第16章 量子力学基础
第十六章量子力学基础
第⼗六章量⼦⼒学基础第⼗六章量⼦⼒学基础⼀、基本要求1、了解波函数的概念及其统计意义，理解微观粒⼦的波动性2、了解⼀维定态的薛定谔⽅程及其波函数解⼀般必须满⾜的条件，以及量⼦⼒学中⽤薛定谔⽅程处理⼀维⽆限深势阱、⼀维谐振⼦等微观物理问题的⽅法。
3、了解量⼦⼒学对氢原⼦问题处理的基本⽅法，理解描述氢原⼦量⼦态的三个量⼦数（m l n ,,）的函义和能级公式。
了解核外电⼦概率分布的函数形式和意义。
⼆、基本内容本章重点：建⽴量⼦物理的基本概念，了解微观粒⼦运动的基本特征、波函数的概念及其统计解释、⼀维定态的薛定谔⽅程及其应⽤。
本章难点：波函数及其核外电⼦概率分布的意义。
（⼀）波函数及其统计意义：微观粒⼦的运动状态称为量⼦态，是⽤波函数),(t r来描述的，这个波函数所反映的微观粒⼦波动性，就是德布罗意波。
（量⼦⼒学的基本假设之⼀）玻恩指出：德布罗意波或波函数),(t r不代表实际物理量的波动，⽽是描述粒⼦在空间的概率分布的概率波。
量⼦⼒学中描述微观粒⼦的波函数本⾝是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平⽅，它代表了粒⼦出现的概率。
微观粒⼦的概率波的波函数是：),,,(),(t z y x t r概率密度：波函数模的平⽅2|),(|t r 代表时刻t ，在r 处附近空间单位体积中粒⼦出现的⼏率。
因此2|),(|t r也被称为概率密度。
即某⼀时刻出现在某点附近在体积元dV 中的粒⼦的概率为：或d t r 2|),(| 波函数必须满⾜标准化条件：单值、连续、有限。
波函数必须满⾜归⼀化条件：zy x t z y x d d d ),,,(2),,,(),,,(),,,(t z y x t z y x t z y x 1d )()(Vt r t r ,,（⼆）薛定谔⽅程： 1、含时薛定谔⽅程：量⼦⼒学中微观粒⼦的状态⽤波函数来描述，决定粒⼦状态变化的⽅程是薛定谔⽅程。
⼀般形式的薛定谔⽅程，也称含时薛定谔⽅程，即：式中是粒⼦的质量，)(r U时，为定态薛定谔⽅程：其特解为：概率密度分布为：（三）⼀维势阱和势垒问题： 1、⼀维⽆限深⽅势阱：对于⼀势阱有维⽆限深⽅ U(x)定态薛定谔⽅程为：令x薛定谔⽅程的解为：其中 ,,A k 都是常量，（ ,A 为积分常量），其中 ,A 分别⽤归⼀化条件和边界条件确定。
第16章 量子物理基础
光电倍增管
测量波长在 200~1200 nm 极微弱光的功率
Xi’an Jaotong University
16. 3 康普顿效应及光子理论的解释
16.3.1 康普顿效应 λ
X 光管 光阑
0
∆λ
λ0
λ0
探测器
θ
散射物体 (实验装置示意图） 实验装置示意图）
(1)连续 (1)连续 (2)温度越高 温度越高, (2)温度越高,辐射越强 (3)频谱分布随温度变化 (3)频谱分布随温度变化 (4)物体的辐射本领与温度 材料有关； 物体的辐射本领与温度、 (4)物体的辐射本领与温度、材料有关； 辐射本领越大，吸收本领也越大。 辐射本领越大，吸收本领也越大。
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U
(实验装置示意图 实验装置示意图) 实验装置示意图 和 v 成 线 性 关 系 -Ua Ua i I1>I2>I3 iS1 iS2 I1 I2 I3
光电子最大初动能和ν 成线性关系
Ua = K(ν −νo ) (ν ≥νo )
(3) 截止频率 ν0 (4) 即时发射 即时发射: 迟滞时间不超过 10-9 秒
h ∆λ = (1− cosθ ) m0c
λc = h / m0c = 0.0024 nm
h
λ = λ0 + ∆λ = 0.0224 nm
(2) 反冲电子的动能 反冲电子的动能: Ek = hν0 − hν = hc − hc
λ
=1.08×10−15 J = 6.8×103 eV
(3) 反冲电子的动量： 反冲电子的动量：
Xi’an Jaotong University
第16章量子力学基础复习
h
c
动量 p mV h c h
c2
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2019/6/13
4
四、康普顿散射:
康普顿公式
0
h m0c
(1
cos )
2h m0c
sin 2
2
康普顿波长
c
h m0c
2.43 10 12 m
2.43 10 3 nm
(
8
2 0
h
2
)
E1 n2
13.58 n2 eV
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氢原子光谱
~ 1 En Ek c hc
me4
8 02h3c
1 (k2
1 n2
)
1 R(k 2
1 n2
)
R=1.096776×107m-1
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五、玻尔氢原子理论三假设：
1、定态假设
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2、频率假设
h En Ek
3、轨道角动量量子化假设 L n h
2
六、对氢原子光谱的解释：
轨道半径量子化
rn
n2 (m0he22
)
0.53n2
0
A
能量量子化和原子能级
En
1 n2
me4
返回
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量子力学基础 知识点
量子物理知识点小结一、普朗克能量子假说1、黑体辐射的实验定律2、普朗克能量子假说2)维恩位移定律：T λm = b1)斯特藩-玻耳兹曼定律： M (T ) = σT 4对频率为ν 的谐振子, 最小能量 ε 为: ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,3,2,εεεεn νh =ε谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍，二、爱因斯坦光量子假说1、光量子假说 W m h νm+=221v 2、光电效应方程： 光具有“波粒二象性”光子的动量： λhp =光子的能量： h ν=ε碰撞过程中能量守恒： 2200mc h νc m h ν+=+v m e h e h n +=λλ00碰撞过程中动量守恒：波长的偏移量:)cos 1(0θλλλλ-=-=∆c nm 00243.0m 10432120=⨯⋅≈=-cm h c λ康普顿波长: 三、康普顿效应（X 射线光子与自由电子碰撞）四、玻尔氢原子理论一切实物粒子都具有波粒二象性 2)角动量量子化条件假设； 1)定态假设； 3)频率条件假设h νmc E ==2λh m p ==v ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆⋅∆≥∆⋅∆≥∆⋅∆222 z y x p z p y p x 2≥∆⋅∆t Ε五、德布罗意假说六、不确定性关系：七、波函数2、波函数满足的条件1、波函数的统计意义1)归一化条件t 时刻，粒子在空间r 处的单位体积中出现的概率， 与波函数模的平方成正比。
*2),(ΨΨt r ΨdVdW w === 概率密度： 12=⎰⎰⎰dV Ψ粒子在整个空间出现的总概率等于 1 , 即： 2)标准化条件：单值、连续、有限一维情况： 1)(2=⎰+∞∞-dx x Ψ八、定态薛定谔方程1、定态：若粒子的势能 E P (x ) 与 t 无关，仅是坐标的函数， 微观粒子在各处出现的概率与时间无关2、一维定态薛定谔方程： 0)()()(=-+x E E 2m dx x d P 222ψψ九、氢原子,3,2,1,1)8(22204=⋅-=n nh me E n ε1、能量量子化和主量子数n 2、角动量量子化和角量子数l)1(2)1(+=+=l l h l l L π1,,3,2,1,0-=n l 3、角动量空间量子化和磁量子数m ll m m L l l z ±±±==,,2,1,0, 4、自旋角动量和自旋量子数 21,)1(=+=s s s S 21,±==s s z m m S十、原子的电子壳层结构1、原子中电子状态由四个量子数(n 、l 、m l 、 m s )决定用 K , L , M , N , O , P , …. 表示 2、原子的壳层结构主量子数 n 相同的电子属于同一壳层壳层n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …. 同一壳层中( n 相同)，l 相同的电子组成同一分壳层 支壳层 用 s , p , d , f , … , 表示l = 0， 1 , 2 , 3 , … , n －13、原子的壳层结构中电子的填充原则1) 泡利不相容原理2) 能量最小原理。
大学物理完整ch16量子力学基础-
其他元素的光谱也可用两光谱项之差表示其波数，即：
~T (m )T (n )
前项参数的 m 值对应着谱线系。后项参数n 的值对应着各谱线系中的光谱系。
3 、卢瑟福原子核式模型 原子中的全部正电荷和几乎全部质量都集中
在原子中央一个很小的体积内，称为原子核，原 子中的电子在核的周围绕核作圆周运动。
波尔理论的缺陷在于没有完全摆脱经典物 理的束缚。一方面他把微观粒子看作经典力学 的质点。另一方面，又人为地加上一些与经典 不相容的量子化条件来限定稳定状态的轨道。
1929诺贝尔物理学奖
L.V.德布罗意 电子波动性的理论
研究
1937诺贝尔物理学奖
C.J.戴维孙 通过实验发现晶体
对电子的衍射作用
普朗克提出的量子假设不仅成功地解决了黑 体辐射的“紫外灾难”的难题，而且开创了物理 学研究的新局面，为量子力学的诞生奠定了基础。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现物理方面的贡
献，特别是阐明光 电效应的定律
16-2 光的量子性 一、光子理论
爱因斯坦的光子理论（光子假设）： 光是以光速运动的光量子流（简称光子流），
mT b
b2.891 8 03mK— 维恩常数
m 当绝对黑体的温度升高时，单色辐出度
峰值波长
最大值向短波方向移动。
1918诺贝尔物理学奖
M.V.普朗克 研究辐射的量子理 论，发现基本量子 ，提出能量量子化 的假设
二、普朗克量子假设
瑞利和金斯公式：
MB
2ckT 4
按瑞利和金斯公式计算所得的曲线在长波区与
2、 波函数的统计解释
粒子运动状态的波函数的模的平方代表着微 观粒子在空间某点出现的概率密度（空间某点单 位体积内发现粒子的概率）。
大学物理第16章量子力学基础.ppt
h = 6.6260755×10-34 J·s 普朗克常数
普朗克得到了黑体辐射公式：
M B ( T ) 2hc25
1
hc
e kT 1
c —光速, k —玻尔兹曼恒量
8
•普朗克公式的得出，是理论和实验结合的典范。 •打破“一切自然过程能量都是连续的”经典看法 •敲开量子力学的大门
普朗克获得1918年诺贝尔物理学奖
描述光的粒子性：能量 ，动量P
光子的能量 h
2 p2c2 m02c4
光子无静质量 m0=0
光子的动量
p h h cc
光具有波粒二象性
h
p h
16
例: 根据图示确定以下各量
(1)钠的红限频率v0
Ua(V) 2.20
a
(2)普朗克常数h
(3)钠的逸出功A 解： (1) 求v0
0.65
U0 k
)
1 2
mm2
0
U0
k
0
U0 k
0 称为这种金属的红限频率(截止频率) 。 对于给定的金属，当照射光频率小于金属的红限 频率，则无论光的强度如何，都不会产生光电效应。
(4)光电效应的瞬时性
实验发现，无论光强如何微弱，从光照射到 光电子出现延迟时间不超过10－9 s。
12
二.爱因斯坦光子假设
长的分布随温度而不同的电磁辐射 单色辐射本领（单色辐出度）
波长为的单色辐射本领是指单位时间内从物
体的单位面积上发出的波长在附近单位波长间隔
所辐射的能量。
M
(T )
dM
d
dM表示单位时间内，表面单位面积上所
发射的波长在到 +d范围内的辐射能.
3
SI制中单位为瓦特·米－3 (W·m－3).
第16章 量子力学基础
波函数的三个标准条件： 连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
10
态叠加原理（一个基本假设） 如果波函数 1 (r , t ), 2 (r , t ), …都是描述系统的可能 的量子态，那么它们的线性叠加
( t , x , y , z ) dxdydz
2
该薄层中发现粒子的概率
2 ( t , x , y , z ) dxdydz y z
13
例2:用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝B遮盖，电子穿 过狭缝A到达屏上任意一点P的状态为1，后将狭缝A遮盖， 电子穿过狭缝B到达屏上任意一点的P状态为2。求将两狭缝 打开，电子同时穿过A和B两个狭缝到达屏上点P的概率密度。 解: 由线性叠加，得
2
1927年10月24-27日在比利时首都布鲁塞尔的第五届索尔维会议 （量子力学正式诞生）
3
量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。
本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理，并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。
第十六章
§16-1 §16-2 §16-3 §16-4 §16-5 *§16-6 *§16-7
量子力学基础
波函数及其统计诠释 薛定谔方程 力学量的算符表示和平均值 一维势阱和势垒问题 一维谐振子问题 氢原子 氢原子中电子的概率分布
量子力学基础
23.03.2020
17
% 1
R°H
1
n12
1 n22
R° 为H 里德堡常数， R°=H 1.09677576×107m-1
莱曼系（Lyman） n1=1 n2 =2，3... 远紫外区 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ，
Hδ为可见区，其 余为近紫外区 帕邢系（Paschen） n1=3 n2 =4，5... 近红外区
23.03.2020
10
Ek 0 ν0
23.03.2020
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。
23.03.2020
电子的波性是和微 粒行为的统计性联
系在一起的。
29
原子和分子中的电子其运动具有波性， 其分布具有几率性。原子和分子的运 动可用波函数描述，而电子出现的几 率密度可用电子云描述。
23.03.2020
30
3.不确定关系（测不准原理）
测不准原理是由微观粒子本质特性决定的。 1927年海森堡（ （Heisenberg）提出：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动 量（也不能将时间和能量同时确定），它要遵循测不准关系。
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6
元函数。一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
1）经典的波与波函数 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二 机械波
Ψ dV ΨΨ dV
2 *
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为 归一化条件
Ψ dV 1
2
( 束缚态 )
10
波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数的三个标准条件： 连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
2 2 2
屏上点P发现电子的概率密度为
2
c 1 1 c 2
( c 1 1 c 2
2
)( c 1 1 c 2
c1c2 1 2
2
)
c1 1
2
c 2 2
c1 c2 1 2
15
某粒子的 波函数为
归一化波函数 令 概率密度 求
12
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经 典 波
德布罗意波
不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方）代表粒子 在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间各 点波强的比例，并非取决于 波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点的振 幅同时增大 C倍，不影响粒子的概 率密度分布，即 和C 所描述德 布罗意波的状态相同。
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量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。
本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理，并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。
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§16-1 波函数及其统计诠释
一、经典物理学中的波函数 微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 (r , t ) 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性， 就是德布罗意波（量子力学的基本假设之一） 。 知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微 观客体的全部知识。
三、力学量的算符表示
四、本征函数、本征值和平均值
算符是表示对某一函数进行某种数学运算的 基本算符 符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符 拉普拉 斯算符
举例 若 和 即 则 作用在某函数 上的效果 与某一常量 的乘积相当，
力 学 量 算 符 统称 位矢算符 动量算符 动能算符
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
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态叠加原理（一个基本假设） 如果波函数 1 ( r , t ) , 2 ( r , t ) , „都是描述系统的可能 的量子态，那么它们的线性叠加
( r ,t ) c1 1 ( r ,t ) c 2 2 ( r ,t )
1 ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) 2m i
i
1 ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) t 2m i 而 V (r ) V (r )
2
(r , t )
i
c i i ( r ,t )
也是这个系统的一个可能的量子态。
宇称：是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有 的一种对称性。
偶宇称(或正宇称)
( x , y , z , t ) ( x , y , z , t )
奇宇称(或负宇称)
( x , y , z , t ) ( x , y , z , t )
得
概率密度最大的位置
令
积分得：
求极大值的 x 坐标
解得
处
处题设
最大
另外两个解
得到归一化波函数：
概率密度
16
§16-2 薛定谔方程
经典力学 量子力学
不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念
针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念 是否存在一个
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
量子力学方程
2
p
2
U ( x,t)
2m
Ψ 在势场中一维运动粒 U ( x , t ) i 2 子的含时薛定谔方程 2m x t Ψ
2
如果粒子在三维空间中运动，则上式推广为
2 2 2Ψ Ψ Ψ Ψ U ( x , y , z , t ) i 2 2 2 2m x y z t
V
t
V
dV
S
t
V
dV
S
j dS
r 时
S
j dS 0
根据某种条件可求出微观粒子的
运动状态
运动状态
波函数
一、含时薛定谔方程
1. 自由粒子的薛定谔方程
一维自由粒子平面波函数 Ψ ( x , t ) 0 e
i ( E t px )
上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
Ψ (x,t)
Ψ t
是振动状态的传播
波强（振幅的平方）代表通 过某点的能流密度 能流密度分布取决于空间 各点的波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点 的振幅同时增大 C倍，则个处 的能流密度增大 C 倍，变为 另一种能流密度分布状态。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
13
1. 德布罗意波的波函数ψ(r,t)表示 A. 粒子的运动的波动性 B. 物理量的波动性 C. √ 粒子在空间的概率分布 D. 粒子在空间的概率的波动性
i
t
i 2m
( )
2 2
2
又 ( )
( )
2
所以
t
i 2m
( )
i 令 j (r , t ) ( ) 2m
2
引入拉普拉斯算符
2
2 2
x
2 2
y
2 2
z
一般的薛定谔方程
2
Ψ U ( x , y , z , t ) i
2
Ψ t
2m
或称含时薛定谔方程
二、定态薛定谔方程
当势能U不显含时间而只是坐标的函数时，而与时间无关， 于是可以把波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即
哈密顿算符
含动、势能
称为 的 本征值 称为 的 本征函数 所描述的状态称为 本征态 力学量的可能值是它的本征值 力学量的平均值由下述积分求出
五、概率守恒和概率流密度矢量
定域是指粒子出现在一定的空间区域。 那么在定域内粒子出现的概率将如何随时间变化呢？ ( r , t ) ，则在t 时刻、 r 附 设粒子的波函数为 近的单位体积内，粒子出现的概率为：
i
Ψ ( x , t ) ( x ) ( t ) 0 e
px
i
Et
e
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 2 2m ( E U ) ( x ) 0 2 2 x 在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
2
2m
2
( E U ) 0
2
量子力学的建立
德布罗意关系 海森伯矩阵力学 薛定谔波动力学 统 一 狄拉克 相对论量子力学
薛定谔（1887-1961）：奥地利著名 的理论物理学家，量子力学的重要奠基 人之一，同时在固体的比热、统计热力 学、原子光谱及镭的放射性等方面的研 究都有很大成就。于1933年同英国物理 学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。
14
2
例2:用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝B遮盖，电子穿 过狭缝A到达屏上任意一点P的状态为1，后将狭缝A遮盖， 电子穿过狭缝B到达屏上任意一点的P状态为2。求将两狭缝 打开，电子同时穿过A和B两个狭缝到达屏上点P的概率密度。 解: 由线性叠加，得
c1 1 c2 2
i
EΨ ( x, t)
自由粒子
(v c )
E Ek
2
p
2
2 mE
Ψ t
k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
Ψ
2 2
2m x
i
2. 在势场中粒子的薛定谔方程 如果粒子不是自由的而是在势场中运动，波函 数所适合的方程可用类似方法建立起来。
E Ek Ep
y ( x , t ) A cos 2π ( t x )
电磁波
E ( x , t ) E 0 cos 2π ( t
H ( x , t ) H 0 cos 2π ( t
x
x
)
)
经典波为实函数
y ( x , t ) Re[ A e
i 2 π ( t
x
)
所谓“定态”，就是波函数具有 式 所描述的状态。它的重要特点是：