自由振动。
对扰力引起自由振动的讨论
令初始条件：x 0, x 0 ，微分方程的解简化为： 0 0
A x cos t cos nt 2 1
可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自 由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
齐次解的讨论
当 1 时，由前面的单自由度阻尼自由振 动可得： x1 e t B1 cos d t B2 sin d t
n
，
2 1 n 其中：d
，称为衰减振动的圆频率。
特解的讨论
由于激励为简谐的，根据微分方程的理论， x2 X cos t 上述微分方程有如下形式的特解： x2 X2 cos t x2 X sin t ， 将 x2 X cos t ， 2 2 代入 x 2n x n x n Acos t 可得：
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
机械振动学 0723第二章单自由度振动系统(讲)
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动
刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c
a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0
cos
pnt
v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2
k1k 2 b 2
k1
k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2s
1 s2
x
F0 k
ei(t )
Aei(t )
A B 稳态响应的实振幅
若： F (t) F0 cost
则： x(t) Acos(t )
2020年12月9日 <<振动力学>>
无阻尼情况：
x(t) B 1 s2
eit
F0 k
1 1 s2
eit
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
2020年12月9日 <<振动力学>>
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2 振幅无极值
1
3
2
1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
1
2
3
2020年12月9日 15
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
2x02为0年复12月数9日变量，分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
H ()
1
k m 2 ic
复频响应函数
0
k m
c
2 km
振动微分方程：
x
20 x
2 0
x
B
2 0
e
it
静变形
B
F0 k
引入：s 0
则：
H
()
1 k
[
(1
1
s2 s2 )2
2si (2s)2
]
1 ei
k
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
tg
1
2s
1 s2
2020年12月9日振幅放大因子
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
齐次微分方程 通解
非齐次微分
持续等幅振动 稳态响应 本节内容
2020年12月9日 5
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设： x xeit
x ：稳态响应的复振幅
代入，有： x H ()F0
s
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
2020年12月9日 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2020年12月9日 2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
<<振动力学>>
相位差 6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
mx cx kx F0eit
x xeit x H ()F0
B F0
(s)
k1
(1 s2 )2 (2s)2
H () 1 [ 1 s2 2si ] 1 ei k (1 s2 )2 (2s)2 k
(
s)
tg
2020年12月9日 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧－质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
2020年12月9日 12
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
（4）当 s 1 0
0.375
2
0.5
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1
mx cx kx F0eit
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
A F0
1
k (1 s2 )2 (2s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
x
F0
ei(t )
Aei(t ) 10
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
（2）当s>>1（ 0 ）
2
激振频率相对于系统固有频率很高 1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅 很小
2020年12月9日 <<振动力学>>
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
3
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性： 1
1
s
（1）当s<<1（ 0）
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
2020年12月9日 <<振动力学>>
结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当
2020年12月9日 8
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
2020年12月9日 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性