《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 选4-4-1
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：开卷速查(选修4-4-1坐标系)
开卷速查(选修4－4－1) 坐标系A 级 基础巩固练1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y.(1)求点A ⎝⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程． 解析：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1， ∴A ′(1，－1)为所求．(2)设B(x ，y)，由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1， ∴B(－1,1)为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l 的方程为y ＝x.2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1＋t(t 为参数)与圆C ：ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)试判断直线l 和圆C 的位置关系； (2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值．解析：(1)直线l 的参数方程消去参数t ，得x ＋y －1＝0.由圆C 的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r ＝2 2.从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋2－1|12＋12＝322，显然322＜22，所以直线l 和圆C 相交．(2)由(1)知圆心C 到直线l 的距离为d ＝322，所以圆上的点到直线l 的距离的最大值为322＋22＝722.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2. θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)得点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．B 级 能力提升练5．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解析：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，② 将①代入②，得2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．6．[2014·辽宁]将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y)．依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t ，(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：开卷速查(选修4-4-2参数方程)
开卷速查(选修4－4－2) 参数方程A 级 基础巩固练1．[2014·江苏]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解析：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t .解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解析：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1、直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎨⎧x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0.得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4.或⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.4．[2014·福建]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.B 级 能力提升练5．[2014·全国课标Ⅰ]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解析：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43， 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.6．[2014·全国课标Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解析：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 3-4
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π4解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后变为函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，又y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ为偶函数， 故π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋k π，k ∈Z . 若k ＝0，则φ＝π4.故选B 项． 答案：B2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－56π，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2，故选D. 答案：D3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3解析：由图像可得，3T 4＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则取k ＝0，∴φ＝－π3. 故选A 项． 答案：A4．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )·sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]， 则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得t ＝±33.当t ＝±1时，函数值为0； 当t ＝－33时，函数值为－439； 当t ＝33时，函数值为439. ∴g (t )max ＝439，即f (x )的最大值为439.故选C 项． 答案：C5．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝__________. 解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位得，y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ＝cos(2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π＋φ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π2，而它与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ，得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，又－π≤φ＜π，∴φ＝5π6. 答案：5π6。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分14导数的应用(一)
开卷速查 (十四 )导数的应用(一)A 级基础牢固练1．函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，则函数 g(x)＝f x在区间 (1，＋∞ )上必然 ()xA．有最小值B．有最大值C．是减函数 D.是增函数剖析：由函数 f(x)＝x2－2ax＋a 在区间 (－∞，1)上有最小值，可得＜，又＝f x a a∈ ，＋∞a1g(x)x x x x(1)上 g′(x)＞0，所以 g(x)在(1，＋∞)上为增函数．答案： D2．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间 [ －1,1]上的最大值是 ()A．－ 2 B.0C．2 D.4剖析： f′(x)＝3x2－6x，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数， f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝ f(0)＝2.答案： C3．若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则导函数f′(x)的图像不可以能是 ()ABCD剖析：若函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数 f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图像要穿过x 轴，观察四个选项中的图像只有 D 项是不吻合要求的，即 f′(x)的图像不可以能是 D，应选 D.答案： D4．已知函数＝3－3x＋c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则c＝y x()A．－2 或 2 B.－9 或 3 C．－1 或 1 D.－3 或 1剖析：设 f(x)＝x3－3x＋c，对 f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，可得 x＝±1，易知 f(x)在 (－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递加，在(－1,1)上单调递减．若 f(1)＝1－3＋c＝0，可得 c＝2；若 f(－1)＝－ 1＋3＋c＝0，可得 c＝－ 2.答案： A5．函数 f(x)＝x3－3x－1，若对于区间 [ －3,2]上的任意 x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数 t 的最小值是 ()A．20 B.18C．3 D.0剖析：因为 f′(x)＝3x2－3＝3(x－ 1)(x＋1)，令 f′(x)＝0，得 x＝±1，所以－ 1,1 为函数的极值点．又 f(－3)＝－ 19，f(－1)＝1，f(1)＝－ 3，f(2)＝1，所以在区间 [ －3,2]上 f(x)max＝1，f(x)min＝－ 19.又由题设知在区间[－3,2]上 f(x)max－f(x)min≤t，从而 t≥20，所以 t 的最小值是 20.答案： A6．已知定义在R上的奇函数 f(x)，设其导函数为 f′(x)，当 x∈(－∞，0]时，恒有 xf′(x)<f(－x)，令 F(x)＝xf(x)，则满足 F(3)>F(2x－1)的实数 x 的取值范围是 ()A．(－1,2) B. －1，121C. 2，2D.(－2,1)剖析：由 F(x)＝xf(x)，得 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，F(x)为偶函数，从而 F(x)在3<2x－1<3，解得－ 1<x<2.7．若函数 f(x)＝13x3－23x2＋ax＋4 恰在 [ －1,4]上单调递减，则实数所以 F(x)在(－∞，0]上单调递减，又可证[0，＋∞ )上单调递加，故原不等式可化为－答案： Aa 的值为 __________．剖析：∵f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4，∴f′(x)＝ x2－3x＋a.又函数 f(x)恰在 [ －1,4]上单调递减，∴－ 1,4是 f′(x)＝ 0 的两根，∴ a＝－ 1×4＝－ 4.答案：－48．已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在 x＝－ 1 时有极值 0，则 m ＋n＝__________.剖析：∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得f－1 ＝－1 3＋3m －1 2＋n －1 ＋ m2＝0，f′ －1 ＝3× －1 2＋6m －1 ＋n＝0，m＝1，m＝2，∴或n＝3，n＝9，m＝1，时，f′(x)＝3x2＋6x＋ 3＝3(x＋1)2≥0 恒成立与 x＝－ 1当n＝3是极值点矛盾，m＝2，时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当n＝9显然 x＝－ 1 是极值点，吻合题意，∴m＋n＝11.答案： 119．右图是函数 y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．①f(x)在区间 [ －2，－ 1]上是增函数；②x＝－1 是 f(x)的极小值点；③ f (x)在区间 [ －1,2]上是增函数，在区间 [2,4] 上是减函数； ④x ＝3 是 f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是__________．剖析：由函数 y ＝f(x)的导函数的图像可知：(1) f (x)在区间 [ －2，－ 1]上是减函数，在[ －1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2) f (x)在 x ＝－ 1 处获取极小值，在 x ＝2 处获取极大值．故②③正确．答案： ②③10．已知函数 f(x)＝ax2＋blnx 在 x ＝1 处有极值 12.(1)求 a ，b 的值；(2)判断函数 y ＝f(x)的单调性并求出单调区间．b剖析： (1)f ′(x)＝2ax ＋x ，1又 f(x)在 x ＝1 处有极值 2，1 1∴ f 1 ＝2， 即a ＝2，f ′ 1 ＝0， 2a ＋b ＝0.1解得 a ＝2，b ＝－ 1.1 2 (2)由(1)可知 f(x)＝2x － lnx ，其定义域是 (0，＋ ∞)，且 f ′(x)＝ x－1＝ x ＋1 x －1 .xx令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1 或 x ＝－ 1(舍去)．当 x 变化时， f ′(x)，f(x)的变化情况以下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以函数 y＝f(x)的单调减区间是 (0,1)，单调增区间是 (1，＋∞)．B 级能力提升练11．[2014 ·安徽 ]设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a＞ 0.(1)谈论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x∈[0,1] 时，求 f(x)获取最大值和最小值时的x 的值．剖析： (1)f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令 f′(x)＝0，得 x1＝－1－ 4＋3a，3－1＋ 4＋3ax2＝3，x1＜x2.所以 f′(x)＝－ 3(x－x1)(x－x2)．当 x＜x1或 x＞x2时， f′(x)＜0；当 x1＜x＜x2时， f′(x)＞0.故 f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递加．(2)因为 a＞0，所以 x1＜0，x2＞0. ①当 a≥4 时， x2≥1.由(1)知， f(x)在[0,1] 上单调递加．所以 f(x)在 x＝0 和 x＝ 1 处分别获取最小值和最大值．②当 0＜a＜4 时， x2＜1.由(1)知， f(x)在[0，x2]上单调递加，在 [x2,1]上单调递减．－1＋ 4＋3a所以 f(x)在 x＝x2＝3处获取最大值．又 f(0)＝1，f(1)＝a，所以当 0＜a＜1 时， f(x)在 x＝1 处获取最小；当 a＝1 ， f(x)在 x＝0 和 x＝1 同获取最小；当 1＜a＜4 ， f(x)在 x＝0 获取最小．e x212．[2014 山· ] 函数 f(x)＝x2－k x＋lnx (k 常数，e＝2.718 28⋯是自然数的底数 )．(1)当 k≤0 ，求函数 f(x)的区；(2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极点，求k 的取范．剖析： (1)函数 y＝f(x)的定域 (0，＋∞)．f′(x)＝2 x－2xe x22＋1 x e4－k－x x xx xxe －2e k x－2x－ 2 e x－kx＝x3.由 k≤0 可得 e x－kx>0，所以当 x∈(0,2)， f′(x)<0，函数 y＝f(x)减，x∈ (2，＋∞)， f′(x)>0，函数 y＝f(x)增．所以 f(x)的减区 (0,2)，增区 (2，＋∞ )．(2)由(1)知， k≤0 ，函数f(x)在(0,2)内减，故f(x)在(0,2)内不存在极点；当 k>0 ，函数 g(x)＝e x－kx， k∈(0，＋∞)．因g′(x)＝e x－k＝e x－e lnk，当 0<k≤1 ，当 x∈(0,2)， g′(x)＝e x－k>0，y＝g(x)增．故 f(x)在(0,2)内不存在两个极点；当 k>1 ，得 x∈(0，ln k)， g′(k)<0，函数 y＝g(x)减．x∈ (lnk，＋∞)时， g′(x)>0，函数 y＝g(x)单调递加．所以函数 y＝g(x)的最小值为 g(lnk)＝k(l －ln k)．g 0 >0，g lnk <0，函数f(x)在 (0,2)内存在两个极值点当且仅当解得g 2 >0，0<lnk<2，e2e<k< 2，综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时， k 的取值范围为e2e，2 .。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第2章 函数、导数及其应用-11
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第二章 第十一节
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
令h(x)＝4x－1x，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增， 所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥125或3a≤3， 解得a＜0或0＜a≤25或a≥1.
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第二章 第十一节
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2．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(
)
A．(－1)
解析：函数y＝
1 2
x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－
1 x
＝
x－1xx＋1，令y′≤0，则可得0<x≤1.
答案：B
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第二章 第十一节
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第二章 第十一节
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②当a＞0时，f′(x)≤0(x＞0)等价于(2ax＋1)(ax－1)≥0(x＞ 0)，即x≥1a，
此时f(x)的单调递减区间为1a，＋∞. 由1a≤1， 得a≥1.
a＞0，
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第二章 第十一节
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第二章
函数、导数及其应用
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第二章 函数、导数及其应用
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第十一节 导数的应用(一)
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 4-4
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第四章
第四节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
3 个结论——复数代数运算中常用的三个结论 1＋i 1－i (1)(1± i) ＝± 2i； ＝i； ＝－i； 1－i 1＋i
2
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n
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第四章
第四节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
通关特训 1 (1)设 i 是虚数单位，若复数 a－ 数，则 a 的值为( A．－3 )
10 (a∈R)是纯虚 3－i
B．－1 C．1 D．3
(2)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z 的共轭复数，则 z2＋ z
答案：(1)D (2)A
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第四章
第四节
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考点二
复数的几何意义
【例 2】 (1)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表 示 z 的共轭复数的点是( A．A B．B )
C．C D．D
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第四章
第四节
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第四章
第四节
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1 实部 答案： □
2 虚部 □ 3 b＝0 □ 4 a＝0，且b≠0 □
5 a＝c且b＝d □ 6 a＝c，b＝－d □ 7 x轴 □ 8 y轴除去原点 □ 9 实数 □ 10 纯虚数 □ 11 非纯虚数 □ 12 |z| □ 13 |a＋bi| □ 14 □ a2＋b2 → 16 15 平面向量OZ □ □(a＋c)＋(b＋d)i
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 选4-5-1
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．[2014·安徽]若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8 解析：当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x ＞－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x ＜－a 2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a ＜2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x ＞－a 2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x ＜－1，如图2可知，当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.图1图2答案：D2．[2014·江西]对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.答案：C3．[2015·重庆八中月考]若不等式|x＋3|＋|x－7|≥a2－3a的解集为R，则实数a的取值范围是__________．解析：不等式|x＋3|＋|x－7|≥a2－3a的解集为R，所以a2－3a≤(|x＋3|＋|x －7|)min .|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10，所以a 2－3a ≤10，a 2－3a －10≤0，－2≤a ≤5.答案：[－2,5]4．[2014·湖南]若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为{x |－53＜x ＜13}，则a ＝__________.解析：由不等式的解集可知－53，13为不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3，解得a ＝－3. 答案：－35．[2014·重庆]若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．解析：|2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋2|≥0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－(x ＋2)＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12。
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 1-1
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第一章
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
4．集合的基本运算 并集 符号 表示 图形 表示 意义 22 ______ □ 23 ______ □ 24 ______________ □ A∪B 交集 A∩B 补集 若全集为U，A⊆U， 则集合A的补集为∁UA
(2)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜ x＜2m－1}．若 B⊆A，则实数 m 的取值范围是( A．－3≤m≤4 C．2＜m≤4
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)
B．－3＜m＜4 D．m≤4
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第一章 第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
解析：(1)由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，故 A＝{1,2}．由题 意知 B＝{1,2,3,4}，因此满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}， {1,2,3,4}，故选 D. (2)当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图．
答案：B
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第一章
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
课堂学案
考点通关
考点例析 通关特训
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第一章
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
考点一
集合的基本概念
【例 1】 (1)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝ {(x，y)|x∈ A， y∈ A， x－y∈ A}，则 B 中所含元素的个数为( A．3 个 B．6 个 C．8 个 ) D．10 个
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选修4-4
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
过点(a,0)，与 极轴垂直的 直线
π 过点a，2，
16 ___________ □
与极轴平行 的直线
17 ___________ □
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选修4-4
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
1．在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换
x′＝x， y′＝4y
后，变成直线__________．
x′＝x， y′＝4y，
解 析 ： 由 伸 缩 变 换
x＝x′， 得 1 y＝ y′. 4
将其代入x－2y＝2得2x′－y′＝4.
答案：2x′－y′＝4
)的 方 程 ， 通 过 比 较 这 些 图 形 在 极
理 解 用 方 程 表 示 平 面 图 形 时 选 择 适 当 坐 标 系 的 意 义
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选修4-4
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
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选修4-4
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
1．平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单 位长度，将会对图形产生影响．
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选修4-4
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
2．极坐标的概念
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选修4-4
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
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选修4-4
第一节
高考进行时 一轮总复习 · 数学（新课标通用A版 · 理）
3 ( ) 点与极坐标的关系： 平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)， (ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1 π ) ) 8 ______，而用平面直 表示 □
角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的． 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π， 那 么 ， 除 极 点 外，平面内的点和极坐标就一一对应了．
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5π π 2.在极坐标系中，已知两点P5， 4 ，Q1，4，则线段PQ的长
度为__________．
π 直 线 上 ， 它 们 位 于 极 点 的 4的
解 析 ： P，Q在 过 极 点 且 与 极 轴 成 两 侧 ， 因 此 PQ＝5＋1＝6.
过点(a,0)， 倾斜角为α的 直线 18 _______ □
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1 极点 答案：□ 角
2 极轴 □ 3 极坐标系 □ 4 极径 □ 5 极 □
6 ρ＝0 □ 7 任意值 □ 8 同一个点 □ 9 ρc □ o s 11 x2＋y2 □ y 12 □x(x≠0) 13 ρ＝r(0≤θ＜2 □ π ) 15 ρ＝2rn □ s i 18 ρn □ s i (
2个变换——平面直角坐标系中两种常见变换 (1)平移变换：在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的 坐标为(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，
x＋h＝x′， 则有(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示成 y＋k＝y′.
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考点一
平面直角坐标系中的伸缩变换
π 2x＋ 经伸缩变换 1 4 y ′＝ y
x′＝2x， 后的 2
【例1】 求曲线y＝n s i 曲线方程．
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2 ( ) 极坐标： 对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox 4 ______，θ叫做点 为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的 □ M的 5 □ ______，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的 极 坐 标 ， 记 作
M(ρ，θ)． 6 __________，极角θ可以取 当点M在极点时，它的极径 □ 7 __________. □
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3．极坐标和直角坐标的互化
1 ( ) 互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正 半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单 位长度，如图所示．
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1个互化——极坐标与直角坐标的互化 (1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝ y y x ＋y ，tanθ＝ x (x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tanθ＝ x (x≠0)求θ
答案：6
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3．直角坐标方程x2＋y2－8y＝0的极坐标方程为__________．
解 析 ： 因 为 x2＋y2＝ρ2，y＝ρn s i θ， 所 以 原 方 程 可 化 为 8ρsinθ＝0.所以ρ＝0或ρ＝8sinθ. 经检验，得所求的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
2 ( ) 由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形 的对称性： 若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称； π 若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝ 所在的直线对称； 2 若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．
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θ
10 ρn □ s i
θ
π π 14 □ ρ＝2rc源自o s θ －2≤θ＜2 θ(0≤θ＜π)
16 □
ρc o s θ＝a
17 ρn □ s i
θ＝a(0＜θ＜π)
α－θ)＝an s i α
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2个要点——极坐标的多样性与对称性 1 ( ) 由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如 果限定ρ取正值，θ∈0 [ 2 , π ) ，平面上的点(除 去 极 点 )与极坐标
(ρ，θ)(ρ≠0)建 立 一 一 对 应 关 系 ．
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坐标系与参数方程
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坐标系
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
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1 ( ) 极坐标系： 1 ______，从O 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做 □ 2 ______，选定一个单位长度和角及 点引一条射线Ox，叫做 □ 其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标 3 ______. 系，简称为□
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2 2
时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可． (2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法 等，还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧．
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互化公式
在一般情况下，由a t n θ确定角时，可根据点M所在的象限取最 小正角．
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4．常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极 点，半径 为r的圆 圆心为 (r,0)，半 径为r的圆 14 _______________ □ 13 ______________ □ 图形 极坐标方程
1 x′＝2x， x＝ x′， 解 析 ： 由 得 2 ① 1 y′＝2y y＝2y′. 将①代 入 y＝n s i 2y′＝n s i
π 2x＋ ， 4 得
1 π 2·x′＋ ， 4 2
ρ， 得 ρ2＝3ρcosθ＋3 3ρsinθ，
由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y， 得所求的直角坐标方程为x2＋y2－3x－3 3y＝0.
答案：x2＋y2－3x－3 3y＝0
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