初三数学圆知识点复习专题

圆—苑老师一、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念: 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充）2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线）;3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；３、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点;3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点;A四、圆与圆的位置关系外离（图1)⇒无交点⇒d R r>+；外切(图２）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交(图3)⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+;内切（图4)⇒有一个交点⇒d R r=-;内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论１:(１)平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（２)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共４个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中２个即可推出其它3个结论，即:图4图5①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意２个条件推出其他３个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是（ )A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是( ）.A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦的中点的直线必过圆心 Ｃ.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度A Ｂ是___＿_＿_＿ｃm.2、在直径为5２cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，,如果油面宽度是4８ｃｍ，那么油的最大深度为_____＿＿＿ｃm.3、如图，已知在⊙O 中,弦CD AB =，且CD AB ⊥,垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .(1)求证：四边形OEHF 是正方形. (2)若3=CH ,9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知:△A ＢC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径O Ｂ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为３c ｍ，求AB 的长.O EDCB AOCDAB5、如图,F 是以Ｏ为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点，ＡD ⊥BC 于D ，求证:AD=21BＦ.例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知:⊙O 的半径1=OA ,弦AB 、ＡC 的长分别是2、3．求BAC ∠的度数。

例题４、相交问题如图，已知⊙Ｏ的直径AB 和弦CD 相交于点E,ＡE=6c ｍ,EB=2cm ，∠BE Ｄ=30°,求C Ｄ的长.例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=4０cm ，弦ＣD=48cm ，且ＡB ∥ＣD,求：.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中,大圆的弦ＡB ，交小圆于C 、D 两点,设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知:如图,AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ,CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.六、圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定AB DCEOOAEF理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即:在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。

即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论３：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图形3－3-1９所表示的情形，四个BBABAO工件哪一个肯定是半圆环形？【例2】如图，已知⊙O中,AB为直径，AB=10cm,弦AC=６cm,∠ACＢ的平分线交⊙O于D，求ＢＣ、ＡＤ和ＢD的长.【例3】如图所示,已知AＢ为⊙Ｏ的直径,ＡC为弦,ＯＤ∥BC，交AC于Ｄ,BC=4cm.（1)求证：AＣ⊥OＤ; (２）求ＯＤ的长；(3)若２sinＡ-1＝０，求⊙Ｏ的直径.【例4】四边形AＢCD中，AB∥DC，BC=ｂ,ＡB=AC=AD=a,如图，求BD的长．【例5】如图1,AB是半⊙Ｏ的直径,过A、B两点作半⊙O的弦,当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时,则有ＡC·AC+ＢC·BＣ=AB２.（1)如图2，若两弦交于点P在半⊙Ｏ内，则ＡP·AC＋ＢP·BD=AB2是否成立?请说明理由.（2）如图3，若两弦AＣ、ＢＤ的延长线交于P点,则AＢ２=ﻩﻩ．参照(1）填写相应结论,并证明你填写结论的正确性.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即:在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠例1、如图7－10７，⊙Ｏ中,两弦AB ∥ＣＤ,M 是ＡB 的中点,过M 点作弦ＤＥ.求证:Ｅ，M ，O ，C 四点共圆．九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线 (２）性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理:即:①过圆心；②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,这点和圆EDCBAO心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA、PB是的两条切线∴PA PB=PO平分BPA∠利用切线性质计算线段的长度例1：如图，已知：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C,CＤ⊥AB于D，又ＰＣ=４，⊙O的半径为3．求：OＤ的长．利用切线性质计算角的度数例2：如图，已知:AＢ是⊙Ｏ的直径，CＤ切⊙Ｏ于Ｃ，AE⊥CＤ于E,BC的延长线与ＡE的延长线交于F,且AF＝BＦ．求：∠A的度数.利用切线性质证明角相等例3：如图，已知:AB为⊙Ｏ的直径,过A作弦AＣ、AＤ，并延长与过B的切线交于M、Ｎ.求证:∠MCN=∠ＭＤN．利用切线性质证线段相等例４:如图,已知：AB 是⊙O 直径，C Ｏ⊥ＡB,CD 切⊙O 于D,AD 交CO 于E ．求证:C Ｄ＝C Ｅ.利用切线性质证两直线垂直例５:如图，已知:△ＡＢC 中，A Ｂ=AC ，以ＡＢ为直径作⊙Ｏ,交B Ｃ于D ，DE 切⊙O 于D,交AC 于E.求证：DE ⊥AC.十一、圆幂定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。

即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅(2）推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅（３）切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中,∵PA 是切线，PB 是割线PO DCBA O EDC ADCBPAO∴2=⋅PA PC PB（4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PC PB PD PE⋅=⋅例１.如图1，正方形AＢCD的边长为1，以BＣ为直径。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CＤ于E,求DE：AE的值。

例２.⊙O中的两条弦AB与ＣD相交于Ｅ,若AE=６cm，BE＝2cm,CD=7cm，那么CE=_＿_＿____＿cm。

图２例３.如图３，P是⊙O外一点,PＣ切⊙Ｏ于点C,PAB是⊙O的割线，交⊙O于Ａ、B两点，如果ＰA:PB＝1：4,PＣ=12cｍ,⊙Ｏ的半径为１0ｃｍ，则圆心O到ＡB的距离是＿__＿__＿__＿_cm。

图3例４.如图4,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,ＯC交⊙Ｏ于点E，AE的延长线交BC于点D,(1)求证:;（２)若ＡB=BC＝2厘米,求CE、CＤ的长。

图4例5.如图5，ＰＡ、ＰC切⊙O于A、C，PDＢ为割线。

求证：AD·ＢC=CＤ·AB--图5例6.如图6，在直角三角形AB Ｃ中,∠A=９0°,以ＡB 边为直径作⊙Ｏ,交斜边BC 于点D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E 。