新冀教版七年级数学下册参考课件8.2幂的乘方与积的乘方(2)
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幂的乘方与积的乘方 第二课时数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
(3)[(a 2)3＋(2a 3)2]2.
导引：利用相关的幂的运算法则按先乘方，再乘除，
最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行计
算，有同类项的要合并同类项，使结果最简．
解：(1)原式＝x 3y 6；
(2)原式＝a 2nb 6n＋a 2nb 6n＝2a 2nb 6n；
(3)原式＝(a 6＋4a 6)2＝(5a 6)2＝25a 12.
解：由题意知15x＋2＝153x－4，
所以x＋2＝3x－4. 所以x＝3.
1. 下面的计算正确吗？正确的打“√”，错误的打“×”，并将
错误的改正过来．
(1)(ab 2)2＝ab 4；
()
(2)(3cd )3＝9c 3d 3； ( )
(3)(－3a 3)2＝－9a 6； ( )
(4)(－x 3y )3＝－x 6y 3. ( )
解：左边＝3x＋1×5x＋1＝(3×5)x＋1＝15x＋1， 右边＝152x－3，
所以x＋1＝2x－3， 解得x＝4.
2 如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝__a_b_____.
3 若n 为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n)2的值为_2_4_3_____.
4 若(－2a 1＋xb 2)3＝－8a 9b 6，则x 的值是( C )
解：(1)不正确，应为(2a)2＝22a 2＝4a 2. (2)不正确，应为(ab 2)3＝a 3b 6. (3)不正确，应为(－3a 2)3＝(－3)3·a 6＝－27a 6. (4)不正确，应为(2ab 2)2＝22a 2b 4＝4a 2b 4.
2 计算：
(1)(3a)4； (3)(－x 2y 3)3；
一般地，若n 是正整数，则有
(ab)n n 个ab
初中数学知识点精讲精析 幂的乘方与积的乘方 (2)
2 幂的乘方与积的乘方学习目标1. 理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算。
2. 通过推导性质培养学生的抽象思维能力。
知识详解1. 幂的乘方（1）法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（2）符号表示：（a m ）n ＝a mn （m ，n 都是正整数）。
（3）拓展：①法则可推广为[（a m ）n ]p ＝a mnp （m ，n ，p 都是正整数）②法则可逆用：a mn ＝（a m ）n ＝（a n ）m （m ，n 都是正整数）2. 积的乘方（1）法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（2）符号表示：（ab ） n ＝a n b n （n 为正整数）。
（3）拓展：①三个或三个以上的数的乘积，也适用这一法则，如：（abc ）n ＝a n b n c n ，a ，b ，c 可以是任意数，也可以是幂的形式。
②法则可逆用：a n b n ＝（ab ）n （n 为正整数）。
【典型例题】例1：计算()232y x 的结果是【答案】264y x【解析】()226342y y x x = 例2：计算()32a 的结果是 【答案】38a 【解析】()3382a a =例3：计算()23n m 的结果是 【答案】62m n【解析】()2623n m m n = 【误区警示】 易错点1：积的乘方 1. 如果()3915n m b a b a b =∙∙，那么（ ）A ． m=9，n=4B ． m=9，n=﹣4C ． m=3，n=4D ． m=4，n=3【答案】D【解析】()3333333n m n m n mb a b a b b a b +=∙=∙∙∙∴3n=9，3m+3=15，解得：n=3，m=4． 故选D ． 易错点2：幂的乘方的性质的逆运算 2. 已知10m =2，10n =3，则3210m n +=【答案】72【解析】3210m n += ()232322389721010101032m n m n n +===∙=⨯= 【综合提升】针对训练1. 设a=343，b=512，c=254，按照从大到小的顺序排列为2. 已知2x+5y=3，求324y x ∙的值． 3. 已知m a =2，n a =5，求2m n a +的值．1.【答案】a ＞b ＞c【解析】∵b=512，c=254=502∴b ＞c ，又∵a=343=179，b=512=178∴a ＞b ， ∴a ＞b ＞c ．2.【答案】∵2x+5y=3，2525383242222y x x y x y +∙=∙=== 【解析】根据同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算计算． 3.【答案】∵m a =2，n a =5∴()222m n m n nm a a a a a +=∙=∙=4×5=20． 【解析】运用同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方进行计算即可．【中考链接】（2014年随州）计算()32xy -，结果正确的是（ ）A ．42y x B ．63y x - C ．63y x D ．53y x -【答案】B【解析】原式=63y x -课外拓展整式乘法中的开放型问题结论开放与探索：给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要进行推断，甚至探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查我们的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
幂的乘方和积的乘方课件
微积分学
幂的乘方和积的乘方是微积分学中解 决复杂函数求导和积分问题的基础， 特别是在处理幂函数、指数函数和三 角函数的导数和积分时。
科学计算领域
数值分析
幂的乘方和积的乘方在数值分析 中用于提高数值计算的精度和稳 定性，例如在求解方程、插值、
拟合、积分和微分中。
统计学
幂的乘方和积的乘方在统计学中可 用于建立数学模型，特别是对于幂 分布、指数分布和正态分布等。
量子力学
在量子力学中，幂的乘方和积的乘 方可用于描述微观粒子的波函数和 能量层级。
工程领域
电气工程
幂的乘方和积的乘方在电气工程 中用于计算电流、电压和电阻等 电气参数，特别是在电力系统和
电路设计中。
机械工程
幂的乘方和积的乘方在机械工程 中用于计算力学性能，如压力、 应力和应变等，特别是在材料力
学和结构力学中。
性质
当底数a不为0且m为正整 数时，幂的乘方是同底数 幂的乘法的逆运算。
幂的运算规则
底数不变，指数相乘。即 (a^m)^n = a^(m*n)。
负数的偶次幂是正数，奇次幂是 负数。即 (a^m)^(-n) =
1/a^(m*n)，其中m, n为正整数 。
零的任何正整数次幂都是0。即 a^0 = 1，其中a不等于0。
幂的运算应用
在物理学中，幂的乘方可以用 来计算物理量的大小，例如速 度、加速度等。
在化学中，幂的乘方可以用来 计算化学反应中物质的质量和 体积的变化。
在工程学中，幂的乘方可以用 来计算机械零件的强度和刚度 等。
02
积的乘方
定义与性质
定义
积的乘方是指将几个数相乘，再 将所得的幂相乘。
性质
积的乘方的性质与幂的乘方的性 质相似，但需要注意符号和系数 的处理。
七年级数学 第8章 8.1.2 幂的乘方与积的乘方(第2课时)教学
例2 计算：。= —π×63×109。(2) (5xy)3。an·bn = (ab)n
12/8/2021
第十四页，共十四页。
(2) 28×58 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; (6)812×0.12513
第十一页，共十四页。
课堂小结
你学过的幂的运算): a·a·… ·a
=an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an
= am+n (m，n都是正整数)
幂的乘方运算法则:
(am)n= a(mmn，n都是正整数)
2. 计算： (1) (- 3n)3 ;
(2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a
12/8/2021
第十页，共十四页。
公示 逆用 (ɡōnɡ shì)
(ab)n = an·bn
（m,n都是正整数）
反向(fǎn xiànɡ)使用a: n·bn = (ab)n
计算:
(1) 23×53 ; (3) (-5)16 × (-2)15 ; 1(2/58/2)0021 .25100×4100
第四页，共十四页。
n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab
(
n个a
n个b
=(a·a·……·a) (b·b·……·b) (
) 乘法(chéngfǎ)交换律、结合律
=an·bn．
(
)
幂的) 意义
12/8/2021
第五页，共十四页。
幂的意义(yìyì)
积的乘方法则
(ab)n = an·bn
（m,n都是正整数）
12/8/2021
3.幂的乘方运算(yùn suàn)法则:
(am)n= am(mn ，n都是正整数)
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(2) 28×58 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; (6)812×0.12513
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课堂小结
你学过的幂的运算): a·a·… ·a
=an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an
= am+n (m，n都是正整数)
幂的乘方运算法则:
(am)n= a(mmn，n都是正整数)
2. 计算： (1) (- 3n)3 ;
(2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a
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公示 逆用 (ɡōnɡ shì)
(ab)n = an·bn
（m,n都是正整数）
反向(fǎn xiànɡ)使用a: n·bn = (ab)n
计算:
(1) 23×53 ; (3) (-5)16 × (-2)15 ; 1(2/58/2)0021 .25100×4100
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n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab
(
n个a
n个b
=(a·a·……·a) (b·b·……·b) (
) 乘法(chéngfǎ)交换律、结合律
=an·bn．
(
)
幂的) 意义
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幂的意义(yìyì)
积的乘方法则
(ab)n = an·bn
（m,n都是正整数）
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3.幂的乘方运算(yùn suàn)法则:
(am)n= am(mn ，n都是正整数)
冀教版数学七年级下册 8.2 幂的乘方和积的乘方----幂的乘方(13张PPT)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
运算形式（幂、乘方） 运算方法（底不变、指相乘）
如 (23)4 =23×4 =212
➢幂的乘方运算
例1 、 计算：
① 103 4 ② c2 3
③ a4 m
解：① 103 4 = 1034 = 1012
② (c2 )3 = c23 = c6
则am＋n =___6_, a3m＋2n =___3_6__. 解： ∵am＝3, an＝2
∴a3m＋2n＝a3m·a2n ＝(am)3·(an)2 ＝33×22 ＝36.
3.计算(x y)m ( y x)2m = _(_x__y_)3_m
➢小结本节课你的收获是什么？
积的乘方的运算性质：
➢新知探究
1.先说出下列各式的意义，再计算下列各式：
(23)2表示__2_个_2_3_相__乘____； (a4)3表示__3_个_a_4_相__乘____； (am)5表示__5_个_a_m_相__乘____．
(2上3)面2 =各23 式 2括3 =号23中+3都= 是26幂 的形式，
(a然4 )后3 =再a乘4 方a4． a你4 =能a给4+4+这4 =种a1运2 算 (am起)5 =个a名m 字am吗 a？m am am= am+m+m+m+m = a5m
(am )n = amn (m, n都是正整数 ).
am an = am+n (m, n都是正整数 ).
注3：幂的乘方公式还可逆用.
amn = (am )n = (an )m (m, n都是正整数 ).
➢拓1展、若 am = 2, 则a3m =_8____.
2.若am＝3,an＝2,求a3m＋2n的值.
运算形式（幂、乘方） 运算方法（底不变、指相乘）
如 (23)4 =23×4 =212
➢幂的乘方运算
例1 、 计算：
① 103 4 ② c2 3
③ a4 m
解：① 103 4 = 1034 = 1012
② (c2 )3 = c23 = c6
则am＋n =___6_, a3m＋2n =___3_6__. 解： ∵am＝3, an＝2
∴a3m＋2n＝a3m·a2n ＝(am)3·(an)2 ＝33×22 ＝36.
3.计算(x y)m ( y x)2m = _(_x__y_)3_m
➢小结本节课你的收获是什么？
积的乘方的运算性质：
➢新知探究
1.先说出下列各式的意义，再计算下列各式：
(23)2表示__2_个_2_3_相__乘____； (a4)3表示__3_个_a_4_相__乘____； (am)5表示__5_个_a_m_相__乘____．
(2上3)面2 =各23 式 2括3 =号23中+3都= 是26幂 的形式，
(a然4 )后3 =再a乘4 方a4． a你4 =能a给4+4+这4 =种a1运2 算 (am起)5 =个a名m 字am吗 a？m am am= am+m+m+m+m = a5m
(am )n = amn (m, n都是正整数 ).
am an = am+n (m, n都是正整数 ).
注3：幂的乘方公式还可逆用.
amn = (am )n = (an )m (m, n都是正整数 ).
➢拓1展、若 am = 2, 则a3m =_8____.
2.若am＝3,an＝2,求a3m＋2n的值.
冀教版数学七年级下册课件：第八章整式的乘除复习课
解： (5a-3b)(4a+7b) =5a×4a+5a×7b-3b×4a-3b×7b =20a2+35ab-12ab-21b2 =20a2+23ab-21b2
三、乘法公式
知识点
公式
注意
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
字母a、b既可 以是数，也可
以是“式”
（a b)2=a2 中间项的符号
只在被除式里 出现的字母
1）符号 2）不要漏项
计算： (1)(a3)2÷a3 =a3×2÷a3 =a6÷a3 =a6-3 =a3
(2)(b2)3·(b3)2÷b4 =b2×3·b3×2÷b4 =b6+6-4 =b8
(3)(a-2b)3·(a-2b)4÷(a-2b)5 =(a-2b)3+4-5 =(a-2b)2 =a2-4ab+4b2
(4)将4x2 看作是中间项， 所以加上4x4即可。
综上所述：可以添加： 4x, -4x, -1, -4x2, 4x4.
例：设m2+m-1=0,
求m3+2m2+2003的值。
解：因为m2+m-1=0, 所以m2+m=1 故m3+m2=m m3+2m2+2003 =m3+m2+m2+2003 =m2+m+2003 =1+2003 =2004
求（1）a2+b2 (2)ab
解（1）a2+b2=
1 2
[(a+b)2+(a-b)2]
= 1 (324+16) =170
2
(2)ab =
1 4
[(a+b)2-(a-b)2]
三、乘法公式
知识点
公式
注意
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
字母a、b既可 以是数，也可
以是“式”
（a b)2=a2 中间项的符号
只在被除式里 出现的字母
1）符号 2）不要漏项
计算： (1)(a3)2÷a3 =a3×2÷a3 =a6÷a3 =a6-3 =a3
(2)(b2)3·(b3)2÷b4 =b2×3·b3×2÷b4 =b6+6-4 =b8
(3)(a-2b)3·(a-2b)4÷(a-2b)5 =(a-2b)3+4-5 =(a-2b)2 =a2-4ab+4b2
(4)将4x2 看作是中间项， 所以加上4x4即可。
综上所述：可以添加： 4x, -4x, -1, -4x2, 4x4.
例：设m2+m-1=0,
求m3+2m2+2003的值。
解：因为m2+m-1=0, 所以m2+m=1 故m3+m2=m m3+2m2+2003 =m3+m2+m2+2003 =m2+m+2003 =1+2003 =2004
求（1）a2+b2 (2)ab
解（1）a2+b2=
1 2
[(a+b)2+(a-b)2]
= 1 (324+16) =170
2
(2)ab =
1 4
[(a+b)2-(a-b)2]
8.2.1 幂的乘方与积的乘方课件2 冀教版七年级数学下册
(3)(am)2;
解：(1) (103)5=103×5 =1015 ;
(2) (a4)4=a4×4=a16;
(3) (am)2=am×2= a2m ;
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12 .
(4)-(x4)3.
典例精析
[例2]
计算：
(1) (x2)3;
先算乘方，再算乘
(2) a·x ·a2·a3－(a2)3.
例如: x12=(x2)( 6 ) =(x6)( 2 )
=(x3)( 4 ) =(x4)( 3 )
=x7 · x( 5 ) =x · x(
幂的乘方的推广
11 )
[(am)n]p= (amn)p=amnp（m,n,p为正整数）
2 3 4
[(a
) ]
例：
[( a 2 ) 3 ]4 (a 23 ) 4 (a 6 ) 4 a 64 a 24
问题1
(102)3代表什么意义？
102×102×102
问题2
(102)3=106，为什么？
(102)3=102×102×102
=102+2+2
=102×3
=106
幂的意义
同底数幂的乘法性质
想一想
怎样计算(a3)4？
(a3)4 =(a3·a3·a3·a3)(乘方的意义)
4个a3
= a3+3+3+3(同底数幂的乘法法则)
(4) (y2)3·y = y2×3·y = y6·y = y7;
(5) 2(a2)6–(a3)4 =2a2×6 -a3×4 =2a12-a12 =a12.
要点小结
公式的逆向运用
若 (am)n=amn =anm
冀教版七年级下册数学第8章 整式的乘法 目标二 幂的运算六大技法
解：由题意知15x＋2＝153x－4， 所以x＋2＝3x－4. 所以x＝3.
7 先化简，再求值：[－3(m＋n)]3·(m－n)[－2(m＋n) (m－n)]2，其中m＝－3，n＝2.
解：原式＝－27(m＋n)3·(m－n)·4(m＋n)2·(m－n)2＝ －108(m＋n)5·(m－n)3. 当m＝－3，n＝2时，－108(m＋n)5·(m－n)3＝ －108×(－3＋2)5×(－3－2)3＝－108×(－1)5×(－ 5)3＝－108×53＝－13500.
13 【教材P98复习题C组T3变式】52·32n＋1·2n－3n·6n＋2(n为 正整数)能被13整除吗？请说明理由．
解：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．理由如下： 52·32n＋1·2n－3n·6n＋2
＝52·(32n·3)·2n－3n·(6n·62)＝75·18n－36·18n ＝39·18n＝13×3·18n. 因为n为正整数，所以3·18n是正整数． 所以52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．
解：原式＝(x－y)3·[－(x－y)5]·(x－y)8·[－(x－y)]＝ (x－y)17.
3 计算：(2×102)2×(3×103)3×(1×104)4. 解：原式＝(4×104)×(27×109)×(1×1016)＝108×1029 ＝1.08×1031.
4 用简便方法计算： (1)－1258×0.255×578×(－4)5； 解：原式＝758×145×578×(－4)5 ＝75×578×－4×145 ＝－1；
11 试判断212×58的结果是一个几位正整数． 解：因为212×58＝24×(2×5)8＝1.6×109， 所以212×58的结果是一个十位正整数．
12 求32023的个位数字．
7 先化简，再求值：[－3(m＋n)]3·(m－n)[－2(m＋n) (m－n)]2，其中m＝－3，n＝2.
解：原式＝－27(m＋n)3·(m－n)·4(m＋n)2·(m－n)2＝ －108(m＋n)5·(m－n)3. 当m＝－3，n＝2时，－108(m＋n)5·(m－n)3＝ －108×(－3＋2)5×(－3－2)3＝－108×(－1)5×(－ 5)3＝－108×53＝－13500.
13 【教材P98复习题C组T3变式】52·32n＋1·2n－3n·6n＋2(n为 正整数)能被13整除吗？请说明理由．
解：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．理由如下： 52·32n＋1·2n－3n·6n＋2
＝52·(32n·3)·2n－3n·(6n·62)＝75·18n－36·18n ＝39·18n＝13×3·18n. 因为n为正整数，所以3·18n是正整数． 所以52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．
解：原式＝(x－y)3·[－(x－y)5]·(x－y)8·[－(x－y)]＝ (x－y)17.
3 计算：(2×102)2×(3×103)3×(1×104)4. 解：原式＝(4×104)×(27×109)×(1×1016)＝108×1029 ＝1.08×1031.
4 用简便方法计算： (1)－1258×0.255×578×(－4)5； 解：原式＝758×145×578×(－4)5 ＝75×578×－4×145 ＝－1；
11 试判断212×58的结果是一个几位正整数． 解：因为212×58＝24×(2×5)8＝1.6×109， 所以212×58的结果是一个十位正整数．
12 求32023的个位数字．
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公
n = an· n ( ab ) b （m ,n都是正整数 ） 式的 反向 使 用
bn = (ab)n 反向使用: an·
2、试用简便方法计算: (1) 23×53 = (2×5)3 = 103
(2) 28×58 = (2×5)8 = 108 (3) (-5)16 × (-2)15 = (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015 (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 = [2×4×(-0.125)]4 = 14 = 1 .
(4)(-xy3)2 ;
(4) (-xy3)2 = -x2 (y3)2=- x2y6
(5) (2a2)3 +(-3a3)2 +(a2)2· a2 =8a6 +9a6 +a6 = 18a6
【例4】球体表面积的计算公式是 S=4πr2地球可以近 例题解析
似地看做是球体，它的半径为6.37×106m，地球的表面 积大约是多少平方米？（ π取3.14）
探索 & 交流
(2) 为了计算(化简)算式ab· ab· ab，可以应用乘法的交 换律和结合律． 又可以把它写成什么形式? (3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到一般的公式 吗? (ab)3= ab· ab· ab =a· a· a· b· b· b =a3· b3
(1) 根据乘方定义(幂的意义)，(ab)3 表示什么?
回顾
& 思考 ☞
…· a· a· a = an
n个 a 回顾与思考 幂的意义:
同底数幂的乘法运算法则：
am · an = am+n （m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则: (am)n= amn (m、n都是算：46×0.256 小明认为46×0.256=（4×0.25）6， 马上得出结果为1.你认为他这样计算有 道理吗？ 一般的，如果n是正整数，（ab)n=anbn 成立吗？
积的乘方法则
(ab)n = an· bn（m,n都是正整数）
积的乘方 乘方的积
显示:积的乘方= 每个因式分别乘方后的积 .
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗?
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即 “ ( a +b ) n = a n · bn ” 成立吗？ 又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？
解：
S 4 r 2
= 4 3.14 (6.37 10 ) 4 3.14 6.372 1012
6 2
注意 运算顺序 !
5.10 1014 (m2 )
答：地球的表面积大约是
5.10 10 (m )
14 2
随堂练习
随堂练习
1、计算： (1)(- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ; (2) (3) –a3 +(–4a)2 a ．
公 式 的 拓 展
三个或三个以上的积的乘方，是否也具 有上面的性质? 怎样用公式表示?
(abc)n=an· bn· cn
怎样证明 ? 试用第一 种方法证明:
一种思路是利用乘法结合律，把三个 因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则; 另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：
方法提示 有两种思路
作业
P74-75 随堂练习
1.课内练习1、2、3 2.课后习题A组、B组
猜想
n (ab) =
a nb n
n· n n a b (ab) =
的证明
在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
n个ab
(ab)n = ab· ab· ……· ab
n个 a
(
幂的意义
)
n个 b
=(a· a·……·a) (b· b·……·b) =an· bn．
乘法交换律、 ( 结合律 ) ( 幂的意义 )
(abc)n=[(ab)· c]n =(ab)n· cn n· n· n. = a b c ______
乘方的意义、乘法的交换律与结合律.
【例3】计算： (1)(2x)2 ; (2)(3ab)3 ; (3)(-2b2)3 ; (5) (2a2)3 +(-3a3)2 +(a2)2· a2 解： (1) (2x)2 =22x2 = 4x2 (2) (3ab)3= 33a3b3 = 27a3b3 (3) (-2b2)3 = (-2)3 b6 = -8b6